아침 출근길 러시. 매일 막히는 도로 때문에 짜증이 난 당신에게 희소식이 들려왔습니다. “교통 체증 해소를 위해 도시 계획 부서에서 최신 지름길(쇼트컷) 도로를 건설했습니다!” 이걸로 내일부터는 조금 더 오래 잘 수 있겠다고 누구나 기대했을 것입니다.
하지만 다음 날, 새로운 도로가 개통되자 상황은 좋아지기는커녕 예전보다 더 심한 대정체를 일으켰고, 모두의 통근 시간이 길어지고 말았습니다.
이것은 도시 전설이나 행정의 실패담이 아닙니다. 1968년 독일의 수학자 디트리히 브라스에 의해 수학적으로 증명된, 네트워크 이론의 유명한 현상 **‘브라스의 역설(Braess’s Paradox)’**입니다.
역설의 모델: 4,000명의 통근자
왜 “길이 늘어났는데도 모두가 느려지는” 현상이 일어나는 것인지, 간단한 수학 모델로 확인해 봅시다.
출발 지점(자택 지역)에서 도착 지점(오피스 타운)으로 향하는 4,000명의 운전자가 있습니다. 처음에는 다음과 같은 2개의 경로(위쪽 경로・아래쪽 경로)밖에 없었습니다.
- 위쪽 경로: 좁은 길 $A$를 지나고, 그 다음 넓은 고속도로 $B$를 통과한다.
- 아래쪽 경로: 넓은 고속도로 $C$를 지나고, 그 다음 좁은 길 $D$를 통과한다.
‘좁은 길’은 차가 늘어나면 막히기 때문에, 소요 시간은 ‘달리고 있는 차의 수 $\div 100$‘분이 걸립니다. ‘넓은 고속도로’는 차가 아무리 많이 와도 막히지 않으며, 항상 ‘45분’이 걸립니다.
[도로 건설 전]의 소요 시간
운전자들은 똑똑하기 때문에, 조금이라도 더 빠른 경로를 선택하려고 합니다. 결과적으로 4,000명은 위쪽 경로(2,000명)와 아래쪽 경로(2,000명)로 균등하게 나뉩니다.
- 위쪽 경로의 소요 시간: $\frac{2000}{100}$ 분(좁은 길) + $45$ 분(고속도로) = $65$분
- 아래쪽 경로의 소요 시간: $45$ 분(고속도로) + $\frac{2000}{100}$ 분(좁은 길) = $65$분
어느 경로를 선택하든, 소요 시간은 모두 ‘65분’으로 안정됩니다.
지름길 도로의 함정
여기서 시장이 “경유지 1에서 경유지 2로, 소요 시간 0분(순식간)에 이동할 수 있는 꿈의 초고속 우회 도로(바이패스)“를 건설했다고 가정해 봅시다.
운전자들은 새로운 경로의 선택지를 얻었습니다. 출발 지점에 선 운전자는 이렇게 생각합니다. “고속도로 C(45분)를 이용하는 것보다, 좁은 길 A를 이용하는 편이 낫다. 최악의 경우 4,000명 전원이 A를 선택한다고 해도 40분(4000/100)이면 충분하기 때문이다.”
따라서 4,000명 전원이 ‘좁은 길 A’로 향합니다. 경유지 1에 도착한 그들은 다시 생각합니다. “고속도로 B(45분)를 이용하는 것보다, 새 우회 도로(0분)를 통과하여 좁은 길 D를 이용하는 편이 낫다. 최악의 경우 전원이 D를 통과하더라도 40분이기 때문이다.”
따라서 4,000명 전원이 ‘새 우회 도로’를 통과하여 ‘좁은 길 D’로 향합니다.
[도로 건설 후]의 소요 시간
모두가 ‘자신에게 가장 빠른(합리적인) 선택’을 한 결과, 전원이 같은 경로(A → 새 우회 도로 → D)를 통과하게 되었습니다.
그 소요 시간을 계산해 봅시다.
- 좁은 길 $A$: $\frac{4000}{100} = 40$분
- 새 우회 도로: $0$분
- 좁은 길 $D$: $\frac{4000}{100} = 40$분
- 합계: $80$분
놀랍게도, 편리한 새로운 지름길이 생겼음에도 불구하고 모두의 통근 시간이 ‘65분’에서 ‘80분’으로 악화되고 말았습니다.
“누구 한 명이라도 뒷길(이전 경로)을 이용하면 되지 않느냐"고 생각할 수도 있지만, 만약 한 명이 뒷길인 고속도로 경로(45분+40분=85분)를 선택하면 지금의 80분보다 더욱 늦어지기 때문에 아무도 경로를 바꾸려 하지 않습니다. 이를 게임 이론에서는 **‘내시 균형’**에 도달했다고 말합니다. 모두가 자신에게 최적인 행동을 취한 결과, 전체적으로는 최악의 결과에 빠져버린 것입니다.
현실 세계에서의 실제 사례
브라스의 역설은 단순한 탁상공론이 아니라, 현실의 도시 교통이나 네트워크 시스템에서 여러 번 관찰되고 있습니다.
- 1969년 독일 슈투트가르트: 교통 체증을 해소하기 위해 새로운 도로를 건설했지만 체증이 악화되었습니다. 결국 그 새로운 도로를 폐쇄하자, 교통 흐름이 개선되었습니다.
- 1990년 뉴욕: 지구의 날 행사로 체증의 메카인 ‘42번가’를 완전히 폐쇄하자, 교통 전문가의 예상과 달리 맨해튼 전체의 교통 체증이 극적으로 해소되었습니다.
- 통신 네트워크: 인터넷의 라우팅이나 전력망에서도 같은 현상이 일어날 수 있습니다. 새로운 케이블이나 회선을 추가하는 순간, 데이터 패킷이 ‘최적이라고 생각되는 최단 경로’에 집중되어 네트워크 전체가 다운되는 경우가 있습니다.
브라스의 역설은 ‘개인의 합리적인 선택(이기주의)의 집합’이 반드시 ‘전체의 최적 결과’를 가져오는 것은 아니다라는 복잡계 사회의 딜레마를 훌륭하게 표현하고 있습니다. 때로는 ‘선택지(자유)를 빼앗는 것’이 모두의 이익이 되는 경우도 있는 것입니다.