이산적인 팩토리얼을 매끄러운 곡선으로 연결하는 '감마 함수'. 그 정의, 성질, 오일러의 발견 역사부터 해석적 연속, 스털링 근사, 그리고 현대 과학에서의 응용까지 깊이 있게 해설합니다.
선형대수학에서 가장 중요한 개념 중 하나인 고윳값과 고유벡터에 대해, 그 기하학적 의미부터 구체적인 계산 방법, 그리고 기계 학습과 물리학에서의 응용까지 자세히 설명합니다. Python 구현 예제를 통해 직관적인 이해를 돕습니다.
선형대수학의 중요 개념인 "그람-슈미트 직교화"에 대해 기하학적 직관부터 수학적 공식화, 수치적 안정성을 고려한 수정 버전, Python 구현 및 다항식 공간으로의 응용까지 포괄적으로 설명합니다.
라플라스 변환의 기초부터 미분 방정식에의 응용까지 철저하게 해설합니다. 시간 영역과 복소 주파수 영역을 오가는 강력한 수학적 도구의 본질을 파헤칩니다.
복소해석학의 하이라이트인 유수 정리를 사용하여 난해한 실수의 정적분을 놀랍도록 쉽게 계산하는 방법을 자세히 설명합니다. 분기 절단과 키홀 적분도 포함됩니다.
미적분학의 기초가 되는 ε-δ 논법에 대해 역사적 배경부터 구체적인 증명 방법까지 직관적인 게임의 비유를 섞어 자세히 해설합니다. 왜 직관적인 극한의 정의가 실패하는지 그 수수께끼를 풀어봅니다.
미적분학의 기초를 뒷받침하는 '중간값 정리'와 '평균값 정리'에 대해 그 직관적인 의미부터 엄밀한 수학적 증명, 그리고 응용 사례까지 깊이 있게 파헤쳐 봅니다.
복소해석학에서 가장 중요한 정리 중 하나인 코시의 적분 정리에 대해 직관적인 의미부터 그린 정리를 이용한 증명 스케치, 그리고 적분 공식으로의 응용까지 자세히 설명합니다.
미적분학의 비법인 테일러 전개와 매클로린 전개에 대해, 직관적인 의미부터 수학적 유도, 프로그래밍 및 물리학에서의 응용까지 자세히 설명합니다.
복잡한 파형을 단순한 사인파와 코사인파의 중첩으로 표현하는 '푸리에 급수'와 이를 비주기 함수로 확장한 '푸리에 변환'에 대해 자세히 설명합니다.
목걸이 색칠하기를 예로 들어 회전으로 인해 겹치는 무늬의 중복을 제거하는 방법을 설명합니다. 군론에 대한 실용적인 입문서입니다.
동전 지불 방법이나 조합의 수를 식의 계수로 계산하는 방법을 소개합니다. 피보나치 수열에도 응용할 수 있는 생성함수의 마법을 해설합니다.
경계 규칙에 따라 꼭짓점을 칠할 때 3색의 작은 삼각형이 반드시 나타남을 설명합니다. 이는 고정점 정리로 향하는 다리가 됩니다.
이동하는 양과 거리로부터 운송 비용을 고려하여, 분포 간의 차이를 측정하는 바서슈타인 거리로 연결합니다.
올바른 괄호 배열, 이진 트리, 다각형의 삼각 분할을 연결하는 신비한 수열 '카탈란 수'에 대해 설명합니다. 재귀 및 동적 계획법을 이용한 계산 방법도 소개합니다.
격자점을 꼭짓점으로 하는 구멍 없는 다각형에 대해, 내부와 경계에 있는 점의 개수로부터 넓이를 구하는 공식을 그림과 증명과 함께 자세히 해설합니다.
3차원 공간에서 세 물체의 부피를 동시에 이등분하는 평면이 항상 존재한다는 햄 샌드위치 정리에 대한 직관적인 설명부터 보르수크-울람 정리까지 자세히 알아봅니다.
6명이 모이면 서로 아는 3명이나 서로 모르는 3명이 반드시 존재합니다. 램지 수 R(3,3)=6을 색칠한 그림으로 증명하고, 5명의 반례, 총 32,768가지 경우의 검증, 수열 및 네트워크 응용까지 해설합니다.
게일–섀플리 알고리즘을 수식, 관계도, 순위 비교 그래프와 Python으로 알아봅니다. 안정적인 매칭과 모두가 만족하는 매칭이 어떻게 다른지 살펴봅니다.
같은 확률로 나오는 카드 10종류를 모두 모으려면 평균 약 29.3회가 필요합니다. 하지만 30회 안에 모을 확률은 약 63%입니다. 수식, 그래프, Python 시뮬레이션으로 이유를 알아봅니다.
