제1장: 고전적 블랙홀과 ‘털 없음 정리’

밤하늘에 빛나는 무수히 많은 별들의 이면에는, 빛조차도 빠져나갈 수 없는 암흑의 천체, 블랙홀이 잠복해 있습니다. 아인슈타인이 1915년에 발표한 일반 상대성 이론은, 중력을 ‘시공간의 휘어짐’으로 기술한다는, 물리학 역사상 가장 아름다운 패러다임 전환을 가져왔습니다. 그 직후, 1916년에 칼 슈바르츠실트는 구대칭인 질량 분포가 주변 시공간을 어떻게 휘게 하는지를 보여주는 엄밀해(슈바르츠실트 해)를 발견했습니다. 이것이 블랙홀이라는 개념의 수학적인 여명이었습니다.

고전적인 일반 상대성 이론의 틀에서 블랙홀은 놀라울 정도로 ‘단순’한 존재입니다. 항성이 그 수명을 다하고 자체 중력에 의해 붕괴하는 과정은 지극히 복잡하며, 원래의 항성은 화학 조성, 자기장 구조, 형태의 비대칭성 등 방대한 정보(자유도)를 가지고 있습니다. 그러나 한 번 사건의 지평선(Event Horizon)이 형성되면, 그 복잡한 정보들은 모두 지평선 안쪽으로 은폐되거나 중력파로 외부에 방사되어 버립니다.

이 놀라운 성질을 표현한 것이 존 아치볼드 휠러가 제창한 “블랙홀에는 털이 없다(Black holes have no hair)“는 유명한 말, 즉 ‘털 없음 정리(No-Hair Theorem)‘입니다. 이 정리에 따르면, 정상 상태에 도달한 블랙홀은 다음의 단 세 가지 물리량만으로 완전히 기술되어 버립니다.

1. 질량(Mass, $M$)
2. 전하(Electric Charge, $Q$)
3. 각운동량(Angular Momentum, $J$)

슈바르츠실트 해는 질량만을 가진 가장 단순한 블랙홀이며, 커(Kerr) 해는 질량과 각운동량을 가진 회전 블랙홀, 라이스너-노르드스트룀(Reissner-Nordström) 해는 질량과 전하를 가진 블랙홀, 그리고 커-뉴먼(Kerr-Newman) 해는 이 세 가지 모두를 갖춘 가장 일반적인 해입니다. 아무리 복잡한 물질(철 덩어리든, 반물질이든, 백과사전 더미든)이 블랙홀을 형성했다고 해도, 외부에서 관측 가능한 것은 이 세 가지 매개변수뿐입니다.

그러나 이 극한의 단순함은 물리학의 또 다른 큰 기둥인 ‘열역학(Thermodynamics)’, 특히 ‘열역학 제2법칙’과 심각한 모순을 일으켰습니다. 열역학 제2법칙은 “고립계의 엔트로피는 결코 감소하지 않는다"고 정하고 있습니다. 엔트로피란 계가 가진 미시적인 상태의 수, 즉 ‘정보의 무질서함’의 척도입니다.

만약 블랙홀이 위의 세 가지 매개변만으로 완전히 지정되는 ‘털이 없는’ 존재라면, 그 미시적인 상태 수는 오직 하나(엔트로피는 0)라는 것이 됩니다. 이는 대단한 문제입니다. 엔트로피를 듬뿍 가진 뜨거운 가스나 복잡한 구조를 가진 물질을 블랙홀에 던져 넣었다고 가정해 봅시다. 블랙홀이 그것을 집어삼킨 후, 외부 우주에서 그 물질의 엔트로피는 완전히 소멸해 버립니다. 블랙홀 자체의 엔트로피가 0이라면, 우주 전체의 엔트로피는 감소한 것이 되어 열역학 제2법칙이 파탄 나고 마는 것입니다.

“블랙홀은 우주의 쓰레기통이 아니다”. 이 물리학의 위기를 구하기 위해서는 중력 이론과 열역학, 그리고 양자역학의 융합이라는 전인미답의 영역으로 발을 들여놓아야 할 필요가 있었습니다. 사건의 지평선이라는 절대적인 벽은 정말로 모든 것을 무(無)로 돌려보내 버리는 것일까요? 아니면 블랙홀에는 우리가 아직 모르는 ‘숨겨진 엔트로피’가 존재하는 것일까요? 다음 장에서는 이 수수께끼에 도전한 젊은 물리학자의 획기적인 아이디어를 살펴보겠습니다.

제2장: 베켄슈타인-호킹 공식

블랙홀이 열역학 제2법칙을 깬다는 심각한 역설에 대해, 1972년 프린스턴 대학교의 대학원생이었던 야콥 베켄슈타인은 대담하고 직관적인 가설을 세웠습니다. 그는 스티븐 호킹이 증명한 ‘블랙홀의 면적 정리(블랙홀의 사건의 지평선 면적은 결코 감소하지 않는다)‘에 주목했습니다.

엔트로피도 결코 감소하지 않는다. 블랙홀의 면적도 결코 감소하지 않는다. 이 양자의 유사성은 단순한 우연일까? 베켄슈타인은 “블랙홀의 사건의 지평선 면적이야말로 블랙홀의 엔트로피 그 자체이다"라고 주장했습니다. 물질이 블랙홀에 떨어지면 블랙홀의 질량이 증가하고, 그에 따라 사건의 지평선 면적이 확대됩니다. 물질이 가지고 있던 엔트로피는 잃어버리는 것이 아니라 블랙홀의 면적 증가라는 형태로 보존되며, 일반화된 열역학 제2법칙(우주의 엔트로피 + 블랙홀의 엔트로피의 합은 감소하지 않는다)이 성립한다는 것입니다.

이 획기적인 아이디어는 나중에 호킹의 양자역학적인 해석에 의해 뒷받침되어, ‘베켄슈타인-호킹의 엔트로피 공식’으로 결실을 맺었습니다.

여기서 $S_{BH}$ 는 블랙홀의 엔트로피, $A$ 는 사건의 지평선의 표면적입니다. 비례 상수에는 볼츠만 상수 $k_B$, 빛의 속도 $c$, 뉴턴의 만유인력 상수 $G$, 그리고 디랙 상수(플랑크 상수를 $2\pi$ 로 나눈 것) $\hbar$ 라는 물리학의 기본 상수가 모두 모여 있습니다. 이는 이 공식이 열역학($k_B$), 상대성 이론($c, G$), 그리고 양자역학($\hbar$)이 교차하는 ‘양자 중력 이론’의 금자탑이라는 것을 웅변하고 있습니다.

이 공식이 의미하는 바는 지극히 심오합니다. 엔트로피는 정보량과 등가입니다. 통상 물질의 엔트로피는 그 부피(3차원 공간)에 비례하여 증가합니다(예: 가스를 구성하는 분자의 수). 그러나 블랙홀의 엔트로피는 부피가 아니라 ‘면적(2차원)‘에 비례한다는 것입니다. 공식을 플랑크 길이 $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$ 를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같습니다.

이것은 사건의 지평선을 한 변이 플랑크 길이(약 $1.6 \times 10^{-35}$ 미터)인 미세한 정사각형 타일로 덮었을 때, 4개의 타일(4 플랑크 면적)당 1비트의 정보(엔트로피)가 축적되어 있음을 의미합니다. 블랙홀에 떨어진 물질의 3차원적인 정보는 모두 2차원의 사건의 지평선 상에 ‘홀로그램’처럼 기록되어 있다. 이 경악스러운 사실은 후의 ‘홀로그래픽 원리’로 이어지는 가장 중요한 복선이 됩니다.

그러나 엔트로피가 존재한다는 것은, 열역학의 기본 관계식으로부터 블랙홀이 ‘온도’를 가짐을 불가피하게 의미합니다. 열역학 제1법칙 $dE = T dS$ 에 블랙홀의 질량 에너지 $E = Mc^2$ 와 베켄슈타인의 엔트로피를 대입하면, 블랙홀의 온도 $T$ 는 ‘표면 중력(surface gravity) $\kappa$‘에 비례한다는 것이 유도됩니다.

당초 호킹 자신을 포함해 많은 물리학자들은 “블랙홀은 모든 것을 빨아들일 뿐 아무것도 방출하지 않으므로 온도는 절대 영도일 것이다"라고 생각하여 베켄슈타인의 가설에 회의적이었습니다. 온도를 가진 물체는 열복사(흑체 복사)를 해야만 합니다. 블랙홀이 빛을 내뿜는 일 따위가 있을 수 있을까요?

호킹은 베켄슈타인의 오류를 증명하고자, 굽은 시공간에서의 양자장론을 블랙홀에 적용하는 계산에 몰두했습니다. 그러나 그가 도달한 것은, 자신의 예상을 뿌리째 뒤집는, 물리학 역사상 가장 아름다운 발견 중 하나였습니다. 블랙홀은 양자역학적 효과에 의해 확실히 빛나고 있었던 것입니다.

제3장: 호킹 복사의 발견

1974년, 스티븐 호킹은 “블랙홀은 검지 않다"라는 충격적인 논문을 발표했습니다. 그는 고전적으로는 아무것도 빠져나갈 수 없어야 할 사건의 지평선에서, 양자역학적인 터널 효과에 의해 입자가 방출되는 현상, 즉 ‘호킹 복사(Hawking Radiation)‘를 이론적으로 이끌어낸 것입니다.

이 현상을 이해하기 위해서는 ‘진공’에 대한 양자역학적 관점의 전환이 필요합니다. 양자장론에 따르면, 진공은 ‘아무것도 없는 공간’이 아니라 끊임없이 입자와 반입자 쌍(가상 입자)이 생성되었다가 쌍소멸을 반복하는 ‘양자적 요동’의 바다입니다. 통상적으로 이 가상 입자의 쌍은 순식간에 소멸해버리기 때문에 직접 관측할 수는 없습니다.

그러나 이 쌍생성이 블랙홀과 극히 가까운, 사건의 지평선 바로 바깥에서 일어났을 경우 극적인 사태가 발생합니다. 사건의 지평선 부근의 강렬한 기조력(중력의 기울기)에 의해 생성된 입자 쌍이 끌려 나뉘는 것입니다. 한 입자가 사건의 지평선을 넘어 블랙홀 내부로 낙하하고, 다른 한 입자가 바깥 우주로 도망쳐버리는 일이 확률적으로 일어날 수 있습니다.

외부의 관측자 시점에서 보면 블랙홀에서 입자가 튀어나온 것처럼 보입니다. 이것이 호킹 복사입니다. 그렇다면 에너지 보존 법칙은 어떻게 될까요? 도망친 입자는 양의 에너지를 가지고 실재하는 입자가 됩니다. 에너지를 보존하기 위해서는 블랙홀에 낙하한 입자는 ‘음의 에너지’를 가지고 있어야만 합니다. 음의 에너지를 흡수한 블랙홀은 질량(즉 에너지)을 잃게 됩니다. 즉 블랙홀은 복사를 수행함으로써 점차 증발(evaporate)해 가는 것입니다.

호킹은 시공간의 기하학과 양자장론을 결합하는 고도의 수학적 기법(보고류보프 변환)을 사용하여 이 복사의 스펙트럼을 엄밀하게 계산했습니다. 평탄한 시공간의 과거의 무한대($\mathscr{I}^-$)에서의 진공 상태를 정의하고, 그것이 별의 붕괴에 따라 형성되는 블랙홀의 시공간을 전파한 후, 미래의 무한대($\mathscr{I}^+$)에서 어떠한 입자 상태로 관측되는지를 해석한 것입니다.

과거의 진공 상태 $|0\rangle_{in}$ 을 미래의 입자 생성 소멸 연산자로 전개하면 보고류보프 계수 $\alpha, \beta$ 를 사용하여 기술됩니다. 호킹 계산의 핵심은 붕괴하는 별의 표면을 통과하여 미래의 무한대에 도달하는 빛의 위상이 사건의 지평선 형성에 의해 대수적인 지연(적색편이)을 겪는다는 것을 보여준 점에 있습니다. 이 기하학적인 적색편이가 보고류보프 계수 $\beta$(입자 생성을 관장하는 계수)를 0이 아니게 만들고, 열적인 스펙트럼을 낳는 결정적인 요인이 됩니다.

결과적으로 얻어진 복사는 놀랍게도 완전한 흑체 복사의 플랑크 스펙트럼과 일치했습니다. 그 온도(호킹 온도 $T_H$)는 다음 공식으로 주어집니다.

여기서 주목해야 할 점은 호킹 온도가 블랙홀의 질량 $M$ 에 ‘반비례’한다는 점입니다. 이것은 블랙홀이 질량을 잃고 작아지면 작아질수록 온도가 상승하고 더욱 격렬하게 복사를 한다는(비열이 음수이다) 것을 의미합니다.

태양 질량의 블랙홀의 경우 호킹 온도는 약 $6 \times 10^{-8}$ 켈빈이라는 극저온이며, 현재의 우주 배경 복사(약 2.7 켈빈)보다도 훨씬 낮기 때문에 사실상 복사를 관측하는 것은 불가능합니다. 그러나 질량이 작아짐에 따라 온도는 급격히 상승합니다. 블랙홀이 완전히 증발할 때까지의 수명(증발 시간)은 질량의 3제곱에 비례하여 $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$ 가 됩니다. 태양 질량의 블랙홀이 증발하는 데에는 $10^{67}$ 년이라는 아득해지는 시간이 걸리지만, 미세한 블랙홀이라면 최종적으로 막대한 에너지를 방출하여 폭발적으로 소멸하게 될 것입니다.

호킹 복사의 발견은 블랙홀 열역학을 완성시키고 이론 물리학에 있어서 금자탑이 되었습니다. 그러나 동시에 물리학의 근간을 뒤흔드는, 가장 깊고 가장 난해한 역설의 판도라 상자를 열어버린 것입니다. 그것이 바로 ‘블랙홀 정보 상실 역설’입니다.

제4장: 정보 상실 역설의 발발

호킹 복사는 블랙홀이 최종적으로 증발하여 소멸할 것이라고 예언했습니다. 여기서부터 현대 물리학에 있어서 가장 큰 미스터리 중 하나인 ‘정보 상실 역설(Information Paradox)‘이 나타납니다.

양자역학의 가장 기본적이고 신성한 원리 중 하나에 ‘유니터리성(Unitarity)‘이 있습니다. 이것은 계의 상태가 시간에 따라 발전할 때 확률의 총합이 항상 1로 유지되고, 과거에서 미래로, 미래에서 과거로 결정론적으로 정보가 보존된다는 원리입니다. 즉, 어떤 시점에서의 계의 완전한 정보(순수 상태)를 알고 있다면 슈뢰딩거 방정식(또는 그것을 확장한 방정식)을 풀어서 과거나 미래의 모든 시점에서의 상태를 완전히 예측·복원할 수 있다는, 물리 법칙의 가역성에 대한 보증입니다.

그럼 이 원리를 블랙홀의 형성과 증발 과정에 적용해 봅시다. 순수한 상태에 있는 물질(예를 들어 특정 양자 상태로 정밀하게 준비된 입자군이나 백과사전)이 중력 붕괴를 일으켜 블랙홀을 형성했다고 합시다. 이 시점에서는 모든 정보가 블랙홀 내부에 존재하고 있습니다.

그 후 호킹 복사가 시작됩니다. 호킹의 계산에 따르면 사건의 지평선에서 발생하는 복사는 ‘완전한 열복사’입니다. 열복사의 스펙트럼은 온도(블랙홀의 질량, 전하, 각운동량)에 의해서만 결정되며, 방사되는 입자들 사이에 양자적인 상관관계(얽힘)는 존재하지 않고, 블랙홀에 뛰어든 원래의 물질이 무엇이었는가 하는 ‘정보’를 일절 포함하지 않습니다. 백과사전을 태워 재와 연기로 만든 경우, 원리적으로는 재와 연기의 움직임을 모두 측정하면 원래의 글자를 복원할 수 있지만 호킹 복사는 “진정한 의미에서 무작위"라고 호킹은 주장했습니다.

그리고 최종적으로 블랙홀은 완전히 증발하여 소멸합니다. 뒤에 남는 것은 정보를 갖지 않는 열적인 복사(혼합 상태)뿐입니다. 순수 상태였을 우주가 정보를 갖지 않는 혼합 상태로 전이해 버린 것입니다. 원래 물질이 가지고 있던 방대한 정보는 블랙홀과 함께 우주에서 완전히 소멸해 버렸습니다.

이것은 양자역학의 유니터리성의 붕괴를 의미합니다. 양자역학과 일반 상대성 이론이 충돌하는 이 역설에 대해 물리학자들은 진영을 나누어 격렬한 논쟁을 벌였습니다. 이것이 세간에서 말하는 ‘블랙홀 전쟁’입니다.

한쪽 진영의 기수는 스티븐 호킹 자신이었습니다. 그는 “블랙홀에서는 양자역학의 규칙이 깨어지고 정보는 정말로 상실되는 것이다"라고 주장했습니다. 그는 킵 손과 함께 “정보는 상실된다"는 입장에서 존 프레스킬과 내기를 했습니다.

이에 강력히 반발한 것이 레너드 서스킨드나 헤라르뒤스 엇호프트 같은 입자 물리학자들입니다. “만약 정보가 상실된다면 에너지 보존 법칙조차 파탄이 나고 현대 물리학의 기초 자체가 붕괴해버릴 것이다”. 그들은 블랙홀이 증발할 때 어떤 미지의 메커니즘에 의해 정보가 호킹 복사에 암호화되어 외부로 반출될 것이라고 확신하고 있었습니다.

그러나 호킹의 계산은 반석과 같아 보였습니다. 한 번 사건의 지평선을 넘은 정보는 빛의 속도를 넘지 않는 한 밖으로 나올 수 없습니다. 사건의 지평선의 안쪽과 바깥쪽은 인과관계가 단절되어 있어, 정보가 바깥으로 도망치는 것을 일반 상대성 이론(국소성)이 허용하지 않습니다. 정보의 보존(양자역학)을 지키려 하면 인과율(상대성 이론)이 깨지고, 인과율을 지키려 하면 정보가 상실된다. 이 딜레마를 해결하기 위해서는 시공간 자체의 개념을 근본부터 뒤집을 필요가 있었습니다.

서스킨드 등은 양자 얽힘과 끈 이론(String Theory)을 무기로 이 난공불락의 역설에 도전해 나갑니다. 다음 장에서는 정보를 지키기 위한 극적인 이론적 도약인 ‘블랙홀 상보성’과 그로 인해 발생한 새로운 불씨 ‘방화벽 문제’에 대해 파고들어 보겠습니다.

제5장: 블랙홀 상보성과 방화벽 문제

정보의 보존을 확신하고 있던 서스킨드 등은 사건의 지평선의 모순을 해결하기 위해 닐스 보어의 상보성 원리에서 영감을 얻은 ‘블랙홀 상보성(Black Hole Complementarity)‘이라는 획기적인 개념을 1993년에 제창했습니다.

역설의 근본적인 원인은 ‘정보가 블랙홀 내부로 떨어지는 것’과 ‘정보가 호킹 복사로서 외부로 도망치는 것’이 동시에 일어나면 정보가 ‘복사’되어 버린다는(양자 복제 불가능 정리의 위배) 점에 있었습니다.

블랙홀 상보성은 다음과 같이 주장합니다. 외부에 머무는 관측자(앨리스)의 시점에서는 사건의 지평선 옆의 고온의 막(늘어난 지평선, stretched horizon)에 떨어진 물질은 남김없이 타버리고, 그 정보는 호킹 복사에 실려 시간을 두고 외부로 돌아옵니다. 반면 블랙홀로 자유 낙하해 가는 관측자(밥)에게 있어서 사건의 지평선은 아무런 특색 없는 단순한 공간의 통과점일 뿐이며, 그는 정보를 가진 채로 내부로 무사히 낙하해 갑니다.

언뜻 보면 정보가 둘로 분열된 것처럼 보이지만, 서스킨드는 “앨리스와 밥이 서로 통신하여 결과를 비교하는 것이 원리적으로 불가능하다"는 이유로 모순은 발생하지 않는다고 논했습니다. 동일한 물리 현상에 대해 두 개의 다른, 그러나 상보적인 기술이 존재하며 전체를 기술하는 절대적인 관점(신의 관점)은 존재하지 않는다는 것입니다. 이것은 중력과 양자역학이 교차하는 극한 영역에서 시공간의 ‘국소성’이라는 상식이 무너진다는 것을 의미했습니다.

블랙홀 상보성에 의해 역설은 해결된 듯 보였습니다. 그러나 2012년, 캘리포니아 대학교 산타바바라 캠퍼스의 4명의 물리학자(Almheiri, Marolf, Polchinski, Sully: 통칭 AMPS)가 발표한 논문에 의해 물리학계에 다시 격진이 닥칩니다. ‘AMPS 방화벽 역설’의 등장입니다.

AMPS는 호킹 복사가 정보를 꺼내온다(유니터리성이 유지된다)는 전제에 섰을 때, 블랙홀이 수명의 절반을 지났을 시점(페이지 시간) 이후에 발생하는 양자 얽힘의 복잡한 분배 관계에 주목했습니다.

정보를 외부로 가져오기 위해서는 새로 복사되는 호킹 입자(B)는 과거에 복사된 모든 호킹 입자의 집합(A)과 강하게 얽혀(양자 얽힘 상태) 있어야만 합니다. 한편, 사건의 지평선을 무사히 통과하기(등가 원리를 유지하기) 위해서는 진공의 요동에서 생성된 입자 쌍인, 밖으로 도망치는 입자(B)와 안쪽으로 떨어지는 입자(C) 사이에도 강한 얽힘이 존재해야만 합니다.

그러나 양자역학에는 ‘얽힘 일부일처제(Entanglement Monogamy)‘라는 엄격한 규칙이 있습니다. 하나의 양자계(B)가 다른 2개의 독립된 계(A와 C)의 양쪽과 동시에 최대로 얽히는 것은 불가능한 것입니다.

이 딜레마를 해소하기 위해서는 무언가를 희생해야만 합니다. AMPS는 블랙홀 상보성을 유지하려 한다면 B와 C 사이의 얽힘을 끊을 수밖에 없다고 결론지었습니다. 그러나 B와 C의 얽힘을 절단하는 것은 사건의 지평선에 극히 고에너지인 입자의 벽, 즉 ‘방화벽(Firewall)‘이 출현함을 의미합니다.

만약 방화벽이 존재한다면 사건의 지평선을 통과하려는 밥은 무사히 통과하기는커녕 이 고에너지의 벽에 충돌해 순식간에 타버리고 맙니다. 이것은 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 주춧돌인 ‘등가 원리(자유 낙하하는 관측자는 중력을 느끼지 않는다, 즉 사건의 지평선에서 특별한 일은 아무것도 일어나지 않는다)‘의 완전한 파탄을 의미합니다.

정보를 지키려 하면 사건의 지평선이 불의 벽이 된다(등가 원리의 붕괴). 등가 원리를 지키려 하면 정보가 상실되거나 양자역학의 근간이 붕괴한다. 물리학자들은 전례 없이 깊고 예리한 역설에 직면했습니다. 이 절체절명의 위기를 구할 열쇠는 차원의 벽을 넘은 ‘홀로그래픽 원리’와 최신의 양자 중력 이론 안에 숨겨져 있었습니다.

제6장: 홀로그래픽 원리와 AdS/CFT 대응, 섬 공식

방화벽 역설로 인한 물리학의 위기를 구하고 결정적인 패러다임 전환을 가져온 것이 ‘홀로그래픽 원리(Holographic Principle)‘와 그것을 엄밀하게 수학화한 ‘AdS/CFT 대응(Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence)‘입니다.

홀로그래픽 원리는 1993년에 헤라르뒤스 엇호프트에 의해 제창되었고 1995년에 레너드 서스킨드에 의해 끈 이론의 틀에 포함되었습니다. 제2장에서 본 베켄슈타인-호킹 공식(엔트로피가 부피가 아닌 면적에 비례한다)이 시사하듯, 이 원리는 “어떤 3차원 공간 영역에서 일어나는 모든 물리 현상(중력 포함)은 그 영역을 둘러싼 2차원의 경계면(경계) 상의 중력을 포함하지 않는 물리 법칙에 의해 완전히 기술될 수 있다"고 주장합니다. 우리들의 3차원 우주는 아득히 먼 2차원 스크린에 투영된 ‘홀로그램’의 환영에 지나지 않는 것일지도 모릅니다.

1997년, 후안 말다세나는 초끈 이론을 사용하여 이 홀로그래픽 원리가 엄밀하게 성립하는 구체적인 모델을 처음으로 제시했습니다. 이것이 ‘AdS/CFT 대응’입니다. 말다세나는 음의 우주항을 갖는 반 더 지터 공간(Anti-de Sitter space, AdS 공간)에서의 양자 중력 이론(초끈 이론)이, 그 공간의 무한대 경계에서 정의되는, 중력을 포함하지 않는 등각 장론(Conformal Field Theory, CFT)과 수학적으로 완전히 등가(쌍대)임을 증명했습니다.

이것은 물리학에 있어서 기적적인 발견이었습니다. 중력을 포함하는 벌크(내부 공간)의 물리와 중력을 포함하지 않는 경계(CFT)의 물리라는, 전혀 다른 차원과 법칙을 가지는 두 가지 이론이 실은 동일한 물리 현상의 두 가지 다른 번역에 지나지 않았던 것입니다. 이 쌍대성 사전(홀로그래픽 사전)을 이용하면 계산이 절망적으로 곤란한 양자 중력 문제를 경계에서의 양자장론의 계산하기 쉬운 문제로 변환하여 푸는 것이 가능해집니다.

정보 상실 역설의 문맥에 있어서 AdS/CFT 대응은 지극히 중요한 해답을 주었습니다. 경계의 CFT는 통상적인 양자역학을 따르기 때문에 유니터리성이 완전히 보증됩니다(정보는 절대로 상실되지 않는다). AdS/CFT 대응이 맞다면 그것과 쌍대인 AdS 공간 내의 블랙홀 형성과 증발 과정도 또한 전체적으로 유니터리해야만 하며, 정보는 확실하게 보존되고 있을 것임이 틀림없는 것입니다.

그러나 “정보가 보존되어 있다"는 것은 증명되어도 “구체적으로 어떻게 정보가 블랙홀 내부에서 외부의 호킹 복사로 옮겨지는가” 하는 역학의 메커니즘은 여전히 수수께끼로 남아 있었습니다. 이 물음에 대한 최종적인 돌파구는 2019년에 발표된 ‘섬 공식(Island Formula)‘의 발견에 의해 가져왔습니다.

사건의 발단은 1993년에 돈 페이지가 제시한 ‘페이지 곡선(Page Curve)‘이라는 개념입니다. 페이지는 만약 정보가 보존된다(유니터리성이 유지된다)면 호킹 복사의 얽힘 엔트로피가 시간에 따라 어떻게 변화해야만 하는가를 예측했습니다. 복사의 초기 단계에서는 방사되는 입자가 블랙홀 내부의 입자와 얽혀 있기 때문에 복사 전체의 얽힘 엔트로피는 시간에 따라 단조롭게 증가합니다. 그러나 블랙홀이 수명의 절반(페이지 시간)을 맞이하면 상황이 극적으로 역전됩니다. 새롭게 방사되는 입자는 과거에 방사된 입자와 얽히기 시작하여 복사 전체의 얽힘 엔트로피는 감소하기 시작합니다. 최종적으로 블랙홀이 소멸했을 때 모든 복사는 순수 상태로 되돌아가고 엔트로피는 다시 0이 될 것입니다. 이 산 모양의 곡선이 페이지 곡선입니다.

반면 호킹의 고전적인 계산(정보는 상실된다는 입장)에서는 엔트로피는 영원히 증가하기만 할 뿐 결코 감소하지 않습니다(호킹 곡선).

2019년, 제프 페닝턴, 알름헤이리, 마하잔, 말다세나, 자오 등은 끈 이론에서 파생된 홀로그래픽 얽힘 엔트로피의 계산 기법(류-타카야나기 공식의 일반화인 양자 극값 표면 공식)을 사용하여 호킹 복사의 엔트로피를 재계산했습니다. 그 결과 어떤 시점(페이지 시간)을 경계로 하여 얽힘 엔트로피를 계산하기 위한 기하학적인 영역이 불연속적으로 변화함을 발견한 것입니다.

그들이 이끌어낸 공식은 호킹 복사의 엔트로피를 계산할 때, 블랙홀 외부의 복사뿐만 아니라 사건의 지평선 ‘안쪽’에 있는 특정 영역(이것을 ‘섬(Island)‘이라 부릅니다)의 기여를 더해야만 함을 보여주었습니다.

놀랍게도 이 섬 공식을 사용하여 계산을 진행하면 페이지 시간을 지날 무렵부터 섬의 기여가 지배적이게 되어, 계산 결과는 멋지게 돈 페이지의 곡선을 재현했습니다. 즉, 호킹의 계산에 결여되어 있었던 것은 중력의 비섭동적인 양자적 효과(레플리카 웜홀이라 불리는 시공간 위상의 변화)였으며, 이것을 도입함으로써 정보는 확실하게 호킹 복사에 인코딩되어 탈출한다는 것이 증명된 것입니다.

더욱 충격적인 것은 ‘섬’이 사건의 지평선 안쪽에 있음에도 불구하고 그 정보는 호킹 복사 안에 완전히 포함되어 있다는 사실입니다. 이것은 블랙홀 내부의 일부가 실은 호킹 복사를 통해 외부로 홀로그래픽하게 투영되고 있음을 의미합니다. ER=EPR 가설(아인슈타인-로젠 다리=웜홀과 아인슈타인-포돌스키-로젠 얽힘은 본질적으로 동일하다는 가설)이 보여주듯이, 양자 얽힘은 시공간의 가교(웜홀)를 형성하여 블랙홀의 내부와 외부의 호킹 복사를 이어주고 있었던 것입니다.

부록 A: 호킹 복사의 보고류보프 변환과 열적 스펙트럼의 엄밀 유도

호킹 복사의 심연한 성질을 진정으로 이해하기 위해서는 굽은 시공간에서의 양자장론의 수학적 구조, 특히 ‘보고류보프 변환(Bogoliubov Transformation)‘의 상세한 유도 과정을 피해서 지나갈 수는 없습니다. 이 부록에서는 스티븐 호킹이 1974년 역사적 논문에서 전개한 계산의 핵심 부분을 가능한 한 엄밀하고 상세하게 추적합니다.

1. 평탄한 시공간과 굽은 시공간에서의 ‘진공’ 정의의 차이

양자장론에서 스칼라 장 $\phi(x)$ 는 생성 연산자 $\hat{a}^\dagger$ 와 소멸 연산자 $\hat{a}$ 를 사용하여 모드 전개됩니다. 평탄한 민코프스키 시공간에서 장의 방정식(클라인-고든 방정식) $(\square + m^2)\phi = 0$ 의 해는 평면파 $e^{ikx}$ 를 기저로 하여 전개됩니다. 양진동수 모드 $f_k(x)$ 와 음진동수 모드 $f_k^*(x)$ 를 사용하여 장은 다음과 같이 쓰입니다.

그러나 시공간이 굽어 있는(중력장이 존재하는) 경우, 전역적인 푸앵카레 대칭성이 상실되기 때문에 ‘양진동수 모드’를 유일하게 정의할 보편적인 시간 좌표가 존재하지 않게 됩니다. 관측자의 운동 상태나 위치(시공간의 기하학)에 따라 어느 모드를 ‘양’으로 간주할지가 상대적이게 되는 것입니다.

2. 과거의 무한대 ($\mathscr{I}^-$) 와 미래의 무한대 ($\mathscr{I}^+$) 의 모드 전개

호킹은 별이 자체 중력에 의해 붕괴하여 블랙홀을 형성하는 동적인 시공간을 생각했습니다. 이 시공간에는 붕괴가 시작되기 전의 평탄한 점근 영역인 ‘과거의 무한대(Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$)‘와 블랙홀 형성 후의 평탄한 점근 영역인 ‘미래의 무한대(Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$)‘가 존재합니다.

과거의 무한대 $\mathscr{I}^-$ 에서의 모드 함수를 $f_k$, 대응하는 연산자를 $\hat{a}_k, \hat{a}_k^\dagger$ 라 하고, 과거의 관측자가 정의하는 진공을 $|0_{in}\rangle$ 이라 합니다. 미래의 무한대 $\mathscr{I}^+$ 에서의 모드 함수를 $p_j$, 대응하는 연산자를 $\hat{b}_j, \hat{b}_j^\dagger$ 라 하고, 미래의 관측자가 정의하는 진공을 $|0_{out}\rangle$ 이라 합니다.

장 $\hat{\phi}$ 는 어느 기저를 사용해서도 전개될 수 있으므로 다음과 같은 등식이 성립합니다.

3. 보고류보프 변환과 입자 생성

두 개의 다른 모드 함수의 집합 $f_k$ 와 $p_j$ 는 완전계를 이루므로, 한쪽은 다른 쪽의 선형 결합으로 나타낼 수 있습니다.

이 선형 변환이 보고류보프 변환이며, 전개 계수 $\alpha_{jk}$ 와 $\beta_{jk}$ 를 보고류보프 계수라고 부릅니다. 이것을 이용하여 미래의 소멸 연산자 $\hat{b}_j$ 를 과거의 연산자로 나타내면,

가 됩니다. 여기서 결정적인 사실이 유도됩니다. 초기 상태가 과거의 진공 $|0_{in}\rangle$ 이었다고 합시다(즉, 처음에는 입자가 전혀 존재하지 않았다). 이 상태에서 미래의 관측자가 관측하는 파수 $j$ 인 입자의 기댓값(개수 연산자 $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$ 의 기댓값)을 계산합니다.

만약 $\beta_{jk} \neq 0$ 이라면 초기 상태가 진공이었음에도 불구하고 미래의 관측자에게는 “입자가 존재한다"고 관측되는 것입니다! 시공간 곡률의 변동(별의 붕괴)이 $\beta_{jk}$ 를 0이 아니게 만들고, 진공에서 입자를 ‘생성’한 것이 됩니다.

4. 사건의 지평선에 의한 위상의 대수적 지연(적색편이)

호킹의 최대의 공적은 블랙홀 형성 시공간에서 이 $\beta_{jk}$ 를 기하학적인 광선 추적(레이 트레이싱)을 통해 구체적으로 계산한 점에 있습니다.

과거의 무한대 $\mathscr{I}^-$ 에서 출발한 파속이 붕괴하는 별을 통과하여 미래의 무한대 $\mathscr{I}^+$ 로 도달하는 과정을 생각합니다. 사건의 지평선이 형성되기 직전에 별을 통과한 광선(모드)은 강력한 중력장을 기어오르기 위해 극단적인 적색편이를 받습니다.

기하학적인 계산에 따르면 미래의 무한대에 도달하는 시각 $u$ 의 파의 위상은 사건의 지평선 형성 시각에 가까워짐에 따라 대수적으로 지연됨이 나타납니다. 구체적으로는 과거의 무한대에서의 시각 $v$ 와 미래의 무한대에서의 시각 $u$ 사이에는 사건의 지평선 근방에서 아래와 같은 대수적인 관계(레이초두리 방정식의 귀결)가 성립합니다.

여기서 $v_0$ 는 사건의 지평선을 형성하는 광선의 출발 시각, $\kappa$ 는 블랙홀의 표면 중력(surface gravity)입니다. 이 대수적인 위상의 지연 $e^{-\kappa u}$ 가 푸리에 변환을 통해 $\beta_{jk}$ 의 함수 형태를 결정적으로 지배하게 됩니다.

5. 플랑크 스펙트럼의 유도와 호킹 온도

보고류보프 계수 $\alpha_{jk}$ 와 $\beta_{jk}$ 는 내적(클라인-고든 내적)을 이용하여 계산됩니다. 상기의 대수적인 위상 지연을 갖는 파를 푸리에 변환하여 적분을 실행하면(감마 함수나 복소 적분을 구사합니다), $\alpha_{jk}$ 와 $\beta_{jk}$ 의 절댓값 사이에 다음과 같은 놀라운 해석적인 관계식이 유도됩니다.

여기서 $\omega$ 는 방사되는 입자의 에너지(각진동수)입니다. 더욱이 보고류보프 변환의 규격화 조건(교환 관계의 보존)으로부터 $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$ 이 성립합니다. 이 두 식을 연립하여 $|\beta_{jk}|^2$ 를 풀면,

를 얻습니다. 이 결과는 경이적입니다. 좌변은 진공에서 생성되는 입자의 수(기댓값)를 나타내고 있지만, 우변은 바로 온도 $T$ 를 갖는 흑체에서 방사되는 보스 입자의 열분포(플랑크 분포) 자체의 형태를 띠고 있는 것입니다!

플랑크 분포의 표준형은 $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$ 입니다. 이것과 비교해 봄으로써 블랙홀의 온도(호킹 온도 $T_H$)가 즉시 도출됩니다.

슈바르츠실트 블랙홀의 경우 표면 중력은 $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$ 으로 주어지므로 이것을 대입하면,

가 되어 훌륭하게 호킹 온도 공식이 유도되었습니다. 블랙홀의 사건의 지평선이 일으키는 극단적인 기하학적 적색편이(대수적인 위상 지연)가 순수한 양자역학적 초기 상태로부터 완전한 열적 혼합 상태(플랑크 분포)를 만들어낸다는, 호킹의 무서운 수학적 통찰의 전모가 여기에 있습니다. 이 경이로운 계산은 상대성 이론($\kappa$), 양자역학($\hbar$), 열역학($k_B$)을 하나의 수식에 통합한, 인류 지성의 금자탑이라 할 수 있을 것입니다.

부록 B: 류-타카야나기 공식과 홀로그래픽 얽힘 엔트로피의 심연

정보 상실 역설의 해결에 있어서 페이지 곡선의 재현을 가능하게 한 ‘섬 공식’의 기초에는, 초끈 이론과 AdS/CFT 대응에서 만들어진 ‘류-타카야나기 공식(Ryu-Takayanagi Formula)‘이 존재합니다. 이 공식은 양자 정보의 얽힘과 시공간의 기하학(중력)을 직접적으로 연결하는, 현대 물리학에서 가장 중요한 방정식 중 하나입니다. 여기서는 그 개념과 수학적 배경을 상세히 해설합니다.

1. 얽힘 엔트로피의 기하학화

양자장론에서 어떤 공간 영역 $A$ 와 그 외부 영역 $B$ 사이의 양자 얽힘 정도를 측정하는 양이 ‘얽힘 엔트로피(폰 노이만 엔트로피)’ $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$ 입니다. 여기서 $\rho_A$ 는 영역 $A$ 의 축약 밀도 행렬입니다. 그러나 상호작용이 있는 연속적인 양자장론에서 얽힘 엔트로피를 직접 계산하는 것은 극히 곤란하며, 많은 경우 자외선 발산(무한대)의 어려움에 직면합니다.

2006년, 류 신세이(笠真生)와 타카야나기 타다시(高柳匡)는 AdS/CFT 대응의 틀을 이용함으로써 경계상의 CFT에서의 얽힘 엔트로피를 벌크(내부 AdS 공간)에서의 ‘극소 곡면의 면적’으로서 기하학적으로 계산할 수 있다는 획기적인 예상(공식)을 제창했습니다.

여기서:

• $S_A$ 는 경계의 CFT에서 영역 $A$ 의 얽힘 엔트로피.
• $\gamma_A$ 는 벌크 공간 내로 확장되는 $(d-1)$ 차원의 극소 곡면(비눗막과 같은 표면). 이 곡면의 경계는 CFT 상의 영역 $A$ 의 경계 $\partial A$ 와 일치해야만 합니다($\partial \gamma_A = \partial A$).
• $G_N^{(d+1)}$ 은 벌크 공간에서의 $(d+1)$ 차원 뉴턴 상수.

이 공식의 형태를 보고 놀라움을 감추지 못하는 독자도 많을 것입니다. 이 식은 제2장에서 해설한 베켄슈타인-호킹의 엔트로피 공식 $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$ 와 전혀 동일한 구조를 가지고 있습니다! 블랙홀의 사건의 지평선이 갖는 열역학적 엔트로피와 진공 상태의 양자장이 갖는 얽힘 엔트로피가, 홀로그래픽적인 관점을 통함으로써 ‘면적’이라는 기하학적인 실체로 완전히 통합된 것입니다.

2. 극소 곡면과 ‘레플리카 웜홀’

류-타카야나기 공식은 당초 직관과 다양한 정황 증거에 기반한 ‘예상’이었지만, 나중에 아론 월이나 알렉산더 말다세나 등에 의해 양자 중력의 경로 적분 표현을 사용한 ‘레플리카 트릭(Replica Trick)‘의 중력 버전(레플리카 웜홀)을 통해 수학적으로 증명되었습니다.

레플리카 트릭이란 $\log \rho_A$ 의 직접 계산을 피하기 위해 $\rho_A$ 의 $n$ 제곱의 대각합 $\text{Tr}(\rho_A^n)$ 을 계산하고, 마지막에 $n \to 1$ 의 극한을 취하는 기법입니다.

CFT에서 $\text{Tr}(\rho_A^n)$ 을 계산하는 것은 원래의 시공간을 영역 $A$ 에서 잘라 열고, $n$ 개의 복제본(레플리카)을 준비하여 꿰매어 붙인 복잡한 다중 리만 곡면 위에서의 분배 함수를 계산하는 것에 대응합니다. AdS/CFT 대응에 따르면 이 경계상의 분배 함수는 경계 조건을 만족하는 것 같은 벌크 중력 이론의 분배 함수(작용의 안장점 평가)와 같아야 할 것입니다.

말다세나 등은 벌크 내의 중력 경로 적분에서 경계가 $n$ 개의 레플리카 시공간인 경우에, 벌크 내부에서 $n$ 개의 시공간이 서로 연결되는 ‘웜홀(레플리카 웜홀)‘의 해가 우세해짐을 보였습니다. 그리고 $n \to 1$ 극한을 취하면 이 웜홀의 기하학적인 반작용이 바로 류-타카야나기 공식의 ‘극소 곡면 $\gamma_A$‘로서 모습을 드러낸다는 것을 엄밀하게 증명한 것입니다.

3. 양자 극값 표면(QES)과 섬의 창발

류-타카야나기 공식은 벌크 공간의 중력이 고전적(양자 효과를 무시할 수 있는)인 경우의 공식이었습니다. 블랙홀의 증발(호킹 복사)과 같은 양자 효과가 본질적인 역할을 다하는 현상을 다루기 위해서는, 이 공식에 벌크 내의 양자장론적 효과를 도입하는 확장이 필요했습니다. 이것이 2014년에 엥겔하르트(Engelhardt)와 월(Wall)에 의해 제창된 ‘양자 극값 표면(Quantum Extremal Surface, QES)‘의 처방전입니다.

QES 공식에서는 최소화해야 할 대상이 ‘면적’만이 아니라 ‘면적 + 벌크 내의 양자 얽힘 엔트로피’의 합으로 이루어진 일반화된 엔트로피(Generalized Entropy) $S_{gen}$ 으로 대체됩니다.

여기서 $X$ 는 벌크 내의 곡면, $\Sigma_X$ 는 $X$ 와 경계의 영역 $A$ 사이에 끼인 벌크 공간의 영역입니다. 이 일반화된 엔트로피를 극값화(정류화)하고, 나아가 최소가 되는 것 같은 곡면 $X$(이것이 QES)를 찾아내면, 그 때의 $S_{gen}$ 값이 경계의 CFT의 엔트로피 $S_A$ 가 되는 것입니다.

호킹 복사의 엔트로피를 계산할 때 복사를 모으는 외부 영역을 $A$ 로 둡니다. 초기 단계에서는 QES는 자명한 곡면(면적 0)이며 엔트로피는 단조롭게 증가합니다(호킹 곡선). 그러나 페이지 시간을 지나면 사건의 지평선의 ‘안쪽’에 돌연 비자명한 QES가 출현하고, 그쪽이 $S_{gen}$ 의 값이 작아지는(우세해지는) 극적인 상전이가 일어납니다.

이 새로운 QES에 의해 둘러싸인 지평선 내부의 영역이야말로 ‘섬(Island)‘입니다. 섬이 출현하면 벌크 내의 엔트로피 항 $S_{bulk}$ 계산에서 섬 내부의 입자(블랙홀에 떨어진 입자)와 호킹 복사(밖으로 도망친 입자)가 강하게 얽혀 있기 때문에 엔트로피의 합이 대폭 상쇄되어 감소로 돌아서는 것입니다.

이로 인해 돈 페이지가 예측한 페이지 곡선이 중력 이론의 계산으로부터 완전히 도출되었습니다. 정보 상실 역설의 해결은 단순한 개념적인 논의를 넘어 ‘레플리카 웜홀’이라는 양자 중력의 비섭동적 위상 변화를 고려함으로써 엄밀한 수식으로 증명되기에 이르렀습니다. 시공간은 양자 얽힘으로부터 창발하며, 블랙홀 심연의 정보는 웜홀이라는 불가시의 실을 타고 우주의 끝으로 확실하게 전달되고 있는 것입니다.