시작하며: 랜덤 워크란 무엇인가?
랜덤 워크(Random Walk)란, 다음 위치가 확률적으로 무작위(랜덤)하게 결정되는 운동을 가리키는 수학적 개념입니다. 흔히 ‘취보(醉步, 술 취한 사람의 걸음)‘라고도 불립니다. 이는 술에 취한 사람이 비틀거리며 오른쪽, 왼쪽으로 흔들흔들 걷는 모습에 비유되기 때문입니다. 언뜻 보면 무질서하고 예측 불가능한 움직임 같지만, 많은 걸음이 쌓이면 그 속에서 놀랍도록 아름답고 규칙적인 수학적 법칙이 떠오르게 됩니다.
이 글에서는 가장 단순한 1차원 랜덤 워크의 기초에서 출발하여, 이것이 어떻게 물리학의 확산 현상이나 브라운 운동과 연결되는지, 그리고 고차원 공간에서의 랜덤 워크가 가지는 흥미로운 성질에 대해 수식을 곁들여 깊이 파헤쳐 보겠습니다. 랜덤 워크의 이해는 물리학이나 수학에 그치지 않고, 금융 공학과 정보 과학 등 현대의 다양한 분야에서 필수적인 교양이 되었습니다.
역사적 배경: 칼 피어슨의 질문
랜덤 워크라는 용어가 처음 학술적으로 사용된 것은 1905년 영국의 수리 통계학자 칼 피어슨(Karl Pearson)이 과학 잡지 《네이처》에 기고한 짧은 질문 기사에서였습니다. 그는 다음과 같은 문제를 제시했습니다.
“어떤 사람이 원점에서 출발하여 길이 $l$ 의 직선을 무작위 방향으로 걷는다. 이것을 $n$ 번 반복했을 때, 출발점으로부터의 거리가 $r$ 과 $r + dr$ 사이에 있을 확률은 얼마인가?”
이 질문에 대해 레일리 경(Lord Rayleigh)이 자신의 음향학 연구 중 ‘여러 음파의 중첩’에 관한 수학 공식이 그대로 적용될 수 있음을 지적했습니다. 이것이 랜덤 워크 이론이 널리 알려지게 된 계기입니다.
1차원 랜덤 워크의 엄밀한 수학적 공식화
확률적 이동의 정의
가장 단순한 1차원 랜덤 워크를 생각해 봅시다. 수직선 위의 원점 $x = 0$ 에 있는 입자가 단위 시간마다 확률 $p$ 로 오른쪽 방향으로 $+1$, 확률 $q = 1 - p$ 로 왼쪽 방향으로 $-1$ 이동한다고 합시다. 여기서는 단순하게 $p = q = 1/2$ 인 대칭 랜덤 워크(Symmetric Random Walk)를 다룹니다.
제 $i$ 번째 걸음에서의 이동량을 확률 변수 $X_i$ 라고 하면, $X_i$ 는 다음의 값을 가집니다.
$$ X_i = \begin{cases} +1 & (\text{확률 } 1/2) \\ -1 & (\text{확률 } 1/2) \end{cases} $$$n$ 걸음을 나아간 후의 입자 위치 $S_n$ 은 각 단계의 이동량의 합으로 다음과 같이 표현됩니다.
$$ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i $$
flowchart LR
A["위치 0"] -->|"+1 (확률 1/2)"| B["위치 +1"]
A -->|"-1 (확률 1/2)"| C["위치 -1"]
B -->|"+1"| D["위치 +2"]
B -->|"-1"| A
C -->|"+1"| A
C -->|"-1"| E["위치 -2"]
%% 1차원 이동을 나타내는 기본 흐름도
도달 확률과 이항 분포
$n$ 걸음의 이동 중, 오른쪽으로 $k$ 걸음, 왼쪽으로 $n - k$ 걸음 나아갔다고 합시다. 이때의 위치 $S_n$ 은 다음과 같습니다.
$$ S_n = k \times (+1) + (n - k) \times (-1) = 2k - n $$위치가 $m$ 이 되기 위해서는 $m = 2k - n$ 에서 $k = (n + m) / 2$ 번만큼 오른쪽으로 나아가야 합니다. 따라서 위치 $m$ 에 도달할 확률 $P(S_n = m)$ 은 이항 분포를 이용하여 다음과 같이 나타냅니다.
$$ P(S_n = m) = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^n $$참고로 $n$ 과 $m$ 의 홀짝이 일치하지 않을 경우, 이 확률은 $0$ 이 됩니다.
기댓값과 분산의 계산: 흔들림의 퍼짐
다음으로 위치 $S_n$ 의 통계적인 성질을 조사해 봅시다. 먼저, $X_i$ 의 기댓값 $E[X_i]$ 와 분산 $V(X_i)$ 를 구합니다.
$$ E[X_i] = (+1) \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0 $$$$ V(X_i) = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 = (1)^2 \times \frac{1}{2} + (-1)^2 \times \frac{1}{2} - 0 = 1 $$각 걸음의 이동 $X_i$ 는 서로 독립이므로, $n$ 번째 걸음 위치 $S_n$ 의 기댓값과 분산은 다음과 같습니다.
$$ E[S_n] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = 0 $$$$ V(S_n) = \sum_{i=1}^n V(X_i) = n $$이 결과는 매우 중요합니다. 기댓값이 $0$ 이라는 것은 평균적으로는 원점에 머무름 을 의미합니다. 그러나 분산이 $n$ 에 비례하여 커지기 때문에, 표준 편차(흩어짐의 지표)는 $\sqrt{n}$ 이 됩니다. 즉, 걸음 수 $n$ 이 늘어남에 따라 입자의 존재 범위는 $\sqrt{n}$ 의 크기로 서서히 넓어져 가는 것을 알 수 있습니다. 시간은 $n$ 으로 진행하는데 이동 거리는 $\sqrt{n}$ 밖에 나아가지 못하는 비효율성이 랜덤 워크의 가장 큰 특징입니다.
스털링의 근사와 중심 극한 정리: 가우스 분포로의 수렴
걸음 수 $n$ 이 매우 클 경우, 이항 분포의 계산은 어려워집니다. 여기서 팩토리얼의 근사식인 스털링의 근사(Stirling’s approximation) $n! \approx \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$ 을 이용하여 이항 계수를 평가하면, 이산적인 확률 분포는 연속적인 정규 분포 (가우스 분포)로 수렴합니다.
위치 $x$ 를 연속 변수로 간주하고, 분산이 $n$ 임을 고려하면 확률 밀도 함수 $f(x, n)$ 은 다음의 형태로 점근합니다.
$$ f(x, n) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \exp\left( - \frac{x^2}{2n} \right) $$이것은 바로 중심 극한 정리가 보여주듯이, 독립 동일 분포를 따르는 확률 변수의 합이 정규 분포로 수렴한다는 것의 직접적인 표현입니다.
확산 방정식(열전도 방정식)의 도출: 이산에서 연속으로
랜덤 워크는 미시적인 입자의 움직임을 기술하는 모델이지만, 이를 거시적인 연속 극한에서 보면 확산 방정식 으로 파악할 수 있습니다.
공간을 미소한 간격 $\Delta x$, 시간을 미소한 간격 $\Delta t$ 로 나눕니다. 위치 $x$, 시간 $t$ 에서의 입자 존재 확률을 $P(x, t)$ 라 합시다. 시각 $t + \Delta t$ 에 입자가 위치 $x$ 에 존재할 확률은, 시각 $t$ 에 위치 $x - \Delta x$ 또는 $x + \Delta x$ 에서 이동해 왔을 확률의 합입니다.
$$ P(x, t + \Delta t) = \frac{1}{2} P(x - \Delta x, t) + \frac{1}{2} P(x + \Delta x, t) $$이 식의 양변에서 $P(x, t)$ 를 빼고 다음과 같이 변형합니다.
$$ P(x, t + \Delta t) - P(x, t) = \frac{1}{2} \left[ P(x - \Delta x, t) - 2P(x, t) + P(x + \Delta x, t) \right] $$양변을 $\Delta t$ 로 나누고, 우변에는 $(\Delta x)^2 / (\Delta x)^2$ 를 곱합니다.
$$ \frac{P(x, t + \Delta t) - P(x, t)}{\Delta t} = \frac{(\Delta x)^2}{2 \Delta t} \frac{P(x - \Delta x, t) - 2P(x, t) + P(x + \Delta x, t)}{(\Delta x)^2} $$여기서 극한 $\Delta x \to 0$ 및 $\Delta t \to 0$ 을 취합니다. 극한에서 $D = \lim \frac{(\Delta x)^2}{2 \Delta t}$ 가 유한한 상수(확산 계수)가 된다고 가정하면, 좌변은 시간에 대한 1계 미분, 우변은 공간에 대한 2계 미분이 되어 다음의 편미분 방정식을 얻습니다.
$$ \frac{\partial P}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} $$이것이 확산 방정식 이며, 물리학의 열전도 방정식과 완전히 같은 형태를 하고 있습니다. 미시적인 무작위 움직임이 거시적인 연속적인 퍼짐(확산)을 표현하고 있음이 수학적으로 증명되는 순간입니다.
stateDiagram-v2
direction LR
state "미시적 관점" as Micro {
[*] --> 랜덤워크
랜덤워크 --> 이산적단계
}
state "거시적 관점" as Macro {
[*] --> 확산방정식
확산방정식 --> 연속적퍼짐
}
Micro --> Macro : "연속 극한 (Δx, Δt → 0)"
%% 이산에서 연속으로의 이행을 나타내는 그림
브라운 운동과 위너 과정: 아인슈타인의 업적
랜덤 워크를 연속화한 것이 브라운 운동 (Brownian Motion)입니다.
1827년, 식물학자 로버트 브라운은 물속의 꽃가루에서 방출된 미립자가 불규칙하게 움직이는 것을 발견했습니다. 오랫동안 수수께끼였던 이 현상을 1905년 알베르트 아인슈타인이 “물 분자가 미립자에 무작위로 충돌함으로써 일어나는 랜덤 워크“로서 수학적으로 설명했습니다. 아인슈타인은 확산 방정식을 이용하여 입자의 평균 제곱 변위가 시간에 비례한다는 것 $\langle x^2 \rangle = 2Dt$ 을 이끌어 냈습니다.
수학적으로는 브라운 운동을 엄밀하게 공식화한 것을 위너 과정 $W(t)$ 라고 부릅니다. 다음 성질을 만족합니다.
- $W(0) = 0$
- 증분 $W(t) - W(s)$ 는 정규 분포 $\mathcal{N}(0, t-s)$ 를 따른다.
- 독립 증분성을 가진다.
- 궤적은 확률 $1$ 로 연속이지만, 어디에서도 미분 불가능 하다.
고차원으로의 확장: 폴리아의 재귀 정리
공간을 2차원(평면)이나 3차원(입체)으로 확장하면 매우 흥미로운 정리가 나타납니다. 1921년 조지 폴리아(George Pólya)가 증명한 폴리아의 재귀 정리 입니다.
무한히 넓은 격자 공간에서 랜덤 워크를 할 때, 출발점(원점)으로 다시 돌아올 확률(재귀 확률)은 차원에 따라 다릅니다.
- 1차원 및 2차원 의 경우: 재귀 확률은 $1$(100%). 무한한 시간을 들이면 반드시 원점으로 돌아온다.
- 3차원 이상의 경우: 재귀 확률은 $1$ 미만(3차원의 경우 약 $0.3405$). 원점으로 두 번 다시 돌아오지 않을 확률이 양의 값으로 존재한다.
가쿠타니 시즈오가 한 유명한 농담이 있습니다.
“A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever.” (술 취한 사람은 반드시 집에 돌아갈 수 있지만, 술 취한 새는 영원히 길을 잃을지도 모른다)
지상(2차원)을 걷는 술 취한 사람은 언젠가는 출발점으로 돌아올 수 있지만, 하늘(3차원)을 나는 새는 공간이 너무 넓기 때문에 미아가 될 가능성이 있는 것입니다.
flowchart TD
Start["원점 출발"] --> Dim12{"1차원·2차원?"}
Dim12 -- "Yes" --> Ret12["확률 1 로 돌아옴 (재귀적)"]
Dim12 -- "No (3차원 이상)" --> Ret3["확률 < 1 (비재귀적)"]
%% 폴리아의 재귀 정리 분기
금융 공학으로의 응용: 기하 브라운 운동과 블랙-숄즈 방정식
랜덤 워크 이론은 물리학에만 머물지 않습니다. 효율적 시장 가설 하에서는 금융 시장의 주가 변동도 랜덤 워크를 따른다고 간주됩니다.
주가 $S_t$ 는 음의 값을 갖지 않도록 로그 정규 분포를 가정한 기하 브라운 운동 (Geometric Brownian Motion)으로 모델링됩니다.
$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$여기서 $\mu$ 는 드리프트(기대 수익률), $\sigma$ 는 변동성(가격 변동률), $W_t$ 는 위너 과정입니다. 이 모델을 기초로 옵션 가격의 적정 가격을 도출하는 블랙-숄즈 방정식 이 구축되어 현대 금융 공학의 초석이 되었습니다.
파이썬을 이용한 랜덤 워크 시뮬레이션
이론뿐만 아니라 실제로 프로그램을 구동하여 시각화함으로써 이해를 깊게 할 수 있습니다. 파이썬을 이용하여 2차원 랜덤 워크 시뮬레이션을 해봅시다.
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이 코드를 실행하면 평면 위를 무작위로 헤매는 궤적이 그려집니다. 국소적으로는 완전히 무작위지만 전체적으로는 프랙탈적인 자기 유사 구조를 가지는 아름다운 무늬를 관찰할 수 있을 것입니다.
마치며
이 글에서는 가장 단순한 ‘취보’에서 출발하여 중심 극한 정리에 의한 가우스 분포로의 수렴, 확산 방정식의 도출, 아인슈타인에 의한 브라운 운동 해명, 폴리아의 정리, 그리고 금융 공학 응용까지 랜덤 워크에 얽힌 수학적 배경을 자세히 해설했습니다.
지극히 단순하고 무질서한 규칙의 반복에서 거시적인 세계를 지배하는 보편적인 법칙(미분 방정식이나 정규 분포)이 자연스럽게 나타난다는 사실은 수학이나 물리학의 가장 매력적이고 감동적인 측면 중 하나입니다. 랜덤 워크의 개념은 앞으로도 다양한 미지의 현상을 밝혀내기 위한 강력한 무기로 남을 것입니다.