【완전 해부】 최강의 암호 해독 알고리즘 「GNFS」를 C++로 구현하여 이해하기

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <chrono>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

// Boost.Multiprecision의 다정밀도 정수를 사용
using namespace boost::multiprecision;

// ============================================================================
// [SOTA GNFS] General Number Field Sieve (일반 수체 체) 최첨단 로직 프레임워크
// 
// 본 코드는 CADO-NFS 등에서 사용되는 최첨단 GNFS의 5가지 파이프라인을
// C++ (Boost)의 클래스 설계로서 엄밀하게 모델화한 것입니다.
// ============================================================================

struct Relation {
    int64_t a;
    int64_t b;
    std::vector<uint32_t> rational_primes;
    std::vector<uint32_t> algebraic_primes;
};

// ============================================================================
// Phase 1: Polynomial Selection (KleinJung의 알고리즘)
// ============================================================================
class PolynomialSelector {
public:
    int degree;
    std::vector<cpp_int> f; // 대수 측 다항식 f(x)
    std::vector<cpp_int> g; // 유리 측 다항식 g(x) = x - m
    cpp_int m;

    PolynomialSelector(int d) : degree(d) {}

    // base-m 전개를 기반으로 한 초기 다항식 생성 (실제로는 더 고도화된 격자 기저 축소 LLL을 사용)
    void select(const cpp_int& N) {
        std::cout << "[Phase 1] Polynomial Selection (Degree " << degree << ") starting..." << std::endl;
        // 간단한 base-m 전개 (d차)
        // m = N^(1/d)
        cpp_int N_copy = N;
        m = 1;
        // 간단한 m의 근사 (Boost 함수를 사용하지 않는 근사)
        cpp_int low = 1, high = N;
        while (low <= high) {
            cpp_int mid = low + (high - low) / 2;
            cpp_int p = 1;
            for(int i=0; i<degree; ++i) p *= mid;
            if (p <= N) { m = mid; low = mid + 1; }
            else { high = mid - 1; }
        }

        f.resize(degree + 1);
        cpp_int temp = N;
        for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
            f[i] = temp % m;
            temp /= m;
        }
        
        g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
        
        std::cout << "          -> m = " << m << std::endl;
        std::cout << "          -> f(x) = ";
        for(int i = degree; i >= 0; --i) {
            std::cout << f[i] << "x^" << i << (i > 0 ? " + " : "");
        }
        std::cout << "\n[Phase 1] Complete." << std::endl;
    }
};

// ============================================================================
// Phase 2: Lattice Sieving (격자 체)
// ============================================================================
// 최근의 GNFS는 Line Sieve(직선 체)가 아닌 Franke-Kleinjung 등이 제안한
// 특수 q 격자 체 (Special-q Lattice Sieving)를 사용하는 것이 사실상 표준(de facto standard)입니다.
class LatticeSieve {
    uint32_t rational_bound;
    uint32_t algebraic_bound;
    std::vector<uint32_t> rational_fb;
    std::vector<uint32_t> algebraic_fb;

public:
    LatticeSieve(uint32_t rb, uint32_t ab) : rational_bound(rb), algebraic_bound(ab) {}

    void generate_factor_bases() {
        std::cout << "[Phase 2] Generating Factor Bases (Rational Bound: " << rational_bound << ", Algebraic Bound: " << algebraic_bound << ")" << std::endl;
        // (생략) 실제로는 소수 생성 및 르장드르 기호 등으로 필터링을 수행
    }

    std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
        std::cout << "[Phase 2] Special-q Lattice Sieving active..." << std::endl;
        std::vector<Relation> relations;
        // 모의 구현: 실제 격자 체는 수백 GB의 메모리 공간을 블록 단위로 스캔한다.
        // (a, b)의 쌍을 특수 소수 q마다의 격자 (a = i*q + j*...) 에 매핑하고,
        // 캐시 효율을 극한까지 높인 체(Sieve)를 실행한다.
        
        // 데모용으로 더미 관계식(relation)을 1개 추가
        Relation r; r.a = 17; r.b = 3; 
        r.rational_primes = {2, 5}; 
        r.algebraic_primes = {3, 7};
        relations.push_back(r);
        
        std::cout << "[Phase 2] Found " << relations.size() << " relations." << std::endl;
        return relations;
    }
};

// ============================================================================
// Phase 3: Filtering (특이점 제거 및 클리크 병합)
// ============================================================================
class Filter {
public:
    void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
        std::cout << "[Phase 3] Filtering Relations..." << std::endl;
        // 1. Singleton removal (1번밖에 출현하지 않는 소수를 가진 관계식 삭제)
        // 2. Clique merging (희소 행렬을 조밀하게 만들기 위한 관계식 결합)
        // 실제로는 Union-Find 알고리즘 등으로 수억 행의 행렬을 수백만 행까지 압축한다.
        std::cout << "[Phase 3] Matrix size reduced optimally." << std::endl;
    }
};

// ============================================================================
// Phase 4: Linear Algebra over GF(2) (Block Wiedemann 법)
// ============================================================================
class LinearAlgebraGF2 {
public:
    // 최근의 슈퍼컴퓨터 환경에서는 Block Lanczos 법보다 분산 컴퓨팅에
    // 적합한 Block Wiedemann 법(Coppersmith 구현)이 최첨단 기술로 사용된다.
    std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
        std::cout << "[Phase 4] Block Wiedemann algorithm over GF(2) starting..." << std::endl;
        // 스파스(희소) 행렬과 벡터의 곱셈 연산을 반복하여,
        // M * x = 0 mod 2 가 되는 해 벡터(커널)를 여러 개 찾는다.
        
        std::vector<std::vector<int>> dependencies; // 의존 관계 리스트
        // 더미 데이터
        dependencies.push_back({0}); 
        
        std::cout << "[Phase 4] Found " << dependencies.size() << " linear dependencies (perfect squares)." << std::endl;
        return dependencies;
    }
};

// ============================================================================
// Phase 5: Algebraic Square Root (대수적 제곱근)
// ============================================================================
class AlgebraicSquareRoot {
public:
    void compute_and_factor(const std::vector<Relation>& relations, const std::vector<int>& dep, const cpp_int& N) {
        std::cout << "[Phase 5] Algebraic Square Root computation..." << std::endl;
        
        // 1. 유리 측 제곱근 V의 계산 (단순 정수 연산)
        cpp_int V = 1; 
        // V = sqrt( prod(a - bm) ) mod N
        
        // 2. 대수 측 제곱근 gamma의 계산 (Montgomery's method 등)
        // 거대한 대수체 O_K의 원소 gamma를 구하고, 준동형 사상 phi로 현실 세계에 매핑한다.
        // Y = phi(gamma) mod N
        cpp_int Y = 1;

        // 아이디얼 군과 단수 군의 장애물(Obstruction)을 회피하기 위해,
        // Phase 2와 4에서 이차 잉여 기호(Quadratic Characters) 열이 추가되어 있다는 전제.

        std::cout << "          -> Homomorphism map phi applied." << std::endl;
        std::cout << "[Phase 5] Calculating GCD(V - Y, N)..." << std::endl;
        
        cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
        
        if (factor > 1 && factor < N) {
            std::cout << "\n================================================================" << std::endl;
            std::cout << "[SUCCESS] Non-trivial factor found: " << factor << std::endl;
            std::cout << "          Other factor: " << N / factor << std::endl;
            std::cout << "================================================================" << std::endl;
        } else {
            std::cout << "[FAILURE] Trivial solution. Trying next dependency..." << std::endl;
        }
    }
};

// ============================================================================
// Main Execution Pipeline
// ============================================================================
int main() {
    std::cout << "================================================================" << std::endl;
    std::cout << "  [SOTA GNFS] General Number Field Sieve Engine (Boost C++)     " << std::endl;
    std::cout << "================================================================" << std::endl;
    
    // RSA-270 등, 소인수분해하고 싶은 거대한 합성수 N
    cpp_int N("233108530344407544527637656910680524145619812480305449042948611968495918245135782867888369318577116418213919268572658314913060672626911354027609793166341626693946596196427744273886601876896313468704059066746903123910748277606548649151920812699309766587514735456594993207");
    
    // 다항식의 차수 (130자리가 넘는 경우는 통상 5~6차를 선택)
    int degree = 6; 
    
    // 파이프라인 초기화
    PolynomialSelector poly_select(degree);
    LatticeSieve sieve(10000000, 20000000); // 실제 바운드는 수천만~수억
    Filter filter;
    LinearAlgebraGF2 linalg;
    AlgebraicSquareRoot sqrt_step;

    auto start_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();

    // 1. 다항식 선택
    poly_select.select(N);
    
    // 2. 체(Sieve) 처리
    sieve.generate_factor_bases();
    std::vector<Relation> relations = sieve.sieve(poly_select);
    
    // 3. 필터링 (행렬 압축)
    filter.reduce_matrix(relations);
    
    // 4. 선형 대수 (GF(2)에서의 널 스페이스 탐색)
    std::vector<std::vector<int>> dependencies = linalg.solve_nullspace(relations);
    
    // 5. 대수적 제곱근 계산 및 GCD
    for (const auto& dep : dependencies) {
        sqrt_step.compute_and_factor(relations, dep, N);
    }
    
    auto end_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    std::chrono::duration<double> elapsed = end_time - start_time;
    std::cout << "\n[System] SOTA GNFS Pipeline completed in " << elapsed.count() << " seconds." << std::endl;
    
    return 0;
}

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class PolynomialSelector {
    // ...
    void select(const cpp_int& N) {
        // m = N^(1/d) 의 계산 및 base-m 전개
        // ...
        for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
            f[i] = temp % m;
            temp /= m;
        }
        g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
    }
};

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class LatticeSieve {
    // ...
    std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
        // ...
        // (a, b)의 쌍을 특수 소수 q마다의 격자에 매핑하고,
        // 캐시 효율을 극한까지 높인 체(Sieve)를 실행한다.
        // ...
    }
};

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class Filter {
public:
    void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
        // 1. Singleton removal (1번밖에 출현하지 않는 소수를 가진 관계식 삭제)
        // 2. Clique merging (희소 행렬을 조밀하게 만들기 위한 관계식 결합)
    }
};

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class LinearAlgebraGF2 {
public:
    std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
        // 스파스(희소) 행렬과 벡터의 곱셈 연산을 반복하여,
        // M * x = 0 mod 2 가 되는 해 벡터(커널)를 여러 개 찾는다.
    }
};

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class AlgebraicSquareRoot {
public:
    void compute_and_factor(...) {
        // 1. 유리 측 제곱근 V의 계산
        cpp_int V = 1; 
        
        // 2. 대수 측 제곱근 gamma의 계산
        cpp_int Y = 1;

        // ...
        cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
    }
};