1. 언어로 숫자 표현하기

우리는 일상적으로 숫자를 “아라비아 숫자(1, 2, 3…)“뿐만 아니라 “언어(한국어나 영어 등)“를 사용하여 표현하고 있습니다.

예를 들어, “$10$“이라는 숫자는 일본어로 다음과 같이 여러 가지 말로 표현할 수 있습니다.

• “じゅう(십)” (3글자)
• “ごの2ばい(오의 2배)” (5글자)
• “ひゃくの10ぶんの1(백의 10분의 1)” (9글자)

이처럼 어떤 숫자를 “일본어 글자"를 사용하여 설명하는 것을 생각해 봅시다. 사용할 수 있는 글자 수에는 제한을 둡니다. 여기서는 **“19글자 이하”**의 일본어로 표현할 수 있는 숫자에 대해 생각합니다.

당연하지만, 19글자 이하로 표현할 수 있는 숫자에는 한계가 있습니다. 일본어의 글자(히라가나, 가타카나, 한자 등) 종류는 유한하고, 이를 19글자 이하로 나열하는 조합도 유한하기 때문입니다(천문학적인 수가 되겠지만, 무한하지는 않습니다).

즉, **“19글자 이하의 일본어로는 도저히 표현할 수 없는 거대한 정수”**가 반드시 존재하게 됩니다.

2. 역설의 탄생

자, 지금부터가 본론입니다. “19글자 이하의 일본어로는 표현할 수 없는 정수"는 무수히 존재합니다. 그 무수히 많은 표현 불가능한 수 중에서, **“가장 작은 것(최소의 정수)”**을 하나 찾아냈다고 가정해 봅시다.

그 숫자를 $X$라고 합니다. $X$는 정의상 “19글자 이하의 일본어로는 표현할 수 없는 수” 중에서 가장 작은 것이므로, 다음과 같이 부를 수 있습니다.

“じゅうきゅうもじいないであらわせないさいしょうのせいすう” (십구 문자 이하로 나타낼 수 없는 최소의 정수)

글자 수를 세어 봅시다. “じゅ・う・きゅ・う・も・じ・い・な・い・で・あ・ら・わ・せ・な・い・さ・い・しょ・う・の・せ・い・す・う” …어라? 독점을 빼고도 25글자네요. 이래서는 “19글자"를 초과해 버립니다.

그럼, 조금 표현을 궁리해서, 한자를 사용하여 짧게 만들어 봅시다.

“十九文字以内で表せない最小の整数”

자, 이 일본어의 글자 수를 세어 보세요.

1. 十
2. 九
3. 文
4. 字
5. 以
6. 内
7. で
8. 表
9. せ
10. な
11. い
12. 最
13. 小
14. の
15. 整
16. 数

무려, **단 “16글자”**입니다.

이상한 일이 벌어졌습니다. 우리는 지금, $X$라는 숫자를 “十九文字以内で表せない最小の整数"라는 “16글자의 일본어"를 사용하여 표현해 버린 것입니다!

$X$는 “19글자 이하로 표현할 수 없는” 숫자여야 하는데, 바로 그 정의하는 말 자체가 “16글자(19글자 이하)“로 $X$를 완벽하게 표현하고 있습니다. 이것이 **“베리의 역설(Berry Paradox)”**입니다.

3. 누가 이 역설을 만들었을까?

이 역설은 1904년에 옥스퍼드 대학교의 도서관 사서였던 G. G. 베리(G. G. Berry)라는 인물이 고안했습니다. 그것을 20세기를 대표하는 천재 수학자이자 철학자인 버트런드 러셀이 자신의 논문에서 소개하면서 전 세계에 알려졌습니다.

(※ 영어 원문 논문에서는 “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables”(19음절 미만으로 이름 붙일 수 없는 가장 작은 정수)라는 표현이 사용되었으며, 영어의 음절 수로 역설이 성립하도록 만들어졌습니다.)

4. 왜 모순이 일어났을까?

이 역설의 근본적인 원인은, 우리가 평소에 사용하는 “자연어(한국어나 영어, 일본어 등)“가 가진 모호성과 자기언급성에 있습니다.

자연어는 수학의 엄밀함을 견디지 못한다

수학의 세계에서, “숫자를 정의한다"는 것은 매우 엄밀한 작업입니다(방정식이나 기호를 사용합니다). 그러나 베리의 역설에서는 수학적인 대상(정수)을 “표현할 수 있다”, “표현할 수 없다"는 인간의 일상 언어를 사용하여 정의하려고 했습니다.

일상 언어는 매우 강력하고 유연하지만, 그 유연함 때문에 “자기 자신의 글자 수에 대해 언급한다"는 곡예와 같은 일이 가능해집니다. 그 결과, “정의 그 자체가, 정의의 규칙을 깬다"는 자기 모순(자기언급의 역설)을 일으키고 만 것입니다.

“이름 붙여진다"는 것은 어떤 의미인가?

또한, “16글자로 표현할 수 있다"는 말의 정의도 모호합니다. “19글자 이하로 표현할 수 없는 가장 작은 정수"라는 문구는, 특정한 구체적인 숫자(예를 들어 $987654321...$과 같은 수)를 직접 가리키고 있는 것은 아닙니다. 단지 “조건을 만족하는 숫자가 있을 것이다"라고 간접적으로 기술하고 있을 뿐입니다.

수학적으로는, “직접적으로 계산 가능한 형태로 표현하는 것"과 “간접적인 조건을 언어로 서술하는 것"은 명확히 구별되어야 합니다. 이 두 가지를 혼동하여 “16글자로 표현할 수 있었다!“라고 주장하는 데에, 논리적인 속임수가 숨겨져 있습니다.

5. 요약과 현대에 미친 영향

베리의 역설은 얼핏 보면 그저 단순한 “말장난"이나 “억지"처럼 보입니다. 그러나 이 문제는 20세기 수학자들에게 **“일상 언어를 사용하여 수학의 기초를 세우는 것의 위험성”**을 깊이 인식시키는 계기가 되었습니다.

“언어로 숫자를 정의해서는 안 된다. 수학은 완전히 독립적이고 엄밀한 기호만으로 구축되어야 한다.”

이 역설은 훗날 수학의 역사를 바꾸는 “괴델의 불완전성 정리(수학에는 절대 증명할 수 없는 진리가 존재한다)“나 컴퓨터 과학에서의 “콜모고로프 복잡도(정보를 얼마나 짧게 압축할 수 있는가 하는 이론)” 등, 최첨단 학문으로 이어지는 중요한 이정표가 되었습니다.

단 16글자의 언어가 수학의 한계를 파헤쳤다. 그것이 베리의 역설이 가진 아름다움입니다.