Um dado vencedor pode ser sempre superado? O mistério das probabilidades não transitivas

No raciocínio lógico comum, a transitividade é tida como uma verdade autoevidente: se $A$ é superior a $B$ e $B$ é superior a $C$, então $A$ deve necessariamente superar $C$. Esse princípio fundamenta a reta real ($\mathbb{R}, <$), medidas físicas e noções econômicas de valor.

Formalmente, uma relação binária $\succ$ em um conjunto $S$ é transitiva se:

$$ \forall x, y, z \in S, \quad (x \succ y) \land (y \succ z) \implies (x \succ z) $$

Entretanto, quando probabilidades e comparações multidimensionais se encontram, essa intuição desmorona por completo.

O exemplo intuitivo clássico é o Pedra, Papel e Tesoura. Muitos imaginam que isso ocorre apenas em convenções simbólicas. No entanto, ao distribuir estrategicamente os números em dados cúbicos comuns, surgem os fascinantes dados não transitivos: o dado $A$ vence $B$, $B$ vence $C$, $C$ vence $D$, e $D$ vence $A$, todos com uma probabilidade exata de $2/3$ ($66,7\%$)!

Mais impressionante ainda: ao lançar dois dados de cada tipo e somar os valores (os dados de Grime), a ordem cíclica de dominância se inverte completamente!

1. A armadilha do valor esperado

Nossa mente se confunde ao tentar aproximar a probabilidade de vitória pelo valor esperado $E[X]$, que possui propriedade linear:

$$ E[X - Y] = E[X] - E[Y] $$

O valor esperado é transitivo. Porém, num duelo direto entre dois dados independentes, a vitória é decidida pela função indicadora $\mathbf{1}_{\{x > y\}}$:

$$ P(X > Y) = \iint_{\mathbb{R}^2} \mathbf{1}_{\{x > y\}} \, dF_X(x) \, dF_Y(y) $$

Essa função de degrau é altamente não linear: vencer por $+3$ pontos ou por $+1$ ponto pontua identicamente como uma vitória. Essa não-linearidade gera uma torção probabilística, permitindo ciclos fechados de dominância.

2. Os dados de Efron: O ciclo de quatro dados

Desenvolvidos pelo estatístico Bradley Efron, os quatro dados possuem a seguinte configuração:

Dado	Faces do dado	Distribuição	Valor Esperado $E[\cdot]$
Dado $A$	$4, 4, 4, 4, 0, 0$	Quatro 4, dois 0	$E[A] = 16/6 \approx 2,667$
Dado $B$	$3, 3, 3, 3, 3, 3$	Seis 3	$E[B] = 18/6 = 3,000$
Dado $C$	$6, 6, 2, 2, 2, 2$	Dois 6, quatro 2	$E[C] = 20/6 \approx 3,333$
Dado $D$	$5, 5, 5, 1, 1, 1$	Três 5, três 1	$E[D] = 18/6 = 3,000$

Análise do espaço amostral de 36 pares:

  flowchart LR
    A["Dado A<br/>[4,4,4,4,0,0]"] -->|"P = 2/3 (66.7%)"| B["Dado B<br/>[3,3,3,3,3,3]"]
    B -->|"P = 2/3 (66.7%)"| C["Dado C<br/>[6,6,2,2,2,2]"]
    C -->|"P = 2/3 (66.7%)"| D["Dado D<br/>[5,5,5,1,1,1]"]
    D -->|"P = 2/3 (66.7%)"| A

$P(A > B) = 4/6 = 2/3 \approx 66,7\%$
$P(B > C) = 4/6 = 2/3 \approx 66,7\%$
$P(C > D) = 24/36 = 2/3 \approx 66,7\%$
$P(D > A) = 24/36 = 2/3 \approx 66,7\%$

Em qualquer desafio onde o adversário escolhe o dado primeiro, o jogador que escolhe por segundo possui uma vantagem matemática intransponível de $66,7\%$ de vitória.

3. Dados de Grime e a inversão por dois dados

$$ R \prec B \prec O \prec Y \prec M \prec R $$

4.1 Paradoxo de Condorcet e Teorema de Arrow

Os dados não transitivos são idênticos ao Paradoxo de Condorcet em sistemas eleitorais: o voto majoritário pode gerar ciclos contraditórios mesmo com eleitores perfeitamente racionais. O Teorema da Impossibilidade de Arrow formaliza essa inevitabilidade.

4.2 O lagarto de manchas laterais (Uta stansburiana)

Na natureza, machos de três cores de garganta mantêm uma disputa cíclica perpétua (laranja vence azul, azul vence amarelo, amarelo vence laranja), sustentando a diversidade genética da espécie.