शोर का एल्गोरिदम on kenji.blog

क्या क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में RSA एन्क्रिप्शन को नष्ट कर देगा? ~ शोर का एल्गोरिदम और वर्तमान स्थिति ~

Sat, 05 Sep 2026 22:09:21 +0900

परिचय: क्रिप्टोग्राफी और क्वांटम कंप्यूटर का प्रतिच्छेदन

आधुनिक इंटरनेट समाज में, “सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी” (Public-key cryptography) संचार की गोपनीयता की रक्षा के लिए नींव के रूप में कार्य करती है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध “RSA एन्क्रिप्शन” है, जिसे 1977 में रॉन रिवेस्ट, आदि शमीर और लियोनार्ड एडलमैन द्वारा विकसित किया गया था। ऑनलाइन शॉपिंग भुगतान, वेबसाइट ब्राउज़िंग (HTTPS) और हर दिन हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले ईमेल भेजने और प्राप्त करने से लेकर, RSA एन्क्रिप्शन इंटरनेट बुनियादी ढांचे के दिल के रूप में कार्य करता है।

हालाँकि, “क्वांटम कंप्यूटर” के आगमन के साथ, यह बताया गया है कि इस सुरक्षा को मूल रूप से उखाड़ फेंका जा सकता है। मीडिया में अक्सर सनसनीखेज सुर्खियां होती हैं जैसे “एक बार क्वांटम कंप्यूटर पूरा हो जाने पर, दुनिया भर के पासवर्ड और एन्क्रिप्शन सेकंडों में डिक्रिप्ट हो जाएंगे।” क्या वह सच में सच है?

इस लेख में, हम GNFS (जनरल नंबर फील्ड सीव), एक क्लासिकल डिक्रिप्शन विधि, और “शोर का एल्गोरिदम” (Shor’s Algorithm) के तंत्र में गहराई से उतरेंगे, जो क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके एक निश्चित डिक्रिप्शन एल्गोरिदम है। हम क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म और अवधि खोज जैसी उन्नत अवधारणाओं को आसानी से समझने वाले तरीके से समझाएंगे, और वर्तमान NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) युग में क्वांटम हार्डवेयर की वर्तमान स्थिति और RSA-2048 को क्रैक करने के लिए आवश्यक बाधाओं की विस्तार से जांच करेंगे।

RSA एन्क्रिप्शन का आधार: अभाज्य गुणनखंडन की कठिनाई

RSA एन्क्रिप्शन की सुरक्षा गणित में एक अत्यंत सरल विषमता (asymmetry) पर निर्भर करती है। तथ्य यह है कि “दो विशाल अभाज्य संख्याओं (prime numbers) को गुणा करना आसान है, लेकिन परिणाम (समग्र संख्या) से मूल दो अभाज्य संख्याओं को खोजना (अभाज्य गुणनखंडन) बेहद मुश्किल है।”

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास दो अभाज्य संख्याएं हैं $ p = 61 $ और $ q = 53 $। इस गुणा $ N = p \times q = 3233 $ की गणना करना तात्कालिक है। हालाँकि, यदि आपको केवल संख्या “3233” दी गई है और पूछा गया है “यह किन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है?”, तो संख्या के बड़े होने पर गणना की मात्रा विस्फोटक रूप से बढ़ जाती है।

वर्तमान मुख्यधारा RSA-2048 में, 2048 बिट्स की कुंजी लंबाई का उपयोग किया जाता है, जो दशमलव में लगभग 617 अंकों की एक विशाल समग्र संख्या $ N $ है। यदि इस $ N $ का अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है, तो एन्क्रिप्शन लगभग टूट गया है।

क्लासिकल कंप्यूटरों द्वारा चुनौती: GNFS (सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी)

गणितज्ञों और क्रिप्टोग्राफरों ने अभाज्य गुणनखंडन समस्या को हल करने के लिए वर्षों से विभिन्न एल्गोरिदम विकसित किए हैं। उनमें से, वर्तमान में क्लासिकल कंप्यूटरों पर सबसे तेज़ सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी (GNFS: General Number Field Sieve) माना जाता है।

GNFS एक बड़ी संख्या $ N $ का गुणनखंडन करने के लिए पूर्णांक वलय में गणना को अधिक अमूर्त बीजगणितीय संख्या क्षेत्र (Number Field) में विस्तारित करके विश्लेषण करने की एक विधि है। मोटे तौर पर प्रक्रिया इस प्रकार है:

बहुपद का चयन : उचित घात और गुणांक वाला एक बहुपद $ f(x) $ खोजें जिसका मूल $ N $ हो।
डेटा संग्रह (छानना) : परिमेय और बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर बड़ी संख्या में ऐसे जोड़े खोजें जिन्हें छोटे अभाज्य (smooth numbers) में तोड़ा जा सके। इस प्रक्रिया को “छानना” (sieving) कहा जाता है और इसमें सबसे अधिक समय लगता है।
मैट्रिक्स जनरेशन और रिडक्शन : एकत्रित संबंधों के आधार पर एक विशाल विरल मैट्रिक्स (Sparse matrix) उत्पन्न करें, और रैखिक बीजगणित विधियों (जैसे ब्लॉक लैंज़ोस विधि) का उपयोग करके समाधान खोजें।
वर्गमूल की गणना : अंत में, बीजगणितीय संख्या क्षेत्र पर वर्गमूल की गणना करें और $ N $ के गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड) प्राप्त करें।

GNFS की जटिलता का मूल्यांकन एसिम्प्टोटिक रूप से $ O(\exp((\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)) (\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})) $ के रूप में किया जाता है। इसे “उप-घातीय” (Sub-exponential) समय जटिलता कहा जाता है। यद्यपि यह घातीय समय (Exponential time) से तेज़ है, यह बहुपद समय (Polynomial time) से बहुत धीमा है।

वास्तव में, 2020 में, शोधकर्ताओं की एक अंतरराष्ट्रीय टीम ने GNFS का उपयोग करके RSA-250 (एक 829-बिट, 250-अंकीय समग्र संख्या) का सफलतापूर्वक गुणनखंडन किया। इस गणना में दुनिया भर के कंप्यूटिंग संसाधनों का उपयोग करते हुए लगभग 2700 CPU कोर-वर्ष का खगोलीय गणना समय लगा। हालाँकि, जब बात 2048 बिट्स की आती है, तो यह कहा जाता है कि आवश्यक गणना ब्रह्मांड के जीवनकाल के खरबों गुना तक बढ़ जाएगी, जिससे वर्तमान सुपरकंप्यूटरों को कितना भी समानांतर चलाया जाए, शास्त्रीय तरीकों से यथार्थवादी समय के भीतर इसे क्रैक करना असंभव हो जाता है।

क्वांटम कंप्यूटर का ट्रम्प कार्ड: शोर का एल्गोरिदम

यहीं पर “शोर का एल्गोरिदम” (Shor’s Algorithm), जिसे 1994 में पीटर शोर द्वारा प्रस्तुत किया गया था, सामने आता है। यह एल्गोरिदम क्रांतिकारी था क्योंकि यह क्वांटम कंप्यूटर पर बहुपद समय ( $ O((\log N)^3) $ ) में अभाज्य गुणनखंडन समस्या को हल कर सकता था। उप-घातीय समय और बहुपद समय के बीच का अंतर निर्णायक है, जिसका अर्थ है कि सिद्धांत रूप में, यदि हम क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करते हैं, तो RSA एन्क्रिप्शन पूरी तरह से नष्ट हो जाएगा।

शोर के एल्गोरिदम का समग्र प्रवाह

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10


graph TD
 A[उस संख्या N को इनपुट करें जिसका आप गुणनखंड करना चाहते हैं] --> B[एक यादृच्छिक पूर्णांक a चुनें]
 B --> C{a और N का<br>महतम समापवर्तक (GCD)}
 C -->|1 से बड़ा| D[सौभाग्य से एक अभाज्य गुणनखंड मिला!]
 C -->|1 सह-अभाज्य| E[क्वांटम कंप्यूटर की बारी]
 E --> F[फलन f_x = a^x mod N की<br>अवधि r को क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म से खोजें]
 F --> G{अवधि r सम है और<br>a^r/2 ≢ -1 mod N}
 G -->|हाँ| H[महतम समापवर्तक gcd_a^r/2 ± 1, N की गणना करें]
 H --> I((अभाज्य गुणनखंडन सफल!))
 G -->|नहीं| B

सीधे अभाज्य गुणनखंडन समस्या को हल करने के बजाय, शोर का एल्गोरिदम इसे संख्या सिद्धांत प्रमेयों का उपयोग करके “अवधि खोज समस्या” (Period Finding Problem) नामक एक अन्य समस्या में परिवर्तित करता है, और इसे उच्च गति से हल करने के लिए क्वांटम कंप्यूटर की विशेषताओं का उपयोग करता है।

चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन से अवधि खोज समस्या में कमी (शास्त्रीय प्रसंस्करण)

एल्गोरिदम का पहला चरण क्लासिकल कंप्यूटर पर किया जाता है। उस संख्या $ N $ के लिए जिसका आप गुणनखंड करना चाहते हैं, एक यादृच्छिक पूर्णांक $ a $ ( $ 1 < a < N $ ) चुनें जो $ N $ (जिसका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है) का सह-अभाज्य (coprime) है। यदि, संयोग से, सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 नहीं है, तो उस समय पाया गया सामान्य भाजक $ N $ का एक अभाज्य गुणनखंड है, इसलिए डिक्रिप्शन पूरा हो गया है, लेकिन इसकी संभावना बहुत कम है।

इसके बाद, निम्नलिखित मॉड्यूलर समीकरणों के अनुक्रम पर विचार करें। $ f(x) = a^x \pmod N $

यदि आप इस फ़ंक्शन $ f(x) $ में $ x = 1, 2, 3, \dots $ डालते हैं, तो मान यादृच्छिक लग सकते हैं, लेकिन चूंकि गणना एक सीमित सीमा के भीतर की जाती है, यह हमेशा किसी बिंदु पर अपने मूल मान पर वापस आ जाएगी और उसी अनुक्रम को दोहराएगी। इस पुनरावृत्ति की अवधि को $ r $ कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $ r $ खोजना ताकि $ a^r \equiv 1 \pmod N $ हो, यही “अवधि खोज समस्या” है।

यदि यह अवधि $ r $ मिल जाती है, और $ r $ सम है, तो $ a^r - 1 \equiv 0 \pmod N $, और गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करके इसे $ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $ में बदला जा सकता है। यहाँ से, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म (Euclidean algorithm) का उपयोग करके $ N $ और $ a^{r/2} \pm 1 $ के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करके, $ N $ के अभाज्य गुणनखंडों को बहुत अधिक संभावना के साथ प्राप्त किया जा सकता है।

क्लासिक कंप्यूटर के साथ अवधि $ r $ खोजने के लिए, अंततः घातीय चरणों की आवश्यकता होती है और इसे तेज नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, क्वांटम कंप्यूटर के साथ, यह अवधि $ r $ तुरंत (बहुपद समय में) पाई जा सकती है।

चरण 2: क्वांटम स्थिति की तैयारी और सुपरपोजिशन

यहीं से क्वांटम कंप्यूटर काम आते हैं। क्वांटम कंप्यूटर “क्यूबिट्स” (Qubits) का उपयोग करते हैं जिनमें एक ही समय में “0” और “1” दोनों की स्थिति हो सकती है। शोर के एल्गोरिदम में, दो रजिस्टर तैयार किए जाते हैं: इनपुट को स्टोर करने के लिए एक रजिस्टर (पहला रजिस्टर) और गणना परिणाम को स्टोर करने के लिए एक रजिस्टर (दूसरा रजिस्टर)।

सबसे पहले, एक क्वांटम गेट ऑपरेशन जिसे हैडमार्ड गेट (Hadamard gate) कहा जाता है, पहले रजिस्टर में सभी क्यूबिट्स पर लागू किया जाता है। यह पहले रजिस्टर को सभी संभावित $ x $ मानों ( $ 0 $ से $ 2^n-1 $ तक, जहाँ $ n $ पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में बिट्स है) के समान सुपरपोजिशन (uniform superposition) स्थिति में लाता है।

दूसरे शब्दों में, अनगिनत इनपुट मान जैसे $ x=0, 1, 2, 3, \dots $ क्वांटम कंप्यूटर के अंदर एक ही समय में समानांतर में मौजूद होते हैं।

चरण 3: क्वांटम मॉड्यूलर एक्सपोनेंशिएशन (Quantum Modular Exponentiation)

इसके बाद, पहले रजिस्टर की सुपरपोजिशन स्थिति को इनपुट के रूप में उपयोग करते हुए, $ f(x) = a^x \pmod N $ की गणना की जाती है और परिणाम दूसरे रजिस्टर में संग्रहीत किया जाता है। चूँकि यह गणना क्वांटम सर्किट पर एकात्मक परिवर्तन (unitary transformation) के रूप में की जाती है, सभी $ x $ के लिए $ f(x) $ की गणना “एक साथ और समानांतर में (क्वांटम समानता)” की जाती है, जबकि सुपरपोजिशन को बनाए रखा जाता है।

इस बिंदु पर संपूर्ण क्वांटम प्रणाली का स्थान राज्य के एक विशाल सुपरपोजिशन में है: $ |x, a^x \bmod N\rangle $

हालाँकि, यदि हम केवल यहाँ दूसरे रजिस्टर को मापते (निरीक्षण करते) हैं, तो केवल एक यादृच्छिक $ a^x \bmod N $ मान संभाव्य रूप से चुना जाएगा, और पहले रजिस्टर का $ x $ भी इसके संयोजन में निर्धारित किया जाएगा। यह शास्त्रीय कंप्यूटर पर एक बार गणना करने के समान है, और अवधि $ r $ नहीं पाई जा सकती है।

क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के तहत, सुपरपोज़्ड अवस्था के अंदर सीधे देखना संभव नहीं है। तो हम पूरी “अवधि” के बारे में वैश्विक जानकारी कैसे निकाल सकते हैं?

चरण 4: क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT: Quantum Fourier Transform)

इस दीवार को तोड़ने वाले शोर के एल्गोरिदम का वास्तविक मूल्य पहले रजिस्टर में क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) का अनुप्रयोग है।

मापने से पहले, फलन $ f(x) $ की तरंग प्रकृति का विश्लेषण करें। मान लीजिए कि हम दूसरे रजिस्टर का निरीक्षण करते हैं। मान लीजिए कि एक निश्चित मान $ y $ प्राप्त होता है। तब, पहले रजिस्टर की स्थिति “सभी $ x $ के सुपरपोजिशन में ढह जाती है जैसे कि $ a^x \pmod N = y $ “। इस $ x $ के मान $ x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, x_0 + 3r, \dots $ होंगे, जो अवधि $ r $ (एक प्रकार का कंघी जैसा संभाव्यता आयाम वितरण) के अंतराल पर अलग-अलग व्यवस्थित होते हैं।

इस अवस्था में क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) लागू करें। जिस तरह एक क्लासिकल असतत (discrete) फूरियर ट्रांसफॉर्म समय-डोमेन सिग्नल को आवृत्ति डोमेन में परिवर्तित करता है, QFT क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्यता आयामों में हस्तक्षेप (interference) का कारण बनता है।

जब QFT लागू किया जाता है, क्वांटम हस्तक्षेप प्रभाव के कारण, गलत उत्तरों की संभावनाएं जो अवधि $ r $ (चरण से बाहर) के साथ प्रतिध्वनित नहीं होती हैं, एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं और शून्य (विनाशकारी हस्तक्षेप) तक पहुंच जाती हैं, और केवल अवधि $ r $ के बारे में जानकारी वाले सही उत्तर की संभावना बढ़ जाती है (रचनात्मक हस्तक्षेप)।

चरण 5: मापन और निरंतर अंश विस्तार (शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग)

QFT को लागू करने के बाद पहले रजिस्टर को मापने से एक पूर्णांक $ c $ प्राप्त करने की बहुत अधिक संभावना होती है जो $ c \approx \frac{j \cdot 2^n}{r} $ के करीब है (जहाँ $ j $ एक अज्ञात पूर्णांक है और $ 2^n $ रजिस्टर का आकार है)।

यह माप परिणाम $ c $ एक क्लासिकल कंप्यूटर पर लौटाया जाता है, और भिन्न $ \frac{c}{2^n} \approx \frac{j}{r} $ बनाया जाता है। फिर, गणितीय विधि “निरंतर अंश विस्तार” (Continued fraction expansion) का उपयोग करके अनुमानित मूल्य की गणना करके, हर (denominator) में अवधि $ r $ को शानदार ढंग से सामने लाया जा सकता है।

एक बार $ r $ ज्ञात हो जाने के बाद, हम चरण 1 के सूत्र का उपयोग करके $ N $ के अभाज्य गुणनखंडों की गणना कर सकते हैं, और RSA एन्क्रिप्शन पूरी तरह से डिक्रिप्ट हो जाएगा।

वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों (NISQ) की क्षमताएं और चुनौतियाँ

सैद्धांतिक रूप से, शोर का एल्गोरिदम सही है, लेकिन अगर पूछा जाए, “क्या कल RSA एन्क्रिप्शन टूट जाएगा?” तो उत्तर स्पष्ट रूप से “नहीं” है। इसका कारण वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर हार्डवेयर तकनीक की सीमाएं हैं।

NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) युग

हम वर्तमान में “NISQ” नामक युग में हैं। NISQ उपकरणों में दसियों से सैकड़ों भौतिक क्यूबिट्स होते हैं, लेकिन शोर (noise) के प्रति बेहद संवेदनशील होते हैं।

क्यूबिट्स बाहरी वातावरण जैसे गर्मी और विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रभाव के प्रति संवेदनशील होते हैं, और “डिकोहेरेंस” (क्वांटम उलझाव का नुकसान) और गेट ऑपरेशन के दौरान “गेट त्रुटियां” अक्सर होती हैं, जिससे क्वांटम स्थिति नष्ट हो जाती है। जब शोर के एल्गोरिदम जैसे बहुत गहरे (बड़ी संख्या में गणना चरणों के साथ) क्वांटम सर्किट को निष्पादित करने का प्रयास किया जाता है, तो गणना के दौरान त्रुटियां जमा हो जाती हैं, और अंतिम आउटपुट पूर्ण शोर बन जाता है जिसका कोई अर्थ नहीं होता है।

भौतिक क्यूबिट्स और तार्किक क्यूबिट्स

इस त्रुटि समस्या को हल करने के लिए “क्वांटम त्रुटि सुधार” (Quantum Error Correction) आवश्यक है। त्रुटि सुधार कोड का उपयोग शास्त्रीय कंप्यूटरों में भी किया जाता है, लेकिन “क्वांटम नो-क्लोनिंग प्रमेय” के कारण, जो क्वांटम अवस्थाओं की नकल को रोकता है, क्वांटम त्रुटि सुधार बहुत जटिल है।

क्वांटम त्रुटि सुधार में, “सतह कोड” (Surface Code) जैसी तकनीकों का उपयोग बड़ी संख्या में शोर वाले “भौतिक क्यूबिट्स” को संयोजित करने के लिए किया जाता है ताकि त्रुटियों के बिना एक आदर्श “तार्किक क्यूबिट” (Logical qubit) बनाया जा सके।

वर्तमान त्रुटि दरों को देखते हुए, यह अनुमान लगाया गया है कि एक तार्किक क्यूबिट बनाने के लिए लगभग 1,000 से 10,000 भौतिक क्यूबिट्स की आवश्यकता होगी। इसे “त्रुटि सुधार ओवरहेड” कहा जाता है।

RSA-2048 को नष्ट करने के लिए किन संसाधनों की आवश्यकता है?

तो RSA-2048 को क्रैक करने के लिए शोर के एल्गोरिदम को चलाने के लिए वास्तव में कितने संसाधनों की आवश्यकता है?

क्रेग गिडनी (Google) और मार्टिन एकेरा द्वारा 2021 के एक पेपर में ग्राउंडब्रेकिंग संसाधन अनुमान के अनुसार, अनुकूलित शोर के एल्गोरिदम का उपयोग करके और सतह कोड का उपयोग करके त्रुटि सुधार करने के लिए निम्नलिखित संसाधनों की आवश्यकता होगी:

तार्किक क्यूबिट्स की संख्या : लगभग 4,096
भौतिक क्यूबिट्स की संख्या : लगभग 20 मिलियन (त्रुटि दर $10^{-3}$ मानकर)
गणना का समय : लगभग 8 घंटे (लाखों से अरबों भौतिक गेट संचालन की आवश्यकता है)

इसकी तुलना में, वर्तमान क्वांटम हार्डवेयर की क्या स्थिति है? सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर “कोंडोर”, जिसकी घोषणा 2023 के अंत में IBM द्वारा की गई थी, में 1,121 क्यूबिट्स हैं। इसके अलावा, तार्किक क्यूबिट्स के निर्माण पर ग्राउंडब्रेकिंग शोध (जैसे हार्वर्ड यूनिवर्सिटी और QuEra द्वारा तटस्थ परमाणु क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके 48 तार्किक क्यूबिट्स का निर्माण) भी सामने आया है, लेकिन हम अभी तक उस स्तर पर नहीं हैं जहाँ “बिना शोर के सही गणना” लंबी अवधि के लिए लगातार निष्पादित की जा सके।

हजारों भौतिक क्यूबिट्स से 20 मिलियन व्यावहारिक भौतिक क्यूबिट्स (जो परस्पर जुड़े हुए हैं, क्रायोजेनिक तापमान पर स्थिर रूप से काम करते हैं, और अति-उच्च गति पर नियंत्रण संकेतों को संसाधित कर सकते हैं) तक स्केल करने के लिए, इंजीनियरिंग में भारी बाधाएं (वायरिंग की समस्याएं, शीतलन क्षमता की सीमाएं, और नियंत्रण इलेक्ट्रॉनिक्स का विस्तार) मौजूद हैं। कई विशेषज्ञों का अनुमान है कि “दोष-सहिष्णु (Fault-tolerant) क्वांटम कंप्यूटर (FTQC)” को साकार करने में कम से कम 10 से 30 वर्ष या उससे अधिक का समय लगेगा जो RSA-2048 को डिक्रिप्ट कर सकता है।

“Store Now, Decrypt Later” का बढ़ता खतरा और PQC की शुरुआत

यह सोचना जल्दबाजी होगी कि “हम सुरक्षित हैं क्योंकि इसमें अभी 10 से अधिक साल लगेंगे।” वर्तमान में, ऐसा डेटा है जिसे राष्ट्रीय रहस्य, चिकित्सा डेटा और दीर्घकालिक बुनियादी ढांचे के डिजाइन जैसे दशकों तक गुप्त रखा जाना चाहिए।

यहाँ जो चिंता का विषय है वह “अभी स्टोर करें, बाद में डिक्रिप्ट करें” (Store Now, Decrypt Later) नामक हमला विधि है। दुर्भावनापूर्ण राष्ट्र और संगठन वर्तमान RSA या ECC (एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी) के साथ एन्क्रिप्ट किए गए सभी संचार डेटा को इंटरसेप्ट करते हैं और इसे स्टोरेज में सहेजते हैं। फिर, 10 या 20 साल बाद, जिस क्षण एक शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटर पूरा हो जाता है, वे शोर के एल्गोरिदम का उपयोग करके सभी पिछले डेटा को डिक्रिप्ट करते हैं और रहस्यों को उजागर करते हैं।

इस समय अंतराल के खतरे का मुकाबला करने के लिए, NIST (राष्ट्रीय मानक और प्रौद्योगिकी संस्थान) के नेतृत्व में, “पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी” (PQC: Post-Quantum Cryptography) के मानकीकरण की प्रक्रिया तेज गति से आगे बढ़ रही है।

PQC एक नया एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम है जो गणितीय समस्याओं पर आधारित है जिन्हें क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके हल करना मुश्किल है (यानी, शोर का एल्गोरिदम लागू नहीं किया जा सकता है)। मुख्य दृष्टिकोण इस प्रकार हैं:

लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Lattice-based cryptography) : LWE (Learning with Errors) समस्या पर आधारित है। NIST के मानकीकरण में मुख्यधारा (Kyber, Dilithium, आदि)।
कोड-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Code-based cryptography) : त्रुटि-सुधार कोड को डिकोड करने की कठिनाई पर निर्भर करता है।
बहुभिन्नरूपी बहुपद क्रिप्टोग्राफी (Multivariate cryptography) : कई चरों के एक साथ द्विघात समीकरणों को हल करने की कठिनाई पर निर्भर करता है।
हैश-आधारित हस्ताक्षर (Hash-based signatures) : डिजिटल हस्ताक्षर जो पूरी तरह से हैश फ़ंक्शंस की सुरक्षा पर निर्भर करते हैं।

Google Chrome और Apple के iMessage जैसे प्रमुख सॉफ़्टवेयर और प्लेटफ़ॉर्म ने पहले ही PQC का कार्यान्वयन परीक्षण और हाइब्रिड कार्यान्वयन शुरू कर दिया है।

निष्कर्ष

क्वांटम कंप्यूटर विज्ञान कथा की काल्पनिक दुनिया से वास्तविक इंजीनियरिंग चुनौतियों की ओर बढ़ रहे हैं। शोर का एल्गोरिदम मानवता की एक महान बौद्धिक उपलब्धि है जो गणित और क्वांटम यांत्रिकी को जोड़ती है, लेकिन साथ ही, इसमें हमारे डिजिटल समाज की नींव को हिला देने वाली “विनाशकारी शक्ति” है।

RSA एन्क्रिप्शन कल अचानक अनुपयोगी नहीं हो जाएगा। हालाँकि, क्वांटम प्रौद्योगिकी के विकास और “अभी स्टोर करें, बाद में डिक्रिप्ट करें” के जोखिमों को देखते हुए, PQC में संक्रमण, क्रिप्टोग्राफी के इतिहास में एक बड़े पैमाने पर प्रवासन (migration), पहले ही शुरू हो चुका है। हम वर्तमान में सूचना सुरक्षा में एक प्रतिमान बदलाव (paradigm shift) में सबसे आगे गवाह हैं।

[गणितीय सूत्रों से पूर्ण समझ] क्लासिकल में सबसे शक्तिशाली 'GNFS' क्वांटम एल्गोरिदम से क्यों हारता है? अभाज्य गुणनखंडन का पैराडाइम शिफ्ट

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

आधुनिक इंटरनेट समाज में सूचना सुरक्षा, RSA क्रिप्टोग्राफी जैसी पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी प्रणालियों द्वारा सुरक्षित है। RSA क्रिप्टोग्राफी की सुरक्षा का आधार इस तथ्य पर निर्भर करता है कि “विशाल भाज्य संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यंत कठिन है” ।

इस लेख में, हम क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए सबसे शक्तिशाली अभाज्य गुणनखंडन एल्गोरिदम “सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी” (General Number Field Sieve, GNFS) के गणितीय तंत्र को खोलेंगे, और गणितीय सूत्रों तथा वैचारिक आरेखों (concept diagrams) का उपयोग करके गहराई से यह विश्लेषण करेंगे कि यह पीटर शोर द्वारा खोजे गए “शोर के एल्गोरिदम” (Shor’s Algorithm) से पूरी तरह क्यों हार जाता है, और यह पैराडाइम शिफ्ट कैसे होता है।

1. क्लासिकल कंप्यूटिंग में अभाज्य गुणनखंडन का दृष्टिकोण: फर्मेट की अभाज्य गुणनखंडन विधि से विकास

अभाज्य गुणनखंडन समस्या का अर्थ है, दी गई एक भाज्य संख्या (composite number) $N$ के लिए अभाज्य संख्याओं $p, q$ को खोजना, जिससे $N = p \times q$ हो।

मूल विचार निम्नलिखित सर्वांगसमता (congruence) को संतुष्ट करने वाले गैर-तुच्छ (non-trivial) $x, y$ खोजने पर आ जाता है:

$$ x^2 \equiv y^2 \pmod N $$

इसे रूपांतरित करने पर,

$$ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod N $$ $$ (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod N $$

यहाँ, यदि $x \not\equiv \pm y \pmod N$ हो, तो $\gcd(x-y, N)$ या $\gcd(x+y, N)$ की गणना करके, $N$ का एक गैर-तुच्छ गुणनखंड प्राप्त किया जा सकता है। यह तथ्य GNFS जैसे आधुनिक अभाज्य गुणनखंडन एल्गोरिदम का आधार है।

2. क्लासिकल का सबसे शक्तिशाली एल्गोरिदम: “सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी” (GNFS) की गहराई

“GNFS” आज ज्ञात क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए सबसे तेज़ अभाज्य गुणनखंडन एल्गोरिदम है। इसकी समय जटिलता (time complexity) उप-घातांकीय (Sub-exponential) समय लेती है।

GNFS की समय जटिलता

जब संख्या $N$ के अंकों की संख्या $b = \log_2 N$ हो, तो GNFS की जटिलता इस प्रकार व्यक्त की जाती है:

$$ O\left( \exp \left( \left(\frac{64}{9} b\right)^{1/3} (\log b)^{2/3} \right) \right) $$

जैसा कि इस सूत्र से देखा जा सकता है, जटिलता बहुपद समय (polynomial time) नहीं है, बल्कि घातांकीय फ़ंक्शन (exponential function) से थोड़ी धीमी “उप-घातांकीय समय” (sub-exponential time) है। फिर भी, यदि अंकों की संख्या बढ़ती है तो गणना का समय खगोलीय रूप से बढ़ जाता है।

GNFS का गणितीय तंत्र

GNFS मुख्य रूप से 4 चरणों से मिलकर बना है:

बहुपद चयन (Polynomial Selection)
छानना (Sieving)
मैट्रिक्स न्यूनीकरण (Matrix Reduction)
वर्गमूल की गणना (Square Root)

2.1. बहुपद चयन और बीजीय संख्या क्षेत्र (Algebraic Number Field)

सबसे पहले, पूर्णांक गुणांकों (integer coefficients) वाले अलघुकरणीय बहुपदों (irreducible polynomials) $f(x)$ और $g(x)$ को चुना जाता है। इन्हें इस प्रकार सेट किया जाता है कि इनका modulo $N$ पर एक सामान्य मूल $m$ हो। अर्थात,

$$ f(m) \equiv 0 \pmod N $$ $$ g(m) \equiv 0 \pmod N $$

आमतौर पर, $g(x)$ को रैखिक बहुपद $g(x) = x - m$ के रूप में चुना जाता है। यदि $f(x)$ के मूल को $\alpha$ मान लिया जाए, तो $\mathbb{Q}(\alpha)$ नामक “संख्या क्षेत्र” (Number Field) बनता है। $\mathbb{Q}(\alpha)$ के वलय (ring) में संचालन और सामान्य पूर्णांक वलय $\mathbb{Z}$ के संचालन की तुलना होमोमोर्फिज़्म (homomorphism) $\phi: \alpha \mapsto m$ के माध्यम से की जाती है।

2.2. छानना (Sieving)

इसके बाद, सह-अभाज्य (coprime) पूर्णांकों के जोड़े $(a, b)$ की बड़ी संख्या में खोज की जाती है। इसका उद्देश्य ऐसे जोड़े खोजना है जहाँ निम्नलिखित 2 मान “B-स्मूथ” (B-smooth, केवल अपेक्षाकृत छोटे अभाज्य गुणनखंडों से बने) हों:

$a - bm$ (पूर्णांक वलय पर मान)
$b^d f(a/b)$ (संख्या क्षेत्र पर मानदंड $N(a - b\alpha)$ के अनुरूप)

यहाँ “चलनी” (Sieve) नामक एक तेज़ खोज तकनीक का उपयोग किया जाता है। इसके द्वारा, विशाल उम्मीदवारों में से शर्तों को पूरा करने वाले $(a, b)$ जोड़ों को कुशलतापूर्वक निकाला जाता है।

2.3. मैट्रिक्स न्यूनीकरण (Linear Algebra over GF(2))

एकत्र किए गए जोड़े $(a, b)$ से, घातांक सदिश (exponent vectors) का निर्माण किया जाता है, और एक विशाल विरल मैट्रिक्स (sparse matrix) के बाएँ शून्य स्थान (left null space) को $\mathbb{F}_2$ (वह क्षेत्र जिसमें केवल 0 और 1 तत्व होते हैं) पर ज्ञात किया जाता है।

वेक्टर $v$ को एक समाधान के रूप में इस प्रकार खोजा जाता है कि संबंध $ \prod (a_i - b_i m) $ और $ \prod (a_i - b_i \alpha) $ दोनों वर्ग अवयव (square elements) बन जाएँ। यह,

$$ M \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \pmod 2 $$

जैसी रैखिक समीकरण प्रणाली को हल करने के अलावा और कुछ नहीं है। यहाँ, ब्लॉक लैंक्ज़ोस एल्गोरिदम (Block Lanczos Algorithm) या ब्लॉक विडमैन एल्गोरिदम (Block Wiedemann Algorithm) जैसे उन्नत संख्यात्मक संगणना एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

2.4. वर्गमूल की गणना

अंत में, संख्या क्षेत्र और पूर्णांक वलय दोनों में वर्गमूल लिया जाता है, और $x^2 \equiv y^2 \pmod N$ संबंध प्राप्त किया जाता है। फिर, $\gcd(x-y, N)$ की गणना की जाती है और गुणनखंड प्राप्त किया जाता है।

3. क्वांटम कंप्यूटिंग द्वारा सफलता: “शोर का एल्गोरिदम” (Shor’s Algorithm)

जबकि GNFS को उप-घातांकीय समय की आवश्यकता होती है, 1994 में पीटर शोर द्वारा प्रस्तुत किया गया “शोर का एल्गोरिदम” , क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके इस समस्या को “बहुपद समय” (Polynomial Time) में हल कर सकता है।

शोर के एल्गोरिदम की समय जटिलता

जब क्यूबिट्स की संख्या $O(\log N)$ हो, तो समय जटिलता इस प्रकार होती है:

$$ O((\log N)^3) $$

इसका मतलब यह है कि यह बिट्स की संख्या के सापेक्ष घातांकीय विस्फोट नहीं करता है। यह एक आश्चर्यजनक परिणाम है कि “क्वांटम कंप्यूटिंग” कुछ घंटों से कुछ दिनों में उन विशाल भाज्य संख्याओं को डिक्रिप्ट कर सकता है, जिनकी “क्लासिकल कंप्यूटिंग” के लिए गणना का समय ब्रह्मांड के जीवनकाल से भी अधिक होगा।

शोर के एल्गोरिदम का समग्र दृश्य: आवर्त खोज समस्या (Period Finding Problem) में कमी

शोर का एल्गोरिदम अभाज्य गुणनखंडन समस्या को बड़ी चतुराई से “आवर्त खोज समस्या” में बदल देता है।

$N$ के साथ सह-अभाज्य एक यादृच्छिक पूर्णांक $a$ चुनें ($1 < a < N$)।
फलन $f(x) = a^x \bmod N$ परिभाषित करें।
$f(x)$ का आवर्त (period) $r$ खोजें, अर्थात वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $r$ जिसके लिए $a^r \equiv 1 \pmod N$ हो।
यदि $r$ सम (even) है, तो जांचें कि क्या $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$ है, और अभाज्य गुणनखंड प्राप्त करने के लिए $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ की गणना करें।

चरण 3 में यह “आवर्त $r$ की खोज” ही वह बाधा है जिसमें क्लासिकल कंप्यूटर को घातांकीय समय लगता है, लेकिन क्वांटम कंप्यूटर “क्वांटम सुपरपोज़िशन” और “क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म” (QFT) का उपयोग करके इसे पल भर में हल कर देता है।

4. क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) और आवर्त का निष्कर्षण

आइए शोर के एल्गोरिदम के मूल, क्वांटम अवस्थाओं (quantum states) के संचालन को गणितीय सूत्रों के माध्यम से विस्तार से देखें।

4.1. क्वांटम सुपरपोज़िशन का निर्माण

सबसे पहले, 2 क्वांटम रजिस्टर तैयार किए जाते हैं। रजिस्टर 1 इनपुट $x$ की सुपरपोज़िशन अवस्था (superposition state) रखता है, और रजिस्टर 2 फलन के गणना परिणाम $f(x)$ को रखता है। प्रारंभिक अवस्था $|0\rangle |0\rangle$ पर हैडामर्ड ट्रांसफॉर्म (Hadamard Transform) लागू करके सभी संभावित $x$ का सुपरपोज़िशन बनाया जाता है।

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |0\rangle $$

(यहाँ $Q$, $N^2 \le Q < 2N^2$ को पूरा करने वाली 2 की घात है)

इसके बाद, क्वांटम ओरेकल $U_f$ का उपयोग करके $f(x) = a^x \bmod N$ की गणना की जाती है और इसे रजिस्टर 2 में संग्रहीत किया जाता है।

$$ |\psi_2\rangle = U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |a^x \bmod N\rangle $$

यहाँ मान लीजिए कि रजिस्टर 2 को मापा गया है (वास्तव में इसे मापे बिना भी गणितीय संरचना समान रहती है)। यदि कोई मान $y = a^{x_0} \bmod N$ देखा जाता है, तो रजिस्टर 1 की अवस्था उन सभी $x$ के सुपरपोज़िशन में सिमट (collapse) जाती है जिनके लिए $f(x) = y$ होता है। यदि आवर्त $r$ है, तो ऐसे $x$, $x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, \dots$ होंगे।

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k=0}^{M-1} |x_0 + kr\rangle $$

(यहाँ $M \approx Q/r$ पदों की संख्या है)

यह अवस्था आवर्त $r$ की जानकारी को अंतर्निहित रखती है, लेकिन इसे सीधे मापने पर केवल एक यादृच्छिक (random) $x_0 + kr$ प्राप्त होगा, और आवर्त $r$ ज्ञात नहीं होगा। यहीं पर QFT काम आता है।

4.2. क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (Quantum Fourier Transform) लागू करना

QFT एक ऐसा ऑपरेशन है जो क्वांटम अवस्थाओं के आयामों (amplitudes) पर असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (Discrete Fourier Transform) करता है। अवस्था $|x\rangle$ पर QFT की क्रिया को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$ \text{QFT} |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} e^{2\pi i \frac{xy}{Q}} |y\rangle $$

जब इसे $|\psi_3\rangle$ पर लागू किया जाता है, तो चरण हस्तक्षेप (क्वांटम इंटरफेरेंस) होता है।

$$ |\psi_4\rangle = \text{QFT} |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{MQ}} \sum_{y=0}^{Q-1} \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{(x_0 + kr)y}{Q}} |y\rangle $$

इस समीकरण के योग का विस्तार करने पर,

$$ \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{kry}{Q}} $$

यह भाग प्रकट होता है। इस ज्यामितीय श्रेणी का योग केवल तभी एक-दूसरे को मजबूत करता है (Constructive Interference) जब $ry/Q$ एक पूर्णांक के करीब होता है, और अन्य समय में यह एक-दूसरे को रद्द (Destructive Interference) कर देता है।

इसलिए, उच्च संभावना के साथ मापी जाने वाली अवस्था $|y\rangle$ वह होगी जिसके लिए,

$$ \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

शर्त को पूरा करने वाला पूर्णांक $y$ हो ($c$ कोई पूर्णांक है)।

4.3. निरंतर भिन्न विस्तार (Continued Fraction Expansion) द्वारा आवर्त की पहचान

माप से $y$ प्राप्त करने के बाद, क्लासिकल कंप्यूटर का उपयोग करके $y/Q$ का “निरंतर भिन्न विस्तार” (Continued Fraction Expansion) किया जाता है। इसके द्वारा, $y/Q$ के अनुमानित भिन्न $c/r$ की गणना की जाती है, और हर (denominator) से आवर्त $r$ के उम्मीदवार को अत्यधिक कुशलता से निकाला जा सकता है।

5. वैचारिक मॉडल की तुलना और पैराडाइम शिफ्ट

GNFS और शोर के एल्गोरिदम के बीच के अंतर को सहज रूप से समझने के लिए, Mermaid सिंटैक्स का उपयोग करके एक वैचारिक आरेख (concept diagram) नीचे दिया गया है।

क्वांटम सर्किट द्वारा शोर के एल्गोरिदम का वैचारिक आरेख

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13


graph TD
 A[प्रारंभिक अवस्था: 0...0] --> B[Hadamard ट्रांसफॉर्म द्वारा सभी अवस्थाओं का सुपरपोज़िशन]
 B --> C[मॉड्यूलर घातांक गणना a^x mod N]
 C -->|क्वांटम एंटैंगलमेंट| D[आवधिकता (periodicity) वाली अवस्था में सिमटना]
 D --> E[क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म QFT]
 E -->|हस्तक्षेप (Interference) द्वारा प्रायिकता प्रवर्धन| F[माप: y प्राप्त करना]
 F --> G[क्लासिकल प्रक्रिया: निरंतर भिन्न विस्तार]
 G --> H[आवर्त r की खोज]
 H --> I[N के अभाज्य गुणनखंडों की गणना]

 style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
 style E fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
 style I fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

पैराडाइम शिफ्ट का सार

GNFS “गणितीय स्थान (संख्या क्षेत्र) में संबंधों को खोजने” का दृष्टिकोण अपनाता है। हालाँकि, चूँकि खोज स्थान अंकों की संख्या के सापेक्ष घातांकीय रूप से फैलता है, इसलिए क्लासिकल कंप्यूटर की गणना क्षमता (समानांतरकरण सहित) के साथ, जब कुंजी की लंबाई 2048 बिट्स आदि से अधिक हो जाती है तो इसे डिक्रिप्ट करना लगभग असंभव हो जाता है।

दूसरी ओर, शोर का एल्गोरिदम “क्वांटम हस्तक्षेप के कारण तरंग गुणों” का उपयोग करता है। यह सुपरपोज़िशन अवस्था में सभी गणना पथों (computation paths) का एक साथ मूल्यांकन करता है, और QFT द्वारा अवांछित उत्तरों को रद्द (Destructive Interference) कर देता है, तथा केवल सही उत्तर वाले आवर्त के प्रायिकता आयाम (probability amplitude) को प्रवर्धित (Constructive Interference) करता है। इससे यह स्थान को खोजने के बजाय, “सही उत्तर को ही सामने लाने” के एक बिल्कुल अलग आयाम का दृष्टिकोण प्राप्त करता है।

6. निष्कर्ष

इस लेख में, हमने क्लासिकल सीमाओं की चरम सीमा “GNFS” और क्वांटम कंप्यूटिंग की शक्ति प्रदर्शित करने वाले “शोर के एल्गोरिदम” के गणितीय पृष्ठभूमि और एल्गोरिथम संरचना की गहराई से तुलना की है।

जबकि GNFS ने बहुपद चयन और विशाल मैट्रिक्स गणना जैसी गणितीय तकनीकों का उपयोग करके समय जटिलता को उप-घातांकीय समय तक कम किया, शोर के एल्गोरिदम ने क्वांटम यांत्रिकी के मूल सिद्धांतों, सुपरपोज़िशन और हस्तक्षेप को गणितीय उपकरण (QFT) के साथ मिलाया, और एक ही झटके में बहुपद समय की सफलता प्राप्त की।

वर्तमान में, व्यावहारिक पैमाने (हजारों क्यूबिट्स) पर शोर के एल्गोरिदम को चलाने में सक्षम कोई दोष-सहिष्णु क्वांटम कंप्यूटर (Fault-Tolerant Quantum Computer, FTQC) मौजूद नहीं है। हालाँकि, इस गणितीय और सैद्धांतिक पैराडाइम शिफ्ट का अस्तित्व ही वह सबसे बड़ा कारण है कि वर्तमान में दुनिया भर में पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) की ओर संक्रमण में तेज़ी आ रही है।