Featured image of post Mengapa Minoritas Kecil Bisa Memegang Seluruh Kendali: Matematika Indeks Kekuatan Suara
Matematika & Masyarakat

Mengapa Minoritas Kecil Bisa Memegang Seluruh Kendali: Matematika Indeks Kekuatan Suara

Mengapa persentase kursi di parlemen atau porsi saham di dewan direksi tidak mencerminkan kekuatan pengambilan keputusan yang sebenarnya? Eksplorasi matematis tentang permainan pemungutan suara berbobot, indeks kekuatan Banzhaf dan Shapley-Shubik, fungsi pembangkit, Dewan Keamanan PBB, dan paradoks kekuatan suara.

Di parlemen demokratis, dewan internasional, maupun rapat umum pemegang saham, para pengamat sering terjebak dalam ilusi aritmetika yang tampak masuk akal namun keliru: anggapan bahwa persentase kursi sebuah partai — atau persentase saham seorang investor — berbanding lurus dengan kekuatan pengambilan keputusan yang sebenarnya (Voting Power).

Bayangkan sebuah parlemen dengan 100 kursi di mana pengesahan undang-undang memerlukan mayoritas sederhana $q = 51$ suara. Partai A memegang 49 kursi, Partai B memegang 49 kursi, dan Partai C yang sangat kecil hanya memegang 2 kursi. Di layar televisi, Partai A dan B tampak seperti raksasa yang masing-masing menguasai $49\%$ parlemen, sedangkan Partai C tampak remeh dengan $2\%$ kursi. Namun ketika kita menganalisis parlemen ini menggunakan teori permainan kooperatif (Cooperative Game Theory), muncul kebenaran yang mengejutkan: Partai A, Partai B, dan Partai C memiliki kekuatan suara yang persis sama — masing-masing sepertiga ($33,33\%$).

Sebaliknya, sebuah partai politik atau negara berdaulat dapat memiliki sejumlah suara tetapi memegang kekuatan suara matematis tepat nol ($0\%$) — fenomena yang dalam teori permainan disebut pemain boneka / semu (Dummy Player). Antara tahun 1958 hingga 1973, Dewan Menteri Masyarakat Ekonomi Eropa (MEE / EEC) menerapkan sistem suara berbobot $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$. Meskipun Luksemburg memiliki 1 suara ($5,88\%$ dari total 17 suara), lima negara lainnya seluruhnya memiliki jumlah suara genap ($4, 4, 4, 2, 2$) dan kuota kelulusannya genap ($12$). Karena penjumlahan bilangan genap selalu menghasilkan bilangan genap, tidak mungkin ada koalisi yang mengumpulkan $11$ suara untuk diubah menjadi $12$ oleh Luksemburg: selama 15 tahun, kekuatan suara Luksemburg secara matematis adalah $0\%$.

Dalam artikel ini kita membangun teori matematika indeks kekuatan suara (Voting Power Indices): formulasi aksiomatik permainan pemungutan suara berbobot, indeks Banzhaf, indeks Shapley-Shubik, teorema probabilistik Straffin, algoritma fungsi pembangkit, hak veto Dewan Keamanan PBB, serta paradoks redistribusi kursi.

1. Ilusi Pangsa Kursi: Tiga Eksperimen Pikiran

Mari kita tinjau tiga parlemen dengan total $W = 100$ kursi dan kuota mayoritas $q = 51$:

  1. Sang Penentu Raja (Kingmaker) $[51;\, 49, 49, 2]$: Tidak ada satu partai pun yang mencapai 51 kursi sendirian. Koalisi pemenang adalah $\{A, B\}(98)$, $\{A, C\}(51)$, $\{B, C\}(51)$, dan $\{A, B, C\}(100)$. Karena setiap pasangan dua partai pasti menang, permainan ini isomorfik dengan pemungutan suara satu-orang-satu-suara $[2;\, 1, 1, 1]$. Hanya dengan $2\%$ kursi, Partai C menggenggam $33,33\%$ kekuatan suara, setara dengan A dan B.
  2. Sang Diktator dan Oposisi Tanpa Daya $[51;\, 52, 47, 1]$: Karena $w_A = 52 \ge 51$, Partai A adalah diktator ($100\%$ kekuatan). Walaupun Partai B menguasai $47\%$ kursi, bahkan jika bergabung dengan C ($47 + 1 = 48 < 51$) ia tidak pernah bisa meloloskan atau memblokir RUU apa pun: B dan C adalah pemain semu (Dummy Players) dengan kekuatan $0\%$.
  3. Pemain Semu Tak Kasatmata dan Kasus Nassau County (1965) $[51;\, 35, 35, 25, 5]$: Tidak ada partai yang memegang mayoritas mutlak. Akan tetapi, jumlah kursi dari seluruh himpunan bagian $\{A, B, C\}$ (bobot $35, 35, 25$) hanyalah $0, 25, 35, 60, 70, 95$. Tidak ada satu pun koalisi yang berjumlah di dalam interval kritis $[q - w_D,\, q - 1] = [46, 50]$! Akibatnya, $5$ kursi milik Partai D tidak pernah bisa mengubah kekalahan menjadi kemenangan ($0\%$ kekuatan). Pada tahun 1965, John F. Banzhaf III menggunakan analisis ini untuk membuktikan bahwa tiga kota di Dewan Pengawas Nassau County (New York) memiliki kekuatan suara $0\%$.

2. Formulasi Matematika: Indeks Banzhaf dan Shapley-Shubik

Permainan Sederhana dan Pemungutan Suara Berbobot

$$v(S) = \begin{cases} 1 & \text{jika } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{koalisi pemenang}) \\ 0 & \text{jika } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{koalisi kalah}) \end{cases}$$

Seorang pemain $i \in S$ disebut kritis (Swing Voter) dalam koalisi $S$ jika $v(S) = 1$ dan $v(S \setminus \{i\}) = 0$, yaitu $\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1$.

  flowchart TD
    A["Permainan Pemungutan Suara Berbobot [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["Bobot Koalisi w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
    B --> C{"Apakah w(S) ≥ q?"}
    C -- "Ya: v(S) = 1" --> D["Koalisi Pemenang S ∈ W"]
    C -- "Tidak: v(S) = 0" --> E["Koalisi Kalah S ∉ W"]
    D --> F{"Apakah mengeluarkan pemain i membuat w(S \ {i}) < q?"}
    F -- "Ya: v(S \ {i}) = 0" --> G["Pemain i Kritis (Swing Voter) dalam S"]
    F -- "Tidak: v(S \ {i}) = 1" --> H["Pemain i Surplus dalam S"]
    G --> I["Indeks Banzhaf βᵢ: Menghitung swing ηᵢ pada seluruh 2ⁿ⁻¹ himpunan bagian"]
    G --> J["Indeks Shapley-Shubik φᵢ: Menghitung pivot pada seluruh n! permutasi"]

1. Indeks Kekuatan Banzhaf (Penrose 1946 / Banzhaf 1965)

$$\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}$$

2. Indeks Kekuatan Shapley-Shubik (Shapley & Shubik 1954)

$$\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]$$

3. Perbandingan Langkah demi Langkah pada $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ dan Fungsi Pembangkit

Pada permainan $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ ($w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1$, total bobot $10$, kuota $q=6$), enumerasi lengkap terhadap 7 koalisi pemenang dan 24 permutasi menghasilkan:

Koalisi Pemenang $S$Bobot $w(S)$Bobot Tanpa Anggota $w(S \setminus \{i\})$Pemain Kritis (Swing)PartaiPangsa SuaraSwing $\eta_i$Banzhaf Ternormalisasi $\beta_i$Pivot ($/24$)Shapley-Shubik $\phi_i$
$\{A, B\}$$7$$-A:3,\ -B:4$A, BA ($w_A=4$)$40,0\%$$5$$5/12 \approx \mathbf{41,67\%}$$10$$10/24 \approx \mathbf{41,67\%}$
$\{A, C\}$$6$$-A:2,\ -C:4$A, CB ($w_B=3$)$30,0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25,00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25,00\%}$
$\{A, B, C\}$$9$$-A:5,\ -B:6,\ -C:7$AC ($w_C=2$)$20,0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25,00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25,00\%}$
$\{A, B, D\}$$8$$-A:4,\ -B:5,\ -D:7$A, BD ($w_D=1$)$10,0\%$$1$$1/12 \approx \mathbf{8,33\%}$$2$$2/24 \approx \mathbf{8,33\%}$
$\{A, C, D\}$$7$$-A:3,\ -C:5,\ -D:6$A, CTotal$100\%$$12$$100,00\%$$24$$100,00\%$
$\{B, C, D\}$$6$$-B:3,\ -C:4,\ -D:5$B, C, D
$\{A,B,C,D\}$$10$Siapa pun keluar $\ge 6$Tidak ada

Meskipun Partai B ($30\%$) memiliki kursi $50\%$ lebih banyak daripada Partai C ($20\%$), keduanya memiliki kekuatan suara yang persis sama ($25,00\%$) menurut kedua indeks! Sebaliknya, pada $[5;\, 3, 2, 1, 1]$, kedua indeks berbeda: $\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)$ sedangkan $\phi = (58,33\%, 25,00\%, 8,33\%, 8,33\%)$. Menurut teorema Straffin (1977), Banzhaf bersesuaian dengan asumsi independensi pemilih, sedangkan Shapley-Shubik bersesuaian dengan asumsi homogenitas ($p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$).

$$P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}$$

4. Institusi Nyata dan Paradoks Kekuatan Suara

1. Dewan Menteri MEE / EEC (1958–1973) $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$

Bagi Luksemburg ($w_{\text{Lux}} = 1$, kuota $q = 12$), polinomial pembangkit $P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2$ hanya memiliki pangkat genap sehingga koefisien $x^{11}$ adalah $0$ ($\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%$). Saat MEE diperluas menjadi 9 anggota pada tahun 1973 ($[41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]$), meskipun pangsa suara Luksemburg turun dari $5,88\%$ menjadi $3,45\%$, kekuatan Banzhaf-nya justru melonjak dari $0\%$ menjadi $1,62\%$ (paradoks anggota baru, Brams & Affuso 1976).

2. Dewan Keamanan PBB (Hak Veto P5)

Dewan Keamanan PBB (5 anggota tetap P5 dengan hak veto dan 10 anggota tidak tetap NP10, syarat lulus 9 suara termasuk seluruh 5 P5) ekuivalen dengan permainan berbobot $[39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$.

  • Indeks Banzhaf: $\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848$, $\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16,69\%}$ dan $\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1,65\%}$.
  • Indeks Shapley-Shubik: Anggota tidak tetap hanya menjadi pivot pada urutan ke-9 setelah 5 P5 dan tepat 3 dari 9 NP lainnya: $$\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0,1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19,627\%}$$ Kelima anggota tetap menguasai $98,135\%$ kekuatan Shapley-Shubik (setiap anggota P5 memiliki kekuatan 105,25 kali lipat anggota tidak tetap)!
  flowchart TD
    P["Paradoks Nonlinier Permainan Pemungutan Suara Berbobot"] --> P1["1. Paradoks Anggota Baru (Brams & Affuso 1976)"]
    P --> P2["2. Paradoks Pemecahan Partai (Large Size)"]
    P --> P3["3. Paradoks Redistribusi (Fischer & Schotter 1978)"]
    P1 --> D1["Masuknya anggota baru dapat MENINGKATKAN kekuatan anggota lama meskipun persentase suaranya turun (Luksemburg 1973: 0% → 1,6%)"]
    P2 --> D2["Partai besar yang memecah diri menjadi dua faksi dapat memperoleh kekuatan suara gabungan yang lebih besar"]
    P3 --> D3["Partai yang KEHILANGAN separuh kursinya dalam pemilu dapat melihat kekuatan suaranya BERLIPAT GANDA"]

3. Paradoks Redistribusi (Fischer & Schotter 1978)

Bandingkan parlemen 14 kursi (kuota $q = 9$) sebelum dan sesudah pemilu:

  • Sebelum Pemilu $[9;\, 6, 4, 2, 2]$: Koalisi pemenang minimal hanyalah $\{A, B\}(10)$ dan $\{A, C, D\}(10)$; A memegang hak veto. Partai D ($2$ kursi) memiliki $\beta_D = 10,00\%$ dan $\phi_D = 8,33\%$.
  • Sesudah Pemilu $[9;\, 5, 5, 3, 1]$: A kehilangan 1 kursi ke B, dan Partai D kehilangan separuh kursinya ($2 \to 1$) ke C. Namun kini $\{B, C, D\}$ berjumlah $5+3+1=9$ dan menjadi koalisi pemenang! Runtuhnya monopoli veto A membuat Partai D (dengan 1 kursi) menjadi penentu kemenangan bagi dua koalisi sekaligus ($\{A, C, D\}$ dan $\{B, C, D\}$): kekuatannya melonjak menjadi $\beta_D = \mathbf{16,67\%}$ dan $\phi_D = \mathbf{16,67\%}$ — kursi berkurang separuh, kekuatan berlipat ganda.

Terakhir, pada sistem federal dua tingkat, hukum akar kuadrat Penrose (1946) membuktikan bahwa agar setiap warga negara memiliki pengaruh tidak langsung yang setara tanpa memandang jumlah penduduk $P_k$ negara bagiannya, indeks Banzhaf $\beta'_k$ setiap negara bagian harus sebanding dengan $\sqrt{P_k}$.

comments powered by Disqus