Nilai Harapan on kenji.blog

Paradoks St. Petersburg: Berapa yang Akan Anda Bayar untuk Judi dengan Nilai Harapan "Tak Terhingga"?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Judi Impian dengan Nilai Harapan “Tak Terhingga”

Saat Anda berjalan-jalan di sebuah kasino, seorang bandar mengajak Anda untuk memainkan permainan lempar koin baru berikut ini.

【Aturan Permainan】

Bayar biaya partisipasi untuk memulai permainan.
Lempar koin. Jika muncul sisi depan, uang hadiah akan berlipat ganda, dan Anda dapat melempar koin lagi.
Jika muncul sisi belakang, permainan berakhir. Anda akan mendapatkan uang hadiah yang terkumpul hingga saat itu.

Uang hadiah awal dimulai dari 2 dolar.

Jika sisi belakang muncul pada lemparan pertama, Anda mendapat 2 dolar dan permainan berakhir.
Jika sisi depan pada lemparan pertama, dan sisi belakang pada lemparan kedua, Anda mendapat 4 dolar dan permainan berakhir.
Jika sisi depan pada lemparan pertama, sisi depan pada lemparan kedua, dan sisi belakang pada lemparan ketiga, Anda mendapat 8 dolar dan permainan berakhir.
…dan seterusnya, selama sisi depan terus muncul, uang hadiah akan berlipat ganda menjadi 16 dolar, 32 dolar, 64 dolar…

graph TD Start["Mulai permainan"] --> Toss1{"Lemparan koin ke-1"} Toss1 -->|Belakang (1/2)| End1["Selesai: Dapat 2 dolar"] Toss1 -->|Depan (1/2)| Toss2{"Lemparan koin ke-2"} Toss2 -->|Belakang (1/2)| End2["Selesai: Dapat 4 dolar"] Toss2 -->|Depan (1/2)| Toss3{"Lemparan koin ke-3"} Toss3 -->|Belakang (1/2)| End3["Selesai: Dapat 8 dolar"] Toss3 -->|Depan (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Semakin berturut-turut| Infinite["Uang hadiah berlipat ganda tak terhingga!"]

Sekarang, ada satu pertanyaan untuk Anda. Jika biaya partisipasi untuk permainan ini adalah “10.000 dolar (sekitar 150 juta rupiah)”, apakah Anda akan ikut bermain?

Mungkin hampir semua orang akan menjawab “tidak akan ikut”. Karena, ada kemungkinan 50% bahwa sisi belakang akan muncul pada lemparan pertama, sehingga Anda hanya mendapatkan 2 dolar dan mengalami kerugian besar.

Namun, jika kita menghitungnya secara ketat dengan teori probabilitas matematika (nilai harapan), sebuah fakta mengejutkan terungkap. Secara matematis, tidak peduli apakah biaya partisipasinya 10.000 dolar atau 1 juta dolar, Anda harus mengikuti permainan ini bahkan jika harus berhutang dengan seluruh harta Anda.

Mengapa demikian?

2. Mari Kita Hitung Nilai Harapannya

Salah satu indikator matematis untuk menentukan apakah sebuah perjudian itu “untung atau rugi” adalah “Nilai Harapan” (Expected Value). Nilai harapan adalah angka yang menunjukkan “jika permainan tersebut diulang berkali-kali, berapa rata-rata keuntungan yang diperoleh per permainan”. Rumus perhitungannya adalah jumlah dari semua “(uang hadiah yang didapat) × (probabilitas terjadinya)”.

Mari kita hitung nilai harapan dari permainan kali ini.

Probabilitas muncul sisi belakang pada lemparan ke-1: $\frac{1}{2}$ Uang hadiah adalah $2$ dolar. Kontribusi terhadap nilai harapan = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dolar
Probabilitas muncul sisi belakang pada lemparan ke-2: Karena polanya Depan-Belakang, probabilitasnya $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Uang hadiah adalah $4$ dolar. Kontribusi terhadap nilai harapan = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dolar
Probabilitas muncul sisi belakang pada lemparan ke-3: Karena polanya Depan-Depan-Belakang, probabilitasnya $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Uang hadiah adalah $8$ dolar. Kontribusi terhadap nilai harapan = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dolar
Probabilitas muncul sisi belakang pada lemparan ke-$n$: $(\frac{1}{2})^n$ Uang hadiah adalah $2^n$ dolar. Kontribusi terhadap nilai harapan = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dolar

Artinya, tidak peduli pada lemparan ke berapa permainan berakhir, nilai harapan dari pola tersebut selalu “1 dolar”. Karena permainan berpotensi berlanjut tanpa batas, jika kita menjumlahkan semua nilai harapan ini, hasilnya adalah sebagai berikut:

$$ \text{Total Nilai Harapan} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (Tak Terhingga)} $$

Jawaban yang dihasilkan oleh matematika adalah “nilai harapan permainan ini adalah tak terhingga”. Karena nilai harapannya tak terhingga, tidak peduli seberapa mahal biaya partisipasinya, secara teoritis ini adalah perjudian yang “pasti untung”.

Inilah yang disebut “Paradoks St. Petersburg”, yang diajukan oleh Nicolaus Bernoulli pada tahun 1713. Terdapat kontradiksi yang sangat kuat antara hasil perhitungan matematis yang benar (memiliki nilai tak terhingga) dan perasaan realistis manusia (hanya ingin membayar beberapa dolar saja).

3. Penemuan “Utilitas” yang Menyelesaikan Kesenjangan Antara Matematika dan Manusia

Orang yang menyelesaikan paradoks ini adalah sepupu Nicolaus, seorang ahli matematika jenius bernama Daniel Bernoulli. (Paradoks ini dinamai demikian karena ia mempresentasikan makalah ini di Akademi Sains St. Petersburg.)

Daniel mendalami psikologi manusia. Ia berpikir bahwa “Manusia menilai sesuatu bukan dari ‘jumlah nominal mutlak’ uang, melainkan dari ’tingkat kepuasan (utilitas)’ yang dibawa oleh uang tersebut.”

Ini disebut “Hukum Utilitas Marjinal yang Semakin Menurun” (Law of Diminishing Marginal Utility).

Nilai Uang Menurun Seiring dengan Jumlah yang Dimiliki

Sebagai contoh, ketika Anda berada di padang pasir dan sangat haus, segelas air pertama memiliki nilai (kepuasan) yang sedemikian tinggi sehingga Anda “rela membayar 1 juta rupiah untuk meminumnya”. Namun, saat Anda meminum gelas kedua dan ketiga, nilai segelas air akan terus menurun. Pada gelas ke-10, Anda mungkin akan berkata “saya tidak mau lagi meskipun gratis”.

Hal yang sama berlaku untuk uang.

Uang “100 juta rupiah” yang diterima oleh orang yang tidak memiliki tabungan sama sekali memiliki nilai luar biasa yang dapat menyelamatkan hidupnya.
Namun, uang “100 juta rupiah” yang diterima oleh Elon Musk dengan kekayaan miliaran dolar hanya memiliki nilai (kepuasan) setara dengan uang koin 100 rupiah yang jatuh di jalan.

Dengan kata lain, meskipun uang hadiah meningkat tanpa batas dari 2 dolar $\rightarrow$ 4 dolar $\rightarrow$ 8 dolar $\rightarrow$ 16 dolar…, “kebahagiaan (utilitas)” yang dirasakan manusia tidak meningkat secara tak terhingga sebanding dengan jumlah uangnya.

4. Menghitung Ulang Nilai Harapan Menggunakan “Utilitas”

Daniel Bernoulli mengasumsikan bahwa “nilai uang (utilitas) yang dirasakan manusia sebanding dengan logaritma ($\log$) dari jumlah uangnya”.

Jika jumlah uang adalah $x$, mari kita nyatakan nilai (utilitas) yang dirasakan manusia $u(x)$ sebagai fungsi logaritma (di sini kita mempertimbangkan model sederhana dengan basis 2).

Utilitas dari uang hadiah $2$ dolar: $\log_2(2) = 1$
Utilitas dari uang hadiah $4$ dolar: $\log_2(4) = 2$
Utilitas dari uang hadiah $8$ dolar: $\log_2(8) = 3$
Utilitas dari uang hadiah $2^n$ dolar: $\log_2(2^n) = n$

Jumlah uang berlipat ganda, tetapi “kebahagiaan” manusia hanya meningkat sedikit demi sedikit, yaitu 1, 2, 3… Mari kita hitung ulang nilai harapan (utilitas harapan) menggunakan “utilitas” ini.

$$ \text{Utilitas Harapan} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Jika kita menghitung jumlah dari deret tak terhingga ini, hasilnya tidak menjadi “tak terhingga”, melainkan konvergen ke angka “2”. Jika kita menghitung mundur jumlah uang dari utilitas “2”, kita mendapatkan $2^2 = 4$ dolar.

Artinya, jika kita menghitung ulang dengan memasukkan psikologi (utilitas) manusia, kita mendapatkan jawaban yang sangat masuk akal dan realistis: “Nilai permainan ini, menurut persepsi manusia, kira-kira bernilai ‘4 dolar’.” Itulah sebabnya kita tidak berniat membayar 10.000 dolar untuk permainan ini.

5. Kesimpulan: Paradoks yang Membuka Pintu Ilmu Ekonomi

Paradoks St. Petersburg adalah paradoks terobosan yang membuktikan secara matematis bahwa angka objektif berupa “jumlah nominal uang” dan nilai subjektif berupa “tingkat kepuasan manusia” tidaklah sama.

Konsep “Utilitas (Utility)” yang diajukan oleh Daniel Bernoulli, setelah 200 tahun berlalu, menjadi fondasi terpenting dari ilmu ekonomi mikro modern dan rekayasa keuangan (seperti teori portofolio). Tindakan kita dalam membeli asuransi atau melakukan diversifikasi investasi, semuanya dapat dijelaskan melalui mekanisme psikologis manusia yang disebut “Utilitas Marjinal yang Semakin Menurun (penderitaan karena kerugian besar jauh lebih besar daripada kegembiraan karena keuntungan besar)”.

Sebuah masalah perhitungan perjudian sederhana, ternyata menjadi pemicu untuk memahami pikiran manusia dan melahirkan disiplin ilmu yang besar yaitu ilmu ekonomi.

Paradoks Dua Amplop: Runtuhnya Logika dan Perangkap Pengambilan Keputusan akibat Nilai Harapan Tak Terhingga

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. Pilihan Utama: Menukar atau Tidak Menukar?

Anda sedang berada di babak final sebuah acara permainan. Di atas meja di depan Anda, terdapat dua amplop (A dan B) yang terlihat sama persis. Pembawa acara berkata:

“Salah satu amplop berisi uang dua kali lipat dari amplop yang lain. Silakan pilih salah satu.”

Setelah ragu-ragu, Anda memilih Amplop A. Tepat saat Anda hendak melihat isinya, pembawa acara memberikan bisikan setan.

“Sekarang, Anda boleh menukar Amplop A tersebut dengan Amplop B yang tersisa. Apakah Anda ingin menukarnya?”

Nah, haruskah Anda menukar amplop tersebut?

2. “Lingkaran Tak Terhingga” yang Dihasilkan oleh Perhitungan Nilai Harapan

Sekarang, mari kita gunakan sedikit pemikiran matematis. Misalkan jumlah uang di dalam Amplop A yang Anda pegang adalah $X$ Yen. Sesuai aturan, jumlah uang di Amplop B bisa jadi “setengah dari $X$ Yen ($\frac{X}{2}$)” atau “dua kali lipat dari $X$ Yen ($2X$)”. Peluang masing-masing adalah $\frac{1}{2}$ (50%).

Sekarang, mari kita hitung nilai harapan (rata-rata jumlah yang diharapkan) jika Anda menukar amplop.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

Hasil yang mengejutkan muncul. Hanya dengan menukar amplop, nilai harapannya melonjak menjadi $1.25$ kali lipat (naik 25%) dari nilai awal $X$ Yen. Kesimpulannya adalah, “Jika dipikirkan secara matematis, pasti lebih menguntungkan untuk menukar!”

Namun, di sinilah runtuhnya logika terjadi. Misalkan Anda menukarnya dengan Amplop B. Tepat setelah itu, bagaimana jika pembawa acara bertanya lagi, “Apakah Anda ingin kembali ke A?” Rumus perhitungan yang sama persis akan berlaku, dan kali ini menjadi “jika Anda menukar dari B ke A, nilai harapannya menjadi 1.25 kali lipat”.

Dengan kata lain, hanya dengan terus menukar dari “A ke B” dan “B ke A”, nilai harapan teoretisnya akan terus meningkat tanpa batas. Ini jelas bertentangan dengan kenyataan (isi amplop sudah ditentukan sejak awal, dan tidak akan bertambah hanya karena Anda menukarnya).

graph TD Start["Anda memilih Amplop A (isi: X Yen)"] --> Think["Menghitung apakah lebih menguntungkan jika ditukar"] Think --> Case1["Amplop B berisi setengahnya (X/2 Yen) : Peluang 50%"] Think --> Case2["Amplop B berisi dua kali lipat (2X Yen) : Peluang 50%"] Case1 --> Calc["Nilai Harapan = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["Menukar ke Amplop B! (isi: Y Yen)"] SwitchToB --> ThinkAgain["Menghitung lagi"] ThinkAgain --> Case3["Amplop A berisi setengahnya (Y/2 Yen) : Peluang 50%"] ThinkAgain --> Case4["Amplop A berisi dua kali lipat (2Y Yen) : Peluang 50%"] Case3 --> Calc2["Nilai Harapan = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["Menukar lagi ke Amplop A!"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

Mengapa perhitungan nilai harapan yang sekilas tampak sempurna ini bisa menghasilkan paradoks yang aneh seperti ini?

3. Mengungkap Trik Matematis: Pertukaran Variabel

Jebakan dari paradoks ini terletak pada “cara menggunakan variabel acak $X$”.

Pada rumus perhitungan sebelumnya, jumlah uang $X$ di Amplop A diperlakukan sebagai konstanta tetap, dan diasumsikan bahwa Amplop B berisi “$\frac{X}{2}$ atau $2X$”. Namun, yang sebenarnya tetap adalah “total uang di dalam kedua amplop”, atau “jumlah uang yang lebih kecil”.

Misalkan jumlah uang di amplop yang lebih kecil adalah $S$. Maka, amplop yang lebih besar berisi jumlah uang $2S$. Seluruh skenario permainan hanya terdiri dari 2 pola berikut (peluang masing-masing adalah $\frac{1}{2}$).

Pola 1: Amplop A yang Anda pilih adalah yang lebih kecil ($S$), dan Amplop B adalah yang lebih besar ($2S$)
Pola 2: Amplop A yang Anda pilih adalah yang lebih besar ($2S$), dan Amplop B adalah yang lebih kecil ($S$)

Sekarang, mari kita hitung dengan benar nilai harapan jika “tidak menukar” dan “menukar” amplop.

Nilai harapan jika tidak menukar $E_{stay}$:

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

Nilai harapan jika menukar $E_{switch}$: Pada Pola 1 Anda mendapatkan $2S$, dan pada Pola 2 Anda mendapatkan $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

Luar biasa, nilai harapannya sama! Pada perhitungan awal yang salah, nilai $X$ pada Pola 1 (sebenarnya $S$) dan nilai $X$ pada Pola 2 (sebenarnya $2S$), yang merupakan nilai yang berbeda, diperlakukan sebagai variabel $X$ yang sama, sehingga menciptakan ilusi bahwa “jika ditukar, nilai harapannya akan naik”.

pie title "Fakta Nilai Harapan (Jika jumlah yang lebih kecil adalah S)" "Nilai Harapan Tidak Menukar (1.5S)" : 50 "Nilai Harapan Menukar (1.5S)" : 50

4. Apa yang Terjadi Jika Amplop Dibuka?

Paradoks ini tampaknya telah terpecahkan. Namun, masalah yang lebih dalam menanti.

Bagaimana jika Anda melihat isi Amplop A Anda sebelum menukarnya? Saat Anda membuka Amplop A, di dalamnya terdapat “10.000 Yen”.

Pada momen ini, $X$ menjadi nilai pasti yaitu $10000$. Di dalam Amplop B, terdapat “5.000 Yen” atau “20.000 Yen”. Apa yang terjadi jika kita menerapkan rumus perhitungan awal di sini?

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

Nilai harapannya adalah 12.500 Yen. Jauh lebih tinggi daripada 10.000 Yen yang ada saat ini. Apalagi, karena kali ini $X$ adalah “konstanta spesifik” sebesar 10.000 Yen, bantahan “pertukaran variabel” yang tadi tidak berlaku. Jika begini, apakah pasti lebih menguntungkan untuk menukar?

Sanggahan melalui Inferensi Bayes: Hilangnya “Distribusi Apriori”

Menanggapi hal ini, para matematikawan mengemukakan konsep “distribusi apriori (probabilitas apriori) dari jumlah uang”. Pertanyaannya adalah: dapatkah dikatakan bahwa peluang masing-masing 5.000 Yen dan 20.000 Yen benar-benar ada di dalam sebesar $\frac{1}{2}$?

Sebagai contoh, misalkan anggaran maksimum acara tersebut adalah 100 juta Yen. Jika Anda membuka Amplop A dan terdapat “60 juta Yen”, probabilitas Amplop B berisi “120 juta Yen” adalah nol (karena melebihi anggaran). Dengan kata lain, semakin besar jumlah di Amplop A, probabilitas Amplop B berisi “dua kali lipat” akan semakin menurun, dan probabilitas berisi “setengah” seharusnya semakin meningkat.

Jika kita mengasumsikan distribusi apriori $P(x)$ yang berubah-ubah, saat menghitung nilai harapan menggunakan Teorema Bayes, secara matematis telah dibuktikan bahwa tidak ada distribusi ajaib yang membuat “menukar menjadi lebih menguntungkan” untuk semua nilai $X$, pada distribusi probabilitas realistis manapun (di mana jumlah totalnya adalah 1).

5. Jebakan Tak Terhingga: Hubungannya dengan Paradoks St. Petersburg

Satu-satunya kasus di mana “menukar menjadi lebih menguntungkan untuk semua nilai $X$” memang ada. Itu hanya terjadi jika kita mengasumsikan anggaran acara adalah tak terhingga, dan ada “distribusi probabilitas tak wajar (distribusi di mana jumlah totalnya menjadi tak terhingga)” di mana semua jumlah uang (1 Yen, 2 Yen, 4 Yen, 8 Yen… tak terhingga) muncul secara merata.

Namun, tidak ada stasiun televisi di dunia nyata yang memiliki aset tak terhingga. Bug yang disebabkan oleh “nilai harapan tak terhingga” ini berakar dalam pada Paradoks St. Petersburg (masalah tentang seberapa banyak seseorang bersedia membayar untuk perjudian dengan nilai harapan tak terhingga).

6. Kesimpulan: Kengerian Probabilitas dan Nilai Harapan

Meskipun “Paradoks Dua Amplop” hanya terdiri dari perkalian dan penjumlahan sederhana, paradoks ini memberikan kita pelajaran berikut:

Kesalahan akibat Definisi yang Ambigu: Jika Anda tidak memperjelas apa yang dirujuk oleh variabel (apakah $X$ selalu merujuk pada jumlah yang sama), logika akan mudah runtuh.
Ilusi bahwa “Tidak Ada Informasi = Peluang 50%”: Asumsi bahwa “karena kita tidak tahu, berarti peluangnya setengah-setengah” (Prinsip Alasan Tidak Cukup) terkadang menyebabkan kesalahan perhitungan yang fatal.
Kesulitan dalam Menangani Tak Terhingga: Memasukkan konsep “tak terhingga” yang tidak dapat diterapkan di dunia nyata ke dalam rumus perhitungan akan menghasilkan hasil yang bertentangan dengan akal sehat.

Lain kali dalam hidup saat Anda berpikir “rumput tetangga lebih hijau, dan lebih menguntungkan untuk menukar”, ingatlah paradoks ini. Mungkin saja, variabel dalam rumus perhitungan Anda hanya tertukar.