1. Expressando números com palavras

Diariamente, nós expressamos os números não apenas usando “algarismos arábicos (1, 2, 3…)”, mas também usando “palavras (japonês, português, inglês, etc.)”.

Por exemplo, o número “$10$” pode ser expresso de várias maneiras usando palavras, como a seguir:

• “dez” (3 letras)
• “o dobro de 5” (12 letras)
• “um décimo de 100” (15 letras)

Desta forma, vamos pensar em explicar um certo número usando “caracteres da língua japonesa”. Estabeleceremos um limite para o número de caracteres que podem ser usados. Aqui, consideraremos os números que podem ser expressos em japonês com “19 caracteres ou menos”.

Naturalmente, existe um limite para os números que podem ser expressos com 19 caracteres ou menos. Isso ocorre porque os tipos de caracteres japoneses (hiragana, katakana, kanji, etc.) são finitos, e as combinações de organizá-los em 19 caracteres ou menos também são finitas (pode ser um número astronômico, mas não é infinito).

Em outras palavras, sempre existirá “um número inteiro gigante que simplesmente não pode ser expresso em japonês com 19 caracteres ou menos”.

2. O nascimento do paradoxo

Agora, aqui está o ponto principal. Existem inúmeros “números inteiros que não podem ser expressos em japonês com 19 caracteres ou menos”. Suponha que, dentre essa infinidade de números inexprimíveis, encontremos “o menor deles (o menor inteiro)”.

Vamos chamar esse número de $X$. Como $X$ é, por definição, o menor dos “números que não podem ser expressos em japonês com 19 caracteres ou menos”, podemos chamá-lo da seguinte forma (em hiragana):

「じゅうきゅうもじいないであらわせないさいしょうのせいすう」 (O menor inteiro não expressável em dezenove caracteres ou menos)

Vamos contar o número de caracteres. “じゅ・う・きゅ・う・も・じ・い・な・い・で・あ・ら・わ・せ・な・い・さ・い・しょ・う・の・せ・い・す・う” …Oh? Mesmo sem pontuação, há 25 caracteres. Isso já ultrapassa os “19 caracteres”.

Então, vamos criar uma expressão um pouco melhor e encurtá-la usando kanji (ideogramas):

「十九文字以内で表せない最小の整数」

Agora, por favor, tente contar o número de caracteres nesta frase em japonês:

1. 十
2. 九
3. 文
4. 字
5. 以
6. 内
7. で
8. 表
9. せ
10. な
11. い
12. 最
13. 小
14. の
15. 整
16. 数

Surpreendentemente, são apenas “16 caracteres”.

Algo estranho aconteceu. Nós acabamos de expressar o número $X$ usando “16 caracteres em japonês”, que é a frase “十九文字以内で表せない最小の整数”!

$X$ é um número que supostamente “não pode ser expresso em 19 caracteres ou menos”, mas as próprias palavras dessa definição expressam $X$ perfeitamente em “16 caracteres (o que é 19 caracteres ou menos)”. Este é o “Paradoxo de Berry” (Berry Paradox).

3. Quem criou este paradoxo?

Este paradoxo foi concebido em 1904 por um bibliotecário da Universidade de Oxford chamado G. G. Berry. Ele se espalhou pelo mundo depois de ser introduzido em um artigo do gênio matemático e filósofo representativo do século XX, Bertrand Russell.

(* No artigo original em inglês, foi usada a expressão “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” (O menor inteiro não nomeável em menos de dezenove sílabas), e foi criada de modo que o paradoxo funcione com o número de sílabas em inglês.)

4. Por que a contradição ocorreu?

A causa fundamental desse paradoxo reside na ambiguidade e na autorreferência das “linguagens naturais (japonês, inglês, etc.)” que usamos normalmente.

A linguagem natural não suporta o rigor da matemática

No mundo da matemática, “definir um número” é uma tarefa extremamente rigorosa (usando equações e símbolos). No entanto, no Paradoxo de Berry, houve uma tentativa de definir um objeto matemático (um inteiro) usando a linguagem cotidiana humana, como “pode ser expresso” ou “não pode ser expresso”.

A linguagem cotidiana é muito poderosa e flexível, mas, devido a essa flexibilidade, é possível fazer acrobacias como “fazer referência ao seu próprio número de caracteres”. Como resultado, isso causou uma autocontradição (um paradoxo de autorreferência) onde “a própria definição quebra a regra da definição”.

O que significa “ser nomeável”?

Além disso, a definição das palavras “pode ser expresso em 16 caracteres” também é ambígua. A frase “o menor inteiro não expressável em 19 caracteres ou menos” não aponta diretamente para um número específico (como, por exemplo, o número $987654321...$). Apenas descreve indiretamente afirmando que “deve haver um número que satisfaça a condição”.

Matematicamente, “expressar algo diretamente em uma forma calculável” e “declarar uma condição indireta em palavras” devem ser claramente distinguidos. O truque lógico está escondido no fato de confundir essas duas coisas e insistir que “pôde ser expresso em 16 caracteres!”.

5. Resumo e o impacto na era moderna

À primeira vista, o Paradoxo de Berry pode parecer apenas um “jogo de palavras” ou um “enigma”. No entanto, esse problema serviu como um catalisador para fazer os matemáticos do século XX reconhecerem profundamente “o perigo de construir os fundamentos da matemática usando a linguagem cotidiana”.

“Não se deve definir números com palavras. A matemática deve ser construída inteiramente com símbolos rigorosos e independentes.”

Este paradoxo tornou-se um importante marco que levou a estudos avançados que mudariam a história posterior da matemática, como os “Teoremas da Incompletude de Gödel” (existem verdades na matemática que não podem ser absolutamente provadas) e a “Complexidade de Kolmogorov” na ciência da computação (a teoria de quão curta a informação pode ser comprimida).

Apenas 16 caracteres de japonês revelaram os limites da matemática. Essa é a beleza do Paradoxo de Berry.