우리 주변에 있는 다양한 수치 데이터. 그 “첫 번째 자리(최상위 자리)“에 주목해 본 적이 있습니까?

예를 들어, 국가나 도시의 인구, 강의 길이, 회사의 매출액, 물리 상수 등 자연계나 사회에 존재하는 다양한 데이터의 첫 번째 숫자를 추출해 보면, 1부터 9까지 균등하게 나타나는 것이 아니라 특정 숫자가 편중되어 나타난다는 놀라운 사실이 있습니다.

그중에서도 가장 많이 나타나는 숫자는 “1” 입니다. 무려 전체 데이터의 약 30%가 1로 시작합니다. 직관적으로는 1부터 9까지의 숫자가 각각 약 11.1%씩 나타날 것 같지만, 현실의 데이터는 그렇지 않습니다.

이 신비한 현상을 설명하는 수학적 법칙이 벤포드의 법칙 (Benford’s Law) 입니다.

이 글에서는 벤포드의 법칙의 원리, 왜 이런 현상이 일어나는지, 그리고 이 법칙이 어떻게 부정 발견에 응용되고 있는지 자세히 해설합니다.

벤포드의 법칙이란?

벤포드의 법칙(제1숫자의 법칙이라고도 불림)은 실재하는 많은 수치 데이터 집단에서, 첫 번째 자리(가장 큰 자리의 0이 아닌 숫자)가 나타날 확률이 작은 숫자일수록 높아진다는 법칙입니다.

구체적으로, 첫 번째 자리의 숫자 $d$ ($d \in \{1, 2, ..., 9\}$) 가 나타날 확률 $P(d)$ 는 다음 로그 방정식으로 표현됩니다.

이 식을 계산하면 각 숫자가 첫 번째 자리에 나타날 확률은 다음과 같습니다.

• 1 : 약 30.1%
• 2 : 약 17.6%
• 3 : 약 12.5%
• 4 : 약 9.7%
• 5 : 약 7.9%
• 6 : 약 6.7%
• 7 : 약 5.8%
• 8 : 약 5.1%
• 9 : 약 4.6%

1로 시작하는 숫자가 압도적으로 많으며, 9로 시작하는 숫자는 1의 6분의 1 이하로만 출현합니다.

발견의 역사

이 법칙은 1881년 천문학자 사이먼 뉴컴에 의해 처음 발견되었습니다. 그는 로그표의 앞부분(1이나 2로 시작하는 페이지)이 뒷부분보다 손때가 묻어 낡아 있다는 사실을 발견했습니다.

그 후, 1938년 물리학자 프랭크 벤포드가 2만 개 이상의 다양한 데이터 세트(강의 면적, 물리 상수, 잡지의 주소 등)를 분석하여 이 현상이 보편적인 것임을 증명했습니다.

왜 “1"이 많아지는 것일까?

직관에 반하는 이 법칙이지만, 왜 이런 편중이 발생하는 것일까요? 그 이유를 이해하기 위한 직관적인 설명이 척도 불변성 (Scale Invariance) 과 로그 척도에서의 균일성 입니다.

척도 불변성

만약 보편적인 자연계의 법칙이 존재한다면, 측정 단위를 바꾸더라도 법칙 자체는 변하지 않아야 합니다. 예를 들어, 거리를 킬로미터로 측정하든 마일로 측정하든 첫 번째 숫자의 출현 확률은 같아야 합니다. 수학적으로 단위를 곱해도 분포가 변하지 않는다는 조건(척도 불변성)을 만족하는 확률 분포를 구하면, 필연적으로 벤포드의 법칙의 로그 분포에 도달하게 됩니다.

로그 척도와 성장

많은 자연현상이나 경제 데이터는 덧셈이 아니라 곱셈(복리)으로 성장합니다. 예를 들어 기업의 매출이 매년 10%씩 성장한다고 가정해 봅시다.

매출이 100만 엔에서 200만 엔(첫 번째 자리가 1인 기간)이 되기 위해서는 약 7.3년이 걸립니다. 그러나 매출이 500만 엔에서 600만 엔(첫 번째 자리가 5인 기간)이 되기 위해서는 불과 1.9년밖에 걸리지 않습니다. 나아가 900만 엔에서 1000만 엔(첫 번째 자리가 9인 기간)이 되기 위해서는 단 1.1년밖에 걸리지 않습니다.

1000만 엔에 도달하면 다시 첫 번째 자리는 1로 돌아가고, 이번에는 2000만 엔이 될 때까지 긴 시간을 보냅니다. 즉, 지수함수적으로 성장하는 데이터에서는 첫 번째 자리가 작은 숫자인 기간이 압도적으로 길어지는 것입니다.

어떤 데이터에 적용할 수 있을까?

벤포드의 법칙은 모든 데이터에 적용할 수 있는 것은 아닙니다. 적용할 수 있는 데이터와 없는 데이터에는 명확한 차이가 있습니다.

적용할 수 있는 데이터의 예

• 폭넓게 분포하는 데이터: 자릿수가 여러 개에 걸쳐 있는 데이터 (예: 10부터 100만까지 분포하는 데이터).
• 자연적으로 생성된 데이터: 강의 길이, 호수의 면적, 물리학 상수, 분자의 질량 등.
• 인간이 관여하는 데이터: 주가, 기업의 매출액, 세무 신고서, 인구 등.

적용할 수 없는 데이터의 예

• 인위적으로 할당된 숫자: 전화번호, 우편번호, 주민등록번호 등.
• 범위가 한정된 데이터: 인간의 키 (대부분 100cm~200cm에 수렴하여 1로 시작하는 숫자가 압도적 다수가 됨).
• 정규 분포를 따르는 데이터: 시험 점수나 IQ 등 평균값 주위에 집중되는 데이터.

부정 발견에의 응용

현재 벤포드의 법칙이 가장 실용적으로 사용되고 있는 분야 중 하나가 부정 탐지 (Fraud Detection) 입니다.

인간이 무작위로 숫자를 날조하거나 속여서 데이터를 만들려고 하면, 무의식중에 각 숫자를 균등하게 사용하려고 하거나 특정 숫자를 피하려는 심리가 작용합니다. 그러나 자연계의 데이터는 벤포드의 법칙을 따르기 때문에, 날조된 데이터는 이 법칙에서 크게 벗어나게 됩니다.

회계 감사에서의 이용

세무서나 회계 감사 법인은 기업의 장부나 경비 보고서를 스캔하여 수치의 첫 번째 자리(또는 두 번째 자리)가 벤포드의 법칙을 따르고 있는지를 자동으로 체크하고 있습니다.

  graph TD
    A["데이터 수집"] --> B["각 수치에서 첫 번째 자리 추출"]
    B --> C{"벤포드의 법칙과 비교"}
    C -->|"일치"| D["정상 (부정 의심 없음)"]
    C -->|"큰 일탈"| E["의심스러운 데이터로 플래그 지정"]
    E --> F["상세한 감사 실시"]

만약 “가공의 경비"를 대량으로 부풀려 청구하고 있다면, 그 금액의 분포는 부자연스러워지고 벤포드의 법칙 곡선에서 벗어나게 됩니다. 이 기법은 매우 강력하며, 실제로 많은 횡령 사건이나 분식 회계가 이 법칙을 계기로 발각되었습니다.

선거 부정 의혹

또한 선거 득표수 데이터에서도, 각 투표소의 결과를 집계한 데이터가 벤포드의 법칙을 따르는지가 부정 선거를 검증하는 하나의 지표로 사용되기도 합니다(단, 선거 데이터의 경우 지역의 규모 등에 따라 적용이 어려운 경우도 있어 논란이 있습니다).

결론

벤포드의 법칙 은 언뜻 무질서해 보이는 세계에 숨어 있는 아름다운 수학적 질서 중 하나입니다.

우리의 직관은 “숫자는 평등하게 출현한다"고 생각하기 쉽지만, 실제로는 “1"이 압도적인 존재감을 가지고 있습니다. 이 법칙을 알게 되면 뉴스에서 보는 데이터나 기업의 결산서, 더 나아가 자연계의 확장에 대한 시각이 조금 달라질지도 모릅니다.

다음 번에 대량의 데이터를 다룰 기회가 있다면, 꼭 “첫 번째 자리"를 집계해 보십시오. 분명 그곳에는 로그 곡선이 그리는 아름다운 법칙이 나타날 것입니다.