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【PQC】A Visão Geral da "Criptografia Pós-Quântica", a Criptografia da Próxima Geração na Era da Computação Quântica

Sat, 05 Sep 2026 22:09:22 +0900

Introdução: A “Ameaça” dos Computadores Quânticos à Criptografia

Atualmente, muitas das comunicações que realizamos diariamente na internet —— desde pagamentos em serviços bancários online, navegação em sites (HTTPS), troca de mensagens em aplicativos, até transações de blockchain e criptomoedas —— são protegidas por uma tecnologia chamada “criptografia de chave pública”. Especificamente, algoritmos como a criptografia RSA e a criptografia de curva elíptica (ECC) são os pilares que sustentam a confiabilidade da nossa sociedade digital moderna.

Esses métodos de criptografia baseiam sua segurança em problemas matemáticos complexos, como a “fatoração de números primos gigantes” e o “problema do logaritmo discreto”, que levariam um tempo astronômico para serem resolvidos por computadores clássicos atuais (incluindo supercomputadores). No entanto, com a concretização dos “computadores quânticos” , que têm feito progressos notáveis nos últimos anos, essa premissa será fundamentalmente derrubada.

O “Algoritmo de Shor”, publicado por Peter Shor em 1994, provou matematicamente que, se usarmos um computador quântico com desempenho suficiente, poderemos resolver a fatoração de números primos e o problema do logaritmo discreto em um tempo extremamente curto. Isso significa que a comunicação criptografada que protege a internet hoje corre o risco de ser totalmente decodificada no futuro (um problema conhecido como Y2Q: Years to Quantum, ou Q-Day).

Ainda mais grave é a existência de um método de ataque chamado “Harvest Now, Decrypt Later” (Roube agora, decifre depois). Dados que precisam manter a confidencialidade por décadas, como informações confidenciais de estados, propriedade intelectual corporativa e informações biométricas pessoais, já podem ser alvo de roubo hoje, com a intenção de serem decodificados no futuro.

Para responder a essa crise sem precedentes, criptógrafos e instituições de pesquisa em todo o mundo estão trabalhando juntos para desenvolver a criptografia de próxima geração que pode manter a segurança mesmo contra ataques de computadores quânticos, a Criptografia Pós-Quântica (PQC) . Neste artigo, explicaremos em detalhes desde os fundamentos da PQC até os mecanismos de seus principais algoritmos e as tendências mais recentes de padronização global lideradas pelo Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia dos EUA (NIST).

O que é a Criptografia Pós-Quântica (PQC)?

A Criptografia Pós-Quântica (Post-Quantum Cryptography, PQC) é um termo genérico para algoritmos de criptografia projetados para operar em computadores clássicos existentes e, ao mesmo tempo, serem resistentes a ataques (como o algoritmo de Shor) de computadores quânticos de grande escala que surgirão no futuro.

Tecnologias frequentemente confundidas com ela são a “Criptografia Quântica (Quantum Cryptography)” e a “Distribuição Quântica de Chaves (QKD)”, mas estas são abordagens completamente diferentes. A criptografia quântica (QKD) é uma tecnologia baseada em hardware que utiliza as leis físicas da mecânica quântica (como a propriedade de que o estado muda ao ser observado) para tornar a espionagem nos canais de comunicação fisicamente impossível. Ela requer fibras ópticas dedicadas e equipamentos especiais, enfrentando desafios como custos de implementação e limitações de distância.

Por outro lado, a PQC é uma tecnologia de criptografia baseada em software, fundamentada puramente em “matemática” . Portanto, ela pode ser incorporada à infraestrutura de internet existente, servidores, smartphones, navegadores, etc., como uma atualização de software, sendo altamente aplicável ao mundo real. Empresas de TI e governos de todo o mundo consideram urgente substituir (migrar) o RSA e o ECC atualmente em uso por esta PQC.

As 4 Principais Abordagens Matemáticas que Sustentam a PQC

Vários algoritmos de PQC foram propostos, baseando-se em problemas matemáticos complexos (como problemas NP-difíceis) que não podem ser resolvidos de forma eficiente mesmo com um computador quântico. Aqui, apresentaremos as 4 principais categorias que dominam atualmente.

Principais Abordagens da Criptografia Pós-Quântica (PQC)

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graph LR
 PQC[Criptografia Pós-Quântica PQC] --> L[Criptografia baseada em reticulados Lattice-based]
 PQC --> H[Criptografia baseada em hash Hash-based]
 PQC --> M[Criptografia multivariada Multivariate]
 PQC --> C[Criptografia baseada em códigos Code-based]

 L --> L1(FIPS 203: ML-KEM)
 L --> L2(FIPS 204: ML-DSA)

 H --> H1(FIPS 205: SLH-DSA)

 style PQC fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

1. Criptografia baseada em reticulados (Lattice-based Cryptography)

Atualmente, esta “criptografia baseada em reticulados” é considerada a mais promissora e é a principal tendência no campo da PQC. A criptografia de reticulados baseia sua segurança em problemas relacionados a pontos dispostos regularmente (pontos de reticulado) em um espaço multidimensional. Problemas famosos incluem o “Problema do Vetor Mais Curto (SVP: Shortest Vector Problem)” e o “Problema de Aprendizado com Erros (LWE: Learning With Errors)”.

Visão geral do mecanismo: Imagine que inumeráveis pontos estão dispostos em forma de grade (reticulado) dentro de um espaço de dimensão muito alta (centenas a milhares de dimensões). Encontrar um ponto de reticulado específico é fácil em 2 ou 3 dimensões, mas quando se trata de centenas de dimensões, ainda não foi descoberto nenhum algoritmo que o encontre de forma eficiente, seja em um computador clássico ou quântico. O problema LWE, em particular, utiliza a propriedade de que “se você adicionar propositalmente um pequeno ‘ruído (erro)’ a um sistema de equações lineares, torna-se drasticamente mais difícil adivinhar as variáveis originais”.

Vantagens:

Aplicável tanto ao compartilhamento de chaves (KEM) quanto às assinaturas digitais.
A velocidade de processamento é muito rápida (em alguns casos, mais rápida que RSA e ECC).
O tamanho da chave e o tamanho do texto cifrado são relativamente pequenos, oferecendo um bom equilíbrio.

Muitos dos algoritmos atualmente sendo padronizados pelo NIST (como ML-KEM e ML-DSA) adotam essa criptografia baseada em reticulados.

2. Criptografia baseada em hash (Hash-based Cryptography)

A criptografia baseada em hash é um algoritmo PQC especializado em assinaturas digitais. A base de sua segurança depende exclusivamente da resistência à colisão e da unidirecionalidade de “funções de hash criptográficas” seguras, como SHA-2 e SHA-3.

Visão geral do mecanismo: Ela tem como ponto de partida um esquema de assinatura descartável de uso único (assinatura de uso único) chamado “Assinatura Lamport (Lamport Signature)”. Ao agrupar isso em um formato de dados em estrutura de árvore chamado “Árvore de Merkle (Merkle Tree)”, possibilita múltiplas assinaturas com um único par de chaves.

Vantagens:

A base de segurança é extremamente robusta, com a forte prova de que “é segura desde que a função de hash seja segura”.
Como a dependência de estruturas matemáticas é baixa, o risco de serem descobertos métodos inesperados de decodificação é menor.

Desvantagens:

Não pode ser usada para compartilhamento de chaves (KEM), servindo apenas para assinaturas digitais.
O tamanho da assinatura tende a ser grande.
Existem as modalidades “stateful” (com estado) e “stateless” (sem estado). A versão stateful (como XMSS) requer um gerenciamento rigoroso do número de vezes que a chave é usada, tornando a implementação mais difícil.

O NIST padronizou o “SLH-DSA (anteriormente SPHINCS+)” como uma assinatura baseada em hash stateless.

3. Criptografia multivariada (Multivariate Cryptography)

A criptografia de polinômios multivariados baseia sua segurança na dificuldade de resolver um sistema de equações polinomiais quadráticas simultâneas com muitas variáveis (Problema MQ: Multivariate Quadratic problem). Sabe-se que este problema é NP-difícil.

Visão geral do mecanismo: O remetente cria um texto cifrado (assinatura) substituindo o texto simples (ou valor de hash) em uma equação complexa com muitas variáveis fornecida como chave pública. O destinatário legítimo possui como chave privada uma “informação oculta (alçapão) que converte a estrutura da equação em uma forma fácil de resolver”, usando-a para realizar a decodificação (ou verificação de assinatura).

Vantagens:

O tamanho da assinatura é muito pequeno.
A velocidade de verificação da assinatura é extremamente alta. É adequado para dispositivos de IoT com recursos limitados.

Desvantagens:

O tamanho da chave pública é muito grande (pode chegar a dezenas ou centenas de kilobytes).
No passado, algoritmos proeminentes (como Rainbow) foram quebrados por ataques clássicos, tornando mais difícil estabelecer a confiança na segurança em comparação com outros métodos.

4. Criptografia baseada em códigos (Code-based Cryptography)

A criptografia baseada em códigos aplica a teoria dos “códigos de correção de erros”, usados para corrigir erros nos canais de comunicação, à criptografia. A “Criptografia McEliece”, proposta em 1978, é a mais famosa e uma das mais antigas entre as PQC.

Visão geral do mecanismo: O remetente codifica o texto simples usando a chave pública do destinatário (a matriz geradora de um código de correção de erros que oculta uma estrutura específica), adiciona um erro intencional (ruído) e o envia. O destinatário usa a chave privada para remover o erro e extrair o texto simples. Um decodificador precisaria corrigir os erros a partir de um código aleatório sem conhecer sua estrutura; isso é chamado de “problema geral de decodificação de síndrome”, que é comprovadamente NP-difícil.

Vantagens:

Tendo sido exaustivamente estudada por mais de 40 anos e sem nenhum ataque eficaz encontrado até agora, a confiança na sua segurança é extremamente alta.
Os processos de criptografia e descriptografia são rápidos.

Desvantagens:

O tamanho da chave pública é imenso (pode chegar a vários megabytes). Portanto, é difícil usá-la em ambientes com limitações de largura de banda de comunicação ou memória (como no handshake de TLS).

Tendências Recentes na Padronização PQC pelo NIST

O Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia dos EUA (NIST) iniciou em 2016 uma chamada global para algoritmos de criptografia pós-quântica de próxima geração, realizando avaliações rigorosas e várias rodadas de análises ao longo de anos.

Em 2024, o NIST finalmente anunciou os seguintes três algoritmos como Padrões Federais de Processamento de Informações (FIPS) oficiais. Isso concluiu a formação de uma base sólida para que organizações em todo o mundo comecem a implementá-los em ambientes de produção.

Padrões FIPS Estabelecidos (2024)

FIPS 203: ML-KEM (Nome anterior: CRYSTALS-Kyber)
- Uso: Mecanismo de encapsulamento de chaves (KEM) / Criptografia e compartilhamento de chaves
- Tecnologia base: Criptografia baseada em reticulados (Module-LWE)
- Características: Oferece um excelente equilíbrio entre o tamanho da chave e a velocidade. Servirá como o compartilhamento de chaves PQC padrão para usos comuns da internet, como comunicação na Web (TLS) e aplicativos de mensagens seguros.
FIPS 204: ML-DSA (Nome anterior: CRYSTALS-Dilithium)
- Uso: Assinatura digital
- Tecnologia base: Criptografia baseada em reticulados (Module-LWE)
- Características: O principal padrão para assinaturas digitais. Permite processamento eficiente, tornando-se o novo padrão para todas as aplicações de assinatura eletrônica, como assinaturas de software e autenticação de documentos.
FIPS 205: SLH-DSA (Nome anterior: SPHINCS+)
- Uso: Assinatura digital
- Tecnologia base: Criptografia baseada em hash (stateless)
- Características: Desempenha um papel vital como um backup caso vulnerabilidades sejam descobertas na criptografia baseada em reticulados no futuro. Embora o tamanho da assinatura seja grande, é adequado para aplicações que exigem confiabilidade de longo prazo.

Busca por Maior Diversidade

Embora o NIST tenha concluído o processo inicial de padronização, ele continua buscando mais algoritmos. Especialmente porque os padrões estão muito inclinados para a “criptografia baseada em reticulados”, a garantia da diversidade de algoritmos (Crypto Diversity) é altamente valorizada. A avaliação da criptografia baseada em códigos e outros métodos está em andamento como padrão de backup para compartilhamento de chaves, e a base da PQC deve se tornar ainda mais robusta no futuro.

Cenários e Desafios da Transição para a PQC: A Importância da “Agilidade Criptográfica”

Com o lançamento de padrões oficiais pelo NIST, agências governamentais, instituições financeiras e empresas de tecnologia em todo o mundo acelerarão a transição (migração) do RSA/ECC existente para a PQC. Diretrizes de agências como a NSA (Agência de Segurança Nacional dos EUA) também recomendam a conclusão antecipada dessa transição.

Adoção da Abordagem Híbrida

Como os algoritmos PQC são novos, eles não passaram pelo “teste do tempo” em comparação com a criptografia clássica. Considerando os riscos de bugs ocultos em implementações ou a descoberta de novos métodos de ataque, recomenda-se uma “abordagem híbrida” durante o período de transição. Isso envolve realizar a troca de chaves combinando criptografia existente e comprovada (por exemplo, ECDHE) com a nova PQC (por exemplo, ML-KEM). Atualmente, as principais implementações de teste dessa abordagem estão avançando rapidamente em navegadores e serviços em nuvem.

Atingindo a Agilidade Criptográfica (Crypto-Agility)

O que empresas e desenvolvedores de sistemas devem ter mais em mente daqui para frente é garantir a “Agilidade Criptográfica (Crypto-Agility)” . É essencial ter um projeto arquitetônico flexível que permita a substituição e atualização rápida dos algoritmos de criptografia sem paralisar o sistema, caso falhas sejam encontradas nos algoritmos no futuro ou surjam novos padrões.

Criar um inventário criptográfico (CBOM: Cryptography Bill of Materials) que identifique com precisão “onde”, “qual criptografia” e “para qual propósito” está sendo usada dentro do sistema da empresa é um primeiro passo vital em direção à transição para PQC.

Conclusão: Preparando-se para o “Q-Day” Iminente

A evolução dos computadores quânticos trará enormes benefícios à humanidade, mas ao mesmo tempo representa a maior ameaça à segurança criptográfica que é a base de nossa sociedade digital moderna. A Criptografia Pós-Quântica (PQC) não é mais um “tema de pesquisa para um futuro distante”. Com o marco da publicação dos padrões FIPS pelo NIST, a PQC entrou na fase de “implementação e transição” em larga escala.

Considerando a ameaça do “Harvest Now, Decrypt Later”, a transição para a PQC é a maior prioridade a ser tratada “agora mesmo” por todas as organizações que lidam com dados altamente confidenciais. Ao entender profundamente as tecnologias de criptografia de próxima geração e aumentar a agilidade criptográfica dos sistemas, poderemos superar com segurança a iminente era dos computadores quânticos.

Computadores Quânticos Realmente Destruirão a Criptografia RSA? ~O Algoritmo de Shor e o Estado Atual~

Sat, 05 Sep 2026 22:09:21 +0900

Introdução: A Interseção entre Criptografia e Computadores Quânticos

Na sociedade da internet moderna, a base para proteger o segredo das comunicações é a “criptografia de chave pública”. Um dos mais representativos é a “Criptografia RSA”, desenvolvida em 1977 por Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman. Desde pagamentos de compras online que usamos diariamente, navegação em sites (HTTPS), até envio e recebimento de e-mails, a criptografia RSA funciona como o coração da infraestrutura da internet.

No entanto, com o surgimento dos “computadores quânticos”, foi apontado que essa segurança pode ser subvertida desde a base. Na mídia, às vezes vemos manchetes sensacionalistas como “Se um computador quântico for concluído, senhas e criptografias em todo o mundo serão decifradas em segundos”. Mas será que isso é verdade?

Neste artigo, aprofundaremos como funcionam o GNFS (General Number Field Sieve), um método clássico de descriptografia, e a versão definitiva dos algoritmos de descriptografia usando computadores quânticos, o “Algoritmo de Shor (Shor’s Algorithm)”. Explicaremos de forma fácil conceitos avançados, como a transformação quântica de Fourier e a descoberta de períodos, e examinaremos em detalhes o estado atual do hardware quântico na era NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) e os obstáculos reais necessários para quebrar a RSA-2048.

O Núcleo da Criptografia RSA: A Dificuldade da Fatoração em Números Primos

A segurança da criptografia RSA depende de uma assimetria extremamente simples na matemática. Trata-se do fato de que “é fácil multiplicar dois números primos gigantes, mas é extremamente difícil encontrar (fatorar em números primos) os dois números primos originais a partir do resultado dessa multiplicação (número composto)”.

Por exemplo, suponha que existam dois números primos, $ p = 61 $ e $ q = 53 $. Calcular esta multiplicação $ N = p \times q = 3233 $ é instantâneo. No entanto, se receber apenas o número “3233” e tiver que resolver “de quais números primos essa é a multiplicação?”, a quantidade de cálculos explode à medida que o número se torna maior.

No RSA-2048, que é a norma atual, o comprimento da chave é de 2048 bits, ou seja, é usado um número composto gigante $ N $ que chega a cerca de 617 dígitos em decimal. Se esse $ N $ puder ser fatorado em números primos, a criptografia será essencialmente decifrada.

O Desafio dos Computadores Clássicos: GNFS (General Number Field Sieve)

Para resolver o problema da fatoração em números primos, matemáticos e criptógrafos desenvolveram vários algoritmos ao longo dos anos. Entre eles, o que atualmente é considerado o mais rápido em computadores clássicos é o GNFS: General Number Field Sieve.

O GNFS é um método que expande e analisa os cálculos no anel de inteiros para um corpo algébrico (Number Field) mais abstrato, a fim de fatorar o número gigante $ N $. O fluxo geral é o seguinte.

Seleção de Polinômio : Encontrar um polinômio $ f(x) $ com grau e coeficientes apropriados, que tenha $ N $ como raiz.
Coleta de Dados (Peneiramento) : No corpo dos números racionais e no corpo algébrico, procuramos em grande quantidade por pares de números que podem ser decompostos em números primos pequenos (números suaves, Smooth numbers). Esse processo é chamado de “peneiramento” e é a parte que leva mais tempo.
Geração e Redução de Matriz : Com base nas relações coletadas, uma enorme matriz esparsa (uma matriz em que a maioria dos componentes é zero) é gerada e resolvida usando métodos de álgebra linear (como o método de Block Lanczos).
Cálculo da Raiz Quadrada : Finalmente, calcula-se a raiz quadrada no corpo algébrico para derivar os fatores (fatores primos) de $ N $.

A complexidade computacional do GNFS é avaliada não assintoticamente como $ O(\exp((\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)) (\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})) $. Isso é chamado de complexidade de tempo “Sub-exponencial” (Sub-exponential). Embora seja mais rápido que o tempo exponencial, é muito mais lento que o tempo polinomial (Polynomial time).

De fato, em 2020, uma equipe de pesquisa internacional obteve sucesso em fatorar a RSA-250 (829 bits, número composto de 250 dígitos) usando o GNFS. Esse cálculo consumiu um tempo computacional enorme, equivalente a cerca de 2700 CPU-core anos, reunindo recursos de computação de todo o mundo. No entanto, quando isso chega a 2048 bits, é mencionado que a quantidade de cálculo necessária explodiria para trilhões de vezes a idade do universo, tornando impossível descriptografar em um tempo realista com métodos clássicos, não importa quantos supercomputadores atuais funcionem em paralelo.

O Trunfo do Computador Quântico: Algoritmo de Shor

Aqui é onde entra o “Algoritmo de Shor”, publicado por Peter Shor em 1994. Esse algoritmo foi revolucionário por permitir que o problema de fatoração em números primos fosse resolvido no computador quântico em tempo polinomial ( $ O((\log N)^3) $ ). A diferença entre tempo sub-exponencial e polinomial é decisiva e significa, na teoria, que a criptografia RSA será completamente destruída se um computador quântico for usado.

Fluxo Geral do Algoritmo de Shor

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graph TD
 A[Inserir o número N que se deseja fatorar] --> B[Selecionar um número inteiro aleatório a]
 B --> C{Máximo divisor comum<br>entre a e N}
 C -->|Maior que 1| D[Por sorte, um fator primo foi encontrado!]
 C -->|1 Primos entre si| E[Vez do computador quântico]
 E --> F[Encontrar o período r da<br>função f_x = a^x mod N por Transformação Quântica de Fourier]
 F --> G{O período r é par e<br>a^r/2 ≢ -1 mod N}
 G -->|Sim| H[Calcular o máximo divisor comum gcd_a^r/2 ± 1, N]
 H --> I((Fatoração bem sucedida!))
 G -->|Não| B

O algoritmo de Shor não resolve o problema da fatoração em números primos diretamente, mas usa teoremas da teoria dos números para convertê-lo em outro problema chamado “Problema de Descoberta de Período” (Period Finding Problem) e, em seguida, resolve isso rapidamente aproveitando as características do computador quântico.

Passo 1: Redução da Fatoração ao Problema de Descoberta de Período (Processamento Clássico)

O primeiro passo do algoritmo é feito em um computador clássico. Para o número $ N $ que se deseja fatorar, escolhe-se um número inteiro aleatório $ a $ ( $ 1 < a < N $ ) que seja co-primo (com o máximo divisor comum igual a 1) com $ N $. Se por acaso o máximo divisor comum não for 1, o divisor comum encontrado nesse momento já é um fator de $ N $, e a fatoração está concluída, mas a probabilidade é extremamente baixa.

Em seguida, considere a sequência das seguintes equações modulares: $ f(x) = a^x \pmod N $

Substituindo $ x = 1, 2, 3, \dots $ nesta função $ f(x) $, os valores parecem aleatórios, mas como são calculados em um limite finito, eles sempre voltarão ao valor original em algum ponto, repetindo a mesma sequência de números. Este ciclo de repetição é chamado de período $ r $. Ou seja, O problema de encontrar o menor número inteiro positivo $ r $ tal que $ a^r \equiv 1 \pmod N $, este é o “Problema de Descoberta de Período”.

Se este período $ r $ for encontrado, e $ r $ for um número par, então $ a^r - 1 \equiv 0 \pmod N $, e usando a fórmula de fatoração, pode ser transformado em $ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $. A partir daqui, ao calcular o máximo divisor comum entre $ N $ e $ a^{r/2} \pm 1 $ usando o algoritmo de Euclides, um fator de $ N $ pode ser obtido com uma probabilidade extremamente alta.

Para encontrar o período $ r $ em um computador clássico, no final, etapas exponenciais são necessárias e isso não pode ser acelerado. No entanto, com um computador quântico, este período $ r $ pode ser encontrado em um instante (tempo polinomial).

Passo 2: Preparação e Superposição do Estado Quântico

A partir daqui é a vez do computador quântico. Os computadores quânticos usam “qubits”, que podem ter o estado “0” e “1” simultaneamente. No algoritmo de Shor, são preparados dois registradores: o primeiro para armazenar a entrada e o segundo para os resultados do cálculo.

Primeiro, uma operação de porta quântica chamada porta de Hadamard (Hadamard gate) é aplicada a todos os qubits do primeiro registrador. Isso coloca o primeiro registrador em um estado de superposição uniforme de todos os valores concebíveis de $ x $ (de $ 0 $ a $ 2^n-1 $. $ n $ é um número de bits suficientemente grande).

Em outras palavras, dentro do computador quântico, é criado um estado em que incontáveis valores de entrada como $ x=0, 1, 2, 3, \dots $ existem em paralelo ao mesmo tempo.

Passo 3: Exponenciação Modular Quântica (Quantum Modular Exponentiation)

Em seguida, o estado de superposição do primeiro registrador é usado como entrada para calcular $ f(x) = a^x \pmod N $, e o resultado é armazenado no segundo registrador. Como este cálculo é executado como uma transformação unitária no circuito quântico, o cálculo de $ f(x) $ para todos os $ x $ é feito de forma “paralela (paralelismo quântico)” enquanto a superposição é mantida.

O espaço do sistema quântico inteiro neste ponto, torna-se uma enorme superposição de estados $ |x, a^x \bmod N\rangle $.

No entanto, se você simplesmente medir (observar) o segundo registrador aqui, um valor aleatório de $ a^x \bmod N $ será probabilisticamente selecionado, e em conjunto com isso, o $ x $ do primeiro registrador também será determinado. Isso não é diferente de calcular uma vez em um computador clássico, e você não conseguirá encontrar o período $ r $.

Nas regras da mecânica quântica, você não pode observar o conteúdo de um estado de superposição diretamente. Então, como extrair a informação global chamada “período”?

Passo 4: Transformada Quântica de Fourier (QFT: Quantum Fourier Transform)

O verdadeiro valor do algoritmo de Shor, que supera esse obstáculo, é a aplicação da Transformada Quântica de Fourier (QFT) ao primeiro registrador.

Antes de medir, analisamos a natureza da onda da função $ f(x) $. Vamos supor que o segundo registrador foi observado. Suponha que um valor $ y $ foi obtido. Então, o estado do primeiro registrador encolhe para “a superposição de todos os $ x $ tais que $ a^x \pmod N = y $”. O valor deste $ x $ estará em um estado discreto com intervalos do período $ r $ (uma espécie de distribuição de amplitude de probabilidade em forma de pente), como $ x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, x_0 + 3r, \dots $.

Aplicamos a Transformada Quântica de Fourier (QFT) a este estado. Assim como a Transformada Discreta de Fourier clássica converte sinais no domínio do tempo para o domínio da frequência, a QFT faz com que as amplitudes de probabilidade do estado quântico interfiram.

Quando a QFT é aplicada, devido ao efeito de interferência quântica, as probabilidades de respostas incorretas que não ressoam com o período $ r $ (fases não alinhadas) se cancelam mutuamente chegando perto de zero (interferência destrutiva), e apenas as probabilidades da resposta correta contendo a informação do período $ r $ são amplificadas (interferência construtiva).

Passo 5: Medição e Fração Contínua (Pós-processamento Clássico)

Após aplicar a QFT, se você medir o primeiro registrador, com uma probabilidade muito alta, um número inteiro $ c $ próximo à forma $ c \approx \frac{j \cdot 2^n}{r} $ será obtido ( $ j $ é um inteiro desconhecido, e $ 2^n $ é o tamanho do registrador).

Trazendo o resultado desta medição $ c $ de volta para um computador clássico, criamos uma fração $ \frac{c}{2^n} \approx \frac{j}{r} $. Em seguida, usando o método matemático da “Expansão de Fração Contínua” (Continued fraction expansion) para calcular valores aproximados, podemos descobrir o período $ r $, que é o denominador.

Uma vez conhecido o $ r $, o resto é calcular os fatores de $ N $ usando a fórmula do Passo 1, e a criptografia RSA é completamente quebrada.

A Força e os Desafios do Computador Quântico Atual (NISQ)

Embora teoricamente o algoritmo de Shor seja perfeito, se perguntado “A criptografia RSA será quebrada amanhã?”, a resposta é claramente “Não”. O motivo está nas limitações da tecnologia de hardware dos computadores quânticos atuais.

A Era NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum)

A era em que nos encontramos atualmente é chamada de “NISQ”. Dispositivos NISQ possuem dezenas a centenas de qubits físicos, mas são extremamente vulneráveis ao ruído.

Os qubits são facilmente afetados pelo ambiente externo, como calor e ondas eletromagnéticas, e ocorrem frequentemente “decoerência” (perda de emaranhamento quântico), onde o estado quântico se quebra, e “erros de porta” durante as operações. Quando se tenta executar um circuito quântico muito profundo (com um número enorme de passos operacionais) como o algoritmo de Shor, os erros se acumulam durante o cálculo e a saída final torna-se puro ruído sem significado.

Qubit Físico e Qubit Lógico

O que é essencial para resolver este problema de erros é a “Correção de Erros Quânticos” (Quantum Error Correction). Embora códigos de correção de erros também sejam usados em computadores clássicos, devido ao “teorema da não-clonagem”, que proíbe a cópia de estados quânticos, a correção de erros quânticos é extremamente complexa.

Na correção de erros quânticos, utilizando tecnologias como “Código de Superfície” (Surface Code), muitos “qubits físicos” ruidosos são combinados para criar um “qubit lógico” ideal e livre de erros.

Assumindo a taxa de erro atual, estima-se que cerca de 1.000 a 10.000 qubits físicos seriam necessários para criar um único qubit lógico. Isso é chamado de “overhead da correção de erros”.

Que Recursos são Necessários para Quebrar a RSA-2048?

Então, para realmente descriptografar a RSA-2048, quantos recursos seriam necessários para rodar o algoritmo de Shor?

Em uma estimativa inovadora de recursos em um artigo de 2021 de Craig Gidney (Google) e Martin Ekerå, foi afirmado que se um algoritmo de Shor otimizado fosse usado, e correção de erros com código de superfície fosse realizada, os seguintes recursos seriam necessários:

Número de qubits lógicos : Aproximadamente 4.096
Número de qubits físicos : Aproximadamente 20 milhões (assumindo uma taxa de erro de $10^{-3}$)
Tempo de cálculo : Aproximadamente 8 horas (milhões a bilhões de operações físicas de porta necessárias)

Em contraste com isso, qual é o nível que o hardware quântico atual alcançou? O processador quântico supercondutor “Condor”, anunciado pela IBM no final de 2023, possui 1.121 qubits. Além disso, pesquisas inovadoras sobre a geração de qubits lógicos têm aparecido (como a geração de 48 qubits lógicos usando computadores quânticos de átomos neutros pela Universidade de Harvard, QuEra, etc.), mas ainda não chegamos no estágio de conseguir executar “cálculos perfeitos e sem ruído” continuamente por longos períodos.

Passar de alguns milhares de qubits físicos para 20 milhões de qubits físicos práticos (que estão interconectados, operam de forma estável em temperaturas ultrabaixas e podem processar sinais de controle em velocidades ultrarrápidas) apresenta uma enorme barreira na engenharia (problemas de fiação, limites da capacidade de refrigeração e inchaço da eletrônica de controle). Muitos especialistas preveem que levará pelo menos 10 a 30 anos, ou mais, até que um “Computador Quântico Tolerante a Falhas” (FTQC - Fault-Tolerant Quantum Computer), capaz de quebrar a RSA-2048, se torne uma realidade.

A Ameaça Silenciosa de “Store Now, Decrypt Later” e o Amanhecer da PQC

Concluir que “estamos seguros porque ainda levará mais de 10 anos” é precipitado. Atualmente, existem dados que devem ser mantidos em segredo por décadas no futuro, como segredos de estado, dados médicos e projetos de infraestrutura de longo prazo.

A preocupação aqui é o método de ataque chamado “Store Now, Decrypt Later” (Armazene Agora, Descriptografe Depois). Nações ou organizações mal-intencionadas interceptam todos os dados de comunicação atualmente criptografados usando RSA ou ECC (Criptografia de Curva Elíptica) e os guardam no armazenamento. E então, no momento em que um poderoso computador quântico for concluído em 10 ou 20 anos, eles usarão o algoritmo de Shor para descriptografar todos os dados do passado e expor os segredos.

Para combater essa ameaça de tempo, liderado pelo NIST (Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia dos EUA), o processo de padronização da “Criptografia Pós-Quântica” (PQC: Post-Quantum Cryptography) tem sido acelerado em ritmo acelerado.

A PQC é um novo algoritmo de criptografia baseado em problemas matemáticos que são difíceis de descriptografar mesmo usando um computador quântico (ou seja, o algoritmo de Shor não pode ser aplicado). Como principais abordagens, temos:

Criptografia baseada em reticulados (Lattice-based cryptography) : Baseado em problemas como LWE (Learning with Errors). O método dominante na padronização do NIST (Kyber, Dilithium, etc.).
Criptografia baseada em códigos (Code-based cryptography) : Depende da dificuldade do problema de decodificação de códigos corretores de erro.
Criptografia polinomial multivariável (Multivariate cryptography) : Depende da dificuldade de resolver equações quadráticas simultâneas multivariáveis.
Assinaturas baseadas em hash (Hash-based signatures) : Assinaturas digitais que dependem exclusivamente da segurança das funções de hash.

Testes de implementação e implementações híbridas da PQC já foram iniciados nos principais softwares e plataformas, como o Google Chrome e o iMessage da Apple.

Conclusão

Os computadores quânticos estão passando de histórias de ficção científica para desafios reais de engenharia. O algoritmo de Shor é uma grande conquista intelectual da humanidade que mescla a matemática e a mecânica quântica, mas, ao mesmo tempo, guarda um “poder destrutivo” para sacudir as bases da nossa sociedade digital.

Isso não significa que a criptografia RSA se tornará inutilizável a partir de amanhã. No entanto, considerando a evolução da tecnologia quântica e o risco do “Store Now, Decrypt Later”, a grande migração que ficará na história da criptografia - a transição para a PQC - já começou. Agora estamos testemunhando a linha de frente de uma mudança de paradigma na segurança da informação.

A Verdadeira Estrutura Matemática do Crivo Geral dos Corpos de Números (GNFS)

Sat, 05 Sep 2026 02:26:13 +0900

A Verdadeira Estrutura Matemática do Crivo Geral dos Corpos de Números (GNFS)

O objetivo final do GNFS é encontrar $X, Y$ tais que $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$. Para alcançar isso, os matemáticos construíram uma ponte entre o “mundo dos inteiros reais” e o “mundo dos corpos algébricos” . Essa ponte é exatamente o “homomorfismo”.

Fase 1: Conectando os mundos com “Homomorfismo”

1. Seleção do polinômio e definição das raízes

Para um número composto gigante $N$, escolhemos um inteiro $m$ e um polinômio $f(x)$ tais que $f(m) \equiv 0 \pmod N$. (Exemplo: Expandimos $N$ na base $m$ e criamos $f(x)$ a partir de seus coeficientes. Neste momento, assumimos que $f(x)$ é irredutível sobre o corpo dos números racionais $\mathbb{Q}$ (não pode ser mais fatorado)).

Em seguida, definimos uma das “raízes complexas” da equação $f(x) = 0$ como $\alpha$. Naturalmente, $f(\alpha) = 0$. $\alpha$ não é um número inteiro, mas um número complexo envolvendo raízes e números imaginários (um número algébrico).

2. Construção de Anéis (Rings) e Homomorfismo

Aqui, preparamos dois “anéis” matemáticos (mundos onde adição e multiplicação são definidas).

Mundo A: $\mathbb{Z}[\alpha]$ (O anel dos inteiros algébricos contendo $\alpha$) Um mundo de números expressos na forma $a + b\alpha + c\alpha^2 + \dots$.
Mundo B: $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (O anel dos restos módulo $N$) Um mundo de congruências composto apenas por inteiros de $0$ a $N-1$.

Aqui, definimos um mapeamento $\phi$ do Mundo A para o Mundo B da seguinte forma. $$\phi : \mathbb{Z}[\alpha] \to \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$$ $$\phi(\alpha) = m \pmod N$$

Este mapeamento $\phi$ é uma operação mágica que substitui exatamente a variável $\alpha$ do Mundo A pelo inteiro $m$ do Mundo B. Este $\phi$ possui uma propriedade extremamente poderosa chamada “Homomorfismo de Anéis (Ring Homomorphism)” . Homomorfismo é a propriedade de “teleportar para outro mundo sem destruir a estrutura da adição e multiplicação” . Em outras palavras, as seguintes equações são válidas:

$\phi(X \times Y) = \phi(X) \times \phi(Y)$
$\phi(X^2) = \phi(X)^2$

O que isso significa? Se pudermos criar o “quadrado ($\gamma^2$)” de algum elemento complexo $\gamma$ no “Mundo A (o mundo de $\alpha$)”, e teleportá-lo para o “Mundo B (mundo dos restos)” usando $\phi$, a forma quadrada $\phi(\gamma)^2$ é perfeitamente preservada .

Fase 2: O Colapso da Fatoração em Números Primos e o Nascimento dos “Ideais”

No Mundo A ($\mathbb{Z}[\alpha]$), queremos reunir muitos elementos adequados $(a - b\alpha)$ e multiplicá-los para criar um “quadrado perfeito (elemento quadrado)”. Normalmente, faríamos a “fatoração em números primos” de cada $(a - b\alpha)$ coletado e os combinaríamos de forma que os expoentes dos primos fossem todos pares (resolvendo com matrizes) para formar um quadrado.

No entanto, aqui, a parede desesperadora da álgebra se ergue. Em mundos de corpos algébricos como $\mathbb{Z}[\alpha]$, a “unicidade da fatoração em números primos (qualquer número pode ser expresso de forma única como o produto de primos)” ensinada no ensino médio colapsa .

(Exemplo: Em um certo mundo de corpo algébrico, $6 = 2 \times 3$, mas ao mesmo tempo $6 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5})$, e não sabemos mais quais são os verdadeiros primos)

Se a fatoração não for única, o quebra-cabeça de “contar o número de primos para torná-los pares” (o método do crivo) é, em princípio, impossível de executar.

A Salvação de Kummer e Dedekind: “Ideais”

O que salvou esse colapso foi o conceito de “Ideal (Ideal: número ideal)” criado pelos matemáticos do século 19. Pensando não no elemento em si, mas no “conjunto de múltiplos (ideal)” gerado por esse elemento, a fatoração em números primos tornou-se possível novamente.

No anel de inteiros de um corpo algébrico $\mathcal{O}_K$ (um anel mais completo contendo $\mathbb{Z}[\alpha]$), é provado que mesmo que um elemento não possa ser fatorado unicamente, “um ideal sempre pode ser fatorado unicamente como o produto de ‘Ideais Primos ($\mathfrak{p}$)’” .

Portanto, no GNFS, em vez de fatorar o próprio elemento $(a - b\alpha)$, fatoramos o ideal principal $\langle a - b\alpha \rangle$ gerado por ele em ideais primos .

Fase 3: A Norma (Norm) e os Dois Crivos (Sieves)

Então, como sabemos em quais ideais primos o ideal $\langle a - b\alpha \rangle$ é decomposto? Aqui usamos uma função chamada “Norma (Norm)” . A Norma é uma função que converte elementos complexos de corpos algébricos em “inteiros reais normais $\mathbb{Z}$”.

A norma do elemento $(a - b\alpha)$ é encontrada por um cálculo polinomial simples $b^d f(a/b)$ ($d$ é o grau de $f(x)$).

Por um teorema algébrico, sabemos que “se a norma de um certo ideal puder ser completamente fatorada em pequenos números primos (for suave), então o ideal original também pode ser completamente fatorado em pequenos ideais primos” .

Então, para um grande número de pares de inteiros $(a, b)$, o GNFS calcula os dois seguintes simultaneamente e coleta apenas os pares em que ambos se tornam “números suaves”:

Crivo Racional (Rational Sieve) : $a - bm$ (o valor no mundo real)
Crivo Algébrico (Algebraic Sieve) : $b^d f(a/b)$ (a norma no mundo dos corpos algébricos)

Coletando dezenas de milhões de pares $(a, b)$ em que ambos são suaves, resolvemos os dados de fatoração de ideais primos (quantos ideais primos estão incluídos) como uma matriz gigante (álgebra linear sobre GF(2)) para encontrar um conjunto $S$ de pares tal que “quando multiplicados, os expoentes de todos os ideais primos se tornem pares”.

Fase 4: Os Dois “Obstáculos” e o Grupo de Classes de Ideais

A partir do cálculo da matriz, descobrimos que multiplicar todos os ideais de $(a - b\alpha)$ pertencentes ao conjunto $S$ resulta no quadrado de um certo ideal $I$.

$$\prod_{S} \langle a - b\alpha \rangle = I^2$$

No entanto, ainda não acabou. A barreira matemática mais profunda e difícil do GNFS está aqui.

O que queremos no final não é o “quadrado de um ideal”, mas o “quadrado de um elemento ($\gamma^2$)” para substituir no mapeamento $\phi$. Só porque se tornou o quadrado de um ideal, não significa necessariamente que o elemento em si é um quadrado. Existem dois fortes obstáculos matemáticos (Obstructions) aqui.

Obstáculo ①: A Barreira do Grupo de Classes de Ideais (Ideal Class Group)

O ideal $I$ nem sempre é um “ideal gerado por um único elemento (ideal principal)”. É impossível extrair um elemento específico $\gamma$ de um ideal que não é principal.

Aqui entra o conceito de “Grupo de Classes de Ideais (Class Group, $Cl_K$)” . O grupo de classes de ideais é um grupo que mede “quantos ideais existem no mundo daquele corpo algébrico que não são principais (o quanto a unicidade da fatoração se quebra)”. Mesmo que $\prod \langle a - b\alpha \rangle$ se torne $I^2$, se $I$ não for o elemento de identidade (ideal principal) no grupo de classes de ideais, ele não pode ser trazido de volta ao quadrado de um elemento.

Obstáculo ②: A Barreira do Grupo de Unidades (Unit Group)

Suponhamos que, por sorte, $I$ fosse o ideal principal $\langle \gamma \rangle$. Então, teríamos $\prod \langle a - b\alpha \rangle = \langle \gamma^2 \rangle$. Você pode pensar, “Ótimo, o elemento também é um quadrado!”, mas isso é um grande erro.

Ideais (conjuntos de múltiplos) sendo iguais não significa que os elementos sejam perfeitamente iguais. Sempre haverá um desvio por uma “Unidade (Unit: um número cujo inverso também é um inteiro. Por exemplo, 1 ou -1)” . Em outras palavras, a verdadeira equação dos elementos se torna assim:

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = u \cdot \gamma^2$$

($u$ é um elemento do grupo de unidades $U_K$)

A menos que esta unidade $u$ em si seja o quadrado de algo, o lado esquerdo nunca pode se tornar um “quadrado perfeito de um elemento”.

Fase 5: A Magia de Adleman “Caracteres Quadráticos” (Quadratic Characters)

O obstáculo do grupo de classes de ideais e o obstáculo do grupo de unidades. Como superar esses dois? Aqui entra o brilhante método dos “Caracteres Quadráticos (Quadratic Characters)” , introduzido pelo criptógrafo Leonard Adleman (o “A” do RSA) e outros.

Para determinar “se um certo elemento é um quadrado perfeito no corpo algébrico”, usamos a versão de corpos algébricos do Símbolo de Legendre (resíduo quadratique). Naquela matriz gigante anterior (o quebra-cabeça para tornar pares as contagens de ideais primos), nós furtivamente adicionamos algumas dezenas de condições extras (colunas) dizendo “os caracteres quadráticos para certos ideais primos especiais $\mathfrak{q}$ também devem ser todos $1$ (par)” .

Quando encontramos um conjunto $S$ que satisfaz até mesmo essas condições adicionais através de cálculos de matrizes, teoremas profundos da teoria algébrica dos números garantem que “tanto o obstáculo do grupo de classes de ideais quanto o obstáculo do grupo de unidades desaparecerão naturalmente com uma probabilidade esmagadora” .

Com isso, finalmente obtemos a verdadeira equação.

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = \gamma^2$$

Fase Final: A Fusão dos Mundos e o Colapso Criptográfico

Finalmente, todas as peças do quebra-cabeça estão no lugar.

[Elementos no Mundo dos Corpos Algébricos (Mundo A)] $\gamma^2 = \prod (a - b\alpha)$ (Nós usamos um algoritmo de raiz quadrada para encontrar $\gamma$)

[Elementos no Mundo Real (Mundo dos Números Racionais)] $V^2 = \prod (a - bm)$ (Como esta é uma simples multiplicação de inteiros, $V$ é encontrado normalmente)

Agora é hora daquela ponte mágica que construímos no início, o homomorfismo $\phi$ . Nós teleportamos o elemento $\gamma$ do Mundo A para o Mundo B (o mundo dos restos de $N$) usando $\phi$ (o mapeamento onde substituímos $\alpha$ por $m$).

$$Y = \phi(\gamma) \pmod N$$

Por outro lado, levamos o $V$ construído no mundo real diretamente para o mundo dos restos e o chamamos de $X$.

$$X = V \pmod N$$

Devido à propriedade “preservadora de estrutura” do homomorfismo, a relação quadrada que se manteve no Mundo A é perfeitamente preservada no Mundo B (o mundo módulo $N$). Além disso, como os pares originais $(a, b)$ foram feitos em correspondência nas formas $a - b\alpha$ e $a - bm$, estes $X$ e $Y$ colidem no mundo módulo $N$ e produzem a seguinte equação absoluta.

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Tudo o que resta é rezar para que esses $X$ e $Y$ não sejam soluções triviais ($X \equiv \pm Y$) e calcular $\gcd(X - Y, N)$ .

Se for uma solução não trivial, o algoritmo euclidiano avança em 0.001 segundos, e os números primos secretos $p$ e $q$, que são o coração da criptografia RSA, são impressos na tela de saída.

Este é o quadro completo do “Crivo Geral dos Corpos de Números (GNFS)” , a essência da matemática moderna.

Princípio de Kerckhoffs

Wed, 16 Apr 2025 23:53:08 +0900

“Princípio de Kerckhoffs”

Olá!

Hoje eu gostaria de falar sobre algo um pouco interessante e, na verdade, extremamente importante chamado “Princípio de Kerckhoffs”.

Ah, espere, espere.
Alguns de vocês podem pensar: “Nunca ouvi falar do ‘Princípio de Kerckhoffs’ e tem muitos termos técnicos…”. Não se preocupe. Este artigo é exatamente o que eu quero que pessoas como você leiam.

O que significa “criptografia segura”?

Por exemplo, digamos que alguém diga: “Este cofre só pode ser aberto por alguém que saiba a maneira secreta de abri-lo”.

À primeira vista, isso parece muito seguro, não é?
Mas, se você pensar bem, não é um pouco preocupante?

Como, “Se o segredo for revelado, é o fim?”.

Na verdade, foi isso que desencadeou o surgimento do Princípio de Kerckhoffs.

O que é o “Princípio de Kerckhoffs” afinal?

Explicando de forma bem simples, é a ideia de que

“A criptografia deve ser segura mesmo se o seu funcionamento for descoberto” .

Em outras palavras, “A segurança deve depender apenas da ‘chave secreta’, e o método de criptografia em si pode ser público!”.

Por outro lado, “Um estado em que o algoritmo (mecanismo) de criptografia é mantido em segredo é considerado de baixa confiabilidade”.

“Se o mecanismo for secreto, é seguro” pode ser um pouco perigoso

Essa é uma maneira comum de pensar:

“Não mostrei o interior deste aplicativo a ninguém, então a segurança está ok”

Eu entendo o sentimento.
Mas isso é o mesmo que dizer: “Ninguém está olhando, então nenhum ponto fraco será encontrado, certo?”.

Na realidade, o próprio fato de que “ninguém está olhando” pode se tornar um risco.

Mas por que esse princípio é importante?

Porque, se alguém colocar as mãos no mecanismo e puder decifrá-lo facilmente, essa criptografia está acabada.

Para usar uma analogia, é como se a fechadura de uma porta tivesse um mecanismo muito complexo, mas na verdade pudesse ser aberta com uma chave reserva feita em uma loja de artigos de um dólar.

O importante não é “A chave é secreta, então está tudo bem”, mas “Mesmo se você mostrar todo o mecanismo, ele não pode ser aberto sem a chave certa”.

A sensação de “Mas isso não é um pouco assustador?”

O que muitas pessoas sentem aqui é a ansiedade de

“Não é meio assustador expor todo o mecanismo?”

Eu entendo.
Porque você pensa: “Se eu mostrar o interior inteiro, não será imitado ou usado para o mal?”.

Mas esse é exatamente o cerne do Princípio de Kerckhoffs.
A “força que não entra em colapso mesmo quando o interior é mostrado” é a verdadeira segurança.

Dito isso, requer um pouco de coragem no começo

Colocando-se no lugar do desenvolvedor, parece que “publicar o mecanismo = revelar suas fraquezas”, então é claro que é de dar frio na barriga.

Mas pense sobre isso.

Algo que você pode mostrar adequadamente e dizer: “Qualquer um pode verificar”, acabará sendo mais confiável.

Isso é semelhante às relações humanas.

Você pode se sentir mais seguro com “uma pessoa que se dá bem com você depois de mostrar o seu verdadeiro eu”.

Conclusão

O Princípio de Kerckhoffs pode soar um pouco teórico, mas sua essência é muito simples.

É apenas uma questão de “Vamos criar um sistema que não quebre, não importa para quem você o mostre” .

Um design adequado em vez de segredos superficiais.
Código do qual você não se envergonha de mostrar, em vez de código que você não quer que ninguém veja.

Talvez esse tipo de “força” seja cada vez mais necessário na próxima era.

Muito obrigado por ler!

A segurança é um assunto um pouco difícil, mas há partes que se conectam a “relacionamentos com pessoas” e “paz de espírito cotidiana”.
Se você aprender um pouco de cada vez sem se sentir sobrecarregado, tenho certeza de que coisas boas acontecerão.

Conjectura P≠NP

Wed, 11 Sep 2024 02:22:39 +0900

Visão Geral

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A classe P é a classe de problemas que podem ser decididos em tempo polinomial por uma máquina de Turing determinística, e a classe NP é a classe de problemas em que, dada uma evidência (chamada Testemunha) de que a resposta é Sim, a validade da Testemunha pode ser julgada (isso é chamado de verificação) em tempo polinomial. Como os problemas decidíveis em tempo polinomial podem ser verificados em tempo polinomial, é claro que P⊆NP, mas não está claro se P é um subconjunto próprio de NP. Ainda não há prova, mas muitos pesquisadores acreditam que P≠NP. E a conjectura de que esta classe P e a classe NP não são iguais é chamada de "Conjectura P≠NP".

Site de referência : https://daigakudenki.com/np-hard/

Citações de Einstein

Sat, 24 Aug 2024 18:38:47 +0900

Olá!

Hoje, gostaria de falar sobre as citações de Einstein.

O mundo não valoriza suas boas ações?

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O mundo nunca avaliará o milhão de coisas boas que você faz.
Mas eles vão criticar a única coisa errada que você faz...
Mas não desanime.
"Eleve-se sempre acima de todo riso e crítica. Permaneça forte."

- Albert Einstein

Estas são palavras que se dizem ter sido proferidas por Einstein. Elas apontam de forma contundente para a dureza da sociedade que sentimos todos os dias e o viés nas avaliações das pessoas.

Ainda assim, continue a se levantar

“Eleve-se sempre acima de todo riso e crítica. Permaneça forte.”

Essas palavras a seguir podem ser consideradas a resposta de Einstein à dura realidade mencionada acima. Elas nos ensinam a importância de não ceder à crítica ou ao ridículo e de continuar avançando com fé em nós mesmos.

Aplicando os ensinamentos de Einstein à vida diária

Esta citação está profundamente relacionada às nossas vidas diárias. Por exemplo, pode haver momentos em que seus esforços no trabalho não são reconhecidos e apenas erros triviais se destacam. Além disso, suas declarações nas redes sociais podem ser tiradas de contexto e criticadas.

Nesses momentos, tente lembrar as palavras de Einstein. É importante manter suas próprias crenças em vez de ficar feliz ou triste com as avaliações de outras pessoas.

Conclusão

Esta citação de Einstein nos ensina a importância de “viver acreditando em si mesmo sem ser influenciado pelas avaliações dos outros”. Tenhamos a coragem de seguir o caminho em que acreditamos, sem sucumbir à crítica ou ao ridículo.

Finalmente, as palavras de Einstein mais uma vez.

“Eleve-se sempre acima de todo riso e crítica. Permaneça forte.”

Espero que essas palavras ressoem em seu coração e o inspirem a dar um passo positivo à frente.

Código C para gerar números primos

Sat, 24 Aug 2024 09:38:10 +0900

Abaixo está um código C simples que gera números primos dentro de um intervalo especificado. Neste exemplo, enumeramos números primos de 1 a n.

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#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool isPrime(int num) {
 if (num <= 1) return false;
 if (num <= 3) return true;
 if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return false;

 for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) {
 if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false;
 }
 return true;
}

void printPrimes(int n) {
 printf("2 ");
 for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
 if (isPrime(i)) {
 printf("%d ", i);
 }
 }
 printf("\n");
}

int main() {
 int n;
 printf("Digite o valor máximo do intervalo para gerar números primos: ");
 scanf("%d", &n);
 printf("Os números primos de 1 a %d são:\n", n);
 printPrimes(n);
 return 0;
}

Este código funciona da seguinte forma:

Função isPrime: Determina se um determinado número é primo. Por uma questão de eficiência, primeiro verifica-se se é divisível por 2 e 3 e, em seguida, prossegue verificando em múltiplos de 6.
Função printPrimes: Gera números primos dentro de um intervalo especificado. O 2 é impresso primeiro e, em seguida, apenas os números ímpares são verificados.
Função main: Solicita que o usuário insira o valor máximo do intervalo e imprime os números primos dentro desse intervalo.

Se você compilar e executar este código, os números primos dentro do intervalo especificado serão exibidos.

O Problema de Monty Hall

Sun, 31 Mar 2024 23:41:51 +0900

O que é o Problema de Monty Hall?

O Problema de Monty Hall é um dos jogos apresentados no programa de televisão americano “Let’s Make a Deal”, e consiste no seguinte problema:

Pré-requisitos: Atrás de uma das 3 portas há um prêmio, e as outras 2 estão vazias (prêmios de consolação).

O participante escolhe uma das 3 portas.
O apresentador abre uma das 2 portas não escolhidas pelo participante, revelando que ela está vazia.
Ao participante é perguntado se ele deseja trocar a porta escolhida.

O problema é determinar se é melhor para o participante trocar de porta ou não.

Solução

A solução para o Problema de Monty Hall é a seguinte:

Se o participante não trocar a porta escolhida inicialmente:
- Probabilidade de ganhar: 1/3
- Probabilidade de perder: 2/3
Após o apresentador abrir uma porta vazia:
- Se não trocar, a probabilidade de ganhar: 1/3 (permanece a mesma probabilidade do passo 1)
- Se trocar, a probabilidade de ganhar: 2/3 (a probabilidade de qualquer outra porta do passo 1)

Portanto, a probabilidade de ganhar é maior se o participante trocar de porta.

Referência

Wikipedia Monty Hall problem

História da Matemática

Sat, 22 Jul 2023 15:25:10 +0900

Três Problemas Clássicos da Grécia Antiga

Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área (Quadratura do círculo)
Dado um ângulo arbitrário, dividi-lo em três partes iguais (Trissecção do ângulo)
Dado um cubo, construir um cubo com o dobro do volume (Duplicação do cubo)

Espiral de Arquimedes

Em um plano, uma semirreta OB gira em torno de um ponto fixo O com velocidade uniforme. Se a posição inicial for OA, e simultaneamente um ponto P partir de O e se mover ao longo de OB com velocidade constante, a curva traçada pelo ponto P é a Espiral de Arquimedes.

Teorema de Pappus

Cicloide
Concoide de Nicomedes
Cissoide de Diocles
Método das tangentes de Fermat
Método das normais de Descartes

Cronologia

Ano	Evento
c. 3400 a.C.	Sumérios usam fichas de argila para contabilidade
c. 3000 a.C.	Matemática hieroglífica surge no Egito
c. 2800 a.C.	Civilização do Vale do Indo usa pesos e medidas decimais
c. 2700 a.C.	Egípcios usam cordas e trios pitagóricos para verificar ângulos
c. 2500 a.C.	Invenção do ábaco para cálculos
c. 2500 a.C.

Referência

História da Matemática

Os Grandes Gênios da Matemática

Thu, 22 Sep 2022 23:06:37 +0900

Fermat (P. de Fermat, 1601-1665)

Um matemático francês que representou o século XVII. Estabeleceu os fundamentos da geometria analítica, teoria das probabilidades e cálculo diferencial. É também o fundador da teoria dos números.

Diofanto (Diophantus, cerca de 207-291)

Matemático grego. Famoso pela introdução de notação simbólica e pesquisa de soluções racionais. Seu livro “Aritmética” é sua obra-prima. O campo que busca soluções racionais para equações é chamado de análise diofantina.

Euler (L. Euler, 1707-1783)

O rei da matemática nascido na Suíça. Ele obteve conquistas em todas as áreas da matemática. Mais de 700 artigos e 45 livros foram deixados.

Legendre (A. M. Legendre, 1752-1833)

Matemático francês. Deixou inúmeras contribuições em teoria dos números, integrais elípticas e problemas de gravitação. A palavra “Teoria dos Números” (“Théorie des Nombres”) deriva de sua obra principal com este nome.

Kummer (E. E. Kummer, 1810-1893)

Matemático alemão. Ele aplicou a teoria dos números dos corpos ciclotômicos ao Último Teorema de Fermat e obteve grandes resultados.

Descartes (R. Descartes, 1596-1650)

O filósofo francês original. Obras representativas incluem “Discurso do Método”, “Geometria” e “O Mundo”.

Pascal (B. Pascal, 1623-1662)

Filósofo francês conhecido por seus estudos sobre probabilidade e fluidos. Mais tarde, ele se juntou aos jansenistas e se envolveu em atividades religiosas. Os “Pensamentos” (“Pensées”) é uma obra dessa época.

Bachet (C. G. Bachet, 1581-1638)

Um nobre francês que pesquisava quebra-cabeças numéricos como hobby. Ele publicou uma tradução latina da “Aritmética” de Diofanto, incluindo suas próprias anotações de pesquisa.

Wallis (J. Wallis, 1616-1703)

Matemático inglês. Em sua principal obra “Aritmética dos Infinitos”, ele deu uma forma matemática ao conceito de limite e contribuiu para a fundação do cálculo.

Brouncker (W. Brouncker, 1620-1684)

Nobre irlandês. O primeiro presidente da Royal Society (Academia Britânica de Ciências). Um entusiasta da matemática que interagia com Wallis e outros.

Lagrange (J. L. Lagrange, 1736-1813)

Matemático francês nascido na Itália. Sucedeu Euler como diretor de matemática na Academia de Berlim. Teve grandes conquistas em teoria dos números, mecânica analítica, etc.

Siegel (C. L. Siegel, 1896-1981)

Teórico dos números alemão. Fez inúmeras contribuições à teoria analítica dos números.

Fibonacci (L. Fibonacci, cerca de 1175-1250)

Matemático italiano. Em sua obra “Livro do Ábaco”, ele usou os numerais indo-arábicos e trabalhou para popularizá-los. Também discutiu números congruentes em “O Livro dos Quadrados”.

Baker (A. Baker, 1939-)

Teórico dos números britânico. Por sua contribuição à teoria dos números transcendentes, recebeu a Medalha Fields junto com Heisuke Hironaka.

Poincaré (J. Poincaré, 1854-1912)

O matemático francês chamado de o último matemático universal. Deixou obras notáveis não apenas em funções automórficas, geometria não-euclidiana, equações diferenciais, mecânica celeste e eletrodinâmica, mas também em críticas científicas.

Mordell (L. J. Mordell, 1888-1972)

Matemático americano. Seus pais eram imigrantes da Lituânia. Tem muitos artigos sobre a teoria das equações diofantinas, mas o Teorema de Mordell sobre curvas elípticas é particularmente famoso. Weil estendeu isso para o caso de curvas algébricas gerais, e a geometria algébrica aritmética passou por um desenvolvimento explosivo a partir daí.

Weil (A. Weil, 1906-)

Matemático francês de origem judaica. Quando jovem, interessou-se pelo problema de Fermat e, com o objetivo de aplicá-lo à teoria dos números, revisou fundamentalmente a geometria algébrica e forneceu-lhe fundamentos rigorosos. Também é conhecido por seus escritos sobre a história da matemática.

Mersenne (M. Mersenne, 1588-1648)

Padre francês da ordem dos Mínimos. Ele mediou a correspondência entre matemáticos de várias regiões. O número que leva seu nome, o número de Mersenne, foi na verdade concebido por Fermat.

Roberval (G. P. de Roberval, 1602-1675)

Matemático francês. Na época, ele era quase a única pessoa que havia obtido o cargo de professor como matemático, e é conhecido por sua pesquisa sobre a cicloide.

Abel (N. H. Abel, 1802-1829)

Matemático norueguês. Obteve excelentes conquistas na insolubilidade de equações gerais do 5º grau, teoria das funções elípticas, teoria das integrais abelianas, mas morreu jovem.

Jacobi (K. G. Jacob, 1804-1851)

Matemático alemão de origem judaica. Deixou grandes conquistas na teoria das funções elípticas, funções teta, equações diferenciais, cálculo das variações, etc. Apresentou o trabalho de Abel ao mundo. Conhecido também por rejeitar o pragmatismo, afirmando que o propósito da ciência é “a honra do espírito humano”.

Gauss (C. F. Gauss, 1777-1855)

O rei da matemática nascido na Alemanha. Conhecido por suas pesquisas em teoria dos números, geometria não euclidiana, geodésia, séries hipergeométricas, teoria das superfícies e magnetismo terrestre. Era um perfeccionista, e diz-se que não publicava seus resultados a menos que fossem de uma perfeição tão alta que nenhum andaime pudesse ser visto. Sua principal obra é “Disquisitiones Arithmeticae”.

Lamé (G. Lamé, 1795-1870)

Matemático francês. Contribuiu para a mecânica elástica, teoria da condução de calor e outras áreas.

Liouville (J. Liouville, 1809-1882)

Matemático francês. Contribuiu para equações diferenciais, teoria dos números transcendentes e análise complexa.

Cauchy (A. L. Cauchy, 1789-1857)

Matemático francês. Muito produtivo, com inúmeras conquistas em física teórica e matemática. Na França, diz-se que é tão respeitado quanto Gauss.

Galois (E. Galois, 1811-1832)

Matemático francês. Ele esclareceu o teorema de Abel de que equações de grau 5 ou superior geralmente não podem ser resolvidas algebricamente introduzindo o conceito de grupo. Ele morreu jovem em um duelo, mas agora se sabe que foi desencadeado por um problema trivial com uma mulher.

Hensel (K. Hensel, 1861-1941)

Matemático alemão. Aluno de Kronecker. Ele introduziu o sistema p-ádico (análise p-ádica) na teoria dos números, aplicando métodos da teoria das funções.

Hasse (H. Hesse, 1898-1979)

Matemático alemão. Aluno de Hensel, contribuiu para os fundamentos da análise p-ádica e suas aplicações. Consolidação da teoria dos corpos de classes, estudo das funções L de curvas elípticas, etc.

Kronecker (L. Kronecker, 1823-1891)

Matemático alemão de origem judaica. Contribuiu para a teoria das funções elípticas, teoria dos números, etc. Ele também é conhecido por defender a fundamentação aritmética da matemática, mas sua personalidade fortemente subjetiva deu-lhe uma imagem negativa durante a vida por suas críticas irracionais ao seu colega da Universidade de Berlim, Weierstrass, e por impedir o emprego de Cantor.

Hilbert (D. Hilbert, 1862-1943)

Matemático alemão. Deixou marcas gigantescas em todas as áreas da matemática, incluindo teoria dos invariantes, teoria algébrica dos números e fundamentos da matemática. Os 23 problemas que ele propôs no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris (1900) tiveram grande influência no desenvolvimento da matemática.

Riemann (B. Riemann, 1826-1866)

Matemático alemão. Obteve grandes resultados que tocam as raízes da matemática, como o conceito de superfície de Riemann na teoria das funções complexas e a geometria de Riemann.

Faltings (G. Faltings, 1954-)

Matemático alemão. Ele resolveu a conjectura de Mordell em 1983.

Wiles (A. Wiles, 1953-)

Matemático nascido no Reino Unido. Fez grandes contribuições em pesquisas como a conjectura principal de Iwasawa e a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, sendo o líder nesta área.

Referências

O Último Teorema de Fermat foi resolvido! Da prova de Euler à de Wiles. Kodansha.

Filmes com Matemáticos

Mon, 05 Sep 2022 10:41:00 +0900

Aqui estão as minhas 3 principais recomendações de filmes com matemáticos como protagonistas.

Uma Mente Brilhante

Um filme que retrata a vida de um gênio matemático americano da vida real. O final tem uma reviravolta surpreendente. Russell Crowe faz um excelente trabalho no papel principal.

Enigma

Um filme de 2001 baseado no romance “Enigma” de Robert Harris. da Wikipédia

A história da decifração da máquina de criptografia Enigma criada pela Alemanha.

O Jogo da Imitação

Esta também é uma história de decifração de códigos lidando com a Enigma. Eu amo a atmosfera daquela época.

O Homem Que Viu o Infinito

Uma obra que retrata a interação entre o matemático da Universidade de Cambridge, Hardy, e o matemático indiano Ramanujan. Você pode sentir a beleza da matemática.

A Teoria de Tudo

Um filme que retrata a vida do Dr. Hawking.

Particle Fever

【Compreensão Completa com Fórmulas】Por que o 'GNFS', o mais forte algoritmo clássico, é derrotado pelos algoritmos quânticos? A mudança de paradigma da fatoração

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

A segurança da informação na sociedade da internet moderna é protegida por sistemas de criptografia de chave pública, como a criptografia RSA. A base para a segurança da criptografia RSA depende do fato de que “a fatoração de números compostos gigantescos é computacionalmente extremamente difícil” .

Neste artigo, desvendaremos o mecanismo matemático do “Crivo do Corpo de Números Generalizado” (General Number Field Sieve, GNFS), que é o algoritmo de fatoração mais poderoso em computadores clássicos, e aprofundaremos minuciosamente, usando fórmulas matemáticas e diagramas conceituais, a mudança de paradigma de por que ele é completamente superado pelo “Algoritmo de Shor” , descoberto por Peter Shor.

1. A abordagem da fatoração na computação clássica: Evolução do método de fatoração de Fermat

O problema da fatoração de inteiros é o problema de encontrar os números primos $p, q$ tais que $N = p \times q$ , para um dado número composto $N$ .

A ideia básica se resume a encontrar valores não triviais $x, y$ que satisfaçam a seguinte congruência.

$$ x^2 \equiv y^2 \pmod N $$

Rearranjando isto, temos:

$$ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod N $$ $$ (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod N $$

Aqui, se $x \not\equiv \pm y \pmod N$ , podemos calcular o $\gcd(x-y, N)$ ou $\gcd(x+y, N)$ para obter um fator não trivial de $N$ . Este fato forma a base dos algoritmos de fatoração modernos, como o GNFS.

2. O algoritmo clássico mais forte: O abismo do “Crivo do Corpo de Números Generalizado” (GNFS)

O GNFS é o algoritmo de fatoração mais rápido conhecido hoje para computadores clássicos. Sua complexidade de tempo requer um tempo subexponencial (Sub-exponential).

Complexidade de tempo do GNFS

Quando o número de dígitos de $N$ é $b = \log_2 N$ , a complexidade de tempo do GNFS é expressa da seguinte forma:

$$ O\left( \exp \left( \left(\frac{64}{9} b\right)^{1/3} (\log b)^{2/3} \right) \right) $$

Como pode ser visto nesta fórmula, a complexidade não é tempo polinomial, mas sim um “tempo subexponencial” que é ligeiramente mais lento que uma função exponencial. Ainda assim, à medida que o número de dígitos aumenta, o tempo de computação cresce astronomicamente.

Mecanismo matemático do GNFS

O GNFS consiste principalmente em 4 etapas.

Seleção de Polinômios (Polynomial Selection)
Crivagem (Sieving)
Redução de Matriz (Matrix Reduction)
Cálculo da Raiz Quadrada (Square Root)

2.1. Seleção de Polinômios e Corpo Algébrico

Primeiro, escolhemos polinômios irredutíveis $f(x)$ e $g(x)$ com coeficientes inteiros. Eles são configurados para ter uma raiz comum $m$ módulo $N$ . Ou seja,

$$ f(m) \equiv 0 \pmod N $$ $$ g(m) \equiv 0 \pmod N $$

Geralmente, $g(x)$ é escolhido como um polinômio de primeiro grau $g(x) = x - m$ . Se a raiz de $f(x)$ for $\alpha$ , construímos um “corpo de números” (Number Field) chamado $\mathbb{Q}(\alpha)$ . As operações no anel de $\mathbb{Q}(\alpha)$ e as operações no anel comum de inteiros $\mathbb{Z}$ são comparadas através do homomorfismo $\phi: \alpha \mapsto m$ .

2.2. Crivagem (Sieving)

Em seguida, procuramos por uma grande quantidade de pares de inteiros coprimos $(a, b)$ . O objetivo é encontrar pares em que os dois valores a seguir sejam “B-smooth” (compostos apenas por fatores primos relativamente pequenos).

$a - bm$ (valor sobre o anel de inteiros)
$b^d f(a/b)$ (correspondente à norma $N(a - b\alpha)$ sobre o corpo algébrico)

Aqui é usado um método de busca rápido chamado “crivo” (Sieve). Isso extrai eficientemente pares $(a, b)$ que satisfazem as condições de um enorme número de candidatos.

2.3. Redução de Matriz (Linear Algebra over GF(2))

A partir dos pares coletados $(a, b)$ , construímos vetores de expoentes e encontramos o espaço nulo à esquerda de uma enorme matriz esparsa sobre $\mathbb{F}_2$ (um corpo cujos elementos são apenas 0 e 1).

Encontramos o vetor $v$ como uma solução tal que as relações $ \prod (a_i - b_i m) $ e $ \prod (a_i - b_i \alpha) $ se tornem quadrados perfeitos. Isto não é nada mais do que resolver o seguinte sistema de equações lineares:

$$ M \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \pmod 2 $$

Aqui, algoritmos avançados de cálculo numérico, como o Algoritmo de Block Lanczos ou o Algoritmo de Block Wiedemann, são utilizados.

2.4. Cálculo da Raiz Quadrada

Por fim, extraímos a raiz quadrada tanto no corpo algébrico quanto no anel de inteiros para derivar a relação $x^2 \equiv y^2 \pmod N$ . Em seguida, calculamos $\gcd(x-y, N)$ para obter os fatores.

3. Um avanço revolucionário pela computação quântica: “Algoritmo de Shor”

Enquanto o GNFS requer tempo subexponencial, o “Algoritmo de Shor” , publicado por Peter Shor em 1994, pode resolver esse problema em “tempo polinomial” usando um computador quântico.

Complexidade do Algoritmo de Shor

Assumindo que o número de qubits seja $O(\log N)$ , a complexidade de tempo é a seguinte:

$$ O((\log N)^3) $$

Isso significa que não há explosão exponencial em relação ao número de bits. É um resultado surpreendente: mesmo para números compostos gigantescos onde o tempo para a “computação clássica” excederia a idade do universo, a “computação quântica” pode descriptografá-los em questão de horas ou dias.

Visão geral do Algoritmo de Shor: Redução ao problema da descoberta de período

O Algoritmo de Shor reduz inteligentemente o problema de fatoração em primos a um “problema de descoberta de período” .

Escolha um inteiro aleatório $a$ que seja coprimo com $N$ ( $1 < a < N$ ).
Defina a função $f(x) = a^x \bmod N$ .
Encontre o período $r$ de $f(x)$ , ou seja, o menor inteiro positivo $r$ tal que $a^r \equiv 1 \pmod N$ .
Se $r$ for par, verifique se $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$ , calcule $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ e obtenha o fator primo.

Esta “descoberta do período $r$ “ na etapa 3 é o gargalo que leva tempo exponencial em computadores clássicos, mas os computadores quânticos resolvem isso instantaneamente usando a “sobreposição quântica” e a “Transformada de Fourier Quântica” (QFT).

4. Transformada de Fourier Quântica (QFT) e Extração de Período

Vejamos mais de perto as fórmulas matemáticas sobre a manipulação de estados quânticos, que é o núcleo do Algoritmo de Shor.

4.1. Geração de Sobreposição Quântica

Primeiro, preparamos dois registradores quânticos. O Registrador 1 mantém o estado de sobreposição das entradas $x$ , e o Registrador 2 mantém os resultados calculados da função $f(x)$ . Aplicamos a Transformada de Hadamard (Hadamard Transform) ao estado inicial $|0\rangle |0\rangle$ para criar uma sobreposição de todos os possíveis $x$ .

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |0\rangle $$

(onde $Q$ é uma potência de 2 satisfazendo $N^2 \le Q < 2N^2$ )

Em seguida, usamos o oráculo quântico $U_f$ para calcular $f(x) = a^x \bmod N$ e armazená-lo no Registrador 2.

$$ |\psi_2\rangle = U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |a^x \bmod N\rangle $$

Suponhamos agora que medimos o Registrador 2 (embora na realidade a estrutura matemática seja a mesma mesmo sem medição). Se observarmos um determinado valor $y = a^{x_0} \bmod N$ , o estado do Registrador 1 colapsa para uma sobreposição de todos os $x$ onde $f(x) = y$ . Se o período for $r$ , esses $x$ serão $x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, \dots$

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k=0}^{M-1} |x_0 + kr\rangle $$

(onde $M \approx Q/r$ é o número de termos)

Este estado contém inerentemente a informação sobre o período $r$ , mas medir isso diretamente apenas nos dá um $x_0 + kr$ aleatório, não revelando $r$ . É aqui que entra a QFT.

4.2. Aplicação da Transformada de Fourier Quântica (Quantum Fourier Transform)

A QFT é uma operação que aplica uma transformada discreta de Fourier às amplitudes do estado quântico. A ação da QFT no estado $|x\rangle$ é definida como segue:

$$ \text{QFT} |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} e^{2\pi i \frac{xy}{Q}} |y\rangle $$

A aplicação disto a $|\psi_3\rangle$ induz interferência de fase (interferência quântica).

$$ |\psi_4\rangle = \text{QFT} |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{MQ}} \sum_{y=0}^{Q-1} \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{(x_0 + kr)y}{Q}} |y\rangle $$

Ao expandir o somatório desta equação, surge a parte:

$$ \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{kry}{Q}} $$

Esta soma da série geométrica reforça-se mutuamente (Interferência Construtiva) apenas quando $ry/Q$ é próximo a um número inteiro e se cancela em outros momentos (Interferência Destrutiva).

Portanto, o estado $|y\rangle$ medido com alta probabilidade será um número inteiro $y$ que satisfaz a condição:

$$ \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

(onde $c$ é algum inteiro).

4.3. Identificação do Período por Expansão em Frações Contínuas

Após obter $y$ pela medição, utilizamos um computador clássico para realizar a “expansão em frações contínuas” (Continued Fraction Expansion) de $y/Q$ . Isso nos permite calcular a fração aproximada $c/r$ de $y/Q$ e extrair de forma altamente eficiente os candidatos ao período $r$ a partir do denominador.

5. Comparação de Modelos Conceituais e Mudança de Paradigma

Para entender intuitivamente a diferença entre o GNFS e o Algoritmo de Shor, mostramos um diagrama conceitual usando a notação Mermaid.

Diagrama conceitual do Algoritmo de Shor via circuito quântico

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graph TD
 A[Estado inicial: 0...0] --> B[Sobreposição de todos os estados por Transformada de Hadamard]
 B --> C[Exponenciação modular a^x mod N]
 C -->|Emaranhamento quântico| D[Colapso para um estado com periodicidade]
 D --> E[Transformada de Fourier Quântica QFT]
 E -->|Amplificação de probabilidade por interferência| F[Medição: obter y]
 F --> G[Processamento clássico: expansão em frações contínuas]
 G --> H[Descoberta do período r]
 H --> I[Cálculo dos fatores primos de N]

 style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
 style E fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
 style I fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

A essência da mudança de paradigma

O GNFS adota uma abordagem que consiste em “buscar relações dentro de um espaço matemático (corpo algébrico)” . No entanto, como o espaço de busca se expande exponencialmente em relação ao número de dígitos, com as capacidades computacionais clássicas (incluindo paralelização), a decodificação se torna quase impossível quando o tamanho da chave excede os 2048 bits.

Por outro lado, o Algoritmo de Shor utiliza a “natureza de onda devido à interferência quântica” . Ele avalia simultaneamente todos os caminhos computacionais na sobreposição de estados e usa a QFT para cancelar respostas desnecessárias (interferência destrutiva) enquanto amplifica apenas a amplitude de probabilidade do período correto (interferência construtiva). Com isso, ao invés de buscar no espaço, atinge uma abordagem de dimensão completamente diferente onde “surge a própria resposta correta” .

6. Conclusão

Neste artigo, aprofundamo-nos nos contextos matemáticos e nas estruturas de algoritmos, comparando o “GNFS” , o pico absoluto do limite clássico, com o “Algoritmo de Shor” , que demonstra o poder da computação quântica.

Enquanto o GNFS usa técnicas matemáticas sofisticadas, como a escolha de polinômios e cálculos matemáticos com grandes matrizes, para reduzir o tempo computacional a um tempo subexponencial, o Algoritmo de Shor combina os princípios fundamentais da mecânica quântica, sobreposição e interferência, com ferramentas matemáticas (QFT) para produzir um avanço instantâneo ao tempo polinomial.

No momento, não existe nenhum computador quântico tolerante a falhas (FTQC) capaz de executar o Algoritmo de Shor em escala prática (milhares de qubits). No entanto, a própria existência dessa mudança de paradigma matemático e teórico é a principal razão pela qual há atualmente uma rápida e urgente transição para a Criptografia Pós-Quântica (PQC: Post-Quantum Cryptography) no mundo todo.