“É verdade que qualquer número termina em 1?” ── Brincando com a Conjectura de Collatz

Olá! Aqui é o kenji.

De repente, se você ouvir “uma regra em que qualquer número finalmente se torna 1”, não parece um pouco estranho?

Por exemplo, 19, 87 ou até 1000000. Se você manipular os números de acordo com uma regra simples, por algum motivo, no final converge para “1”.

Essa história de sonho é a ** Conjectura de Collatz (Collatz Conjecture) **.

Afinal, o que é a Conjectura de Collatz?

Primeiro, vou apresentar as regras.

• Início: Escolha qualquer ** número inteiro positivo **.

• Operação:

  • Se for par → reduza pela metade (n → n / 2)
  • Se for ímpar → multiplique por 3 e adicione 1 (n → 3n + 1)

Repetindo isso várias vezes, é uma conjectura de que ** qualquer número finalmente chegará a 1 **.

Por exemplo, começando com 6:

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Tornou-se “1” direitinho. Bem-vindo de volta!

Vamos fazer isso com código: Collatz em Python

Bem, nessas horas, é mais rápido testar com código! Vamos imprimir a “Sequência de Collatz” em Python.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12

def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# Exemplo: começar com 19
print(collatz(19))

Ao executar:

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Chega a 1 brilhantemente. Embora faça muitos desvios, no final chega ao objetivo!

A propósito, se você começar com 29, também chegará a 1 da mesma forma.

1

print(collatz(29))

Ao executar:

1
2
3
4
5
6
7
8

[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Uau, leva 111 passos!

E também, há cenas em que infla para mais de 9000 no caminho. É um padrão em que você faz um desvio insano antes de chegar ao fim.

E então, o que é tão incrível sobre isso?

O que é incrível sobre essa conjectura é,

** Embora não tenha sido provado, parece que qualquer número que você tentar se tornará 1 **

É isso.

Eh? Então, e 1 trilhão, ou 10 quatrilhões…?

Para quem pensou assim, muito perspicaz. Na verdade, usando computadores, foi confirmado até cerca de “2 elevado a 68”, e ** todos chegaram a 1 **. Inacreditável…

Mas, ** não foi provado teoricamente que “todos serão assim” **. Este é o chamado “problema não resolvido” no mundo da matemática.

Quem é o Sr. Collatz?

Então, lendo até aqui, você provavelmente está pensando “Afinal, quem é Collatz?”. Vou apresentá-lo adequadamente!

• Nome: ** Lothar Collatz (Lothar Collatz) **
• Nacionalidade: Alemanha
• Ano de nascimento: 1910 a 1990
• Título: Matemático (ativo nos campos da análise funcional e teoria dos números)

Ele propôs essa conjectura em 1937, e desde então, por mais de 80 anos, ** ninguém foi capaz de prová-la ou refutá-la **.

A propósito, este problema é tão simples, mas tão profundo que até o Paul Erdős (matemático super famoso) disse algo assim.

“A matemática ainda é imatura para lidar com Collatz”

Em outras palavras, a teoria de que a matemática da humanidade ainda não alcançou este mistério…

“Fórmulas matemáticas difíceis” não são necessárias

A coisa boa sobre a Conjectura de Collatz é que ** qualquer um pode jogar **.

Você pode fazer isso com papel e caneta. Se você escrever o código em Python, pode testá-lo automaticamente. E mesmo assim, ** os matemáticos de ponta estão levando isso a sério **.

De alguma forma, não é emocionante?

Bônus: Código para testar tudo de uma vez

Também postarei um código para testar vários números ao mesmo tempo.

1
2
3

for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n}: {steps} (Passos: {len(steps)-1})")

Isso nos dará as Sequências de Collatz de “1 a 20” de uma só vez.

Conclusão: Este mundo é, afinal, misterioso

Então, essa é a Conjectura de Collatz.

• Embora seja super simples
• Ninguém pode provar
• Um grande problema no mundo da matemática

Era uma existência como uma massa de mistérios.

Até mesmo iniciantes em programação podem tentar, então por favor, brinque com isso!

Links recomendados (para os interessados)

• Wikipedia: Conjectura de Collatz
• Artigo de Terence Tao (Inglês)
• Também é divertido criar uma versão visualizada em Python! (Farei uma se houver demanda)

Se você quiser saber mais sobre esse tipo de material de “Matemática misteriosa x Programação”, fique à vontade para solicitar e dizer “Me ensine mais”. Eventualmente, apresentarei várias coisas, como a Hipótese de Riemann e números primos!

📮Fim!