케플러 추측을 알기 쉽게 해설! ～수박을 가장 꽉 차게 담는 방법～

안녕하세요, kenji입니다!

오늘은 ‘케플러 추측’이라는 조금 어려워 보이는 이름의 수학 이야기를 가능한 한 알기 쉽게 설명해 보려고 합니다.

언뜻 보면 엄청 매니악한 이야기지만, “수박을 상자에 꽉 차게 담으려면 어떻게 해야 할까?“라는 비교적 친숙한 문제이기도 합니다. 편의점 냉장고와도 관계가 있고, 짐을 쌓는 방법과도 관계가 있죠.

그리고 수학의 세계에서는 이것이 무려 400년 이상 증명되지 못했다 는, 엄청나게 낭만 있는 이야기이기도 합니다.

그럼 시작해 볼까요!

애초에 케플러가 누구야?

먼저, ‘케플러 추측’의 ‘케플러’가 누구야? 하는 이야기인데요.

이것은 요하네스 케플러(Johannes Kepler) 라는 독일의 천문학자 겸 수학자의 이름입니다.

이 사람, 엄청나게 대단한 사람이에요. 예를 들어, 행성의 궤도가 타원형이라는 것을 발견한 것도 이 사람입니다. 지금은 당연한 지식이지만, 당시(1600년경)는 지동설조차 제대로 믿어지지 않던 시대였거든요.

이런 위치로, 케플러는 ‘수식으로 우주를 말하는’ 선구자였습니다.

그런 그가 어느 날 이렇게 말합니다.

‘케플러 추측’이란 간단히 말해 이런 이야기입니다.

같은 크기의 구(수박이나 오렌지)를 상자에 담을 때, 어떤 배열이 가장 꽉 차게 담을 수 있을까?

라는 문제.

그래서 케플러가 1600년대에 추측한 것이

채소가게에서 오렌지를 진열하듯이 삼각형 모양으로 쌓는 게 가장 효율적이지 않을까?

라는 것.

이것을 수학적으로 말하면 ‘최조밀 충전 문제‘라고 해서, 구를 공간에 가장 빽빽하게 깔아 채우는 방법을 찾는 문제인 거죠.

케플러는 ‘면심 입방 구조(FCC)‘라는 배열(수박을 삼각형으로 쌓는 것 같은 느낌)이 가장 효율이 좋다고 추측했습니다.

그래서 다들 “확실히 그럴싸하네～“라고는 생각했지만, 수학적으로 “절대적으로 이게 최고다!“라고 증명하는 것이 엄청나게 어려웠습니다.

그럼 실제로 그것이 언제 증명되었냐 하면…

무려 1998년～2005년경 입니다. 즉, 400년 가까이 아무도 증명하지 못했다 는 것이죠. 너무 대단합니다.

게다가 증명한 것은 미국의 수학자 토머스 헤일스(Thomas Hales) 라는 사람.

이 사람은 손계산만으로는 무리라고 판단하여 컴퓨터를 사용해 증명 했습니다. 하지만 그 증명이 너무 복잡해서 인간이 제대로 확인할 수 없다!는 문제가 발생.

그래서 수학계에서도 “그럼 컴퓨터로 증명한 것을 정말 믿을 수 있는 거야?“라는 대논쟁이 일어났습니다.

결국 “컴퓨터를 포함해서 엄밀하게 검증했어!“라는 증명(정식으로는 ‘정형 증명’이라고 합니다)이 완료된 것은 2014년.

즉, 케플러의 직감이 옳았다고 증명되기까지 400년 이상 걸렸다는 것입니다. 대단한 낭만이죠.

‘구를 어떻게 배열할까’라니, 수학 오타쿠들만의 이야기인가 싶지만, 사실은 엄청 실용적입니다.

등등, 사실은 우리 생활의 이면에서 팍팍 사용되고 있는 이론입니다.

그럼 요약하겠습니다.

그리고 무엇보다 재미있는 것은, “채소가게 아저씨가 감각적으로 하던 쌓기 방식이 수학적으로도 최강이었다” 는 점.

즉, 인간의 직감은 대단하다. 그리고 그것을 증명하는 데 400년이 걸릴 수도 있다 는 것이, 참으로 낭만 있는 이야기죠.

관심이 생기신 분들은 꼭 ‘토머스 헤일스’, ‘정형 증명’, ‘Sphere Packing’ 등으로 검색해 보세요. 깊이 파고들면 엄청나게 재미있습니다.

그럼 이만!

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