1. 궁극의 호텔에 오신 것을 환영합니다

독일의 위대한 수학자 다비트 힐베르트는 ‘무한’이라는 개념이 인간의 직관과 얼마나 동떨어져 있는지를 설명하기 위해 다음과 같은 흥미로운 사고 실험을 고안했습니다.

상상해 보세요. 우주 어딘가에 **“힐베르트의 무한 호텔”**이라는 호텔이 있습니다. 이 호텔에는 1호실, 2호실, 3호실……과 같이 번호가 매겨진 객실이 무한 개 존재합니다.

어느 날, 우주 전역에서 큰 행사가 열려 이 무한 호텔은 모든 방에 손님이 들어차 **“만실”**이 되었습니다. 그때 몹시 지친 한 명의 여행자가 찾아와 프런트에 “방을 하나 비워주실 수 있나요?“라고 물었습니다.

보통의 호텔이라면 “죄송합니다, 만실입니다"라고 거절할 수밖에 없습니다. 하지만 이곳은 무한 호텔입니다. 지배인은 “알겠습니다. 바로 방을 준비해 드리겠습니다"라며 미소 지었습니다. 만실인데 어떻게 새로운 손님을 투숙시킬 수 있을까요?

2. 케이스 1: 1명의 새로운 손님을 투숙시키는 방법

지배인은 구내방송으로 이미 투숙하고 있는 모든 손님에게 다음과 같이 안내했습니다.

“손님 여러분께 안내 말씀드립니다. 현재의 방 번호에 ‘플러스 1’을 한 번호의 방으로 이동해 주시기 바랍니다.”

그러면 어떻게 될까요?

• 1호실 손님은 2호실로 이동합니다.
• 2호실 손님은 3호실로 이동합니다.
• 3호실 손님은 4호실로 이동합니다.
• $n$호실 손님은 $n+1$호실로 이동합니다.

방은 무한히 있으므로 “가장 마지막 방의 손님이 쫓겨난다"는 일은 일어나지 않습니다. 모두가 옆 방으로 무사히 이사할 수 있습니다. 그리고 마침내 1호실이 빈방이 되었습니다. 새로운 여행자는 무사히 1호실에 머물 수 있게 된 것입니다.

무한의 세계에서는 $\infty + 1 = \infty$ 가 성립합니다. “전체(무한)” 중에서 “1개"를 빼내어도 전체의 크기는 변하지 않는 것입니다.

3. 케이스 2: 무한 명의 새로운 손님을 투숙시키는 방법

자, 다음 날. 호텔은 다시 만실 상태로 돌아갔습니다. 그런데 이번에는 무려 “무한 명의 승객"을 태운 무한 버스가 도착했습니다. 버스에서 내린 손님들은 “우리 모두가 묵을 방을 준비해 주시오!“라며 프런트로 몰려들었습니다.

어제와 똑같이 “플러스 1"의 이동을 부탁하다가는 영원히 시간이 걸리고 말 것입니다. 하지만 지배인은 당황하지 않습니다. 다시 구내방송을 켰습니다.

“손님 여러분께 안내 말씀드립니다. 현재의 방 번호를 ‘2배’ 한 번호의 방으로 이동해 주시기 바랍니다.”

그러면 어떻게 될까요?

• 1호실 손님은 2호실로 이동합니다.
• 2호실 손님은 4호실로 이동합니다.
• 3호실 손님은 6호실로 이동합니다.
• $n$호실 손님은 $2n$호실로 이동합니다.

이 이동을 통해 이미 투숙하고 있던 무한 명의 손님은 **“모든 짝수 번호의 방”**에 쏙 들어가게 되었습니다. 그리고 기적적으로 “모든 홀수 번호의 방(1호실, 3호실, 5호실…)“이 완전히 빈방이 된 것입니다!

홀수도 무한히 존재하므로, 지배인은 무한 버스의 승객을 맨 앞부터 차례대로 1호실, 3호실, 5호실…로 안내해 나가면 모두를 투숙시킬 수 있습니다.

무한의 세계에서는 $\infty + \infty = \infty$ 가 성립합니다. 무한에 무한을 더해도 역시 크기는 같은 “무한” 그대로인 것입니다.

4. 케이스 3: 무한 대의 무한 버스가 도착한다면?

그리고 또 다음 날. 또다시 호텔은 만실입니다. 그런데 놀랍게도 “무한 명의 승객을 태운 무한 버스가 무한 대” 연달아 도착했습니다.

버스 1호차에 무한 명, 버스 2호차에 무한 명, 버스 3호차에 무한 명…… 이것이 무한 대 이어집니다. 아무리 지배인이라도 패닉에 빠질 법하지만, 그는 수학의 천재였습니다. ‘소수’를 사용할 생각을 해낸 것입니다.

지배인은 다음과 같이 지시를 내렸습니다.

1. 이미 호텔에 투숙하고 있는 손님의 이동 현재 방 번호를 $n$이라고 했을 때, “$2^n$ 호실"로 이동하게 합니다. (1호실 $\rightarrow$ 2호실, 2호실 $\rightarrow$ 4호실, 3호실 $\rightarrow$ 8호실…) 이로써 현재의 손님은 모두 수용되었습니다.

2. 버스 1호차 손님(무한 명)의 안내 손님의 좌석 번호를 $n$이라고 했을 때, “$3^n$ 호실"로 안내합니다. (3호실, 9호실, 27호실…)

3. 버스 2호차 손님(무한 명)의 안내 다음 소수인 5를 사용하여 “$5^n$ 호실"로 안내합니다. (5호실, 25호실, 125호실…)

4. 버스 $k$호차 손님(무한 명)의 안내 $k+1$ 번째 소수 $P$를 사용하여 “$P^n$ 호실"로 안내합니다.

“소인수분해의 유일성(어떤 수든 소수의 곱셈 조합은 1가지뿐이다)“이라는 강력한 수학 정리에 의해, $2^n, 3^n, 5^n, 7^n \dots$ 의 방 번호가 다른 누군가와 중복되는 일은 절대 없습니다.

이렇게 지배인은 **“무한 $\times$ 무한”**이라는 터무니없는 인원의 손님을 1개의 무한 호텔에 훌륭하게 수용해 낸 것입니다!

5. 무한에는 “크기"의 차이가 있다(칸토어의 정리)

힐베르트의 무한 호텔이 가르쳐 주는 것은 “가산 무한(1, 2, 3… 하고 번호를 매겨 셀 수 있는 무한)“은 아무리 더하거나 곱해도 결국 같은 크기의 ‘가산 무한’의 틀 안에 수용되고 만다는 사실입니다.

하지만 수학자 게오르크 칸토어는 더욱 무서운 사실을 발견했습니다. “자연수"나 “분수"는 모두 이 무한 호텔에 묵게 할 수 있습니다. 하지만 “실수(무리수를 포함한 모든 소수)” 손님이 찾아올 경우, 이 무한 호텔을 사용하더라도 절대 모두를 투숙시킬 수 없습니다.

실수의 개수는 무한 호텔의 방 개수(가산 무한)보다 근본적으로 “더 큰(차원이 높은) 무한"임이 증명되어 있습니다. “무한"이라는 단어로 하나로 묶이기 쉽지만, 사실 무한 안에도 “작은 무한"과 “절대 도달할 수 없을 만큼 큰 무한"이라는 계층 구조(농도)가 존재하는 것입니다.

6. 요약: 인간의 직관을 파괴하는 “무한”

힐베르트의 무한 호텔은 우리의 일상생활에서 길러진 “유한의 상식"이 “무한의 세계"에서는 얼마나 통용되지 않는지를 선명하게 그려냅니다.

“전체는 부분보다 크다” “만실인 호텔에는 아무도 들어갈 수 없다” “무한에 무한을 더하면 더 커진다”

이러한 당연한 직관은 모두 보기 좋게 빗나갑니다. 무한의 세계는 역설(직관에 반하는 진리)의 보고입니다. 수학자들은 이 역설을 두려워하는 것이 아니라 논리의 힘으로 제압하고 분류하여 현대의 집합론이라는 아름다운 체계를 만들어 냈습니다.

다음에 “호텔이 만실입니다"라며 거절당했을 때는 꼭 “만약 이 호텔이 힐베르트의 무한 호텔이었다면 어땠을까” 하고 상상해 보시기 바랍니다.