Introdução: Existem “tamanhos” diferentes para o infinito?
O conceito de “infinito” que pensamos no dia a dia significa literalmente que “não tem fim”. Os números naturais ($1, 2, 3, \dots$) podem continuar a ser contados para sempre, portanto o seu número é infinito. Por outro lado, os números reais (todos os pontos numa reta numérica) também existem infinitamente.
Intuitivamente, tendemos a pensar que “o infinito é o infinito, e ambos não têm fim da mesma forma”, mas o matemático do século XIX Georg Cantor provou o fato surpreendente de que “existem diferenças de tamanho (cardinalidade) no infinito” .
Neste artigo, explicaremos em detalhes que o conjunto dos números reais é “esmagadoramente maior” que o conjunto dos números naturais, usando o Argumento de Diagonalização (Diagonal Argument) , um método de prova inovador criado por Cantor.
Teoria dos Conjuntos de Cantor e “Cardinalidade (Cardinality)”
Cantor introduziu o conceito de Cardinalidade (Cardinality) para comparar a “quantidade” de elementos nos conjuntos. No caso de um conjunto finito, a cardinalidade é simplesmente o número de elementos. No entanto, como podemos comparar os tamanhos de conjuntos infinitos?
Cantor usou a ideia de Bijeção (Bijection) . Se uma correspondência um-para-um (bijeção) puder ser criada entre dois conjuntos $A$ e $B$, ele definiu que esses dois conjuntos “têm a mesma cardinalidade” .
A cardinalidade dos números naturais e dos números pares é a mesma?
Por exemplo, vamos considerar o conjunto de números naturais $\mathbb{N}$ e o conjunto de números pares positivos $E$.
$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} $$$$ E = \{2, 4, 6, 8, \dots\} $$Intuitivamente, parece que existem apenas metade dos números pares em comparação aos números naturais. No entanto, usando a função $f(n) = 2n$, podemos criar uma correspondência um-para-um perfeita entre um número natural $n$ e um número par $2n$.
graph LR
subgraph "Números Naturais (N)"
N1("1")
N2("2")
N3("3")
N4("4")
Ndots("...")
end
subgraph "Números Pares (E)"
E1("2")
E2("4")
E3("6")
E4("8")
Edots("...")
end
N1 -->|"f(n)=2n"| E1
N2 -->|"f(n)=2n"| E2
N3 -->|"f(n)=2n"| E3
N4 -->|"f(n)=2n"| E4
Ndots -->|"..."| Edots
Dessa forma, os conjuntos infinitos têm a propriedade estranha de que “a parte tem o mesmo tamanho que o todo”. Um conjunto infinito que pode ser colocado em correspondência um-para-um com os números naturais dessa maneira é chamado de infinito enumerável (Countably infinite) ou diz-se que tem a cardinalidade de Aleph-nulo ($\aleph_0$) .
Surpreendentemente, foi provado que os números racionais ($\mathbb{Q}$) que podem ser expressos como frações também têm a mesma cardinalidade que os números naturais (são infinitos enumeráveis).
Os números reais são “inumeráveis”: O Teorema de Cantor
Números naturais, números pares e números racionais podem todos ser “contados em ordem”. Então, será que os números reais ($\mathbb{R}$) , que representam todos os pontos na reta numérica, também podem formar uma correspondência um-para-um com os números naturais?
A resposta de Cantor foi “não” . Ele mostrou que os números reais têm uma cardinalidade verdadeiramente maior do que os números naturais, ou seja, são infinitos não enumeráveis (Uncountably infinite) .
O Argumento de Diagonalização , chamado de uma das provas mais belas da história da matemática, foi usado para provar isso.
Prova usando o Argumento de Diagonalização
Aqui, não vamos considerar todos os números reais, mas nos limitar aos números reais entre 0 e 1 (intervalo $(0, 1)$). Se houver mais números reais apenas neste intervalo do que números naturais, todos os números reais naturalmente serão mais numerosos do que os números naturais.
A suposição da Prova por Contradição
A prova usa Prova por contradição (Proof by contradiction) . Primeiro, assumimos que “todos os números reais entre 0 e 1 podem ter uma correspondência um-para-um com os números naturais (= podem ser enumerados como uma lista)”.
Em outras palavras, assumimos que todos os números reais entre 0 e 1 podem ser expressos como decimais infinitos e listados como o 1º, o 2º, … como a seguir.
$$ r_1 = 0 . \mathbf{d_{11}} d_{12} d_{13} d_{14} \dots $$$$ r_2 = 0 . d_{21} \mathbf{d_{22}} d_{23} d_{24} \dots $$$$ r_3 = 0 . d_{31} d_{32} \mathbf{d_{33}} d_{34} \dots $$$$ \vdots $$Aqui, $d_{ij}$ representa o dígito na $j$-ésima casa decimal do $i$-ésimo número real (0 a 9).
A construção de um novo número real $x$
A partir desta “lista que deveria abranger todos os números reais”, Cantor mostrou como criar um novo número real $x$ que absolutamente não está na lista .
$$ x = 0 . x_1 x_2 x_3 x_4 \dots $$Cada dígito $x_n$ é determinado com base no dígito $d_{nn}$ na $n$-ésima casa decimal do $n$-ésimo número da lista (o número na diagonal). A regra é muito simples.
$$ x_n = \begin{cases} 1 & \text{se } d_{nn} \neq 1 \\ 2 & \text{se } d_{nn} = 1 \end{cases} $$Em outras palavras, se o dígito diagonal $d_{nn}$ não for 1, fazemos $x_n$ ser 1, e se for 1, fazemos ser 2. (※ Para evitar o problema da dízima periódica contínua de 9, usamos apenas 1 e 2)
graph TD
%% "Processo de inversão de elementos diagonais"
subgraph "Componentes diagonais da lista"
D1("d_11")
D2("d_22")
D3("d_33")
end
subgraph "Componentes do novo número real x"
X1("x_1 ≠ d_11")
X2("x_2 ≠ d_22")
X3("x_3 ≠ d_33")
end
D1 -->|"Aplicar regra"| X1
D2 -->|"Aplicar regra"| X2
D3 -->|"Aplicar regra"| X3
Derivando a contradição
O novo número real $x$ que construímos é um número real entre 0 e 1. De acordo com a suposição, a lista deve cobrir “todos os números reais entre 0 e 1”, então $x$ também deve existir em algum lugar da lista, por exemplo, como o $k$-ésimo número ($r_k$).
Se $x = r_k$, o dígito $x_k$ na $k$-ésima casa decimal de $x$ deve ser igual ao dígito $d_{kk}$ na $k$-ésima casa decimal de $r_k$ ($x_k = d_{kk}$).
No entanto, pela definição de $x$, $x_k$ é intencionalmente feito para ser um número diferente de $d_{kk}$ ($x_k \neq d_{kk}$) .
Isso é uma contradição. Portanto, a suposição inicial de que “todos os números reais podem ser listados” estava incorreta.
Em conclusão, foi provado que o conjunto de números reais não pode ter uma correspondência um-para-um com o conjunto de números naturais, e os números reais são “esmagadoramente maiores” (sua cardinalidade é verdadeiramente maior) .
O Caminho para a Hipótese do Contínuo (Continuum Hypothesis)
O argumento de diagonalização de Cantor mostrou que existem “hierarquias” no infinito. Se a cardinalidade dos números naturais for expressa como $\aleph_0$, e a cardinalidade dos números reais como $\aleph_1$ ou $2^{\aleph_0}$, a seguinte relação é válida.
$$ \aleph_0 < 2^{\aleph_0} $$Aqui, Cantor enfrentou uma enorme questão. “Existe um conjunto infinito com uma cardinalidade intermediária entre $\aleph_0$ e $2^{\aleph_0}$?”
A hipótese de que “não existe cardinalidade intermediária” é chamada de Hipótese do Contínuo (Continuum Hypothesis, CH) . Cantor dedicou sua vida a prová-la, mas não conseguiu resolvê-la.
Mais tarde, foi provado por Kurt Gödel e Paul Cohen que a hipótese do contínuo é “indemonstrável e irrefutável (independente) no sistema axiomático atual da matemática (ZFC)” . Esta é uma das descobertas mais profundas da matemática do século XX.
Resumo
O argumento de diagonalização de Cantor parece um quebra-cabeça simples à primeira vista, mas por trás dele esconde-se uma lógica poderosa que se aproxima da “verdade do infinito”.
- O tamanho dos conjuntos infinitos pode ser comparado por uma “correspondência um-para-um”.
- Até os números racionais, o tamanho é o mesmo dos números naturais (infinito enumerável).
- Ao deslocar a diagonal para criar novos números, prova-se que os números reais são mais numerosos do que os números naturais (infinitos não enumeráveis).
A beleza desta lógica contraintuitiva, porém absoluta, pode ser considerada o maior encanto da disciplina da matemática. O argumento de diagonalização seria posteriormente aplicado a teorias que formam o núcleo da ciência da computação e da lógica matemática, como o problema da parada de Alan Turing e a prova do teorema da incompletude de Gödel.