Pengantar: Apa itu Jalan Acak?

Jalan acak (Random Walk) adalah konsep matematika di mana posisi berikutnya ditentukan secara acak (probabilistik). Sering disebut juga “langkah pemabuk”.

Rumus (1D)

Misalkan sebuah partikel di titik awal $x = 0$. Ia bergerak ke kanan $+1$ atau ke kiri $-1$ dengan probabilitas yang sama:

Posisi setelah $n$ langkah adalah:

  flowchart LR
    A["Posisi 0"] -->|"+1 (Probabilitas 1/2)"| B["Posisi +1"]
    A -->|"-1 (Probabilitas 1/2)"| C["Posisi -1"]
    B -->|"+1"| D["Posisi +2"]
    B -->|"-1"| A
    C -->|"+1"| A
    C -->|"-1"| E["Posisi -2"]
    %% Diagram alir dasar untuk gerakan 1D

Nilai Harapan dan Varians

Nilai harapan adalah $0$, tetapi varians adalah $n$.

Persamaan Difusi

Pada batas kontinu, jalan acak menjadi Persamaan Difusi:

  stateDiagram-v2
    direction LR
    state "Pandangan Mikroskopis" as Micro {
        [*] --> JalanAcak
        JalanAcak --> LangkahDiskrit
    }
    state "Pandangan Makroskopis" as Macro {
        [*] --> PersamaanDifusi
        PersamaanDifusi --> PenyebaranKontinu
    }
    Micro --> Macro : "Batas Kontinu (Δx, Δt → 0)"
    %% Transisi dari diskrit ke kontinu

Gerak Brown dan Teorema Polya

Teorema Polya menyatakan bahwa untuk 1D dan 2D probabilitas kembali ke titik awal adalah 100%, tetapi untuk 3D atau lebih besar dari itu, kurang dari 1.

  flowchart TD
    Start["Mulai dari (0,0)"] --> Dim12{"1D atau 2D?"}
    Dim12 -- "Ya" --> Ret12["Kembali dengan prob 1 (Rekuren)"]
    Dim12 -- "Tidak (3D atau lebih)" --> Ret3["Probabilitas < 1 (Transien)"]
    %% Percabangan dari teorema Polya

Simulasi dengan Python

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_random_walk_2d(steps):
    """
    Simulasi jalan acak 2D
    """
    directions = np.array([[1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1]])
    random_steps = np.random.randint(0, 4, size=steps)
    movements = directions[random_steps]
    path = np.vstack([[0, 0], np.cumsum(movements, axis=0)])
    return path

steps = 50000
path = simulate_random_walk_2d(steps)

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], alpha=0.6, color='royalblue', linewidth=0.5)
plt.scatter(0, 0, color='red', marker='x', s=150, label='Mulai', zorder=5)
plt.scatter(path[-1, 0], path[-1, 1], color='darkorange', marker='o', s=100, label='Selesai', zorder=5)

plt.title(f"2D Random Walk ({steps} steps)", fontsize=16)
plt.xlabel("Sumbu X", fontsize=12)
plt.ylabel("Sumbu Y", fontsize=12)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axis('equal')
plt.show()