Capítulo 1: Buracos Negros Clássicos e o “Teorema da Calvície”

Por trás da miríade de estrelas que brilham no céu noturno, escondem-se objetos celestes escuros dos quais nem mesmo a luz consegue escapar: os buracos negros. A Teoria da Relatividade Geral, publicada por Albert Einstein em 1915, trouxe a mudança de paradigma mais bela da história da física, descrevendo a gravidade como a “curvatura do espaço-tempo”. Logo depois, em 1916, Karl Schwarzschild descobriu uma solução exata (a solução de Schwarzschild) que mostrava como uma distribuição de massa esfericamente simétrica distorce o espaço-tempo ao seu redor. Este foi o alvorecer matemático do conceito de buraco negro.

No âmbito da Teoria da Relatividade Geral clássica, os buracos negros são entidades surpreendentemente “simples”. O processo pelo qual uma estrela chega ao fim de sua vida e colapsa sob sua própria gravidade é extremamente complexo, e a estrela original possui uma vasta quantidade de informações (graus de liberdade), como composição química, estrutura do campo magnético e assimetrias de forma. No entanto, uma vez que o horizonte de eventos (Event Horizon) é formado, todas essas informações complexas ficam ocultas dentro do horizonte ou são irradiadas para o exterior na forma de ondas gravitacionais.

Essa propriedade notável foi expressa pela famosa frase cunhada por John Archibald Wheeler: “Buracos negros não têm cabelo (Black holes have no hair)”, ou seja, o “Teorema da Calvície (No-Hair Theorem)”. De acordo com este teorema, um buraco negro que se estabilizou em um estado estacionário pode ser completamente descrito por apenas três grandezas físicas:

1. Massa (Mass, $M$)
2. Carga Elétrica (Electric Charge, $Q$)
3. Momento Angular (Angular Momentum, $J$)

A solução de Schwarzschild é o buraco negro mais simples, possuindo apenas massa; a solução de Kerr é um buraco negro rotativo com massa e momento angular; a solução de Reissner-Nordström é um buraco negro com massa e carga; e a solução de Kerr-Newman é a solução mais geral, combinando todos os três atributos. Não importa quão complexa seja a matéria que formou o buraco negro (seja um bloco de ferro, antimatéria ou uma pilha de enciclopédias), apenas esses três parâmetros serão observáveis do exterior.

No entanto, essa extrema simplicidade causou uma profunda contradição com outro pilar da física: a “Termodinâmica (Thermodynamics)”, especialmente a “Segunda Lei da Termodinâmica”. A Segunda Lei da Termodinâmica estipula que “a entropia de um sistema isolado nunca diminui”. A entropia é uma medida do número de estados microscópicos que um sistema possui, ou seja, uma medida da “desordem da informação”.

Se um buraco negro é uma entidade “sem cabelo”, completamente especificada apenas por esses três parâmetros, isso significa que seu número de estados microscópicos é apenas um (entropia zero). Isso é um grande problema. Suponha que joguemos gás quente cheio de entropia ou matéria com estrutura complexa em um buraco negro. Depois que o buraco negro o engole, a entropia dessa matéria desaparece completamente do universo externo. Se a própria entropia do buraco negro for zero, isso significaria que a entropia de todo o universo diminuiu, violando a Segunda Lei da Termodinâmica.

“Buracos negros não são as latas de lixo do universo”. Para salvar a física dessa crise, foi necessário adentrar um território inexplorado: a fusão da teoria da gravidade, termodinâmica e mecânica quântica. Será que a barreira absoluta do horizonte de eventos realmente reduz tudo a nada? Ou haveria uma “entropia oculta” nos buracos negros que ainda não conhecemos? No próximo capítulo, veremos a ideia revolucionária de um jovem físico que enfrentou esse mistério.

Capítulo 2: A Fórmula de Bekenstein-Hawking

Diante do grave paradoxo de que os buracos negros violariam a Segunda Lei da Termodinâmica, o estudante de pós-graduação da Universidade de Princeton, Jacob Bekenstein, propôs uma hipótese audaciosa e intuitiva em 1972. Ele focou no “Teorema da Área dos Buracos Negros” provado por Stephen Hawking (que afirma que a área do horizonte de eventos de um buraco negro nunca diminui).

A entropia também nunca diminui. A área do buraco negro também nunca diminui. Essa semelhanança entre os dois seria mera coincidência? Bekenstein argumentou que “a área do horizonte de eventos de um buraco negro é, na verdade, a própria entropia do buraco negro”. Quando a matéria cai em um buraco negro, a massa do buraco negro aumenta e, consequentemente, a área do seu horizonte de eventos se expande. A entropia que a matéria possuía não é perdida, mas conservada na forma de aumento da área do buraco negro, sustentando uma Segunda Lei da Termodinâmica Generalizada (a soma da entropia do universo e da entropia do buraco negro não diminui).

Essa ideia inovadora foi posteriormente corroborada por análises mecânico-quânticas de Hawking, consolidando-se como a “Fórmula da Entropia de Bekenstein-Hawking”.

Aqui, $S_{BH}$ é a entropia do buraco negro e $A$ é a área da superfície do horizonte de eventos. A constante de proporcionalidade reúne constantes fundamentais da física: a constante de Boltzmann $k_B$, a velocidade da luz $c$, a constante de gravitação universal de Newton $G$ e a constante de Dirac $\hbar$ (a constante de Planck dividida por $2\pi$). Isso demonstra eloquentemente que essa fórmula é um marco monumental da “teoria da gravidade quântica”, onde a termodinâmica ($k_B$), a relatividade ($c, G$) e a mecânica quântica ($\hbar$) se cruzam.

O significado dessa fórmula é extremamente profundo. A entropia é equivalente à quantidade de informação. Normalmente, a entropia da matéria aumenta proporcionalmente ao seu volume (espaço tridimensional) (ex: o número de moléculas que compõem um gás). No entanto, a entropia de um buraco negro não é proporcional ao volume, mas à “área (bidimensional)”. Se reescrevermos a fórmula usando o comprimento de Planck $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$, ela fica assim:

Isso significa que, se pavimentarmos o horizonte de eventos com ladrilhos quadrados minúsculos de 1 comprimento de Planck de lado (cerca de $1.6 \times 10^{-35}$ metros), 1 bit de informação (entropia) é armazenado a cada 4 ladrilhos (4 áreas de Planck). Todas as informações tridimensionais da matéria que caiu no buraco negro estão registradas como um “holograma” na superfície bidimensional do horizonte de eventos. Este fato surpreendente se torna um prelúdio crucial para o subsequente “Princípio Holográfico”.

No entanto, a existência de entropia implica inevitavelmente, pelas relações fundamentais da termodinâmica, que os buracos negros possuem uma “temperatura”. Substituindo a energia de massa do buraco negro $E = Mc^2$ e a entropia de Bekenstein na Primeira Lei da Termodinâmica $dE = T dS$, deduz-se que a temperatura $T$ do buraco negro é proporcional à sua “gravidade superficial (surface gravity) $\kappa$”.

Inicialmente, muitos físicos, incluindo o próprio Hawking, estavam céticos em relação à hipótese de Bekenstein, pensando: “Se um buraco negro apenas suga tudo e não emite nada, sua temperatura deve ser o zero absoluto”. Um objeto com temperatura deve emitir radiação térmica (radiação de corpo negro). Seria possível um buraco negro emitir luz?

Hawking mergulhou em cálculos aplicando a teoria quântica de campos em espaços-tempos curvos aos buracos negros, na tentativa de provar que Bekenstein estava errado. No entanto, ele chegou a uma das descobertas mais belas da história da física, que subverteu fundamentalmente suas próprias expectativas. Os buracos negros, por causa de efeitos mecânico-quânticos, certamente brilhavam.

Capítulo 3: A Descoberta da Radiação de Hawking

Em 1974, Stephen Hawking publicou um artigo chocante afirmando que “os buracos negros não são negros”. Ele deduziu teoricamente um fenômeno onde partículas são emitidas do horizonte de eventos—de onde classicamente nada deveria escapar—através do efeito túnel da mecânica quântica, isto é, a “Radiação de Hawking (Hawking Radiation)”.

Para entender esse fenômeno, é necessária uma mudança de perspectiva mecânico-quântica sobre o “vácuo”. De acordo com a teoria quântica de campos, o vácuo não é “um espaço vazio”, mas um oceano de “flutuações quânticas” onde pares de partículas e antipartículas (partículas virtuais) são constantemente criados e aniquilados. Normalmente, esses pares de partículas virtuais se aniquilam em um instante, de modo que não podem ser observados diretamente.

Porém, se essa criação de pares ocorrer muito perto de um buraco negro, logo do lado de fora do horizonte de eventos, ocorre uma situação dramática. O intenso efeito de maré (gradiente de gravidade) nas proximidades do horizonte de eventos separa o par de partículas gerado. Pode ocorrer probabilisticamente que uma partícula atravesse o horizonte de eventos e caia dentro do buraco negro, enquanto a outra escape para o universo exterior.

Para um observador externo, parece que uma partícula saltou de dentro do buraco negro. Esta é a radiação de Hawking. Mas e a lei da conservação da energia? A partícula que escapou ganha energia positiva e se torna uma partícula real. Para conservar a energia, a partícula que caiu no buraco negro deve possuir “energia negativa”. Ao absorver energia negativa, o buraco negro perde massa (ou seja, energia). Em outras palavras, o buraco negro vai gradualmente evaporando (evaporate) ao emitir radiação.

Hawking usou métodos matemáticos avançados (Transformações de Bogoliubov), combinando a geometria do espaço-tempo com a teoria quântica de campos, para calcular rigorosamente o espectro dessa radiação. Ele definiu o estado de vácuo no infinito passado de um espaço-tempo plano ($\mathscr{I}^-$) e analisou que tipo de estado de partícula seria observado no infinito futuro ($\mathscr{I}^+$) depois que esse estado se propagasse através do espaço-tempo do buraco negro formado pelo colapso estelar.

Quando o estado de vácuo passado $|0\rangle_{in}$ é expandido por operadores de criação e aniquilação de partículas no futuro, ele é descrito usando os coeficientes de Bogoliubov $\alpha, \beta$. O núcleo do cálculo de Hawking estava em mostrar que a fase da luz que viaja pela superfície da estrela em colapso até o infinito futuro sofre um atraso logarítmico (redshift) devido à formação do horizonte de eventos. Esse redshift geométrico é o fator decisivo que torna o coeficiente de Bogoliubov $\beta$ (que governa a criação de partículas) não-nulo, gerando o espectro térmico.

Surpreendentemente, a radiação resultante coincidiu com o espectro de Planck de uma radiação de corpo negro perfeita. Sua temperatura (Temperatura de Hawking $T_H$) é dada pela seguinte equação:

O que se deve notar aqui é que a temperatura de Hawking é “inversamente proporcional” à massa $M$ do buraco negro. Isso significa que quanto mais massa o buraco negro perde e menor ele fica, maior será sua temperatura e mais violentamente ele irradiará (seu calor específico é negativo).

No caso de um buraco negro com a massa do Sol, a temperatura de Hawking é um extremo frio de cerca de $6 \times 10^{-8}$ Kelvin, muito inferior à radiação cósmica de fundo atual (cerca de 2.7 Kelvin), o que torna a radiação praticamente impossível de ser observada na realidade. No entanto, à medida que a massa diminui, a temperatura sobe vertiginosamente. O tempo de vida de um buraco negro até evaporar completamente é proporcional ao cubo de sua massa, $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$. Enquanto um buraco negro de massa solar levaria um tempo assombroso de $10^{67}$ anos para evaporar, um buraco negro microscópico eventualmente liberaria enormes quantidades de energia e desapareceria explosivamente.

A descoberta da radiação de Hawking completou a termodinâmica dos buracos negros, tornando-se um marco na física teórica. Mas, ao mesmo tempo, abriu a caixa de Pandora do paradoxo mais profundo e desconcertante, abalando os próprios alicerces da física. Esse é o “Paradoxo da Perda de Informação em Buracos Negros”.

Capítulo 4: A Eclosão do Paradoxo da Perda de Informação

A radiação de Hawking predisse que os buracos negros acabarão evaporando e desaparecendo. Daí surge um dos maiores mistérios da física moderna: o “Paradoxo da Perda de Informação (Information Paradox)”.

Um dos princípios mais básicos e sagrados da mecânica quântica é a “Unitariedade (Unitarity)”. Esse é o princípio de que, à medida que o estado de um sistema evolui ao longo do tempo, a soma das probabilidades é sempre conservada em 1, e a informação é preservada deterministicamente do passado para o futuro e do futuro para o passado. Ou seja, se conhecermos a informação completa (estado puro) do sistema em um determinado momento, ao resolver a equação de Schrödinger (ou suas extensões), podemos prever e restaurar completamente o estado em qualquer momento no passado ou no futuro; isso garante a reversibilidade das leis da física.

Então, vamos aplicar esse princípio ao processo de formação e evaporação de um buraco negro. Suponha que matéria em um estado puro (por exemplo, partículas preparadas com precisão em um estado quântico específico ou uma enciclopédia) sofra um colapso gravitacional, formando um buraco negro. Nesse ponto, toda a informação existe dentro do buraco negro.

Em seguida, a radiação de Hawking começa. De acordo com os cálculos de Hawking, a radiação emitida no horizonte de eventos é uma “radiação térmica perfeita”. O espectro térmico é determinado apenas pela temperatura (massa, carga elétrica e momento angular do buraco negro), não há correlação quântica (emaranhamento) entre as partículas irradiadas, e ela não contém absolutamente nenhuma “informação” sobre o que era a matéria original que caiu no buraco negro. Se você queimar uma enciclopédia até virar cinzas e fumaça, em princípio, ao medir todos os movimentos das cinzas e da fumaça, seria possível restaurar as letras originais, mas Hawking argumentou que a radiação de Hawking é “verdadeiramente aleatória”.

E por fim, o buraco negro evapora completamente e desaparece. O que resta é apenas a radiação térmica sem informação (estado misto). O universo, que deveria ser um estado puro, fez a transição para um estado misto sem informações. A enorme quantidade de informação contida na matéria original desapareceu completamente do universo junto com o buraco negro.

Isso significa o colapso da unitariedade da mecânica quântica. Físicos se dividiram em campos e travaram debates acalorados sobre esse paradoxo onde a mecânica quântica e a relatividade geral se chocavam. Essa é a conhecida “Guerra dos Buracos Negros”.

O porta-estandarte de um lado era o próprio Stephen Hawking. Ele afirmava: “Nos buracos negros, as regras da mecânica quântica são violadas e a informação é realmente perdida”. Ele, juntamente com Kip Thorne, fez uma aposta com John Preskill defendendo a posição de que “a informação é perdida”.

Aqueles que resistiram fortemente a isso foram os físicos de partículas como Leonard Susskind e Gerard ’t Hooft. “Se a informação for perdida, até mesmo a lei da conservação de energia se quebraria, e o próprio alicerce da física moderna entraria em colapso”. Eles tinham certeza de que, quando o buraco negro evaporasse, através de algum mecanismo desconhecido, a informação seria codificada na radiação de Hawking e levada para o exterior.

No entanto, o cálculo de Hawking parecia sólido como uma rocha. Uma vez que a informação cruzava o horizonte de eventos, ela não poderia sair, a menos que ultrapassasse a velocidade da luz. Os lados interno e externo do horizonte de eventos estão casualmente desconectados, e a Relatividade Geral (localidade) não permite que a informação escape. Se tentar proteger a conservação da informação (mecânica quântica), a lei da causalidade (relatividade) é quebrada; se tentar proteger a lei da causalidade, a informação é perdida. Para resolver esse dilema, seria necessário subverter fundamentalmente o próprio conceito de espaço-tempo.

Armados com o emaranhamento quântico e a Teoria das Cordas (String Theory), Susskind e outros desafiaram esse paradoxo impenetrável. No próximo capítulo, vamos mergulhar na “Complementaridade dos Buracos Negros”, um salto teórico dramático para proteger a informação, e a nova centelha que surgiu a partir dela: o “Problema do Firewall”.

Capítulo 5: Complementaridade dos Buracos Negros e o Problema do Firewall

Susskind e seus colegas, convencidos da conservação da informação, propuseram o conceito revolucionário de “Complementaridade dos Buracos Negros (Black Hole Complementarity)” em 1993, inspirado no princípio de complementaridade de Niels Bohr, para resolver as contradições do horizonte de eventos.

A causa fundamental do paradoxo residia no fato de que se “a informação caindo dentro do buraco negro” e “a informação escapando como radiação de Hawking” ocorressem simultaneamente, a informação seria “copiada” (violando o Teorema da Não-Clonagem Quântica).

A Complementaridade dos Buracos Negros argumenta o seguinte: Do ponto de vista de uma observadora (Alice) que permanece de fora, a matéria que cai na membrana escaldante (horizonte esticado) próxima ao horizonte de eventos é reduzida a cinzas, e suas informações retornam ao exterior ao longo do tempo, carreadas pela radiação de Hawking. Por outro lado, para um observador em queda livre no buraco negro (Bob), o horizonte de eventos não é nada mais do que um ponto de passagem comum do espaço, e ele cai ileso, levando sua informação consigo para dentro.

À primeira vista, parece que a informação se dividiu em duas, mas Susskind argumentou que, como “é impossível, em princípio, Alice e Bob se comunicarem e compararem resultados”, não surge contradição alguma. Existem duas descrições diferentes, porém complementares, do mesmo fenômeno físico, não existindo um ponto de vista absoluto (ponto de vista de Deus) que descreva o todo. Isso significava que, na região limite onde a gravidade e a mecânica quântica se encontram, o senso comum da “localidade” do espaço-tempo entrava em colapso.

Com a Complementaridade dos Buracos Negros, o paradoxo parecia ter sido resolvido. No entanto, em 2012, um artigo publicado por quatro físicos da Universidade da Califórnia, Santa Bárbara (Almheiri, Marolf, Polchinski e Sully: conhecidos como AMPS) mais uma vez abalou o mundo da física. Era a chegada do “Paradoxo do Firewall de AMPS”.

Os AMPS focaram nas complexas relações de distribuição do emaranhamento quântico que ocorrem depois da metade da vida do buraco negro (tempo de Page), sob a premissa de que a radiação de Hawking carrega informações para fora (unitaridade conservada).

Para levar a informação para fora, uma recém-emitida partícula de Hawking (B) deve estar fortemente emaranhada (estado de emaranhamento quântico) com o conjunto de todas as partículas de Hawking emitidas no passado (A). Por outro lado, para passar incólume pelo horizonte de eventos (preservando o princípio da equivalência), também deve existir um forte emaranhamento entre a partícula que foge para fora (B) e a que cai para dentro (C), que formam um par de partículas gerado a partir de flutuações do vácuo.

Entretanto, a mecânica quântica possui uma regra estrita de “Monogamia do Emaranhamento (Entanglement Monogamy)”. É impossível para um único sistema quântico (B) estar maximamente emaranhado com dois outros sistemas independentes (A e C) ao mesmo tempo.

Para resolver esse dilema, algo tem que ser sacrificado. Os AMPS concluíram que, para manter a Complementaridade dos Buracos Negros, não haveria outra opção a não ser cortar o emaranhamento entre B e C. Mas, cortar o emaranhamento entre B e C significa o surgimento de uma parede de partículas de energia extremamente alta, um “Firewall (Parede de Fogo)”, no horizonte de eventos.

Se um firewall existisse, Bob, ao tentar passar pelo horizonte de eventos, longe de passar ileso, colidiria com essa parede de alta energia e seria instantaneamente incinerado. Isso significaria a ruína total do “Princípio da Equivalência (um observador em queda livre não sente a gravidade, logo, nada de especial ocorre no horizonte de eventos)”, a pedra angular da Relatividade Geral de Einstein.

Se tentarmos proteger a informação, o horizonte de eventos se torna uma parede de fogo (colapso do princípio da equivalência). Se tentarmos proteger o princípio da equivalência, a informação se perde ou os alicerces da mecânica quântica desmoronam. Os físicos enfrentaram um paradoxo mais profundo e agudo do que nunca. A chave para salvar essa crise desesperadora estava oculta além dos limites dimensionais do “Princípio Holográfico” e nas modernas teorias da gravidade quântica.

Capítulo 6: O Princípio Holográfico, a Correspondência AdS/CFT e a Fórmula da Ilha

A mudança de paradigma decisiva que salvou a física da crise do paradoxo do firewall foi trazida pelo “Princípio Holográfico (Holographic Principle)” e por sua rigorosa matematização, a “Correspondência AdS/CFT (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence)”.

O Princípio Holográfico foi proposto em 1993 por Gerard ’t Hooft e incorporado no quadro da Teoria das Cordas por Leonard Susskind em 1995. Como sugerido pela fórmula de Bekenstein-Hawking discutida no Capítulo 2 (onde a entropia é proporcional à área, e não ao volume), este princípio afirma que “todos os fenômenos físicos que ocorrem em uma determinada região tridimensional do espaço (incluindo a gravidade) podem ser descritos de maneira completa pelas leis físicas sem gravidade em uma superfície fronteiriça bidimensional envolvendo essa região”. Nosso universo tridimensional pode não passar da ilusão de um “holograma” projetado em uma tela bidimensional muito, muito distante.

Em 1997, Juan Maldacena, utilizando a teoria das supercordas, apresentou o primeiro modelo concreto em que este Princípio Holográfico seria estritamente válido. Trata-se da “Correspondência AdS/CFT”. Maldacena provou que a teoria da gravidade quântica (teoria das supercordas) em um espaço Anti-de Sitter com uma constante cosmológica negativa (espaço AdS) é matemática e totalmente equivalente (dual) a uma Teoria de Campo Conforme (Conformal Field Theory, CFT) sem gravidade, definida no limite ao infinito desse espaço.

Foi uma descoberta miraculosa na física. A física do bulk (espaço interior) com gravidade e a física do limite (CFT) sem gravidade – duas teorias de dimensões e leis totalmente diferentes – revelaram-se meramente duas traduções distintas do mesmo fenômeno físico. Com esse dicionário de dualidade (dicionário holográfico), tornava-se possível converter os problemas de gravidade quântica, desesperadoramente difíceis de se calcular, em problemas mais fáceis da teoria quântica de campos no limite.

No contexto do paradoxo da perda de informação, a Correspondência AdS/CFT forneceu uma resposta extremamente importante. Como a CFT no limite obedece à mecânica quântica comum, a unitaridade é totalmente garantida (a informação nunca é perdida). Se a Correspondência AdS/CFT estiver correta, então o processo de formação e evaporação de um buraco negro no espaço dual AdS também tem de ser unitário como um todo, garantindo que a informação esteja seguramente preservada.

No entanto, mesmo que se tenha provado que “a informação está preservada”, o mecanismo da dinâmica de “como especificamente a informação é transferida de dentro do buraco negro para a radiação de Hawking no exterior” continuava a ser um mistério. A solução final a essa questão surgiu pela descoberta da “Fórmula da Ilha (Island Formula)” publicada em 2019.

A origem do assunto remonta ao conceito de “Curva de Page (Page Curve)”, proposto por Don Page em 1993. Page previu como a entropia de emaranhamento da radiação de Hawking deveria evoluir ao longo do tempo se a informação fosse conservada (se a unitaridade fosse mantida). Na fase inicial da radiação, as partículas emitidas estão emaranhadas com as partículas dentro do buraco negro, por isso a entropia de emaranhamento da radiação total aumenta de forma monotônica ao longo do tempo. Mas, quando o buraco negro atinge a metade de sua vida (Tempo de Page), a situação se reverte dramaticamente. As partículas emitidas recentemente começam a se emaranhar com as partículas já emitidas, e a entropia de emaranhamento global da radiação começa a diminuir. No fim, quando o buraco negro desaparece por completo, toda a radiação volta ao estado puro, com a entropia retornando a zero. Essa curva em forma de montanha é a Curva de Page.

Em contraste, no cálculo clássico de Hawking (partindo da premissa de que a informação se perde), a entropia aumenta perpetuamente e nunca decresce (Curva de Hawking).

Em 2019, Geoff Penington, Almheiri, Mahajan, Maldacena, Zhao e outros recalcularam a entropia da radiação de Hawking utilizando os métodos de cálculo da entropia de emaranhamento holográfico derivados da teoria das cordas (a fórmula da superfície extrema quântica, uma generalização da fórmula de Ryu-Takayanagi). Eles descobriram que, a partir de um certo ponto (Tempo de Page), a região geométrica considerada no cálculo da entropia de emaranhamento sofria uma mudança descontínua.

A fórmula obtida por eles demonstrou que, ao calcular a entropia da radiação de Hawking, não se deveria apenas observar a radiação do lado de fora do buraco negro, mas também era necessário adicionar a contribuição de uma região específica do “lado de dentro” do horizonte de eventos (chamada de “Ilha” ou “Island”).

Surpreendentemente, procedendo com o cálculo usando essa fórmula da Ilha, observou-se que após o Tempo de Page, a contribuição da Ilha passava a dominar o resultado, reproduzindo de forma admirável a Curva de Page de Don. Em outras palavras, o que faltava no cálculo de Hawking eram os efeitos quânticos não perturbativos da gravidade (mudanças topológicas do espaço-tempo conhecidas como buracos de minhoca réplica). Ao se introduzir esses fatores, provou-se com sucesso que a informação, de fato, é codificada na radiação de Hawking e assim consegue escapar.

Ainda mais impactante é o fato de que, embora a “Ilha” esteja no interior do horizonte de eventos, sua informação está integralmente contida na radiação de Hawking. Isso significa que parte do interior do buraco negro está, na verdade, sendo projetada holograficamente para o exterior, através da radiação de Hawking. Assim como sugere a conjectura ER=EPR (a hipótese de que a ponte de Einstein-Rosen, ou buraco de minhoca, e o emaranhamento de Einstein-Podolsky-Rosen são essencialmente os mesmos), o emaranhamento quântico formou uma ponte espaço-temporal (buraco de minhoca) interligando a parte interna do buraco negro com a radiação de Hawking no exterior.

Apêndice A: Transformação de Bogoliubov na Radiação de Hawking e Dedução Rigorosa do Espectro Térmico

Para compreender plenamente a natureza abissal da radiação de Hawking, torna-se essencial enfrentar detalhadamente as estruturas matemáticas da teoria quântica de campos em espaços-tempos curvos, nomeadamente o processo de dedução da “Transformação de Bogoliubov (Bogoliubov Transformation)”. Neste apêndice, delinearemos de forma mais rigorosa e meticulosa possível o centro da matemática do artigo histórico que Stephen Hawking desenvolveu em 1974.

1. Diferenças na Definição de “Vácuo” Entre Espaço-Tempo Plano e Curvo

Na teoria quântica de campos, um campo escalar $\phi(x)$ é expandido em seus modos usando o operador de criação $\hat{a}^\dagger$ e o de aniquilação $\hat{a}$. No espaço-tempo plano de Minkowski, a solução da equação de campo (equação de Klein-Gordon) $(\square + m^2)\phi = 0$ é expandida através da base das ondas planas $e^{ikx}$. Usando os modos de frequência positiva $f_k(x)$ e frequência negativa $f_k^*(x)$, o campo pode ser escrito da seguinte forma:

Todavia, se o espaço-tempo for curvo (isto é, um campo gravitacional estiver presente), perde-se a simetria global de Poincaré. Dessa forma, desaparece a existência de uma coordenada temporal universal que possa definir inequivocamente os “modos de frequência positiva”. Dependendo do estado de movimento e da posição do observador (da geometria do espaço-tempo), o que é classificado como o “modo positivo” torna-se relativo.

2. Expansão de Modos no Infinito Passado ($\mathscr{I}^-$) e no Infinito Futuro ($\mathscr{I}^+$)

Hawking avaliou um espaço-tempo dinâmico no qual uma estrela entra em colapso devido à própria gravidade e dá forma a um buraco negro. Este espaço-tempo possui uma região de geometria assintótica plana antes do colapso iniciar, “Infinito Nulo Passado (Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$)”, e outra região plana similar depois de o buraco negro se estabilizar, o “Infinito Nulo Futuro (Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$)”.

A função modal no infinito passado $\mathscr{I}^-$ é estabelecida por $f_k$, com seus operadores correspondentes $\hat{a}_k, \hat{a}_k^\dagger$, e o vácuo como percebido pelo observador passado é referenciado como $|0_{in}\rangle$. No limite futuro $\mathscr{I}^+$, a função de modo é apresentada como $p_j$, possuindo os respectivos operadores $\hat{b}_j, \hat{b}_j^\dagger$, e o vácuo verificado por um observador no futuro é nomeado $|0_{out}\rangle$.

Como ambas as bases constituem um sistema completo, o campo $\hat{\phi}$ pode ser desenvolvido em cada uma delas, originando a seguinte igualdade:

3. A Transformação de Bogoliubov e Criação de Partículas

Uma vez que os dois diferentes conjuntos de funções de modo, $f_k$ e $p_j$, são completos, um pode ser expresso como uma combinação linear do outro.

Essa transformação linear atende pelo nome de Transformação de Bogoliubov, sendo $\alpha_{jk}$ e $\beta_{jk}$ os chamados coeficientes de Bogoliubov. Ao usarmos isso, o operador de aniquilação do futuro, $\hat{b}_j$, pode ser retratado com os operadores do passado do seguinte modo:

Disso advém uma verdade categórica. Imaginemos que o estado inicial era o vácuo no passado $|0_{in}\rangle$ (sendo mais claro: inicialmente nenhuma partícula sequer estava presente). Sob essa condição, calculemos o valor esperado para as partículas do número de onda $j$ notado pelo observador do futuro (o valor esperado do operador de número $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$).

Caso ocorra que $\beta_{jk} \neq 0$, o observador do futuro flagrará que “partículas existem”, não obstante a condição de que o cenário inicial provinha de um estado vácuo! Logo, as deformações na curvatura espaço-temporal (causadas pelo colapso da estrela) conduziram $\beta_{jk}$ a um valor distinto do nulo, materializando a “criação” de partículas a partir do vácuo.

4. Retardo Logarítmico de Fase Gerado Pelo Horizonte de Eventos (Redshift)

A esmagadora genialidade no trabalho de Hawking fundamenta-se precisamente em haver calculado concretamente $\beta_{jk}$ naquele espaço-tempo em formação do buraco negro, utilizando o traçado geométrico dos raios luminosos (ray tracing).

Considere o trajeto de um pacote de ondas partindo do infinito passado $\mathscr{I}^-$, atravessando a estrela em colapso e atingindo o infinito futuro $\mathscr{I}^+$. Esse raio de luz (modo) que atravessou a estrela imediatamente antes da formação do horizonte de eventos sofrerá um extremo desvio para o vermelho (redshift) para conseguir escapar do forte campo gravitacional.

De acordo com cálculos geométricos, demonstra-se que a fase da onda que chega ao infinito futuro no tempo $u$ sofre um atraso logarítmico à medida que se aproxima do tempo de formação do horizonte de eventos. Especificamente, entre o tempo $v$ no infinito passado e o tempo $u$ no infinito futuro, estabelece-se a seguinte relação logarítmica (consequência da equação de Raychaudhuri) nas proximidades do horizonte de eventos:

Aqui, $v_0$ é o tempo de partida do raio de luz que forma o horizonte de eventos, e $\kappa$ é a gravidade superficial (surface gravity) do buraco negro. Esse atraso de fase logarítmico $e^{-\kappa u}$ determina crucialmente a forma da função de $\beta_{jk}$ por meio da transformada de Fourier.

5. Dedução do Espectro de Planck e Temperatura de Hawking

Os coeficientes de Bogoliubov $\alpha_{jk}$ e $\beta_{jk}$ são calculados usando o produto interno (produto interno de Klein-Gordon). Ao realizar a transformada de Fourier da onda com o atraso de fase logarítmico acima e executar a integral (usando funções gama e integração complexa), uma relação analítica surpreendente é deduzida entre os valores absolutos de $\alpha_{jk}$ e $\beta_{jk}$:

Onde $\omega$ é a energia (frequência angular) da partícula emitida. Além disso, a partir da condição de normalização da transformação de Bogoliubov (preservação das relações de comutação), tem-se que $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$. Ao resolver essas duas equações simultâneas para $|\beta_{jk}|^2$, obtém-se:

Este resultado é formidável. O lado esquerdo representa o número de partículas criadas a partir do vácuo (valor esperado), mas o lado direito tem exatamente a mesma forma que a distribuição térmica (distribuição de Planck) de bósons irradiados por um corpo negro com temperatura $T$!

A forma padrão da distribuição de Planck é $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$. Ao comparar com isso, a temperatura do buraco negro (temperatura de Hawking $T_H$) é imediatamente deduzida:

No caso de um buraco negro de Schwarzschild, a gravidade superficial é dada por $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$, então substituindo isso, temos:

Assim, a fórmula da temperatura de Hawking foi deduzida perfeitamente. O redshift geométrico extremo (atraso de fase logarítmico) causado pelo horizonte de eventos do buraco negro gera um estado misto térmico perfeito (distribuição de Planck) a partir de um estado inicial quântico puro; eis aqui a totalidade do formidável insight matemático de Hawking. Este cálculo surpreendente, que integrou a teoria da relatividade ($\kappa$), mecânica quântica ($\hbar$) e termodinâmica ($k_B$) em uma única equação, pode ser considerado um monumento do intelecto humano.

Apêndice B: A Fórmula de Ryu-Takayanagi e as Profundezas da Entropia de Emaranhamento Holográfico

Na base da “fórmula da ilha”, que permitiu a reprodução da curva de Page e a resolução do paradoxo da perda de informação, encontra-se a “Fórmula de Ryu-Takayanagi (Ryu-Takayanagi Formula)”, derivada da teoria das supercordas e da correspondência AdS/CFT. Esta fórmula é uma das equações mais importantes da física moderna, conectando diretamente o emaranhamento da informação quântica com a geometria (gravidade) do espaço-tempo. Aqui explicaremos detalhadamente seu conceito e base matemática.

1. Geometrização da Entropia de Emaranhamento

Na teoria quântica de campos, a quantidade que mede o grau de emaranhamento quântico entre uma região espacial $A$ e sua região externa $B$ é a “entropia de emaranhamento (entropia de von Neumann)” $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$. Aqui, $\rho_A$ é a matriz de densidade reduzida da região $A$. Contudo, em teorias quânticas de campos contínuas com interações, calcular diretamente a entropia de emaranhamento é extremamente difícil, e em muitos casos esbarra-se em dificuldades de divergência ultravioleta (infinito).

Em 2006, Shinsei Ryu e Tadashi Takayanagi propuseram uma conjectura revolucionária (fórmula) de que, usando a estrutura da correspondência AdS/CFT, a entropia de emaranhamento na CFT da fronteira poderia ser calculada geometricamente como a “área de uma superfície mínima” no bulk (espaço AdS interior).

Aqui:

• $S_A$ é a entropia de emaranhamento da região $A$ na CFT da fronteira.
• $\gamma_A$ é uma superfície mínima de $(d-1)$ dimensões (como uma película de sabão) projetada dentro do espaço do bulk. O limite desta superfície deve coincidir com a fronteira $\partial A$ da região $A$ na CFT ($\partial \gamma_A = \partial A$).
• $G_N^{(d+1)}$ é a constante de Newton de $(d+1)$ dimensões no espaço do bulk.

Muitos leitores, ao ver a forma dessa fórmula, não conseguirão esconder a surpresa. Esta equação tem exatamente a mesma estrutura da fórmula de entropia de Bekenstein-Hawking $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$ explicada no Capítulo 2! A entropia termodinâmica que o horizonte de eventos de um buraco negro possui, e a entropia de emaranhamento do campo quântico no estado de vácuo foram completamente integradas como a mesma entidade geométrica de “área”, através de uma perspectiva holográfica.

2. Superfície Mínima e o “Buraco de Minhoca em Réplica”

Inicialmente, a fórmula de Ryu-Takayanagi era uma “conjectura” baseada em intuição e diversas evidências circunstanciais, mas posteriormente foi provada matematicamente por Aaron Wall, Alexander Maloney, Juan Maldacena e outros, através da versão gravitacional do “Truque das Réplicas (Replica Trick)” usando a representação de integral de trajetória da gravidade quântica (buraco de minhoca em réplica).

O truque das réplicas é um método que, para evitar o cálculo direto de $\log \rho_A$, calcula o traço da potência $n$-ésima de $\rho_A$, $\text{Tr}(\rho_A^n)$, e finalmente toma o limite $n \to 1$.

Calcular $\text{Tr}(\rho_A^n)$ na CFT corresponde a calcular a função de partição em uma complexa superfície de Riemann múltipla, onde o espaço-tempo original é cortado ao longo da região $A$, $n$ cópias (réplicas) são preparadas e costuradas juntas. De acordo com a correspondência AdS/CFT, esta função de partição na fronteira deve ser igual à função de partição (avaliação de ponto de sela da ação) da teoria da gravidade no bulk que satisfaz as condições de contorno.

Maldacena e outros mostraram que na integral de trajetória gravitacional no bulk, quando a fronteira tem um espaço-tempo de $n$ réplicas, a solução de um “buraco de minhoca (buraco de minhoca em réplica)”, onde $n$ espaços-tempos se conectam entre si no bulk, torna-se dominante. E provaram rigorosamente que ao tomar o limite $n \to 1$, a reação retroativa geométrica desse buraco de minhoca surge exatamente como a “superfície mínima $\gamma_A$” da fórmula de Ryu-Takayanagi.

3. Superfície Extrema Quântica (QES) e o Surgimento da Ilha

A fórmula de Ryu-Takayanagi era uma fórmula para quando a gravidade no espaço do bulk é clássica (efeitos quânticos podem ser ignorados). Para lidar com fenômenos onde os efeitos quânticos desempenham um papel essencial, como a evaporação de buracos negros (radiação de Hawking), foi necessária uma expansão para incorporar os efeitos da teoria quântica de campos do bulk nesta fórmula. Esta é a prescrição da “Superfície Extrema Quântica (Quantum Extremal Surface, QES)” proposta por Engelhardt e Wall em 2014.

Na fórmula QES, o objeto a ser minimizado não é mais apenas a “área”, mas é substituído pela Entropia Generalizada (Generalized Entropy) $S_{gen}$, composta pela soma de “área + entropia de emaranhamento quântico no bulk”.

Aqui, $X$ é uma superfície no bulk, e $\Sigma_X$ é a região do espaço do bulk espremida entre $X$ e a região $A$ na fronteira. Esta entropia generalizada é extremizada (estacionarizada), e ainda a superfície $X$ (que é a QES) que a torna mínima é encontrada; o valor de $S_{gen}$ nesse momento torna-se a entropia $S_A$ da CFT da fronteira.

Ao calcular a entropia da radiação de Hawking, definimos a região externa que coleta a radiação como $A$. Na fase inicial, a QES é uma superfície trivial (área zero) e a entropia aumenta monotonicamente (Curva de Hawking). No entanto, após passar do tempo de Page, ocorre uma dramática transição de fase onde uma QES não trivial subitamente emerge “dentro” do horizonte de eventos, e esta passa a ter um valor menor para $S_{gen}$ (tornando-se dominante).

A região dentro do horizonte delimitada por esta nova QES é justamente o que chamamos de “Ilha (Island)”. Quando a ilha surge, no cálculo do termo de entropia do bulk $S_{bulk}$, uma vez que as partículas dentro da ilha (partículas que caíram no buraco negro) e a radiação de Hawking (partículas que escaparam para fora) estão fortemente emaranhadas, a soma das entropias cancela-se de modo drástico e passa a diminuir.

Com isso, a curva de Page prevista por Don Page foi derivada perfeitamente dos cálculos da teoria da gravidade. A resolução do paradoxo da perda de informação foi além de meras discussões conceituais e, ao considerar as mudanças de topologia não perturbativas da gravidade quântica (buracos de minhoca em réplica), foi provada como uma fórmula estrita. O espaço-tempo emerge a partir do emaranhamento quântico, e as informações profundas do buraco negro são enviadas, sem dúvida, aos confins do universo, deslizando pelos fios invisíveis chamados buracos de minhoca.