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रीमैन परिकल्पना और अभाज्य संख्याओं का वितरण: आधुनिक क्रिप्टोग्राफी के साथ गहरा संबंध

Fri, 11 Sep 2026 16:00:00 +0900

1. परिचय: अभाज्य संख्याओं का लौकिक रहस्य और रीमैन परिकल्पना

“अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)” प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं, और उन्हें गणित की दुनिया का “परमाणु” भी कहा जाता है। अनुक्रम 2, 3, 5, 7, 11, 13… पहली नज़र में अव्यवस्थित और यादृच्छिक प्रतीत होता है। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने यह साबित किया था कि “अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं,” तब से अनगिनत गणितज्ञों ने अभाज्य संख्याओं के इस क्रम में छिपी नियमितता को उजागर करने का प्रयास किया है।

इस अभाज्य संख्या के रहस्य के सबसे करीब 1859 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन (Bernhard Riemann) द्वारा प्रस्तावित “रीमैन परिकल्पना (Riemann Hypothesis)” है। रीमैन परिकल्पना आधुनिक गणित में सबसे महत्वपूर्ण और अनसुलझी समस्याओं में से एक है, और यह क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा निर्धारित मिलेनियम प्राइज समस्याओं में से एक है, जिस पर 1 मिलियन डॉलर का इनाम है।

पहली नज़र में, अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित शुद्ध गणित की यह कठिन समस्या हमारे दैनिक जीवन से असंबंधित लग सकती है। हालाँकि, इंटरनेट की सुरक्षा जो आधुनिक समाज के बुनियादी ढांचे का समर्थन करती है, विशेष रूप से आधुनिक क्रिप्टोग्राफी जैसे RSA और एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी (ECC), विशाल अभाज्य संख्याओं के गुणों पर गहराई से निर्भर करती है।

इस लेख में, हम अभाज्य संख्याओं के वितरण से लेकर अभाज्य संख्या प्रमेय, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन और रीमैन परिकल्पना के मूल तक एक गणितीय यात्रा करेंगे, और यह कैसे आधुनिक क्रिप्टोग्राफी से जुड़ा है, और यदि रीमैन परिकल्पना सिद्ध हो जाती है तो दुनिया कैसी होगी, इसके बारे में बहुत विस्तृत और गहन व्याख्या करेंगे।

2. अभाज्य संख्या प्रमेय और अभाज्य संख्याओं का वितरण: गॉस की खोज

अभाज्य संख्याएँ कैसे वितरित होती हैं, यह समझने के लिए, गणितज्ञों ने अभाज्य-गणना फलन (Prime-counting function) $\pi(x)$ पर विचार किया, जो दर्शाता है कि “किसी संख्या $x$ के बराबर या उससे कम कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं।”

उदाहरण के लिए:

$\pi(10) = 4$ (2, 3, 5, 7)
$\pi(100) = 25$
$\pi(1000) = 168$

15 वर्षीय प्रतिभाशाली गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) ने अभाज्य संख्याओं की विशाल तालिकाओं की गणना की और पाया कि अभाज्य संख्याओं की आवृत्ति प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) $\ln x$ के व्युत्क्रमानुपाती होकर कम हो जाती है। अर्थात्, उन्होंने अनुमान लगाया कि किसी संख्या $x$ के आसपास अभाज्य संख्या मिलने की प्रायिकता लगभग $\frac{1}{\ln x}$ है।

इसे समाकलन (integration) का उपयोग करके व्यक्त किया गया है, जिसे लघुगणकीय समाकलन (Logarithmic integral) $\text{Li}(x)$ कहा जाता है।

$$ \text{Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t} $$

गॉस के अनुमान को बाद में 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वैली-पूसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, और इसे अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem, PNT) के रूप में स्थापित किया गया।

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\text{Li}(x)} = 1 $$

या अनुमानित रूप से इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$ \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} $$

इस प्रमेय से, यह पता चला कि यदि स्थूल रूप से देखा जाए, तो अभाज्य संख्याओं का वितरण बहुत सहज और अनुमानित होता है। हालाँकि, यदि सूक्ष्म रूप से देखा जाए, तो $\pi(x)$ और $\text{Li}(x)$ के बीच हमेशा “त्रुटि” अर्थात् “उतार-चढ़ाव” होता है। इस उतार-चढ़ाव का वास्तविक स्वरूप ही वह सबसे बड़ा रहस्य है जिसे रीमैन परिकल्पना सुलझाने का प्रयास कर रही है।

3. रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन और यूलर उत्पाद

अभाज्य संख्याओं के वितरण का विश्लेषण करने के लिए सबसे शक्तिशाली हथियार रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन (Riemann Zeta Function) है। यह मूल रूप से लियोनहार्ड यूलर (Leonhard Euler) द्वारा वास्तविक संख्याओं $s > 1$ के लिए परिभाषित एक अनंत श्रृंखला थी।

$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots $$

यूलर की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक यह साबित करना था कि इस अनंत श्रृंखला को सभी अभाज्य संख्याओं $p$ पर एक अनंत उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह यूलर उत्पाद सूत्र (Euler Product Formula) है।

$$ \zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \left( \frac{1}{1 - 2^{-s}} \right) \left( \frac{1}{1 - 3^{-s}} \right) \left( \frac{1}{1 - 5^{-s}} \right) \dots $$

प्रमाण की सहज समझ यह है कि दाईं ओर के प्रत्येक पद को एक गुणोत्तर श्रेणी के रूप में विस्तारित करके और उन्हें गुणा करके, अंकगणित के मूलभूत प्रमेय (सभी प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जाता है) के कारण, बाईं ओर की प्राकृतिक संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग पूरी तरह से पुनर्गठित हो जाता है।

यह एक ही सूत्र विश्लेषण (अनंत श्रृंखला और निरंतर कार्य) और संख्या सिद्धांत (अभाज्य संख्या और असतत संख्या) को जोड़ने वाला सेतु बन गया। ज़ेटा फ़ंक्शन की जांच करना अभाज्य संख्याओं के वितरण की जांच करने के समान है।

4. विश्लेषणात्मक निरंतरता और सम्मिश्र तल में विस्तार

रीमैन की प्रतिभा इस बात में निहित है कि उन्होंने चर $s$ को, जिसे यूलर ने केवल वास्तविक संख्याओं के लिए $\zeta(s)$ में माना था, सम्मिश्र संख्या $s = \sigma + it$ ($\sigma$ वास्तविक भाग है, $t$ काल्पनिक भाग है) में विस्तारित किया।

मूल अनंत श्रृंखला केवल $\sigma > 1$ के लिए अभिसरण करती है, लेकिन रीमैन ने “विश्लेषणात्मक निरंतरता (Analytic Continuation)” नामक तकनीक का उपयोग करके परिभाषा का विस्तार किया ताकि $\zeta(s)$ का अर्थ पूरे सम्मिश्र तल पर हो, सिवाय $s = 1$ के पोल के।

उन्होंने ज़ेटा फ़ंक्शन द्वारा संतुष्ट एक सुंदर कार्यात्मक समीकरण (Functional equation) भी प्राप्त किया।

$$ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) $$

यहाँ $\Gamma(x)$ गामा फ़ंक्शन है। इस समीकरण के साथ, हम दाहिने आधे तल के गुणों से बाएं आधे तल के गुणों को जान सकते हैं।

शून्य (Zeros of the Zeta Function)

सम्मिश्र संख्या $s$ जहाँ ज़ेटा फ़ंक्शन का मान 0 हो जाता है, उसे “शून्य” कहा जाता है। कार्यात्मक समीकरण से, जब $s$ एक ऋणात्मक सम संख्या ($-2, -4, -6, \dots$) होती है, $\sin(\pi s / 2)$ 0 हो जाता है, इसलिए $\zeta(s) = 0$ होता है। इन्हें तुच्छ शून्य (Trivial zeros) कहा जाता है।

हालाँकि, अभाज्य संख्याओं के वितरण में जो महत्वपूर्ण है वह अन्य शून्य हैं, अर्थात् गैर-तुच्छ शून्य (Non-trivial zeros) जो $0 \le \sigma \le 1$ के “महत्वपूर्ण क्षेत्र (Critical strip)” में मौजूद हैं।

5. रीमैन परिकल्पना का मूल और स्पष्ट सूत्र

रीमैन ने कुछ शून्यों की गणना की और एक आश्चर्यजनक परिकल्पना प्रस्तुत की। यह रीमैन परिकल्पना है।

रीमैन परिकल्पना (Riemann Hypothesis) रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन $\zeta(s)$ के सभी गैर-तुच्छ शून्य उस रेखा पर स्थित होते हैं जिसका वास्तविक भाग $1/2$ है ($\text{Re}(s) = 1/2$)।

इस वास्तविक भाग $1/2$ वाली रेखा को “महत्वपूर्ण रेखा (Critical line)” कहा जाता है।

graph TD A["रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन ζ(s)"] --> B["विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सम्मिश्र तल में विस्तार"] B --> C["तुच्छ शून्य (s = -2, -4, -6 ...)"] B --> D["गैर-तुच्छ शून्य (0 <= Re(s) <= 1)"] D --> E["रीमैन परिकल्पना"] E --> F["सभी गैर-तुच्छ शून्य Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं"] F --> G["अभाज्य वितरण की त्रुटि अवधि की सीमा के प्रमाण की ओर"]

रीमैन परिकल्पना इतनी महत्वपूर्ण क्यों है? ऐसा इसलिए है क्योंकि ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य अभाज्य संख्याओं के वितरण को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं।

रीमैन और बाद के गणितज्ञ वॉन मैंगोल्ड्ट ने अभाज्य संख्याओं के वितरण का सटीक वर्णन करने के लिए एक “स्पष्ट सूत्र (Explicit formula)” प्राप्त किया। चेबीशेव फ़ंक्शन $\psi(x)$ का उपयोग करते हुए, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$ \psi(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln(2\pi) - \frac{1}{2}\ln(1 - x^{-2}) $$

यहाँ $\rho$ ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्यों पर योग है। मुख्य पद $x$ है (जो अभाज्य संख्या प्रमेय से मेल खाता है), और वहां से, शून्य $\rho$ पर निर्भर तरंग जैसे पदों को जोड़ने और घटाने से, अभाज्य संख्याओं का सटीक सीढ़ी जैसा वितरण बहाल हो जाता है। यह कहा जा सकता है कि गैर-तुच्छ शून्य अभाज्य संख्याओं के वितरण की “आवृत्ति (तरंग)” का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यदि रीमैन परिकल्पना सही है और सभी गैर-तुच्छ शून्यों $\rho$ का वास्तविक भाग ठीक $1/2$ है, तो अभाज्य संख्या प्रमेय का त्रुटि पद सैद्धांतिक रूप से संभव न्यूनतम सीमा के भीतर होगा।

$$ |\pi(x) - \text{Li}(x)| \le \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \ln x \quad \text{for} \quad x \ge 2657 $$

दूसरे शब्दों में, यदि रीमैन परिकल्पना सत्य है, तो यह सिद्ध हो जाएगा कि अभाज्य संख्याएँ सबसे “नियमित और सुंदर” तरीके से वितरित हैं जिसकी हम कल्पना कर सकते हैं।

6. आधुनिक क्रिप्टोग्राफी और अभाज्य संख्याओं के बीच अविभाज्य संबंध

अब तक यह शुद्ध गणित की एक गहरी दुनिया थी, लेकिन अभाज्य संख्याओं के ये गुण मूल रूप से आधुनिक डिजिटल समाज का समर्थन करते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी है, जैसे कि RSA क्रिप्टोग्राफी।

इंटरनेट पर क्रेडिट कार्ड भुगतान, पासवर्ड का प्रसारण और ब्लॉकचेन के डिजिटल हस्ताक्षर जैसे सभी संचारों की सुरक्षा “अभाज्य संख्याओं” पर निर्भर करती है।

RSA क्रिप्टोग्राफी कैसे काम करती है

RSA क्रिप्टोग्राफी की सुरक्षा इस गणितीय तथ्य (पूर्णांक गुणनखंड समस्या) पर आधारित है कि “कई अंकों वाली एक समग्र संख्या का गुणनखंड करना बेहद मुश्किल है।”

कुंजी निर्माण: विशाल अभाज्य संख्याएँ $p$ और $q$ (उदाहरण के लिए, प्रत्येक 2048 बिट) यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। उन्हें गुणा करके $N = p \times q$ की गणना की जाती है। यह $N$ सार्वजनिक कुंजी का हिस्सा बन जाता है। यूलर के टॉटिएंट फ़ंक्शन $\phi(N) = (p-1)(q-1)$ का उपयोग करके, एक गुप्त कुंजी $d$ उत्पन्न की जाती है।
$$ e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(N)} $$
एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन: सादा पाठ $M$ को सार्वजनिक कुंजी $e, N$ का उपयोग करके सिफरटेक्स्ट $C$ में परिवर्तित किया जाता है।
$$ C \equiv M^e \pmod{N} $$
केवल गुप्त कुंजी $d$ वाला व्यक्ति ही इसे डिक्रिप्ट कर सकता है।
$$ M \equiv C^d \pmod{N} $$

graph LR A["सादा पाठ (Plaintext)"] --> B["सार्वजनिक कुंजी (e, N) के साथ एन्क्रिप्ट करें"] B --> C["सिफरटेक्स्ट (Ciphertext)"] C --> D["गुप्त कुंजी (d) के साथ डिक्रिप्ट करें"] D --> E["मूल सादा पाठ"] F["हमलावर (Attacker)"] -- "N का गुणनखंड करने का प्रयास करता है" --> C F -.-> G["p और q के बिना d की गणना नहीं की जा सकती"]

RSA क्रिप्टोग्राफी को तोड़ने के लिए, विशाल $N$ से मूल अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ को खोजना (गुणनखंड करना) आवश्यक है। यहां तक कि वर्तमान मुख्यधारा के एल्गोरिदम (जैसे जनरल नंबर फील्ड सीव: GNFS) का उपयोग करके, सुपर कंप्यूटर का उपयोग करके सैकड़ों अंकों की संख्या का गुणनखंड करने में ब्रह्मांड की आयु से बहुत अधिक समय लगने की उम्मीद है।

7. क्रिप्टोग्राफी पर रीमैन परिकल्पना का प्रभाव

तो, “रीमैन परिकल्पना” (शुद्ध गणित का शिखर) और “क्रिप्टोग्राफी” एक दूसरे को कैसे पार करते हैं?

7.1. अभाज्य संख्या जनरेशन एल्गोरिदम (प्राइमलिटी टेस्टिंग) और जनरलाइज्ड रीमैन परिकल्पना (GRH)

RSA क्रिप्टोग्राफी को संचालित करने के लिए, पहले विशाल अभाज्य संख्याएँ $p$ और $q$ उत्पन्न करनी होंगी। हालाँकि, यह निश्चित रूप से और तेज़ी से निर्धारित करना आसान नहीं है कि “क्या कोई संख्या अभाज्य है।”

वर्तमान में, व्यावहारिक उपयोग में आने वाला मिलर-राबिन प्राइमलिटी टेस्ट (Miller-Rabin primality test) एक संभाव्य एल्गोरिथ्म है। यह एल्गोरिथ्म तेज़ है, लेकिन एक “छद्म-अभाज्य” जोखिम है जहाँ यह एक समग्र संख्या को बहुत कम संभावना के साथ अभाज्य संख्या के रूप में गलत रूप से आंक सकता है।

हालाँकि, यदि हम मान लें कि डिरिचलेट के L-फ़ंक्शंस तक रीमैन परिकल्पना का विस्तार “जनरलाइज्ड रीमैन परिकल्पना (Generalized Riemann Hypothesis, GRH)” सत्य है, तो कहानी नाटकीय रूप से बदल जाती है। यदि GRH सत्य है, तो मिलर-राबिन परीक्षण में परीक्षणों की अधिकतम संख्या की गणितीय रूप से गारंटी होती है, और यह एक संभाव्य एल्गोरिथ्म से “नियतात्मक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म” में परिवर्तित हो जाता है (यह AKS प्राइमलिटी परीक्षण की खोज से पहले भी ज्ञात एक महत्वपूर्ण तथ्य था)।

दूसरे शब्दों में, रीमैन परिकल्पना (और इसका विस्तार) सीधे तौर पर इस बात की गारंटी देता है कि “क्या हम पूर्ण विश्वास के साथ और उच्च गति पर विशाल अभाज्य संख्याएँ उत्पन्न कर सकते हैं”, जो क्रिप्टोग्राफी की नींव उत्पन्न करने के लिए आवश्यक है।

7.2. गुणनखंड एल्गोरिदम के साथ संबंध

क्रिप्टोग्राफी को क्रैक करने वाले एल्गोरिदम (जैसे कि जनरल नंबर फील्ड सीव) की कम्प्यूटेशनल जटिलता का मूल्यांकन करते समय, अभाज्य संख्याओं के वितरण का ज्ञान अपरिहार्य है। कई गुणनखंड एल्गोरिदम “सहज संख्याओं (Smooth numbers: वे संख्याएँ जिनमें केवल छोटे अभाज्य गुणनखंड होते हैं)” के वितरण पर निर्भर करते हैं।

सहज संख्याएँ कितनी बार दिखाई देती हैं, इसका कड़ाई से मूल्यांकन करने के लिए, अभाज्य संख्याओं के वितरण की गहरी समझ आवश्यक है, और यहाँ भी, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग किया जाता है जो सीधे ज़ेटा फ़ंक्शन और रीमैन परिकल्पना से जुड़ी हैं। यदि रीमैन परिकल्पना सिद्ध हो जाती है और अभाज्य वितरण की त्रुटि पूरी तरह से निर्धारित हो जाती है, तो गुणनखंड एल्गोरिदम की प्रदर्शन सीमाओं का अधिक सटीक आकलन करना संभव होगा।

8. यदि रीमैन परिकल्पना सिद्ध हो जाए, तो क्या क्रिप्टोग्राफी टूट जाएगी?

एक शहरी किंवदंती की तरह, यह कभी-कभी कहा जाता है कि “यदि रीमैन परिकल्पना हल हो जाती है, तो RSA क्रिप्टोग्राफी तुरंत ढह जाएगी”, लेकिन यह गणितीय रूप से गलत है।

रीमैन परिकल्पना का प्रमाण अपने आप में कोई जादुई एल्गोरिथ्म नहीं बना देगा जो तुरंत गुणनखंड को नाटकीय रूप से तेज कर दे। ऐसा इसलिए है क्योंकि रीमैन परिकल्पना केवल अभाज्य संख्याओं के “स्थूल वितरण की नियमितता” के बारे में एक प्रमेय है, और यह हमें सीधे यह नहीं बताती है कि एक व्यक्तिगत संख्या $N$ को किस अभाज्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है (स्थानीय गुण)।

हालाँकि, इसका प्रभाव शून्य नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह अत्यधिक संभव है कि रीमैन परिकल्पना को सिद्ध करने की प्रक्रिया में “नए गणितीय उपकरण” और “अज्ञात विश्लेषणात्मक तरीके” खोजे जाएंगे। इतिहास को देखते हुए, जब फर्मेट का अंतिम प्रमेय और पोइंकारे अनुमान सिद्ध हुए थे, तो इस प्रक्रिया में विकसित नए सिद्धांतों ने पूरे गणित को एक बड़ी छलांग दी थी।

यदि बीजीय ज्यामिति या गैर-विनिमेय ज्यामिति के अज्ञात तरीके स्थापित हो जाते हैं जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्यों के गुणों को पूरी तरह से हेरफेर कर सकते हैं, तो इस संभावना से इंकार नहीं किया जा सकता है कि इससे एक ग्राउंडब्रेकिंग गुणनखंडन एल्गोरिथ्म (उदाहरण के लिए, एक शास्त्रीय एल्गोरिथ्म जो बहुपद समय में कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है) की खोज हो सकती है। इस अर्थ में, क्रिप्टोग्राफर कभी भी रीमैन परिकल्पना के घटनाक्रमों से अपनी आँखें नहीं हटा सकते हैं।

क्वांटम कंप्यूटर और शोर का एल्गोरिथ्म

क्रिप्टोग्राफी के लिए एक अधिक प्रत्यक्ष और यथार्थवादी खतरा रीमैन परिकल्पना का प्रमाण नहीं है बल्कि क्वांटम कंप्यूटर है। 1994 में पीटर शोर (Peter Shor) द्वारा प्रकाशित “शोर का एल्गोरिथ्म” ने साबित कर दिया कि यदि पर्याप्त प्रदर्शन वाला क्वांटम कंप्यूटर है, तो गुणनखंडन को बहुपद समय में हल किया जा सकता है। इससे RSA क्रिप्टोग्राफी और एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी मौलिक रूप से टूट जाएगी।

वर्तमान में, दुनिया भर में “पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (Post-Quantum Cryptography, PQC)” (जैसे लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी) का संक्रमण चल रहा है जिसे क्वांटम कंप्यूटर भी डिक्रिप्ट नहीं कर सकते हैं। अभाज्य संख्याओं पर निर्भर क्रिप्टोग्राफ़िक तकनीकें एक मायने में अपने स्वर्ण युग को समाप्त कर रही हैं, लेकिन स्वयं अभाज्य संख्याओं का गणितीय मूल्य कभी नष्ट नहीं होगा।

9. निष्कर्ष: गणित के अमूर्तीकरण और वास्तविक समाज का चौराहा

graph TD A["शुद्ध गणित की खोज"] --> B["रीमैन परिकल्पना का स्पष्टीकरण"] B --> C["अभाज्य वितरण की पूर्ण समझ"] C --> D["संख्या सिद्धांत और बीजीय ज्यामिति में तेजी से विकास"] D -.-> E["नए गुणनखंडन एल्गोरिदम की संभावना"] E -.-> F["क्रिप्टोग्राफी के सुरक्षा मूल्यांकन का अद्यतन"] A --> G["अनुप्रयुक्त गणित और कंप्यूटर विज्ञान"] G --> H["प्राइमलिटी टेस्टिंग और कुंजी जनरेशन की दक्षता"] H --> F

प्राचीन ग्रीस से अभाज्य संख्याओं की अथक खोज को रीमैन नाम के एक जीनियस द्वारा सम्मिश्र तल (ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य) पर एक सुंदर सिम्फनी में बदल दिया गया था। और आश्चर्यजनक रूप से, सदियों बाद, शुद्ध गणित के उस क्रिस्टल को इंटरनेट समाज की सुरक्षा की गारंटी देने के लिए सबसे मजबूत ढाल के रूप में लागू किया जा रहा है।

रीमैन परिकल्पना एक ही समय में गणित की “अमूर्त सुंदरता” और “भौतिक दुनिया और वास्तविक समाज के लिए इसकी आश्चर्यजनक प्रयोज्यता” का प्रतीक है।

जब गणित के इस विशाल पर्वत पर अंततः विजय प्राप्त कर ली जाएगी, जिस पर अभी तक कोई नहीं पहुंच पाया है, तो हम अभाज्य संख्याओं की लौकिक सच्चाई को पूरी तरह से समझ लेंगे, और साथ ही सूचना समाज की नींव पर एक नया दृष्टिकोण प्राप्त करेंगे। क्रिप्टोग्राफी सीखना स्वयं मानवता के ज्ञान के इतिहास का पता लगाने की यात्रा है।

C++ में लागू तेज़ अभाज्य संख्या परीक्षण एल्गोरिदम (मिलर-राबिन आदि)

Fri, 11 Sep 2026 14:00:00 +0900

परिचय: हमें तेज़ अभाज्य संख्या परीक्षण की आवश्यकता क्यों है?

सूचना विज्ञान, क्रिप्टोग्राफी, और प्रतिस्पर्धात्मक प्रोग्रामिंग की दुनिया में, “क्या कोई दी गई संख्या अभाज्य है या नहीं” का तेज़ी से और सटीक रूप से परीक्षण करना एक अत्यंत महत्वपूर्ण और मौलिक कार्य है। उदाहरण के लिए, RSA जैसी सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी, जो आधुनिक इंटरनेट समाज की सुरक्षा को बनाए रखती है, बड़ी अभाज्य संख्याओं के निर्माण और उनके गुणन की कठिनाई (अभाज्य गुणनखंडन की कठिनाई) पर अपनी सुरक्षा के लिए निर्भर करती है। इसलिए, यह कहना अतिशयोक्ति नहीं होगी कि किसी विशाल संख्या के अभाज्य होने की तुरंत पहचान करने की तकनीक हमारी डिजिटल दुनिया की नींव का समर्थन करने वाली तकनीक है।

इसके अलावा, प्रतिस्पर्धात्मक प्रोग्रामिंग (जैसे AtCoder और Codeforces) में अभाज्य संख्या परीक्षण एक लगातार आने वाला विषय है। ऐसे परिदृश्यों में जहाँ आपको 1 सेकंड के भीतर $N \le 10^{18}$ जैसे विशाल इनपुट बाधाओं के लिए हज़ारों बार अभाज्य परीक्षण करने होते हैं, पारंपरिक और सरल एल्गोरिदम पूरी तरह से विफल हो जाएंगे और समय सीमा पार (Time Limit Exceeded: TLE) हो जाएगी।

इस लेख में, हम एक सरल अभाज्य परीक्षण एल्गोरिदम से शुरुआत करेंगे, संभाव्य अभाज्य परीक्षण पद्धति “फर्मेंट टेस्ट (Fermat Primality Test)” पर जाएंगे, और फिर “मिलर-राबिन (Miller-Rabin) अभाज्य परीक्षण पद्धति” को कवर करेंगे, जो एक व्यावहारिक रूप से शक्तिशाली और तेज़ एल्गोरिदम है जिसने फर्मेंट टेस्ट की कमजोरियों को दूर किया है। हम गणितीय पृष्ठभूमि से लेकर C++ में अत्यधिक अनुकूलित कार्यान्वयन तक सब कुछ विस्तार से समझाएंगे। विशेष रूप से, 64-बिट पूर्णांकों ($N < 2^{64}$) के लिए, हम न केवल संभाव्य परीक्षण की व्याख्या करेंगे, बल्कि एक “नियतात्मक परीक्षण (Deterministic Test)” की भी व्याख्या करेंगे जो 100% निश्चितता के साथ अभाज्य परीक्षण कर सकता है, और अभ्यास में उपयोग के लिए तैयार C++ सोर्स कोड प्रदान करेंगे।

1. अभाज्य परीक्षण की मूल बातें और परीक्षण विभाजन विधि (Trial Division)

अभाज्य संख्या (Prime number) 2 या उससे बड़ी वह प्राकृत संख्या है जिसके 1 और स्वयं के अलावा कोई धनात्मक भाजक नहीं होते हैं। अभाज्य संख्या की परिभाषा का कड़ाई से पालन करते हुए, यह निर्धारित करने के लिए कि कोई पूर्णांक $N$ अभाज्य है या नहीं, हम $N$ को $2$ से $N-1$ तक के सभी पूर्णांकों से विभाजित करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि यह किसी से भी विभाज्य नहीं है, तो यह एक अभाज्य संख्या है; यदि यह एक बार भी विभाज्य हो जाता है, तो इसे एक भाज्य संख्या (अभाज्य नहीं) माना जा सकता है।

हालाँकि, इस पद्धति की समय जटिलता $O(N)$ है, और जब $N$ $10^{18}$ जैसी विशाल संख्या होती है, तो आधुनिक कंप्यूटरों को भी इसकी गणना करने में बहुत अधिक समय लगेगा।

परीक्षण विभाजन का अनुकूलन: $\sqrt{N}$ तक खोजना

जब एक भाज्य संख्या $N$ को $a \times b = N$ ($a \le b$) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो यह हमेशा सत्य होता है कि $a \le \sqrt{N}$। इसलिए, अभाज्य परीक्षण लूप को $N-1$ तक चलाने की कोई आवश्यकता नहीं है; $\sqrt{N}$ तक जाँचना पर्याप्त है।

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#include <iostream>

// परीक्षण विभाजन विधि द्वारा अभाज्य परीक्षण (O(sqrt(N)))
bool is_prime_trial_division(long long n) {
 if (n <= 1) return false;
 if (n == 2 || n == 3) return true;
 if (n % 2 == 0) return false;

 // केवल 3 या उससे बड़ी विषम संख्याओं की जाँच करें
 for (long long i = 3; i * i <= n; i += 2) {
 if (n % i == 0) return false;
 }
 return true;
}

इस एल्गोरिदम की समय जटिलता $O(\sqrt{N})$ है। यदि $N \le 10^{12}$ है, तो इसकी गणना तुरंत की जा सकती है। हालाँकि, जब $N \approx 10^{18}$ होता है, तो लूप पुनरावृत्तियों की संख्या लगभग $10^9$ हो जाती है। यहाँ तक कि C++ के साथ भी, इसमें सैकड़ों मिलीसेकंड से लेकर कुछ सेकंड तक का समय लगता है, जो इसे कई परीक्षणों के लिए अनुपयुक्त बनाता है।

2. फर्मेंट टेस्ट: संभाव्य अभाज्य परीक्षण की शुरुआत

परीक्षण विभाजन विधि की सीमाओं को पार करने के लिए, संख्या सिद्धांत के प्रमेयों का उपयोग करके “संभाव्य एल्गोरिदम (Probabilistic Algorithm)” तैयार किए गए थे। इसका एक प्रमुख उदाहरण “फर्मेंट टेस्ट (Fermat Primality Test)” है, जो फर्मेंट के छोटे प्रमेय (Fermat’s Little Theorem) का उपयोग करता है।

फर्मेंट का छोटा प्रमेय (Fermat’s Little Theorem)

पियरे डी फर्मेंट (Pierre de Fermat) द्वारा खोजा गया यह प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

किसी भी अभाज्य संख्या $p$ और किसी भी पूर्णांक $a$ जो कि $p$ का गुणज नहीं है (अर्थात् $a$ और $p$ सह-अभाज्य हैं), के लिए निम्नलिखित सर्वांगसमता (congruence) लागू होती है:
$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p $$

इस प्रमेय का प्रतिधनात्मक (contrapositive) लेने पर, हम कह सकते हैं कि “यदि कोई पूर्णांक $N$ और एक पूर्णांक $a$ जो $N$ के साथ सह-अभाज्य है, ऐसा है कि $a^{N-1} \not\equiv 1 \pmod N$, तो $N$ निश्चित रूप से एक भाज्य संख्या है।” इस गुण का उपयोग करते हुए, फर्मेंट टेस्ट परीक्षण की जाने वाली संख्या $N$ के लिए एक यादृच्छिक आधार (base) $a$ चुनता है, $a^{N-1} \pmod N$ की गणना करता है, और जाँचता है कि क्या यह $1$ के बराबर है।

तेज़ मॉड्यूलर एक्सपोनेंशिएशन (बाइनरी एक्सपोनेंशिएशन)

फर्मेंट टेस्ट करने के लिए, हमें $a^{N-1} \pmod N$ की विशाल घात की तेज़ी से गणना करने की आवश्यकता है। इसके लिए, हम “बाइनरी एक्सपोनेंशिएशन (Modular Exponentiation / Binary Exponentiation)” का उपयोग करते हैं। इसकी समय जटिलता $O(\log N)$ है, जो बहुत तेज़ है।

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// बाइनरी एक्सपोनेंशिएशन का उपयोग करके a^b mod m की गणना
long long mod_pow(long long a, long long b, long long m) {
 long long res = 1;
 a %= m;
 while (b > 0) {
 if (b & 1) res = (__int128_t)res * a % m;
 a = (__int128_t)a * a % m;
 b >>= 1;
 }
 return res;
}

※ यहाँ, अतिप्रवाह (overflow) को रोकने के लिए, हम मध्यवर्ती गुणनफलों को बनाए रखने के लिए GCC/Clang एक्सटेंशन __int128_t (128-बिट पूर्णांक) का उपयोग करते हैं।

छद्म अभाज्य (Pseudoprimes) और कार्माइकल संख्याएँ (Carmichael Numbers)

फर्मेंट टेस्ट बहुत शक्तिशाली है, लेकिन इसकी एक बड़ी कमजोरी है। ऐसी संख्याएँ मौजूद हैं जहाँ $N$ एक भाज्य संख्या है, फिर भी सभी $a$ ($N$ के साथ सह-अभाज्य) के लिए $a^{N-1} \equiv 1 \pmod N$ सत्य होता है।

ऐसी संख्याओं को “निरपेक्ष छद्म अभाज्य (Absolute Pseudoprimes)” या “कार्माइकल संख्याएँ (Carmichael Numbers)” कहा जाता है। सबसे छोटी कार्माइकल संख्या $561 = 3 \times 11 \times 17$ है। कार्माइकल संख्याओं के अस्तित्व के कारण, अकेले फर्मेंट टेस्ट “100% संभाव्यता” के साथ नियतात्मक परीक्षण नहीं कर सकता है। आप कितने भी अलग-अलग $a$ आज़मा लें, $561$ जैसी संख्या हमेशा अभाज्य संख्या होने का नाटक करके आपको धोखा देगी।

3. मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण (Miller-Rabin Primality Test)

“मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण”, जिसे गैरी एल. मिलर (Gary L. Miller) और माइकल ओ. राबिन (Michael O. Rabin) द्वारा तैयार किया गया था, फर्मेंट टेस्ट की कमजोरी (कार्माइकल संख्याओं का अस्तित्व) को शानदार ढंग से पार करता है। वर्तमान में, यह विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं की आंतरिक लाइब्रेरीज़ और क्रिप्टोग्राफ़िक प्रणालियों में कुंजी निर्माण के लिए एक व्यावहारिक, तेज़ अभाज्य परीक्षण एल्गोरिदम के रूप में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत

मिलर-राबिन एल्गोरिदम फर्मेंट के छोटे प्रमेय का उपयोग करता है, साथ ही इस गुण का भी कि “एक अभाज्य संख्या पर आधारित परिमित क्षेत्र ($\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$) में, $x^2 \equiv 1 \pmod p$ के समाधान केवल $x \equiv 1$ या $x \equiv -1$ तक ही सीमित हैं” (जब मापांक एक भाज्य संख्या है, तो अन्य गैर-तुच्छ वर्गमूल मौजूद हो सकते हैं)।

जिस विषम संख्या $N$ का हम परीक्षण करना चाहते हैं, उसमें से $1$ घटाने पर $N-1$ हमेशा एक सम संख्या होगी। इसलिए, हम $N-1$ को $2$ से तब तक विभाजित करते हैं जब तक संभव हो, और इसे निम्न रूप में व्यक्त करते हैं:

$$ N-1 = d \cdot 2^s $$

(जहाँ $d$ एक विषम संख्या है, और $s \ge 1$)

किसी भी आधार $a$ ($1 < a < N-1$) के लिए, हम फर्मेंट के छोटे प्रमेय के अनुसार जाँचते हैं कि क्या $a^{N-1} \equiv 1 \pmod N$ है, लेकिन हम इस गणना को चरणों में करते हैं। विशेष रूप से, हम बार-बार वर्ग करते हैं: $a^d, a^{d \cdot 2}, a^{d \cdot 4}, \ldots, a^{d \cdot 2^s}$ क्रम में।

मिलर-राबिन परीक्षण $N$ को “एक अभाज्य” (या “प्रबल संभावना के साथ एक अभाज्य”) मानता है यदि निम्न स्थितियों में से कोई भी सत्य है:

$a^d \equiv 1 \pmod N$
एक ऐसा $r$ ($0 \le r < s$) मौजूद है जिसके लिए $a^{d \cdot 2^r} \equiv -1 \pmod N$ लागू होता है। ※ C++ में मॉड्यूलर अंकगणित में, $-1 \pmod N$, $N-1$ के बराबर होता है।

यदि $N$ एक अभाज्य संख्या है, तो यह स्थिति निश्चित रूप से किसी भी $a$ के लिए पूरी होगी। इसके विपरीत, यदि $N$ एक भाज्य संख्या है, तो गणितीय रूप से यह सिद्ध हो चुका है कि जब यादृच्छिक रूप से $a$ चुना जाता है, तो इस स्थिति के पूरा होने (धोखा खाने) की संभावना $\frac{1}{4}$ या उससे कम होती है। यदि आप $k$ स्वतंत्र परीक्षण करते हैं, तो गलत सकारात्मक (false positive) की संभावना $\left(\frac{1}{4}\right)^k$ या उससे कम हो जाती है, जिसे व्यावहारिक रूप से शून्य माना जा सकता है। कार्माइकल संख्याओं जैसी कोई “ऐसी संख्याएँ नहीं हैं जो हमेशा धोखा दे सकें”।

मिलर-राबिन एल्गोरिदम का प्रवाह (मर्मेड फ़्लोचार्ट)

नीचे दिया गया आरेख मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण में एक एकल परीक्षण (एक आधार $a$ के लिए परीक्षण) के तार्किक प्रवाह को दर्शाता है।

graph TD Start["परीक्षण प्रारंभ (इनपुट: N, a)"] --> CalcDS["d (विषम) और s की गणना करें ताकि N-1 = d * 2^s हो"] CalcDS --> CalcX["x = a^d mod N की गणना करें"] CalcX --> CheckX1{"क्या x == 1 या x == N-1 ?"} CheckX1 -- "हाँ" --> ReturnTrue["संभवतः अभाज्य (Probably Prime)"] CheckX1 -- "नहीं" --> LoopStart["r = 1 से s-1 तक लूप प्रारंभ करें"] LoopStart --> LoopCondition{"क्या r < s ?"} LoopCondition -- "नहीं" --> ReturnFalse["निश्चित रूप से भाज्य (Composite)"] LoopCondition -- "हाँ" --> SquareX["x = (x * x) mod N की गणना करें"] SquareX --> CheckXMinus1{"क्या x == N - 1 ?"} CheckXMinus1 -- "हाँ" --> ReturnTrue CheckXMinus1 -- "नहीं" --> CheckXOne{"क्या x == 1 ?"} CheckXOne -- "हाँ" --> ReturnFalse CheckXOne -- "नहीं" --> LoopNext["r को 1 बढ़ाएं और आगे बढ़ें"] LoopNext --> LoopCondition

4. 64-बिट पूर्णांकों के लिए नियतात्मक परीक्षण (Deterministic Testing)

मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण मूल रूप से एक “संभाव्य” एल्गोरिदम है, लेकिन यदि $N$ की ऊपरी सीमा तय है, तो आप विशिष्ट $a$ (आधार) के सेट का परीक्षण करके “100% निश्चितता” के साथ अभाज्य परीक्षण कर सकते हैं। इसे नियतात्मक मिलर-राबिन परीक्षण (Deterministic Miller-Rabin Test) कहा जाता है।

जिम सिंक्लेयर (Jim Sinclair) और अन्य लोगों के शोध से पता चला है कि $N < 2^{64}$ (लगभग $1.8 \times 10^{19}$) के सभी पूर्णांकों के लिए, आधार $a$ के रूप में निम्नलिखित $7$ अभाज्य संख्याओं का परीक्षण करना एक पूर्ण और पूरी तरह से नियतात्मक निर्णय लेने के लिए पर्याप्त है।

परीक्षण किए जाने वाले आधार $a$ की सूची: {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022}

वैकल्पिक रूप से, एक अन्य प्रसिद्ध सेट के रूप में, निम्नलिखित $12$ अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना भी $N < 2^{64}$ से नीचे के परीक्षणों के लिए पूरी तरह से काम करता है। {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

इस बार, एल्गोरिदम की सादगी और विश्वसनीयता में सुधार करने के लिए, हम एक ऐसा दृष्टिकोण अपनाएंगे जो आधार के रूप में बाद की $12$ अभाज्य संख्याओं (या अधिक अनुकूलित $7$ आधारों) का उपयोग करता है। C++ कार्यान्वयन में, हम सशर्त शाखाओं के साथ श्रेणियों को विभाजित करके परीक्षणों की संख्या को कम करने के लिए इसे अनुकूलित करेंगे।

5. C++ के साथ अत्यधिक अनुकूलित कार्यान्वयन (Highly Optimized C++ Implementation)

अब, चलिए अब तक के गणितीय सिद्धांत और एल्गोरिदम डिज़ाइन को संकलित करते हैं, और आधुनिक C++ में उच्चतम स्तर के मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण फ़ंक्शन के कार्यान्वयन कोड को प्रस्तुत करते हैं।

कार्यान्वयन के मुख्य बिंदु

64-बिट पूर्णांक गुणन में अतिप्रवाह से बचना: जब $N \approx 10^{18}$, मॉड्यूलर गुणन में $x \times x$ अधिकतम $10^{36}$ तक पहुँच सकता है, जो सामान्य 64-बिट पूर्णांकों (uint64_t या long long) के अधिकतम मान $1.8 \times 10^{19}$ को आसानी से पार कर जाएगा। इस समस्या को हल करने के लिए, हम GCC और Clang एक्सटेंशन प्रकार __int128_t (या unsigned __int128) का उपयोग करते हैं ताकि 128-बिट सटीकता के साथ गणना की जा सके और फिर मॉड्यूलो लिया जा सके। यह बिना जटिल एल्गोरिदम के तेज़ मॉड्यूलर गुणन को संभव बनाता है।
नियतात्मक आधारों का चयन: जब $N$ का मान छोटा होता है, तो हम इसे अनुकूलित करते हैं ताकि हमें केवल कुछ आधारों का परीक्षण करना पड़े।

संपूर्ण C++ सोर्स कोड

नीचे उत्पादन के लिए तैयार संपूर्ण सोर्स कोड दिया गया है। आप इस कोड को सीधे कॉपी करके प्रतिस्पर्धात्मक प्रोग्रामिंग जैसे वातावरण में उपयोग कर सकते हैं।

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdint>
#include <initializer_list>

using namespace std;

// 128-बिट पूर्णांक का उपयोग करके तेज़ (a * b) mod m
inline uint64_t mod_mul(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
 return (uint64_t)((unsigned __int128)a * b % m);
}

// बाइनरी एक्सपोनेंशिएशन द्वारा (base^exp) mod m की गणना
uint64_t mod_pow(uint64_t base, uint64_t exp, uint64_t m) {
 uint64_t res = 1;
 base %= m;
 while (exp > 0) {
 if (exp & 1) res = mod_mul(res, base, m);
 base = mod_mul(base, base, m);
 exp >>= 1;
 }
 return res;
}

// मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण द्वारा 64-बिट पूर्णांकों का नियतात्मक परीक्षण
bool is_prime_miller_rabin(uint64_t n) {
 // सीमा मानों और छोटी अभाज्य संख्याओं की पूर्व-जाँच
 if (n < 2) return false;
 if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7) return true;
 if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0 || n % 5 == 0 || n % 7 == 0) return false;

 // n-1 को d * 2^s के रूप में विघटित करें
 uint64_t d = n - 1;
 int s = 0;
 while ((d & 1) == 0) {
 d >>= 1;
 s++;
 }

 // परीक्षण के लिए उपयोग किए जाने वाले आधारों (bases) की सूची
 // N के आकार के अनुसार परीक्षण किए जाने वाले आधारों की संख्या को कम करने के लिए अनुकूलन
 vector<uint64_t> bases;
 if (n < 4759123141ULL) {
 bases = {2, 7, 61};
 } else if (n < 1122004669633ULL) {
 bases = {2, 13, 23, 1662803};
 } else {
 // N < 2^64 की सभी संख्याओं के लिए नियतात्मक होने वाले 7 आधार
 bases = {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022};
 }

 // प्रत्येक आधार के लिए परीक्षण चलाएँ
 for (uint64_t a : bases) {
 a %= n;
 if (a == 0) continue; // यदि a, n का गुणज है, तो परीक्षण अनिश्चित है, लेकिन यह अभाज्य नहीं है

 uint64_t x = mod_pow(a, d, n);
 if (x == 1 || x == n - 1) continue; // पहली शर्त पूरी हो गई, अगले आधार पर जाएँ

 bool composite = true;
 // s-1 बार लूप करें (x = x^2 mod n)
 for (int r = 1; r < s; r++) {
 x = mod_mul(x, x, n);
 if (x == n - 1) {
 composite = false; // दूसरी शर्त पूरी हो गई, अभाज्य होने की संभावना है
 break;
 }
 }

 // यदि कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो यह निश्चित रूप से भाज्य है
 if (composite) return false;
 }

 // यदि सभी आधारों के लिए शर्तें पूरी हो जाती हैं, तो यह निश्चित रूप से अभाज्य है
 return true;
}

int main() {
 // परीक्षण के लिए नमूने
 vector<uint64_t> test_cases = {
 1000000007, // प्रसिद्ध अभाज्य संख्या
 998244353, // प्रसिद्ध अभाज्य संख्या
 1000000000000000003, // 10^18 के आसपास अभाज्य संख्या
 1000000000000000007, // भाज्य संख्या (10^18 + 7)
 561, // कार्माइकल संख्या (भाज्य)
 18446744073709551557ULL // 2^64 के आसपास की सबसे बड़ी अभाज्य संख्याओं में से एक
 };

 for (uint64_t n : test_cases) {
 cout << n << " is "
 << (is_prime_miller_rabin(n) ? "Prime" : "Composite")
 << endl;
 }

 return 0;
}

6. एल्गोरिदम समय जटिलता और प्रदर्शन मूल्यांकन

आइए हमारे द्वारा कार्यान्वित किए गए एल्गोरिदम के प्रदर्शन पर विचार करें।

समय जटिलता (Time Complexity)

परीक्षण विभाजन विधि: $O(\sqrt{N})$
फर्मेंट टेस्ट: घातांक की गणना $O(\log N) \times k$ ($k$ परीक्षणों की संख्या है)
मिलर-राबिन विधि: घातांक और लूप की गणना $O(\log N) \times k$

64-बिट वातावरण ($N \le 2^{64}$) में, ऊपर दी गई नियतात्मक मिलर-राबिन विधि अधिकतम केवल $7$ आधारों की पुष्टि करती है। इसलिए, $k \le 7$ को एक स्थिरांक माना जा सकता है, और समग्र समय जटिलता सख्ती से $O(\log N)$ बन जाती है। यहाँ तक कि अधिकतम मामले ($N \approx 10^{19}$) में भी, निष्पादन के चरणों की संख्या अधिकतम $7 \times 64 = 448$ बुनियादी परिचालनों के भीतर रहती है, और निष्पादन का समय कुछ माइक्रोसेकंड ($10^{-6}$ सेकंड) या उससे कम है। परीक्षण विभाजन विधि की $O(\sqrt{N})$ (लूप पुनरावृत्तियाँ $\approx 4 \times 10^9$ बार) की तुलना में, लाखों गुना की गति में वृद्धि प्राप्त की गई है।

आगे का अनुकूलन: मोंटगोमरी गुणन (Montgomery Multiplication)

इस लेख के कार्यान्वयन में, हम विभाजन (मॉड्यूलो ऑपरेशन %) करने के लिए 128-बिट पूर्णांक एक्सटेंशन प्रकार __int128_t का उपयोग कर रहे हैं। यहाँ तक कि आधुनिक CPU में भी, पूर्णांक विभाजन (DIV निर्देश) एक महँगा निर्देश है जिसमें जोड़ या गुणा की तुलना में दर्जनों चक्र लगते हैं।

लाइब्रेरी निर्माता और प्रतिस्पर्धी प्रोग्रामर जो और भी अधिक चरम अनुकूलन चाहते हैं, वे कभी-कभी मोंटगोमरी गुणन (Montgomery Multiplication) नामक एक तकनीक अपनाते हैं। मोंटगोमरी गुणन एक अद्भुत एल्गोरिदम है जो संख्याओं को एक विशेष “मोंटगोमरी स्पेस” में मैप करके महँगे मॉड्यूलर ऑपरेशन्स (विभाजन) को “केवल बिट शिफ्ट्स और गुणन” से बदल देता है। इसे मिलर-राबिन परीक्षण के मॉड्यूलर गुणन में शामिल करके, निष्पादन की गति को 2 से 3 गुना और बढ़ाया जा सकता है। चूँकि यह बहुत ही गहरा विषय है, मैं इसे किसी अन्य लेख में विस्तार से समझाना चाहूँगा।

7. निष्कर्ष

इस लेख में, हमने एक ही बार में अभाज्य परीक्षण की मूल बातों से लेकर उन्नत विषयों तक सब कुछ समझाया है। आइए मुख्य बिंदुओं को दोहराते हैं:

परीक्षण विभाजन विधि (Trial Division) निश्चित है, लेकिन इसकी समय जटिलता $O(\sqrt{N})$ है, जो $N$ के $10^{12}$ से अधिक होने पर इसे अव्यावहारिक बना देती है।
फर्मेंट टेस्ट बहुत तेज़ है, $O(\log N)$, लेकिन इसकी एक बड़ी कमजोरी है कि यह कार्माइकल संख्याओं जैसे निरपेक्ष छद्म अभाज्यों से धोखा खा जाता है।
मिलर-राबिन अभाज्य परीक्षण एक व्यावहारिक और बहुत शक्तिशाली एल्गोरिदम है जो फर्मेंट टेस्ट की कमजोरी को दूर करता है।
C++ कार्यान्वयन में, __int128_t का उपयोग 64-बिट पूर्णांक गुणन अतिप्रवाह को सुरक्षित रूप से संभालने की अनुमति देता है।
64-बिट पूर्णांक सीमा ($N < 2^{64}$) के भीतर, आधार के रूप में $7$ या $12$ विशिष्ट अभाज्य संख्याओं का चयन करके, संभाव्य के बजाय नियतात्मक रूप से (100% सटीक) अभाज्य परीक्षण करना संभव है।

बड़ी संख्याओं से जुड़ी गणनाओं में तेज़ अभाज्य परीक्षण एक अपरिहार्य तकनीक है। इस लेख में दिया गया C++ मिलर-राबिन सोर्स कोड मज़बूत है और इसे अभ्यास में उसी तरह उपयोग किया जा सकता है। कृपया बेझिझक इसे अपनी स्वयं की परियोजनाओं या एल्गोरिदम प्रतियोगिताओं में उपयोग करें।

graph LR TrialDivision["परीक्षण विभाजन विधि (O(√N))"] --> Fermat["फर्मेंट टेस्ट (O(log N), कमजोरियाँ हैं)"] Fermat --> MillerRabin["मिलर-राबिन विधि (O(log N), नियतात्मक बनाया जा सकता है)"] MillerRabin --> Montgomery["+ मोंटगोमरी गुणन (स्थिरांक-गुणक गति वृद्धि)"] style MillerRabin fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

एल्गोरिदम की दुनिया, जहाँ प्रोग्रामिंग और गणित प्रतिच्छेद करते हैं, बहुत सुंदर और गहरी है। मुझे आशा है कि यह लेख आपके भविष्य के अध्ययन में मदद करेगा।

Reference:

Pomerance, C., Selfridge, J. L., & Wagstaff, S. S. (1980). The pseudoprimes to 25.10^9. Mathematics of Computation.
Sinclair, J. (2011). Deterministic Miller-Rabin primality testing.

【गणित व्याख्या】 हाई स्कूल के छात्रों के लिए RSA एन्क्रिप्शन तंत्र की सरल व्याख्या

Fri, 11 Sep 2026 13:00:00 +0900

इंटरनेट समाज की सुरक्षा को बुनियादी रूप से समर्थन देने वाली तकनीकों में से एक “RSA एन्क्रिप्शन” है। ऑनलाइन शॉपिंग में क्रेडिट कार्ड से भुगतान, दोस्तों के साथ सोशल मीडिया पर बातचीत, कंपनी की गोपनीय जानकारी का आदान-प्रदान, आदि—जिन संचारों का हम प्रतिदिन जाने-अनजाने उपयोग करते हैं, उनमें से अधिकांश इस RSA एन्क्रिप्शन या इसकी उत्तराधिकारी तकनीकों द्वारा सुरक्षित होते हैं।

हालाँकि, “एन्क्रिप्शन” शब्द सुनकर आप शायद जासूसी फिल्मों में दिखने वाली जटिल एन्क्रिप्शन मशीनों या अति-उन्नत गणित की कल्पना करें जिसे केवल कुछ प्रतिभाशाली लोग ही समझ सकते हैं। यह सच है कि आधुनिक एन्क्रिप्शन सिद्धांत उन्नत गणित पर आधारित है, लेकिन RSA एन्क्रिप्शन का मूल तंत्र इतना सरल है कि यदि आपको हाई स्कूल के गणित (पूर्णांकों के गुण, अभाज्य संख्याएँ, सर्वांगसमता आदि) का ज्ञान है, तो आप इसे पूरी तरह से समझ सकते हैं।

इस लेख में, हम हाई स्कूल के गणितीय ज्ञान को शुरुआती बिंदु मानते हुए, चरण-दर-चरण विस्तार से बताएंगे कि RSA एन्क्रिप्शन किस गणितीय सिद्धांत पर काम करता है और इसे डिक्रिप्ट करना इतना कठिन क्यों है। जो लोग गणित में थोड़े कमज़ोर हैं, उन्हें भी समझ में आ सके, इसके लिए हम ठोस उदाहरणों के साथ इसे स्पष्ट रूप से समझाएंगे।

1. सममित कुंजी एन्क्रिप्शन और सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन

RSA एन्क्रिप्शन के गणितीय तंत्र में जाने से पहले, आइए एन्क्रिप्शन की बुनियादी अवधारणाओं को समझ लें। एन्क्रिप्शन विधियों को मोटे तौर पर दो प्रकारों में बांटा जा सकता है: “सममित कुंजी एन्क्रिप्शन” और “सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन”।

1.1 सममित कुंजी एन्क्रिप्शन प्रणाली की सीमाएँ

प्राचीन काल से उपयोग की जाने वाली अधिकांश एन्क्रिप्शन प्रणालियाँ “सममित कुंजी एन्क्रिप्शन प्रणाली” कहलाती हैं। यह एक ऐसी प्रणाली है जिसमें “एन्क्रिप्शन (संदेश को गुप्त सिफरटेक्स्ट में बदलना)” और “डिक्रिप्शन (सिफरटेक्स्ट को मूल संदेश में वापस लाना)” के लिए एक ही कुंजी का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि ऐलिस, बॉब को एक गुप्त पत्र भेजना चाहती है। ऐलिस एक पैडलॉक (सममित कुंजी) का उपयोग करके पत्र को एक बक्से में बंद कर देती है। बॉब को उस बक्से को खोलने के लिए उसी कुंजी की आवश्यकता होगी जिसका ऐलिस ने उपयोग किया था।

इस प्रणाली में एक बड़ी समस्या है: “कुंजी वितरण समस्या”। जब दूर बैठे ऐलिस और बॉब पहली बार संवाद करते हैं, तो वे बिना किसी के द्वारा सुने गए कुंजी को कैसे साझा कर सकते हैं? यदि मेल द्वारा भेजे जाते समय किसी तीसरे पक्ष द्वारा कुंजी चुरा ली जाती है, तो उसके बाद के सभी एन्क्रिप्टेड संचार लीक हो जाएंगे।

1.2 एक क्रांतिकारी आविष्कार: “सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन प्रणाली”

कुंजी वितरण की इस समस्या को हल करने के लिए “सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन प्रणाली” का आविष्कार किया गया था। RSA एन्क्रिप्शन भी इसी का एक प्रकार है।

सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन प्रणाली में, “एन्क्रिप्ट करने के लिए कुंजी (सार्वजनिक कुंजी)” और “डिक्रिप्ट करने के लिए कुंजी (निजी कुंजी)” नामक दो अलग-अलग कुंजियों का उपयोग किया जाता है।

प्राप्तकर्ता बॉब “सार्वजनिक कुंजी” और “निजी कुंजी” का एक जोड़ा बनाता है।
बॉब “सार्वजनिक कुंजी” को दुनिया भर में प्रकाशित करता है (कोई भी इसे प्राप्त कर सकता है)।
प्रेषक ऐलिस, बॉब की “सार्वजनिक कुंजी” का उपयोग करके संदेश को एन्क्रिप्ट करती है और उसे भेज देती है।
एन्क्रिप्टेड संदेश को केवल “निजी कुंजी” से ही डिक्रिप्ट किया जा सकता है जो केवल बॉब के पास है।

यदि इसे पैडलॉक से समझा जाए, तो बॉब बहुत सारे “खुले हुए पैडलॉक (सार्वजनिक कुंजी)” बनाता है और उन्हें दुनिया भर में बाँट देता है। ऐलिस बॉब के लिए संदेश को बक्से में डालती है, और बॉब का जो पैडलॉक उसे मिला है, उससे बक्से को बंद कर देती है। एक बार ताला बंद हो जाने के बाद, इसे केवल “मास्टर कुंजी (निजी कुंजी)” से ही खोला जा सकता है जो बॉब के पास है। भले ही कोई बीच में बक्सा चुरा ले, वह उसे नहीं खोल सकता क्योंकि उसके पास मास्टर कुंजी नहीं है।

graph TD A["ऐलिस (प्रेषक)"] --> B["प्लेनटेक्स्ट (संदेश)"] B --> C["एन्क्रिप्शन प्रक्रिया"] D["बॉब की सार्वजनिक कुंजी (कोई भी प्राप्त कर सकता है)"] --> C C --> E["इंटरनेट के माध्यम से भेजा गया: सिफरटेक्स्ट (एन्क्रिप्टेड)"] E --> F["डिक्रिप्शन प्रक्रिया"] G["बॉब की निजी कुंजी (केवल बॉब के पास)"] --> F F --> H["पुनर्प्राप्त प्लेनटेक्स्ट (संदेश)"] H --> I["बॉब (प्राप्तकर्ता)"]

इस क्रांतिकारी प्रणाली को साकार करने के लिए, किसी प्रकार के “एक-तरफ़ा फ़ंक्शन (वन-वे गणितीय पहेली)” की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि सार्वजनिक कुंजी के साथ एन्क्रिप्ट करना आसान है, लेकिन निजी कुंजी के बिना इसे डिक्रिप्ट करना बिल्कुल असंभव है। उस पहेली के हिस्से के रूप में जिस चीज़ पर ध्यान दिया गया, वह हमारी परिचित “अभाज्य संख्याएँ” थीं।

2. RSA एन्क्रिप्शन का समर्थन करने वाला गणितीय आधार 1: अभाज्य संख्याएँ और अभाज्य गुणनखंडन

RSA एन्क्रिप्शन की सुरक्षा इस गणितीय तथ्य पर आधारित है कि “विशाल संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करना बहुत कठिन है।”

2.1 अभाज्य संख्याएँ क्या हैं?

अभाज्य संख्याएँ वे “1 से बड़ी प्राकृत संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं।” उदाहरण: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...$

अभाज्य संख्याएँ सभी पूर्णांकों के “परमाणुओं” की तरह हैं। किसी भी प्राकृत संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणा के रूप में तोड़ा जा सकता है। इसे अभाज्य गुणनखंडन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, यह सर्वविदित है कि यदि हम क्रम को अनदेखा करें तो गुणनखंडन केवल एक ही अद्वितीय तरीके से किया जा सकता है (अंकगणित का मूलभूत प्रमेय)।

2.2 अभाज्य गुणनखंडन की कठिनाई (एक-तरफ़ा फ़ंक्शन)

यहाँ जो बात महत्वपूर्ण है वह है विषमता: “गुणा करना आसान है, लेकिन अभाज्य गुणनखंडन करना कठिन है।”

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित दो अभाज्य संख्याओं के गुणनफल की गणना अपने दिमाग में करने का प्रयास करें। $11 \times 13 = ?$ यह आसान है। उत्तर $143$ है।

तो, इस संख्या के बारे में क्या खयाल है? $323$ का अभाज्य गुणनखंडन करें। कैसा लगा? इसमें थोड़ा समय लगना चाहिए। (उत्तर $17 \times 19$ है)।

यदि संख्याएँ छोटी हैं, तो मनुष्य भी किसी तरह गणना कर सकते हैं, लेकिन जब संख्याएँ बड़ी हो जाती हैं, Math तो कंप्यूटर का उपयोग करने पर भी गणना अत्यधिक कठिन हो जाती है। वर्तमान में मुख्यधारा के RSA एन्क्रिप्शन में, हम एक संख्या $N = p \times q$ का उपयोग करते हैं, जो दो अविश्वसनीय रूप से विशाल अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ को गुणा करके बनती है, जो 2048 बिट्स (दशमलव में लगभग 600 अंक) की होती हैं।

दिए गए दो विशाल अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ के लिए, $N$ की गणना करना कंप्यूटर के लिए पल भर (मिलीसेकंड से भी कम) का काम है। हालाँकि, यदि केवल $N$ दिया गया हो, तो मूल $p$ और $q$ को वापस खोजना इतना समय लेने वाला है कि इसे वर्तमान के सबसे तेज़ सुपरकंप्यूटरों का उपयोग करके भी खरबों वर्षों में हल नहीं किया जा सकता।

यही “कम्प्यूटेशनल विषमता (एक तरफा आसान, दूसरी तरफा कठिन)” सार्वजनिक कुंजी और निजी कुंजी के बीच संबंध बनाने की नींव बनाती है।

3. RSA एन्क्रिप्शन का समर्थन करने वाला गणितीय आधार 2: सर्वांगसमता (मॉड्यूलर अंकगणित)

RSA एन्क्रिप्शन में गणना साधारण जोड़ या गुणा की तरह नहीं होती जहाँ संख्याएँ अनंत रूप से बड़ी हो जाती हैं, बल्कि यह किसी संख्या से विभाजित करने पर बचे “शेषफल” की दुनिया में होती है। इसे सर्वांगसमता (मॉड्यूलर अंकगणित) कहा जाता है।

3.1 घड़ी का गणित

मॉड्यूलर अंकगणित की तुलना अक्सर “घड़ी के गणित” से की जाती है। मान लें कि अभी 10 बज रहे हैं, तो 5 घंटे बाद क्या समय होगा? $10 + 5 = 15$ बजे, लेकिन एक सामान्य 12-घंटे की घड़ी में हम उत्तर देते हैं “3 बजे”। ऐसा इसलिए है क्योंकि 15 को 12 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है।

गणित की दुनिया में, इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$$ 15 \equiv 3 \pmod{12} $$

इसे ऐसे पढ़ा जाता है: “15 और 3, मॉड्युलो 12 के सर्वांगसम हैं (यानी 12 से भाग देने पर शेषफल समान है)।”

3.2 सर्वांगसमता के मूल गुण

सर्वांगसमता में कुछ बहुत ही उपयोगी गुण होते हैं जो समीकरणों ($=$) के समान होते हैं। मान लीजिए कि भाजक $N$ है। जब $a \equiv b \pmod N$ और $c \equiv d \pmod N$ हो, तो निम्नलिखित सत्य है:

जोड़: $a + c \equiv b + d \pmod N$
घटाव: $a - c \equiv b - d \pmod N$
गुणा: $a \times c \equiv b \times d \pmod N$
घातांक: $a^k \equiv b^k \pmod N$ ($k$ एक प्राकृत संख्या है)

“घातांक” का गुण विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। इसका मतलब है कि “शेषफल का घातांक, घातांक के शेषफल के बराबर है।” उदाहरण के लिए, मान लें कि हम $7^{100}$ को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना चाहते हैं। 7 को 100 बार गुणा करना और फिर उसे 5 से भाग देना बहुत मुश्किल काम है, लेकिन सर्वांगसमता के गुणों का उपयोग करके, चूँकि $7 \equiv 2 \pmod 5$ है, यह $7^{100} \equiv 2^{100} \pmod 5$ हो जाता है, जिससे गणना को काफी आसान किया जा सकता है। एन्क्रिप्शन की दुनिया में, यह गुण अपरिहार्य है क्योंकि हम बहुत बड़ी संख्याओं के घातांक से निपटते हैं।

4. RSA एन्क्रिप्शन का समर्थन करने वाला गणितीय आधार 3: यूलर का टॉशेंट फ़ंक्शन और यूलर का प्रमेय

यहाँ से जादुई गणित शुरू होता है जो RSA एन्क्रिप्शन का मूल है। “यूलर का प्रमेय” सामने आता है, जो “फर्मेट के छोटे प्रमेय” का एक सामान्यीकरण है।

4.1 यूलर का टॉशेंट फ़ंक्शन $\phi(N)$

यूलर का टॉशेंट फ़ंक्शन ($\phi$ फ़ंक्शन) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो किसी भी प्राकृत संख्या $N$ के लिए, “1 से $N$ तक की उन प्राकृत संख्याओं की गिनती देता है, जो $N$ के साथ सह-अभाज्य (जिनका महत्तम समापवर्तक 1 है) हैं।”

आइए कुछ उदाहरण देखें:

$\phi(5)$: 1, 2, 3, 4, 5 में से, 5 के साथ सह-अभाज्य 1, 2, 3, 4 हैं, जो कुल 4 हैं। इसलिए $\phi(5) = 4$।
$\phi(6)$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से, 6 के साथ सह-अभाज्य केवल 1, 5 हैं, जो कुल 2 हैं। इसलिए $\phi(6) = 2$।

【अभाज्य संख्याओं के लिए विशेष गुण】 जब $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो 1 से $p-1$ तक की सभी संख्याएँ $p$ के साथ सह-अभाज्य होती हैं। इसलिए,

$$ \phi(p) = p - 1 $$

होता है।

【अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के लिए विशेष गुण】 दो अलग-अलग अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ के लिए, यदि हम $N = p \times q$ मान लें, तो $\phi(N)$ को निम्नलिखित गणना द्वारा आसानी से निकाला जा सकता है:

$$ \phi(N) = \phi(p) \times \phi(q) = (p - 1)(q - 1) $$

यह गुण RSA एन्क्रिप्शन के “गुप्त पिछले दरवाजे (ट्रैपडोर)” के रूप में कार्य करता है। एक व्यक्ति जो $p$ और $q$ (कुंजी का निर्माता) जानता है, वह पल भर में $\phi(N)$ की गणना कर सकता है, लेकिन कोई तीसरा पक्ष जो केवल $N$ जानता है, वह $\phi(N)$ नहीं खोज सकता, जब तक कि वह $N$ का अभाज्य गुणनखंडन न कर ले।

4.2 यूलर का प्रमेय

लियोनहार्ड यूलर ने इस $\phi(N)$ का उपयोग करके निम्नलिखित सुंदर प्रमेय सिद्ध किया:

यूलर का प्रमेय: जब पूर्णांक $a$ और $N$ सह-अभाज्य होते हैं, तो निम्नलिखित सर्वांगसमता सत्य होती है:

$$ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod N $$

यह एक आश्चर्यजनक गुण है कि “यदि हम किसी संख्या $a$ को $\phi(N)$ बार गुणा करते हैं और $N$ से विभाजित करते हैं, तो शेषफल हमेशा $1$ होगा।” (जब $N$ एक अभाज्य संख्या $p$ है, तो यह $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ बन जाता है, जिसे फर्मेट का छोटा प्रमेय कहा जाता है)।

आइए इस यूलर के प्रमेय को थोड़ा संशोधित करें। दोनों पक्षों को फिर से $a$ से गुणा करें:

$$ a^{\phi(N) + 1} \equiv a \pmod N $$

इसके अलावा, किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए, $a^{k \cdot \phi(N)}$ भी $1^k = 1$ होगा, इसलिए निम्नलिखित समीकरण सत्य है:

$$ a^{k \cdot \phi(N) + 1} \equiv a \pmod N $$

यह समीकरण ही वह मूल सिद्धांत है जो RSA एन्क्रिप्शन के इस जादू को काम करने देता है: “जब आप इसे एन्क्रिप्ट करते हैं और फिर डिक्रिप्ट करते हैं, तो यह अपनी मूल अवस्था में वापस आ जाता है।”

5. RSA एन्क्रिप्शन एल्गोरिथम: कुंजी निर्माण, एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन के चरण

अब जब हमारे पास बुनियादी ज्ञान है, तो आइए अंततः RSA एन्क्रिप्शन के विशिष्ट चरणों को देखें। RSA एन्क्रिप्शन मोटे तौर पर तीन चरणों में बंटा हुआ है: “1. कुंजी निर्माण”, “2. एन्क्रिप्शन”, और “3. डिक्रिप्शन”।

flowchart TD A1["1. अभाज्य संख्याएँ p, q चुनें"] --> A2["N = p × q की गणना करें"] A1 --> A3["φ(N) = (p-1)(q-1) की गणना करें"] A3 --> A4["φ(N) के साथ सह-अभाज्य e चुनें"] A3 --> A5["ऐसे d की गणना करें कि e × d ≡ 1 (mod φ(N)) हो"] A2 --> A6["सार्वजनिक कुंजी (N, e)"] A4 --> A6 A5 --> A7["निजी कुंजी d"] B1["2. प्लेनटेक्स्ट संदेश M"] --> B2["C ≡ M^e (mod N) की गणना करें"] A6 -.-> B2 B2 --> B3["सिफरटेक्स्ट C भेजें"] B3 --> C1["3. प्राप्त सिफरटेक्स्ट C"] C1 --> C2["M ≡ C^d (mod N) की गणना करें"] A7 -.-> C2 C2 --> C3["मूल प्लेनटेक्स्ट संदेश M प्राप्त करें"]

5.1 कुंजी निर्माण (Key Generation)

प्राप्तकर्ता बॉब, अपने लिए एक “सार्वजनिक कुंजी” और एक “निजी कुंजी” बनाता है।

अभाज्य संख्याओं का चयन: दो बड़ी अभाज्य संख्याएँ $p$ और $q$ यादृच्छिक रूप से चुनें।
$N$ की गणना: $N = p \times q$ की गणना करें। यह $N$ सार्वजनिक किया जाएगा।
$\phi(N)$ की गणना: यूलर फ़ंक्शन $\phi(N) = (p - 1)(q - 1)$ की गणना करें। यह बॉब का गुप्त नंबर है।
सार्वजनिक कुंजी $e$ का चयन: एक ऐसा पूर्णांक $e$ चुनें जो $1 < e < \phi(N)$ हो और $\phi(N)$ के साथ सह-अभाज्य हो।
निजी कुंजी $d$ की गणना: एक ऐसा पूर्णांक $d$ खोजें जो निम्नलिखित शर्त को पूरा करता हो: $$ e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(N)} $$ दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी संख्या $d$ है जहाँ “$e \times d$ को $\phi(N)$ से भाग देने पर शेषफल $1$ होता है।”

इसके साथ ही कुंजियों की तैयारी पूरी हो जाती है।

सार्वजनिक कुंजी: $(N, e)$ का जोड़ा। इसे पूरी दुनिया के लिए सार्वजनिक किया जाता है।
निजी कुंजी: $d$। इसे किसी को भी नहीं बताया जाता।

5.2 एन्क्रिप्शन (Encryption)

मान लें कि ऐलिस, बॉब को एक गुप्त संदेश $M$ भेजना चाहती है। ($M$ पाठ को संख्यात्मक रूप में परिवर्तित करने से बनता है, और हम मान कर चलते हैं कि $0 \le M < N$ है)। ऐलिस बॉब की सार्वजनिक कुंजी $(N, e)$ का उपयोग करके निम्नानुसार गणना करती है:

$$ C \equiv M^e \pmod N $$

“संदेश $M$ को $e$ की घात तक उठाएँ, और $N$ से भाग देने पर शेषफल $C$ प्राप्त करें।” यह $C$ एन्क्रिप्टेड संदेश (सिफरटेक्स्ट) है।

5.3 डिक्रिप्शन (Decryption)

बॉब को सिफरटेक्स्ट $C$ प्राप्त होता है। बॉब अपनी निजी कुंजी $d$ का उपयोग करके निम्नानुसार गणना करता है:

$$ M \equiv C^d \pmod N $$

यदि आप “सिफरटेक्स्ट $C$ को $d$ की घात तक बढ़ाते हैं, और $N$ से भाग देने पर शेषफल” की गणना करते हैं, तो आश्चर्यजनक रूप से मूल संदेश $M$ पुनर्प्राप्त हो जाता है!

6. डिक्रिप्शन इसे मूल अवस्था में वापस क्यों लाता है? (गणितीय प्रमाण)

आप सोच रहे होंगे, “$C$ की घात $d$ करने से, यह मूल $M$ में कैसे वापस आ जाता है?” यहीं पर पहले वर्णित “यूलर का प्रमेय” अपनी शक्ति दिखाता है।

आइए डिक्रिप्शन के सूत्र $C^d \pmod N$ में एन्क्रिप्शन के सूत्र $C = M^e$ को प्रतिस्थापित करें:

$$ C^d \equiv (M^e)^d \equiv M^{ed} \pmod N $$

यहाँ, कुंजी निर्माण के चरण 5 को याद करें। जब बॉब ने $d$ बनाया, तो उसने इसे इस तरह चुना कि $e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(N)}$ हो। इसका मतलब है कि “$ed$, $\phi(N)$ के गुणज में $1$ जोड़ने से बनी संख्या है।” एक पूर्णांक $k$ का उपयोग करके, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ ed = k \cdot \phi(N) + 1 $$

इसे घातांक वाले भाग में रखें और घातांक के नियमों का उपयोग करके इसे हल करें:

$$ M^{ed} = M^{k \cdot \phi(N) + 1} = M^{k \cdot \phi(N)} \times M^1 = (M^{\phi(N)})^k \times M $$

यहाँ, यदि हम मान लें कि संदेश $M$ और $N$ सह-अभाज्य हैं, तो यूलर के प्रमेय से, $M^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod N$ होता है।

$$ (M^{\phi(N)})^k \times M \equiv 1^k \times M \equiv M \pmod N $$

इसलिए, निम्नलिखित समीकरण पूरी तरह से सत्य होता है:

$$ C^d \equiv M \pmod N $$

ऐलिस $d$ को नहीं जानती, और छिपकर बातें सुनने वाला भी $d$ को नहीं जानता, इसलिए केवल बॉब, जिसके पास $d$ है, $C$ से $M$ को निकाल सकता है।

7. एक ठोस उदाहरण: आइए छोटी अभाज्य संख्याओं का उपयोग करके हाथ से RSA की गणना करें

आइए वास्तव में छोटी संख्याओं (अभाज्य संख्याओं) का उपयोग करके ऐलिस से बॉब तक एन्क्रिप्टेड संचार का प्रयास करें।

【बॉब का कुंजी निर्माण चरण】

दो अभाज्य संख्याएँ चुनें, $p=11$ और $q=13$।
$N = 11 \times 13 = 143$ की गणना करें।
$\phi(N) = (11 - 1) \times (13 - 1) = 10 \times 12 = 120$ की गणना करें।
एक सार्वजनिक कुंजी $e$ चुनें जो $\phi(N)=120$ के साथ सह-अभाज्य हो। यहाँ हम $e=7$ का उपयोग करेंगे।
निजी कुंजी $d$ ज्ञात करें। ऐसा $d$ खोजें कि $7 \times d \equiv 1 \pmod{120}$ हो। समीकरण $7d = 120k + 1$ में, जब $k=6$ होता है, तो मान $721$ हो जाता है, और $721 \div 7 = 103$ होता है। इसलिए, $d = 103$ हो जाता है।

सार्वजनिक कुंजी: $(N=143, e=7)$
निजी कुंजी: $d=103$

【ऐलिस का एन्क्रिप्शन चरण】 मान लीजिए कि ऐलिस संदेश $M = 9$ भेजना चाहती है। सूत्र: $C \equiv 9^7 \pmod{143}$ $9^7 = 4,782,969$। जब इसे 143 से भाग दिया जाता है, तो भागफल 33447 और शेषफल 48 होता है। तो एन्क्रिप्टेड संदेश $C = 48$ हो गया।

【बॉब का डिक्रिप्शन चरण】 बॉब को एन्क्रिप्टेड संदेश $C = 48$ मिलता है और वह इसे डिक्रिप्ट करने के लिए अपनी निजी कुंजी $d = 103$ का उपयोग करता है। सूत्र: $M \equiv 48^{103} \pmod{143}$ यदि आप कैलकुलेटर पर (48 ** 103) % 143 चलाते हैं, तो परिणाम आश्चर्यजनक रूप से “9” आएगा! बॉब सफलतापूर्वक मूल संदेश प्राप्त करने में सक्षम हो गया।

8. निजी कुंजी $d$ कैसे ज्ञात करें: विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम

मैन्युअल गणना के उदाहरण में, हमने अनुमान लगाकर $k$ का मान खोजा और $d=103$ प्राप्त किया, लेकिन जब संख्याएँ सैकड़ों अंकों की हो जाती हैं, तो यह विधि असंभव है। वास्तविक प्रोग्रामों में, “विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम” नामक एल्गोरिथम का उपयोग किया जाता है।

$7d \equiv 1 \pmod{120}$ को हल करने का मतलब ऐसे पूर्णांक $d, y$ ज्ञात करना है जो $7d + 120y = 1$ को संतुष्ट करते हों। यूक्लिडियन एल्गोरिथम को उल्टे क्रम में लागू करके, इसकी गणना व्यवस्थित तरीके से की जा सकती है।

$120 \div 7 = 17$ शेषफल $1$
इसे पुनः व्यवस्थित करने पर, $1 = 120 - 17 \times 7$
यानी, $-17 \times 7 \equiv 1 \pmod{120}$

मॉड्युलो 120 की दुनिया में $-17$ का अर्थ $120 - 17 = 103$ के समान ही है। इसलिए, $d = 103$ पल भर में मिल जाता है। यह विधि बहुत तेज़ी से गणना कर सकती है, चाहे संख्या कितनी भी विशाल क्यों न हो।

9. RSA एन्क्रिप्शन का एक और चेहरा: डिजिटल हस्ताक्षर

RSA एन्क्रिप्शन के बारे में सबसे अच्छी बात यह है कि सार्वजनिक और निजी कुंजियों की भूमिकाओं को उलट कर इसे “डिजिटल हस्ताक्षर” के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है।

एन्क्रिप्शन में, प्रक्रिया थी “सार्वजनिक कुंजी के साथ एन्क्रिप्ट करें $\Rightarrow$ निजी कुंजी के साथ डिक्रिप्ट करें”। डिजिटल हस्ताक्षर में, प्रक्रिया है “निजी कुंजी के साथ एन्क्रिप्ट करें $\Rightarrow$ सार्वजनिक कुंजी के साथ डिक्रिप्ट करें”।

flowchart TD A1["1. ऐलिस अपनी निजी कुंजी से हस्ताक्षर बनाती है"] --> A2["S ≡ M^d (mod N)"] A2 --> A3["संदेश M और हस्ताक्षर S भेजें"] A3 --> B1["2. बॉब सार्वजनिक कुंजी के साथ हस्ताक्षर सत्यापित करता है"] B1 --> B2["M' ≡ S^e (mod N) की गणना करें"] B2 --> B3["जांचें कि क्या M' और M मेल खाते हैं"]

ऐलिस अपनी निजी कुंजी $d$ का उपयोग करके संदेश को बदलती है (यह हस्ताक्षर $S$ है) और इसे बॉब को भेजती है। बॉब सत्यापन गणना करने के लिए ऐलिस की सार्वजनिक कुंजी $e$ का उपयोग करता है। यदि गणना का परिणाम मूल संदेश से मेल खाता है, तो यह एक साथ साबित करता है कि “यह डेटा केवल ऐलिस की निजी कुंजी से ही बनाया जा सकता था” और “संदेश से रास्ते में छेड़छाड़ नहीं की गई है।”

10. एक प्रोग्राम के साथ RSA एन्क्रिप्शन का अनुभव करना

हाथ से घातांक की गणना करना कठिन है, लेकिन यदि आप Python का उपयोग करते हैं, तो इसे लागू करना बहुत आसान है। नीचे दिया गया Python कोड आपको RSA एन्क्रिप्शन के मुख्य तर्क का अनुभव करने की अनुमति देता है।

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def gcd(a, b):
 """महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें"""
 while b != 0:
 a, b = b, a % b
 return a

def mod_inverse(e, phi):
 """निजी कुंजी d ज्ञात करें (Python 3.8+ के बिल्ट-इन फ़ंक्शन का उपयोग करके)"""
 return pow(e, -1, phi)

# 1. कुंजी निर्माण
p, q = 11, 13
N = p * q
phi = (p - 1) * (q - 1)
e = 7
d = mod_inverse(e, phi)

print(f"सार्वजनिक कुंजी: (N={N}, e={e}), निजी कुंजी: d={d}")

# 2. एन्क्रिप्शन
message = 9
ciphertext = pow(message, e, N)
print(f"एन्क्रिप्टेड संदेश: {ciphertext}")

# 3. डिक्रिप्शन
decrypted_message = pow(ciphertext, d, N)
print(f"डिक्रिप्टेड संदेश: {decrypted_message}")

चूँकि Python का pow(base, exp, mod) फ़ंक्शन आंतरिक रूप से एक तेज़ एल्गोरिथम का उपयोग करता है जिसे “पुनरावृत्त वर्ग विधि (Exponentiation by squaring)” कहा जाता है, यह एक पल में गणना पूरी कर लेता है, भले ही संख्याएँ सैकड़ों अंकों की हों।

11. निष्कर्ष और भविष्य की एन्क्रिप्शन तकनीक

हमने हाई स्कूल के गणितीय ज्ञान के आधार पर RSA एन्क्रिप्शन के तंत्र का खुलासा किया है।

अभाज्य गुणनखंडन की कठिनाई: $p \times q = N$ खोजना आसान है, लेकिन $N$ से $p, q$ खोजना बहुत मुश्किल है।
सर्वांगसमता और यूलर का प्रमेय: $a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod N$ नियम के माध्यम से, “एक निश्चित संख्या की घात तक बढ़ाने पर मूल अवस्था में वापस आने” का जादुई ट्रैपडोर पूरा हो जाता है।
सार्वजनिक और निजी कुंजियाँ: कोई भी एन्क्रिप्ट कर सकता है, लेकिन केवल वैध प्राप्तकर्ता ही इसे डिक्रिप्ट कर सकता है।

वर्तमान में उपयोग किए जाने वाले RSA एन्क्रिप्शन में 600 से अधिक अंकों का $N$ होता है, और दुनिया के सभी सुपर कंप्यूटरों को एक साथ काम में लगा दिया जाए, तो भी इसके अभाज्य गुणनखंडन में ब्रह्मांड की आयु से अधिक समय लगेगा। हालाँकि, यदि हाल ही में शोध किए जा रहे “क्वांटम कंप्यूटर” भविष्य में व्यावहारिक उपयोग में आते हैं, तो ऐसी संभावना है कि यह अभाज्य गुणनखंडन “शोर के एल्गोरिथम” द्वारा पल भर में हल हो जाएगा। इस कारण से, दुनिया भर में “क्वांटम-प्रतिरोधी एन्क्रिप्शन” विकसित करने के लिए तेज़ गति से काम चल रहा है, जिसे क्वांटम कंप्यूटर भी डिक्रिप्ट नहीं कर सकते।

उन्नत गणित जिसे अक्सर “बेकार” माना जाता है, वास्तव में हमारे दैनिक जीवन को उसकी जड़ों से सुरक्षित रखता है। RSA एन्क्रिप्शन इस तरह के गणित की गहराई और सुंदरता सिखाने वाली सबसे बेहतरीन शिक्षण सामग्री है। हमें उम्मीद है कि इस लेख के माध्यम से आप एन्क्रिप्शन और गणित के आकर्षण को थोड़ा भी महसूस कर पाए होंगे।