Teori Himpunan on kenji.blog

Paradoks Richard: Kontradiksi yang Ditimbulkan oleh Desimal Tak Terhingga dan "Argumen Diagonal"

Thu, 10 Sep 2026 12:00:00 +0900

1. Daftar Angka yang Dapat Didefinisikan dengan Kata-kata

“Paradoks Richard” yang diterbitkan oleh matematikawan Prancis Jules Richard pada tahun 1905 adalah kerabat dari “Paradoks Berry” yang telah diperkenalkan sebelumnya. Namun, paradoks ini lebih matematis dan mengandung kontradiksi mendalam yang seolah mengintip ke dalam ketakterhinggaan.

Pertama, bayangkan kita mengumpulkan semua “bilangan real (desimal) antara 0 dan 1 yang dapat didefinisikan secara sempurna dalam kalimat bahasa Indonesia”.

Misalnya, angka-angka berikut:

“Nol koma lima” $\rightarrow$ $0.5$
“Sepertiga” $\rightarrow$ $0.333333...$
“Angka pi dari tempat desimal pertama dan seterusnya” $\rightarrow$ $0.14159265...$

Kombinasi kalimat yang dapat diekspresikan dalam bahasa Indonesia hanyalah menyusun ulang huruf-huruf yang ada di kamus, sehingga kita dapat mengurutkannya. (Misalnya, diurutkan dari yang jumlah hurufnya paling sedikit, dan jika jumlah hurufnya sama, diurutkan berdasarkan abjad, dan seterusnya.)

Dengan cara ini, kita dapat membuat penomoran (daftar) tanpa akhir, seperti ke-1, ke-2, ke-3, dan seterusnya untuk “semua bilangan real yang dapat didefinisikan dalam bahasa Indonesia”.

$$ \begin{align*} r_1 &= 0.\mathbf{3}333... \\ r_2 &= 0.5\mathbf{0}00... \\ r_3 &= 0.14\mathbf{1}5... \\ r_4 &= 0.777\mathbf{7}... \\ &\vdots \end{align*} $$

Daftar ini seharusnya mencakup secara sempurna “setiap bilangan real yang dapat didefinisikan dalam bahasa Indonesia”, tanpa ada yang tertinggal.

2. Teknik Iblis “Argumen Diagonal”

Di sini, Richard melakukan operasi yang menakutkan. Dia secara artifisial menciptakan “angka yang sama sekali baru $X$” yang menghindari semua angka yang ada di dalam daftar.

Cara membuatnya sederhana:

Lihat angka pada tempat desimal ke-1 dari angka ke-1 dalam daftar (dalam contoh di atas adalah $3$). Tambahkan $1$ padanya, dan jadikan angka tersebut sebagai digit ke-1 dari $X$ ($3+1=4$).
Lihat angka pada tempat desimal ke-2 dari angka ke-2 dalam daftar (dalam contoh di atas adalah $0$). Tambahkan $1$ padanya, dan jadikan angka tersebut sebagai digit ke-2 dari $X$ ($0+1=1$).
Lihat angka pada tempat desimal ke-3 dari angka ke-3 dalam daftar (dalam contoh di atas adalah $1$). Tambahkan $1$ padanya, dan jadikan angka tersebut sebagai digit ke-3 dari $X$ ($1+1=2$).

※Jika angka aslinya adalah $9$, kita mengembalikannya menjadi $0$.

Angka baru $X$ yang dibuat dengan cara ini (dalam contoh di atas $X = 0.4128...$) sama sekali tidak akan cocok dengan angka mana pun di dalam daftar. Karena digit pada “tempat desimal ke-$n$” dari angka ke-$n$ sengaja digeser. (Teknik ini disebut “Argumen Diagonal”, yang diciptakan oleh matematikawan jenius Cantor untuk membuktikan ukuran ketakterhinggaan bilangan real.)

3. Kesempurnaan Paradoks Richard

Nah, dari sinilah paradoksnya dimulai.

Kita baru saja menciptakan angka baru $X$. Dan “aturan” untuk menciptakan $X$ ini telah dijelaskan (didefinisikan) secara sempurna oleh kalimat bahasa Indonesia yang baru saja saya tulis di atas.

Dengan kata lain, $X$ adalah “bilangan real yang dapat didefinisikan dalam bahasa Indonesia”.

Namun, ingat kembali premis awalnya. “Bilangan real yang dapat didefinisikan dalam bahasa Indonesia” seharusnya semuanya telah tercakup dalam daftar awal ($r_1, r_2, r_3...$). Meskipun demikian, $X$ dibuat sedemikian rupa sehingga tidak cocok dengan angka mana pun di dalam daftar.

$X$ harus ada di dalam daftar (karena didefinisikan dalam bahasa Indonesia).
$X$ tidak boleh ada di dalam daftar (karena dibuat berbeda dari semua angka di dalam daftar menggunakan argumen diagonal).

Sebuah kontradiksi yang sempurna! Inilah Paradoks Richard.

4. Mengapa Logikanya Runtuh? (Jebakan Bahasa Meta)

Penyebab lahirnya paradoks ini, sama seperti Paradoks Berry, terletak pada pencampuran “hierarki bahasa”.

Untuk melakukan matematika dengan ketat, kita harus memisahkan dengan jelas “daftar angka yang menjadi objek (bahasa objek)” dan “aturan yang berbicara dari luar tentang sifat daftar tersebut (bahasa meta)”.

Daftar Richard adalah kumpulan “definisi angka yang dapat dihitung”. Namun, aturan “melihat digit ke-$n$ dari angka ke-$n$ dalam daftar” untuk menciptakan angka baru $X$ adalah operasi “bahasa meta” yang hanya dapat dieksekusi dengan melihat daftar tersebut dari luar.

Paradoks Richard meledak dalam kontradiksi diri karena secara diam-diam mencoba menyusupkan “angka metalinguistik $X$ yang dibuat dengan memanipulasi daftar dari luar” ke “daftar di dalam”.

5. Estafet kepada Gödel

Paradoks Richard ini memberikan kejutan besar bagi dunia matematika pada saat itu. “Kata-kata manusia (dan sistem logika), jika tidak berhati-hati, dapat dengan cepat menyebabkan kontradiksi diri. Bagaimana kita bisa membuat matematika menjadi sempurna dan bebas dari kontradiksi?”

Pada tahun 1931, masalah ini akhirnya diselesaikan oleh matematikawan jenius berusia 25 tahun, Kurt Gödel. Gödel menerjemahkan dan mereproduksi secara sempurna struktur paradoks yang disebabkan oleh Richard menggunakan “ambiguitas bahasa”, dengan menggunakan “rumus matematika yang ketat (bilangan Gödel)”.

Hasil yang diturunkan darinya adalah “Teorema Ketidaklengkapan Gödel” yang terkenal. Itu adalah penemuan besar yang membuktikan batas pengetahuan umat manusia: “Tidak peduli seberapa ketat Anda membuat aturan matematika, ‘kebenaran yang tidak dapat dibuktikan maupun disangkal’ pasti akan muncul di dalam aturan tersebut (matematika itu tidak lengkap)”.

Hotel Tak Terhingga Hilbert: Cara Menampung Jumlah Tamu Tak Terhingga Lagi di Hotel yang Sudah Penuh

Thu, 10 Sep 2026 06:00:00 +0900

1. Selamat Datang di Hotel Paling Mutakhir

Matematikawan besar Jerman, David Hilbert, merancang eksperimen pemikiran yang menarik berikut ini untuk menjelaskan betapa konsep “tak terhingga” sangat jauh dari intuisi manusia.

Bayangkan. Di suatu tempat di alam semesta, ada sebuah hotel bernama “Hotel Tak Terhingga Hilbert”. Di hotel ini, terdapat jumlah tak terhingga kamar tamu yang diberi nomor, seperti kamar 1, kamar 2, kamar 3, dan seterusnya.

Suatu hari, ada acara besar di alam semesta, dan setiap kamar di hotel yang tak terhingga ini terisi, menjadi “penuh”. Kemudian, seorang pelancong yang kelelahan tiba dan bertanya ke resepsionis, “Bisakah Anda memberikan saya satu kamar?”

Di hotel biasa, mereka tidak punya pilihan selain menolak dan mengatakan, “Maaf, kami sudah penuh.” Namun, ini adalah Hotel Tak Terhingga. Manajer tersenyum dan berkata, “Tentu saja. Kami akan segera menyiapkan kamar untuk Anda.” Bagaimana cara menampung tamu baru padahal hotel sudah penuh?

2. Kasus 1: Cara Menampung Satu Tamu Baru

Manajer menggunakan sistem pengumuman hotel untuk menyampaikan hal berikut kepada semua tamu yang sudah menginap:

“Kepada para tamu yang terhormat. Silakan pindah ke kamar dengan nomor ‘ditambah 1’ dari nomor kamar Anda saat ini.”

Lalu apa yang akan terjadi?

Tamu di kamar 1 akan pindah ke kamar 2.
Tamu di kamar 2 akan pindah ke kamar 3.
Tamu di kamar 3 akan pindah ke kamar 4.
Tamu di kamar $n$ akan pindah ke kamar $n+1$.

graph LR subgraph "Sebelum Pindah (Penuh)" R1["Kamar 1
(Tamu A)"] R2["Kamar 2
(Tamu B)"] R3["Kamar 3
(Tamu C)"] R4["..."] end subgraph "Setelah Pindah" NewR1["Kamar 1
(Kosong!)"] NewR2["Kamar 2
(Tamu A)"] NewR3["Kamar 3
(Tamu B)"] NewR4["Kamar 4
(Tamu C)"] end R1 -->|Pindah| NewR2 R2 -->|Pindah| NewR3 R3 -->|Pindah| NewR4 NewGuest["Tamu Baru"] -->|Check-in| NewR1 style NewR1 fill:#aaffaa,stroke:#333,stroke-width:2px style NewGuest fill:#ffaaaa,stroke:#333,stroke-width:2px

Karena jumlah kamar tak terhingga, situasi di mana “tamu di kamar terakhir diusir” tidak akan pernah terjadi. Semua orang bisa dengan aman pindah ke kamar di sebelahnya. Dan voila, Kamar 1 menjadi kosong. Pelancong baru tersebut bisa menginap di kamar 1 dengan selamat.

Dalam dunia tak terhingga, $\infty + 1 = \infty$ berlaku. Meskipun Anda mengambil “satu” dari “keseluruhan (tak terhingga)”, ukuran keseluruhan tetap tidak berubah.

3. Kasus 2: Cara Menampung Jumlah Tamu Baru Tak Terhingga

Sekarang, pada hari berikutnya. Hotel tersebut kembali dalam kondisi penuh. Kali ini, tiba sebuah bus tak terhingga yang mengangkut “jumlah penumpang tak terhingga”. Para penumpang yang turun dari bus bergegas ke resepsionis dan menuntut, “Siapkan kamar untuk kami semua!”

Jika manajer meminta mereka untuk pindah “ditambah 1” seperti kemarin, itu akan memakan waktu selamanya. Namun, manajer tidak panik. Ia kembali menyalakan sistem pengumuman.

“Kepada para tamu yang terhormat. Silakan pindah ke kamar dengan nomor ‘dikalikan 2’ dari nomor kamar Anda saat ini.”

Lalu apa yang akan terjadi?

Tamu di kamar 1 akan pindah ke kamar 2.
Tamu di kamar 2 akan pindah ke kamar 4.
Tamu di kamar 3 akan pindah ke kamar 6.
Tamu di kamar $n$ akan pindah ke kamar $2n$.

Dengan pemindahan ini, jumlah tamu tak terhingga yang sudah menginap di sana akan ditempatkan dengan pas di “semua kamar dengan nomor genap”. Dan secara ajaib, “semua kamar bernomor ganjil (kamar 1, kamar 3, kamar 5…)” menjadi benar-benar kosong!

Karena jumlah angka ganjil juga tak terhingga, manajer dapat menampung semua penumpang dari bus tak terhingga secara berurutan mulai dari yang pertama, mengarahkan mereka ke kamar 1, kamar 3, kamar 5, dan seterusnya.

Dalam dunia tak terhingga, $\infty + \infty = \infty$ berlaku. Bahkan jika Anda menambahkan tak terhingga ke tak terhingga, ukurannya tetap sama, yaitu “tak terhingga”.

4. Kasus 3: Bagaimana Jika Jumlah Bus Tak Terhingga dengan Penumpang Tak Terhingga Tiba?

Keesokan harinya. Hotel kembali penuh. Kali ini, tiba “jumlah bus tak terhingga, di mana setiap bus membawa jumlah penumpang tak terhingga”, berbaris satu per satu.

Jumlah penumpang tak terhingga di bus nomor 1, jumlah penumpang tak terhingga di bus nomor 2, jumlah penumpang tak terhingga di bus nomor 3… ini berlanjut tanpa henti secara tak terhingga. Bahkan manajer pun hampir panik, tapi dia adalah seorang jenius matematika. Dia mendapatkan ide untuk menggunakan “bilangan prima”.

Manajer memberikan instruksi berikut:

Memindahkan tamu yang sudah menginap di hotel Jika nomor kamar saat ini adalah $n$, minta mereka untuk pindah ke kamar “$2^n$”. (Kamar 1 $\rightarrow$ Kamar 2, Kamar 2 $\rightarrow$ Kamar 4, Kamar 3 $\rightarrow$ Kamar 8…) Ini mengakomodasi semua tamu saat ini.
Memandu tamu dari bus nomor 1 (jumlah tak terhingga) Jika nomor kursi penumpang adalah $n$, arahkan mereka ke kamar “$3^n$”. (Kamar 3, Kamar 9, Kamar 27…)
Memandu tamu dari bus nomor 2 (jumlah tak terhingga) Menggunakan bilangan prima berikutnya, yaitu 5, arahkan mereka ke kamar “$5^n$”. (Kamar 5, Kamar 25, Kamar 125…)
Memandu tamu dari bus nomor $k$ (jumlah tak terhingga) Menggunakan bilangan prima ke-$(k+1)$ yaitu $P$, arahkan mereka ke kamar “$P^n$”.

Berdasarkan teorema matematika yang kuat dari “Faktorisasi prima unik (setiap bilangan hanya dapat direpresentasikan sebagai perkalian bilangan prima dengan satu cara)”, nomor kamar yang ditentukan oleh $2^n, 3^n, 5^n, 7^n \dots$ tidak akan pernah tumpang tindih dengan kamar orang lain.

Dengan cara ini, manajer berhasil menampung sejumlah “tak terhingga $\times$ tak terhingga” tamu yang luar biasa banyak ke dalam satu Hotel Tak Terhingga!

5. Ada Perbedaan “Ukuran” pada Tak Terhingga (Teorema Cantor)

Apa yang diajarkan oleh Hotel Tak Terhingga Hilbert adalah fakta bahwa “tak terhingga yang dapat dihitung (tak terhingga yang bisa Anda hitung dengan memberikan angka seperti 1, 2, 3…)” pada akhirnya akan masuk ke dalam kategori “tak terhingga yang dapat dihitung” yang ukurannya sama, tidak peduli seberapa banyak Anda menambah atau mengalikannya.

Namun, matematikawan Georg Cantor menemukan fakta yang lebih menakutkan. “Bilangan asli” dan “pecahan” semuanya dapat ditampung di Hotel Tak Terhingga ini. Namun, jika ada tamu dari “bilangan real (semua desimal termasuk bilangan irasional)” yang datang, bahkan dengan menggunakan Hotel Tak Terhingga ini, tidak mungkin untuk menampung semuanya.

Jumlah bilangan real terbukti sebagai “tak terhingga yang secara mendasar lebih besar (level yang lebih tinggi)” daripada jumlah kamar di Hotel Tak Terhingga (tak terhingga yang dapat dihitung). Istilah “tak terhingga” sering kali dikelompokkan bersama, namun nyatanya di dalam tak terhingga, terdapat struktur hierarkis (kardinalitas) dari “tak terhingga kecil” hingga “tak terhingga besar yang tidak akan pernah bisa dicapai”.

6. Kesimpulan: “Tak Terhingga” yang Menghancurkan Intuisi Manusia

Hotel Tak Terhingga Hilbert dengan jelas menggambarkan bagaimana “akal sehat terbatas” yang dipupuk dalam kehidupan kita sehari-hari sama sekali tidak berlaku di “dunia tak terhingga”.

“Keseluruhan lebih besar daripada sebagiannya” “Tidak ada yang bisa masuk ke hotel yang penuh” “Jika Anda menambahkan tak terhingga ke tak terhingga, ia akan menjadi lebih besar”

Semua intuisi yang dianggap wajar ini dikhianati dengan indahnya. Dunia tak terhingga adalah harta karun dari paradoks (kebenaran yang bertentangan dengan intuisi). Bukannya takut pada paradoks ini, para matematikawan justru menaklukkannya dengan kekuatan logika, mengklasifikasikannya, dan menciptakan sistem yang indah dari teori himpunan modern.

Lain kali jika Anda ditolak dan diberitahu bahwa “Hotel sudah penuh,” cobalah bayangkan, “Seandainya saja hotel ini adalah Hotel Tak Terhingga Hilbert.”

Paradoks Banach-Tarski: Memotong 1 Bola Akan Menghasilkan 2 Bola yang Sama Besar?

Thu, 10 Sep 2026 02:00:00 +0900

1. Teorema Seperti Sihir: 1 = 1 + 1 ?

Bayangkan jika di depan Anda ada sebuah bola emas murni. Bola ini dipotong menjadi beberapa bagian menggunakan pisau. Kemudian, bagian-bagian tersebut digabungkan kembali seperti menyusun teka-teki (puzzle). Anda sama sekali tidak meregangkan, membengkokkan, atau menambahkan emas baru pada bagian-bagian itu. Hanya memindahkan dan menempelkannya saja.

Namun, saat melihat hasil akhir dari teka-teki tersebut, “ada dua bola emas murni yang ukurannya sama persis dengan bola aslinya”.

Anda mungkin berpikir, “Itu konyol! Ini melanggar hukum kekekalan massa, hanya khayalan para alkemis!” Di dunia fisik nyata, hal ini benar-benar mustahil terjadi. Namun, dalam dunia matematika murni (geometri dan teori himpunan), ini telah dibuktikan sebagai teorema yang secara logis 100% benar.

Inilah yang disebut “Paradoks Banach-Tarski”, yang dibuktikan oleh dua matematikawan, Stefan Banach dan Alfred Tarski, pada tahun 1924.

2. Memahami Klaim Paradoks secara Tepat

Jika kita mengungkapkan teorema yang dibuktikan oleh Banach dan Tarski dalam bahasa matematis yang tepat, maka bunyinya adalah sebagai berikut:

Teorema Banach-Tarski Sembarang bola $S$ dalam ruang 3 dimensi dapat dibagi menjadi sejumlah berhingga potongan. Kemudian, dengan mengatur ulang potongan-potongan tersebut (hanya menggunakan rotasi dan translasi), kita dapat membuat dua bola yang memiliki jari-jari yang persis sama dengan bola aslinya $S$.

Lebih mengejutkan lagi, jika teorema ini diterapkan, kita dapat mengatakan hal berikut:

Dengan membagi sebutir kacang polong menjadi potongan-potongan berhingga dan menyusunnya kembali, kita dapat membuat bola yang besarnya sama persis dengan Matahari. (Juga dikenal sebagai: Paradoks Kacang Polong dan Matahari)

Mengapa sihir seperti itu diperbolehkan secara matematis? Rahasianya tersembunyi dalam dua kata kunci: “Tak Terhingga (Infinity)” dan “Aksioma Pilihan (Axiom of Choice)”.

3. Sifat Aneh dari “Tak Terhingga”

Langkah pertama untuk memahami paradoks ini adalah mengetahui sifat aneh dari “himpunan tak terhingga”.

Di dunia “berhingga” yang biasa kita hadapi, keseluruhan pasti selalu lebih besar daripada bagiannya. Misalnya, jika kita mengambil angka genap (5 buah) dari angka 1 hingga 10 (10 buah), maka jumlah angkanya akan berkurang setengah.

Namun, di dunia “tak terhingga”, akal sehat ini tidak berlaku. Antara semua “bilangan asli” (1, 2, 3, 4, …) dan semua “bilangan genap” (2, 4, 6, 8, …), mana yang lebih banyak? Secara intuitif, bilangan genap tampaknya hanya setengah dari bilangan asli, jadi bilangan asli terasa lebih banyak. Tetapi, cobalah buat pasangan seperti ini:

1 $\rightarrow$ 2
2 $\rightarrow$ 4
3 $\rightarrow$ 6
$n \rightarrow 2n$

Dengan cara ini, untuk setiap bilangan asli, kita selalu bisa memasangkannya tepat dengan satu bilangan genap yang bernilai dua kali lipatnya (korespondensi satu-satu). Tidak ada angka yang tersisa. Dengan kata lain, secara matematis, “jumlah bilangan asli (tak terhingga)” dan “jumlah bilangan genap (tak terhingga)” adalah sama besarnya!

Meskipun kita mengambil setengah (bilangan genap) dari keseluruhan (bilangan asli), ukurannya tidak berubah. Dalam himpunan tak terhingga, bisa terjadi bahwa “bagian sama dengan keseluruhan”. Teorema Banach-Tarski bisa dikatakan sebagai bentuk paling ekstrem dari “sihir tak terhingga” yang diterapkan pada himpunan “titik-titik” di ruang 3 dimensi.

4. Titik-titik di Ruang Dipotong Menjadi “Tak Terukur”

Ketika benda nyata (seperti emas atau apel) dipotong menggunakan pisau, potongan-potongannya selalu memiliki “volume”. Namun, bola dalam matematika adalah “kumpulan titik-titik tak terhingga” yang tidak memiliki volume.

Banach dan Tarski mengelompokkan (membagi) titik-titik tak terhingga ini dengan metode yang sangat khusus dan rumit. Cara pembagian ini sangat rumit dan tersebar, sehingga berada dalam kondisi “tidak bisa lagi diukur volumenya (himpunan tak terukur)”.

graph TD S["Bola asli S (Volume V)"] -->|Pembagian khusus| P1["Potongan 1 (Volume tak terukur)"] S --> P2["Potongan 2 (Volume tak terukur)"] S --> P3["Potongan 3 (Volume tak terukur)"] S --> P4["Potongan 4 (Volume tak terukur)"] S --> P5["Potongan 5 (Volume tak terukur)"] P1 -->|Rotasi dan Translasi| S1["Bola baru 1 (Volume V)"] P2 -->|Rotasi dan Translasi| S1 P3 -->|Rotasi dan Translasi| S1 P4 -->|Rotasi dan Translasi| S2["Bola baru 2 (Volume V)"] P5 -->|Rotasi dan Translasi| S2 style S fill:#ffddaa,stroke:#333,stroke-width:2px style S1 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px style S2 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px

Ketika setiap potongan menjadi kumpulan titik-titik kabur yang “tidak memiliki (tidak dapat diukur) volumenya”, kita bisa terlepas dari batasan aturan fisika (aditivitas ukuran) yang mengatakan “jika potongan-potongan dijumlahkan, harus sama dengan volume aslinya”.

Kemudian, jika kita memutar dan menggabungkan potongan-potongan titik kabur tersebut dengan tepat, melalui “sihir tak terhingga”, kita akan menghasilkan dua bola padat yang berisi titik-titik yang sama persis dengan aslinya. Faktanya, telah dibuktikan bahwa operasi “membuat dua bola dari satu bola” ini dimungkinkan hanya dengan membagi bola asli menjadi 5 potongan saja.

5. Sumber dari Semuanya: Apa itu “Aksioma Pilihan”?

Lalu, mengapa “pembagian yang sangat rumit hingga volumenya tidak bisa diukur” bisa dimungkinkan secara matematis? Itu karena matematika menerima aturan yang disebut “Aksioma Pilihan (Axiom of Choice)”, yang menjadi dasar matematika modern.

Aksioma pilihan, secara kasar, adalah aturan berikut:

Gambaran Aksioma Pilihan Ketika terdapat banyak kotak yang masing-masing berisi benda, ini adalah aturan yang menyatakan bahwa “kita dapat mengambil tepat satu benda dari setiap kotak untuk membuat set (himpunan) yang baru”.

Jika jumlah kotaknya berhingga, siapa pun dapat melakukannya dengan normal. Namun, jika jumlah kotaknya “tak terhingga”, manusia tidak akan bisa menyelesaikan tindakan “memilih satu per satu” dalam waktu yang tak terhingga. Meskipun begitu, aksioma pilihan memperbolehkan kita untuk menganggap bahwa “set yang dibuat dengan cara memilih tersebut itu ada”.

Aksioma ini sangat berguna dan sangat diperlukan dalam membangun matematika modern. Sebagian besar matematikawan menerima aturan ini dan menganggapnya “yah, itu sudah wajar.”

Namun, jika kita menerima aksioma pilihan ini, kita juga harus mengakui keberadaan “himpunan titik-titik kabur yang sangat tersebar hingga volumenya tidak bisa diukur (himpunan tak terukur)” yang disebutkan sebelumnya. Dan sebagai hasilnya, Teorema Banach-Tarski yang menyatakan “satu bola bisa menjadi dua” secara logis muncul sebagai keniscayaan.

6. Kesimpulan: “Dunia di Luar Intuisi” yang Digambarkan oleh Matematika

Paradoks Banach-Tarski bukanlah paradoks (kontradiksi) dalam artian “ada kesalahan logika”. Ini adalah paradoks dalam artian logikanya 100% benar, tetapi kesimpulan yang ditarik sangat bertentangan dengan intuisi manusia dan hukum fisika.

Ketika teorema ini dipublikasikan, beberapa matematikawan berpendapat, “Jika kesimpulan yang tidak masuk akal ini muncul, Aksioma Pilihan pasti salah!” Namun saat ini, banyak matematikawan menerima Aksioma Pilihan dan juga menerima Teorema Banach-Tarski sebagai “sifat aneh namun indah yang dimiliki oleh ruang 3 dimensi dan himpunan tak terhingga”.

Dunia fisik tempat kita tinggal terbuat dari “partikel-partikel yang memiliki ukuran (berhingga)” seperti atom, sehingga tidak mungkin membuat kacang polong menjadi sebesar Matahari. Namun, di atas kanvas “matematika” yang diciptakan oleh otak manusia, ukuran suatu titik adalah nol, dan operasi tak terhingga diizinkan.

Paradoks Banach-Tarski bisa dikatakan sebagai salah satu karya agung matematika modern yang mengajarkan kita seberapa mudahnya konsep “tak terhingga” melampaui intuisi sederhana manusia.