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O que é o Paradoxo do Aniversário?

Tue, 02 Apr 2024 01:20:50 +0900

Você conhece o Paradoxo do Aniversário?

Vou contar uma história um pouco intrigante. Para a “probabilidade de haver pessoas com o mesmo aniversário” ser alta, quantas pessoas você acha que precisam se reunir?

Por exemplo, um ano tem 365 dias, então quando dizem que “se 23 pessoas se reunirem, a probabilidade de alguém compartilhar o aniversário é superior a 50%”… de alguma forma, parece ir contra a intuição.

Mas isso realmente é mais de 50%.

Por que isso acontece?

Esse fenômeno é chamado de “Paradoxo do Aniversário”. O nome diz “paradoxo” (contra-senso), mas há uma razão matemática sólida.

Quando o número de pessoas é “n”, a probabilidade de ninguém compartilhar o aniversário é calculada pela seguinte fórmula:

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P(ninguém compartilha) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × (365 - n + 1)/365

Subtraindo isso de 1, obtemos a “probabilidade de compartilhar com alguém”.

Observando os resultados…

Número de Pessoas	Probabilidade de haver pessoas com o mesmo aniversário
10 pessoas	Cerca de 11.7%
20 pessoas	Cerca de 41.1%
23 pessoas	Cerca de 50.7% (Preste atenção aqui!)
30 pessoas	Cerca de 70.6%
70 pessoas	Incríveis 99.9%!

Em outras palavras, com apenas 23 pessoas , há mais de 50% de chance de alguém compartilhar o aniversário. Isso se aplica facilmente a uma sala de aula ou a uma reunião de trabalho.

Resumo: A diferença entre a intuição e a matemática é fascinante

O “Paradoxo do Aniversário” é um exemplo interessante de como nossa intuição e a probabilidade matemática real divergem. Saber sobre coisas assim pode animar pequenas conversas e quizzes!

Links de Referência

Paradoxo do Aniversário (Wikipedia)

Como listar números primos menores que 1000 usando o Crivo de Eratóstenes

Sun, 09 Apr 2023 12:54:24 +0900

O que é o Crivo de Eratóstenes?

O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo para encontrar todos os números primos até um determinado limite. O algoritmo é simples e pode ser implementado através das seguintes etapas:

Crie um array booleano com N elementos e inicialize todos os elementos como verdadeiros (true).
Defina os elementos nas posições 0 e 1 do array como falsos (pois 0 e 1 não são números primos).
Se o 2º elemento do array for verdadeiro, imprima 2 como número primo.
Defina todos os múltiplos de 2 a partir de $2^2$ como falsos (*).
Se o 3º elemento do array for verdadeiro, imprima 3 como número primo.
Defina todos os múltiplos de 3 a partir de $3^2$ como falsos.
Repita o mesmo processo para o 4º, 5º, …, e N-ésimo elementos.

O motivo de começar a definir como falsos os múltiplos a partir do quadrado (ex: $2^2$) é que os números menores que o quadrado já foram processados (já foram marcados ou listados).

Implementação em Rust

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fn main() {
 let n = 1000;
 let mut is_prime = vec![true; n+1];
 is_prime[0] = false;
 is_prime[1] = false;
 for i in 2..=n {
 if is_prime[i] {
 println!("{}", i);
 let mut j = i * i;
 while j <= n {
 is_prime[j] = false;
 j += i;
 }
 }
 }
}

Versão levemente otimizada

Podemos otimizar um pouco a implementação considerando os seguintes pontos:

Inicializar o array com falso (false) em vez de verdadeiro (true) (isso é mais rápido).
Uma vez que múltiplos de 2 não são números primos, pule o processo de definir múltiplos de 2 como falso.
Não é necessário iterar até n; listar os números primos até a raiz quadrada de n é suficiente para encontrar todos os primos menores ou iguais a n.

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fn main() {
 let n = 1000;
 let mut is_prime = vec![false; n+1];
 is_prime[2] = true;
 for i in (3..=n).step_by(2) {
 is_prime[i] = true;
 }
 for i in 3..=((n as f64).sqrt() as usize) {
 if is_prime[i] {
 let mut j = i * i;
 while j <= n {
 is_prime[j] = false;
 j += i * 2;
 }
 }
 }
 for i in (2..=n).filter(|&x| is_prime[x]) {
 println!("{}", i);
 }
}

Referência

Crivo de Eratóstenes (Wikipedia)

Resolvendo o Problema do Caixeiro Viajante com Mathematica

Wed, 12 Oct 2022 19:05:58 +0900

Resolvendo o Problema do Caixeiro Viajante com Mathematica

Problema

電車でこんな広告を見かけました😁📸 pic.twitter.com/iXEgvtXrpL
— 早稲田大学早水桃子研究室 (@hayamizu_lab) October 11, 2022

Solução

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d=SparseArray[{{1,2}->10,{2,1}->10,{1,5}->15,{5,1}->15,{1,4}->12,{4,1}->12,{1,3}->20,{3,1}->20,{2,5}->10,{5,2}->10,{3,4}->10,{4,3}->10,{3,8}->30,{8,3}->30,{3,7}->20,{7,3}->20,{3,6}->25,{6,3}->25,{4,5}->15,{5,4}->15,{4,8}->20,{8,4}->20,{5,9}->18,{9,5}->18,{5,8}->15,{8,5}->15,{6,7}->5,{7,6}->5,{7,8}->35,{8,7}->35,{8,9}->12,{9,8}->12},{9,9},Infinity];

Crie uma matriz usando a função SparseArray. Cada elemento representa a distância entre as cidades em sua respectiva linha e coluna. Por exemplo, o primeiro elemento {1,2}->10 significa que a distância entre 1 e 2 é 10. O penúltimo elemento {9,9} indica o tamanho da matriz, e o último elemento Infinity significa que o comprimento do caminho entre cidades não especificadas é infinito, ou seja, não há caminho.

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{len,tour}=FindShortestTour[{1,2,3,4,5,6,7,8,9},DistanceFunction->(d[[#1,#2]]&)]

Com a função FindShortestTour, você pode resolver facilmente o problema do caixeiro viajante. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} representa os números das cidades. DistanceFunction->(d[[#1,#2]]&) passa a matriz d que representa a distância entre as cidades.

Saída

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{137, {1, 2, 5, 9, 8, 7, 6, 3, 4}}

A saída mostra a distância mais curta e a rota correspondente. A distância mais curta é 137, e a rota é 1→2→5→9→8→7→6→3→4→1. Convertendo para ordem alfabética ABC, torna-se A, B, E, I, H, G, F, C, D.

Fórmulas Matemáticas Favoritas

Wed, 05 Oct 2022 13:24:50 +0900

Teorema de Wilson

Quando $p$ é um número primo, $(p−1)!≡−1 \pmod p$ é válido.

Fórmula de Euler

$e^{iπ}+1=0$

Último Teorema de Fermat

Para qualquer inteiro $n≥3$, não existem inteiros positivos $x,y,z$ que satisfaçam $x^n+y^n=z^n$.

Problema de Basileia

$1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...=π^2/6$

Polinômio de geração de primos de Euler

$n^2+n+41$ resulta sempre em um número primo quando $n$ é um inteiro entre $0$ e $39$.