スーパーफ्लुइडिटी और बोस-आइंस्टीन संघनन: पूर्ण शून्य के करीब मैक्रोस्कोपिक क्वांटम घटना की भौतिकी

आधुनिक भौतिकी में, पूर्ण शून्य (0 K = -273.15 ℃) के करीब क्रायोजेनिक दुनिया अद्भुत घटनाओं का खजाना है जो हमारे रोजमर्रा के अंतर्ज्ञान को काफी हद तक चुनौती देती है। उनमें से, “सुपरफ्लुइडिटी (Superfluidity)” और “बोस-आइंस्टीन संघनन (Bose-Einstein Condensation, BEC)” ने कई भौतिकविदों को आकर्षित करना जारी रखा है, जो “मैक्रोस्कोपिक क्वांटम घटनाओं” के प्रमुख उदाहरण हैं जहां सूक्ष्म क्वांटम यांत्रिक गुणों को सीधे मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर देखा जाता है।

श्यानता (viscosity) पूरी तरह से शून्य हो जाना, और तरल हीलियम का अपने आप कंटेनर की दीवार पर चढ़ना। थर्मोमैकेनिकल प्रभाव (फव्वारा प्रभाव) जहां प्रकाश पड़ने पर एक संकीर्ण नोजल से तरल पदार्थ बाहर निकलता है। और BEC, जिसमें खरबों परमाणु बिल्कुल एक ही क्वांटम अवस्था में गिर जाते हैं और एक विशाल पदार्थ तरंग के रूप में व्यवहार करते हैं। इस लेख में, हम एक बहुत ही विस्तृत और अकादमिक दृष्टिकोण से इस बात की गहराई से जांच करेंगे कि इन घटनाओं को कैसे खोजा गया और सैद्धांतिक रूप से कैसे स्पष्ट किया गया, उनकी ऐतिहासिक पृष्ठभूमि से लेकर उनके उन्नत सैद्धांतिक ढांचे तक।

अध्याय 1: पूर्ण शून्य की चुनौती और हीलियम के द्रवीकरण का इतिहास

1.1 निम्न-तापमान भौतिकी की शुरुआत और स्थायी गैसों का द्रवीकरण

19वीं सदी के अंत में, भौतिकी के प्रमुख विषयों में से एक यह सवाल था कि “क्या सभी गैसों को ठंडा और दबाव डालकर तरल किया जा सकता है?"। माइकल फैराडे और अन्य लोगों के प्रयासों के कारण कई गैसों को तरल किया गया था, लेकिन ऑक्सीजन, नाइट्रोजन, हाइड्रोजन और हीलियम जैसी गैसों को “स्थायी गैसें” कहा जाता था, और उनके द्रवीकरण को अत्यंत कठिन माना जाता था।

हालाँकि, ऊष्मप्रवैगिकी (thermodynamics) के विकास और जूल-थॉमसन प्रभाव का उपयोग करने वाली शीतलन तकनीकों में प्रगति के साथ, 1877 में ऑक्सीजन को द्रवीकृत किया गया था, और 1898 में, जेम्स देवर द्वारा हाइड्रोजन (क्वथनांक लगभग 20 K) का द्रवीकरण हासिल किया गया था। अंतिम शेष अछूती गैस हीलियम थी।

1.2 हीलियम का द्रवीकरण और कामरलिंग ओनेस की महिमा

नीदरलैंड में लीडेन विश्वविद्यालय में क्रायोजेनिक प्रयोगशाला की स्थापना करने वाले हाइके कामरलिंग ओनेस (Heike Kamerlingh Onnes) ने सावधानीपूर्वक तैयारी की और एक विशाल द्रवीकरण उपकरण का निर्माण किया। 10 जुलाई, 1908 को, उन्होंने प्री-कूलिंग के लिए तरल हाइड्रोजन का उपयोग किया, और फिर बार-बार जूल-थॉमसन विस्तार का उपयोग करके अंततः हीलियम को सफलतापूर्वक तरल किया। तरल हीलियम का क्वथनांक 4.2 K है, और मानवता ने क्रायोजेनिक दुनिया के दरवाजे खोल दिए जो पूर्ण शून्य से केवल 4 डिग्री दूर थी। इस उपलब्धि के लिए, कामरलिंग ओनेस को 1913 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला।

तरल हीलियम का निर्माण बाद में 1911 में अतिचालकता (superconductivity) की खोज से सीधे जुड़ गया (एक घटना जिसमें 4.2 K पर पारे का विद्युत प्रतिरोध शून्य हो जाता है), लेकिन तरल हीलियम के असामान्य गुणों को स्पष्ट होने में कई और दशक लग गए।

1.3 लैम्ब्डा संक्रमण और सुपरफ्लुइडिटी की खोज

1920 और 1930 के दशक के दौरान, विलेम हेंड्रिक कीसोम और अन्य लोगों ने पाया कि जब तरल हीलियम को और ठंडा किया जाता है, तो विशिष्ट ऊष्मा लगभग 2.17 K पर लघुगणकीय विचलन (logarithmic divergence) दिखाती है। चूंकि विशिष्ट ऊष्मा के तापमान परिवर्तन का ग्राफ ग्रीक अक्षर “$\lambda$ (लैम्ब्डा)” जैसा दिखता है, इसलिए इस चरण संक्रमण को “$\lambda$ (लैम्ब्डा) संक्रमण” नाम दिया गया था। 2.17 K ($T_\lambda$) से उच्च तापमान वाले चरण को “हीलियम I” और कम तापमान वाले चरण को “हीलियम II” कहा जाता है।

हीलियम II ने सामान्य तरल पदार्थों से बिल्कुल अलग, असामान्य व्यवहार दिखाया। सबसे नाटकीय खोजों को 1938 में एक के बाद एक रिपोर्ट किया गया था। मॉस्को के प्योत्र कपित्सा (Pyotr Kapitza) और कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के जॉन एलन (John F. Allen) और डॉन मिज़नर (Don Misener) ने स्वतंत्र रूप से पाया कि हीलियम II बिना किसी प्रतिरोध (शून्य श्यानता के साथ) के अत्यंत बारीक केशिकाओं से होकर बह सकता है।

कपित्सा ने अतिचालकता (Superconductivity) के साथ सादृश्य द्वारा इस असामान्य तरलता को “सुपरफ्लुइडिटी (Superfluidity)” नाम दिया। कपित्सा द्वारा किए गए प्रयोग में, कांच की डिस्क को एक-दूसरे के सामने रखकर एक सूक्ष्म अंतर (कुछ माइक्रोन) बनाया गया था, और जब तरल हीलियम वहां से बहता था तो उसकी श्यानता मापी गई थी। हीलियम I में एक सामान्य श्यानता वाले तरल पदार्थ के रूप में प्रतिरोध देखा गया था, लेकिन $T_\lambda$ से नीचे जाने के क्षण ही बहिर्वाह वेग में नाटकीय रूप से वृद्धि हुई, और यह पुष्टि की गई कि स्पष्ट श्यानता गुणांक अचानक घटकर सामान्य से कम से कम $10^4$ गुना या उससे भी कम हो गया।

इससे भी अधिक अजीब बात यह है कि एक घूर्णी विस्कोमीटर (rotational viscometer) का उपयोग करके किए गए माप (एक तरल में एक सिलेंडर को घुमाने का प्रयोग) में विरोधाभासी परिणाम मिले, जहां हीलियम II ने ऐसा व्यवहार किया मानो उसमें अभी भी परिमित (finite) श्यानता हो। “केशिकाओं में शून्य श्यानता, लेकिन घूमने वाले पिंडों को श्यान प्रतिरोध प्रदान करना” की यह प्रतीत होने वाली रहस्यमयी घटना बाद में “दो-तरल मॉडल (two-fluid model)” द्वारा शानदार ढंग से हल कर ली गई।

अध्याय 2: बोस-आइंस्टीन संघनन (BEC) का सैद्धांतिक ढांचा

सूक्ष्म दृष्टिकोण से तरल हीलियम की सुपरफ्लुइडिटी को समझने की कुंजी क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी (quantum statistical mechanics) में निहित है। हीलियम-4 परमाणु 2 प्रोटॉन, 2 न्यूट्रॉन और 2 इलेक्ट्रॉनों से बना है, और इसके स्पिन का योग एक पूर्णांक (0) है। दूसरे शब्दों में, हीलियम-4 एक “बोस कण (बोसॉन)” है। जब बोस कणों के समूह को पूर्ण शून्य की ओर ठंडा किया जाता है तो क्या होता है, इसका सैद्धांतिक ढांचा हम यहां निकालेंगे।

2.1 बोस सांख्यिकी और फर्मी सांख्यिकी

क्वांटम यांत्रिकी में, समान कणों को सिद्धांत रूप में अलग नहीं किया जा सकता है। कणों के आदान-प्रदान के संबंध में तरंग फलन की समरूपता (symmetry) के आधार पर, कणों को मोटे तौर पर दो श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

बोस कण (बोसॉन): पूर्णांक स्पिन वाले कण। कणों के आदान-प्रदान के संबंध में तरंग फलन सममित (symmetric) होता है (चिह्न नहीं बदलता है)। यह पाउली के अपवर्जन सिद्धांत (Pauli exclusion principle) का पालन नहीं करता है, और कई कण एक ही समय में एक ही क्वांटम अवस्था में प्रवेश कर सकते हैं।
फर्मी कण (फर्मियन): आधे-पूर्णांक (half-integer) स्पिन वाले कण। कणों के आदान-प्रदान के संबंध में तरंग फलन असममित (antisymmetric) होता है (चिह्न बदल जाता है)। यह पाउली के अपवर्जन सिद्धांत का पालन करता है, और केवल एक ही कण एक ही क्वांटम अवस्था में प्रवेश कर सकता है।

$$ \langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i - \mu)} - 1} $$

यहां, कणों की संख्या के गैर-ऋणात्मक होने के लिए, सभी अवस्थाओं $i$ में $\epsilon_i - \mu > 0$ होना चाहिए। यदि जमीनी अवस्था (ground state) की ऊर्जा $\epsilon_0 = 0$ के रूप में निर्धारित की जाती है, तो रासायनिक क्षमता को हमेशा $\mu \leq 0$ को संतुष्ट करना चाहिए।

2.2 ऊष्मीय डी-ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य और मैक्रोस्कोपिक तरंग फलन का प्रकटन

$$ \lambda_{dB} = \sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T}} $$

उच्च तापमान पर $\lambda_{dB}$ बहुत छोटा होता है, और यह कणों के बीच की औसत दूरी $d = (V/N)^{1/3}$ से बहुत कम होता है। इस समय, कण शास्त्रीय बिलियर्ड गेंदों की तरह व्यवहार करते हैं, और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के साथ इसका पर्याप्त रूप से अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, जैसे-जैसे तापमान $T$ कम होता जाता है, $\lambda_{dB}$ धीरे-धीरे लंबा होता जाता है। फिर, एक निश्चित क्रांतिक तापमान (critical temperature) $T_c$ पर, तरंग दैर्ध्य $\lambda_{dB}$ कणों के बीच की दूरी $d$ के लगभग बराबर ($\lambda_{dB} \sim d$) हो जाता है। इस समय, अलग-अलग कणों के तरंग फलन स्थानिक रूप से ओवरलैप होने लगते हैं, और क्वांटम यांत्रिक हस्तक्षेप प्रभाव एक मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर स्पष्ट हो जाता है।

तापमान को और कम करने पर, बड़ी संख्या में बोस कण हिमस्खलन की तरह सबसे कम ऊर्जा अवस्था (जमीनी अवस्था) में गिर जाते हैं। इस अवस्था में, अनगिनत कण पूरी तरह से समान चरण (phase) के साथ एक विशाल पदार्थ तरंग के रूप में व्यवहार करना शुरू कर देते हैं, अर्थात “मैक्रोस्कोपिक तरंग फलन (Macroscopic Wavefunction) $\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{n_0(\mathbf{r})} e^{i\theta(\mathbf{r})}$"। यह बोस-आइंस्टीन संघनन (BEC) है।

2.3 संघनन संक्रमण तापमान $T_c$ की गणितीय व्युत्पत्ति

$$ N = \sum_i \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i - \mu)} - 1} $$$$ D(\epsilon) = \frac{V}{(2\pi)^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{\epsilon} $$$$ N_{ex} = \int_0^\infty D(\epsilon) \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} - 1} d\epsilon $$

यह उत्तेजित अवस्था (excited state) में कणों की संख्या $N_{ex}$ का प्रतिनिधित्व करता है।

$$ N_{max} = \frac{V}{(2\pi)^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \int_0^\infty \frac{\sqrt{\epsilon}}{e^{\beta \epsilon} - 1} d\epsilon $$$$ \int_0^\infty \frac{\sqrt{\epsilon}}{e^{\beta \epsilon} - 1} d\epsilon = (k_B T)^{3/2} \int_0^\infty \frac{x^{1/2}}{e^x - 1} dx = (k_B T)^{3/2} \Gamma(3/2) \zeta(3/2) $$$$ N_{max} = V \left( \frac{m k_B T}{2\pi \hbar^2} \right)^{3/2} \zeta(3/2) = \frac{V}{\lambda_{dB}^3} \zeta(3/2) $$

क्या होगा यदि कणों की कुल संख्या $N$, $N_{max}$ से अधिक हो जाए? अतिरिक्त कणों $N_0 = N - N_{max}$ के पास ऊर्जा $\epsilon = 0$ के साथ जमीनी अवस्था में संघनित होने के अलावा कोई विकल्प नहीं होता, जिसे समाकलन ($\epsilon > 0$) में शामिल नहीं किया जाता है। यह BEC का गणितीय तंत्र है।

क्रांतिक तापमान $T_c$ जिस पर संघनन शुरू होता है, उसे उस तापमान के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां $N = N_{max}(T_c)$ होता है। इसे $T_c$ के लिए हल करने पर, $$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} $$ (जहां $n = N/V$ संख्या घनत्व है) यह समीकरण परस्पर क्रिया न करने वाली आदर्श गैस में सटीक BEC संक्रमण तापमान प्रदान करता है। तरल हीलियम के घनत्व को प्रतिस्थापित करने पर, $T_c \approx 3.1 K$ प्राप्त होता है, जो कि वास्तविक $\lambda$ संक्रमण तापमान 2.17 K के करीब है। यह समानता दृढ़ता से बताती है कि हीलियम II की सुपरफ्लुइडिटी अनिवार्य रूप से BEC से जुड़ी एक घटना है। हालाँकि, चूंकि तरल हीलियम कणों के बीच बहुत मजबूत परस्पर क्रिया के साथ एक “दृढ़ता से सहसंबद्ध क्वांटम तरल (strongly correlated quantum liquid)” है, इसलिए यह आदर्श गैस मॉडल से विचलित होता है।

अध्याय 3: टिस्ज़ा और लैंडौ का दो-तरल मॉडल

सुपरफ्लुइड हीलियम द्वारा प्रदर्शित अजीब गुण, “यह केशिकाओं में शून्य श्यानता के साथ बहता है, लेकिन घूमने वाले पिंडों को श्यान प्रतिरोध दिखाता है” को समझाने के लिए लास्ज़लो टिस्ज़ा (László Tisza) ने 1938 में एक अभूतपूर्व घटना विज्ञान (phenomenology) का प्रस्ताव रखा। इसके बाद, 1941 में, लेव लैंडौ (Lev Landau) ने इसे क्वांटम यांत्रिक सूक्ष्म आधार पर आधारित अधिक परिष्कृत सिद्धांत के रूप में पूरा किया, जिसे “दो-तरल मॉडल (Two-Fluid Model)” कहा जाता है।

3.1 सामान्य-तरल घटक और सुपरफ्लुइड घटक का सह-अस्तित्व

$$ \rho = \rho_n + \rho_s $$$$ \mathbf{j} = \rho_n \mathbf{v}_n + \rho_s \mathbf{v}_s $$

यहां,

सामान्य तरल घटक (Normal fluid component, $\rho_n$): वह घटक जिसमें परिमित श्यानता होती है और जो एन्ट्रापी (entropy) का वहन करता है। यह थर्मल रूप से उत्तेजित अवस्था में कणों के समूह से मेल खाता है।
सुपरफ्लुइड घटक (Superfluid component, $\rho_s$): वह घटक जिसकी श्यानता पूरी तरह से शून्य होती है और जिसमें कोई एन्ट्रापी नहीं होती (पूर्ण शून्य के समान स्थिति में)। यह मैक्रोस्कोपिक क्वांटम अवस्था (BEC अवस्था) में कणों के समूह से मेल खाता है।

पूर्ण शून्य ($T = 0$) पर, सब कुछ सुपरफ्लुइड घटक ($\rho_s = \rho, \rho_n = 0$) होता है, लेकिन जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, सामान्य तरल घटक का अनुपात बढ़ता जाता है, और सुपरफ्लुइड घटक $T_\lambda$ पर गायब हो जाता है ($\rho_s = 0, \rho_n = \rho$)।

इस मॉडल का उपयोग करने पर, श्यानता का पिछला विरोधाभास शानदार ढंग से हल हो जाता है। एक अत्यंत महीन केशिका के माध्यम से होने वाले प्रयोग में, श्यान सामान्य-तरल घटक ट्यूब की दीवार के साथ घर्षण द्वारा रुक जाता है, लेकिन केवल गैर-श्यान सुपरफ्लुइड घटक ही ट्यूब से होकर गुजरता है, इसलिए स्पष्ट श्यानता शून्य हो जाती है। दूसरी ओर, बल्क तरल में एक सिलेंडर को घुमाने के प्रयोग में, सिलेंडर सामान्य-तरल घटक के साथ घर्षण पैदा करता है, इसलिए परिमित श्यानता देखी जाती है।

3.2 थर्मोमैकेनिकल प्रभाव (फव्वारा प्रभाव) और मैकेनोकैलोरिक प्रभाव

यह गुण कि सुपरफ्लुइड घटक में “कोई एन्ट्रापी नहीं होती” एक आश्चर्यजनक घटना का कारण बनता है जिसमें ऊष्मा और पदार्थ का प्रवाह सीधे तौर पर जुड़ जाता है। इसका एक विशिष्ट उदाहरण “थर्मोमैकेनिकल प्रभाव (Thermomechanical effect)” या “फव्वारा प्रभाव (Fountain effect)” है।

$$ \Delta P = \rho S \Delta T $$

($S$ प्रति इकाई द्रव्यमान एन्ट्रापी है)

इसके विपरीत, जब हीलियम II को सुपरलीक के माध्यम से बाहर धकेला जाता है, तो बाहर बहने वाला पदार्थ केवल वह सुपरफ्लुइड घटक होता है जिसमें एन्ट्रापी नहीं होती है, इसलिए बचे हुए तरल का तापमान बढ़ जाता है। इसे मैकेनोकैलोरिक (mechanocaloric) प्रभाव कहा जाता है।

3.3 द्वितीय ध्वनि (Second Sound) की भौतिकी

सामान्य तरल पदार्थों में, “ध्वनि तरंग” घनत्व की एक अनुदैर्ध्य तरंग (दबाव तरंग) होती है। हालाँकि, हीलियम II के अंदर, दो स्वतंत्र वेग क्षेत्र $\mathbf{v}_n$ और $\mathbf{v}_s$ मौजूद होते हैं, इसलिए दो प्रकार की तरंगें फैल सकती हैं।

प्रथम ध्वनि (First Sound): एक तरंग जिसमें सामान्य तरल घटक और सुपरफ्लुइड घटक एक ही चरण में दोलन करते हैं। यह एक सामान्य घनत्व तरंग (दबाव तरंग) से मेल खाता है।
द्वितीय ध्वनि (Second Sound): एक तरंग जिसमें सामान्य तरल घटक और सुपरफ्लुइड घटक विपरीत चरणों (एक दूसरे की विपरीत दिशाओं) में दोलन करते हैं। जबकि घनत्व स्थिर रहता है, सामान्य तरल घटक (एन्ट्रापी का द्रव्यमान) और सुपरफ्लुइड घटक का अनुपात स्थानिक रूप से दोलन करता है, इसलिए यह प्रभावी रूप से “तापमान तरंग (थर्मल वेव)” के रूप में फैलता है।

सामान्य पदार्थों में, ऊष्मा एक प्रसार (diffusion) घटना के रूप में संचरित होती है, लेकिन हीलियम II में, ऊष्मा बिना क्षीणन के “तरंग” के रूप में ध्वनि की गति (दूसरी ध्वनि की गति) से फैलती है। इस घटना की भी लैंडौ द्वारा भविष्यवाणी की गई थी, और बाद में इसे प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया था, जिसने दो-तरल मॉडल की शुद्धता को निर्णायक रूप से साबित कर दिया।

अध्याय 4: लैंडौ का सुपरफ्लुइड क्रांतिक वेग और प्राथमिक उत्तेजना स्पेक्ट्रम

चूंकि बोस-आइंस्टीन संघनन का सिद्धांत आदर्श गैस को पूर्व शर्त मानता है, इसलिए यह हीलियम परमाणुओं के बीच होने वाली मजबूत परस्पर क्रिया की व्याख्या नहीं कर सका। वास्तव में, बिना किसी परस्पर क्रिया वाली आदर्श बोस गैस में सुपरफ्लुइडिटी प्रकट नहीं होती है (यह अशुद्धता प्रकीर्णन द्वारा आसानी से उत्तेजित हो जाती है)। लेव लैंडौ ने तरल हीलियम को “पूर्ण शून्य पर जमीनी अवस्था में पृष्ठभूमि तरल” और इसके ऊपर “प्राथमिक उत्तेजनाओं (Elementary Excitations) की गैस” के रूप में तैयार किया।

4.1 फोनॉन और रोटॉन: ऊर्जा-संवेग फैलाव वक्र

लैंडौ ने हीलियम II के तापीय गुणों को समझाने के लिए प्राथमिक उत्तेजनाओं की ऊर्जा $\epsilon$ और संवेग $p$ (फैलाव संबंध $\epsilon(p)$) के बीच संबंध को निम्नानुसार माना:

$$ \epsilon(p) = c p $$
($c$ पहली ध्वनि की गति है)
$$ \epsilon(p) = \Delta + \frac{(p - p_0)^2}{2\mu} $$
यहां, $\Delta$ रोटॉन गैप ऊर्जा है, $p_0$ न्यूनतम मान लेने वाला संवेग है, और $\mu$ रोटॉन का प्रभावी द्रव्यमान है।

यह अजीब फैलाव वक्र (dispersion curve) बाद में न्यूट्रॉन अप्रत्यास्थ प्रकीर्णन प्रयोगों (neutron inelastic scattering experiments) द्वारा अत्यंत सटीकता से मापा गया था, जिसने लैंडौ के प्रतिभाशाली अंतर्ज्ञान को शानदार ढंग से साबित किया।

4.2 क्रांतिक वेग $v_c$ द्वारा शून्य घर्षण वाले प्रकीर्णन की असंभवता का प्रमाण

लैंडौ की सबसे बड़ी उपलब्धि इस फैलाव संबंध का उपयोग करके यंत्रवत रूप से सुपरफ्लुइडिटी के मूलभूत तंत्र को साबित करना था, यानी “क्यों हीलियम II दीवारों के साथ बिना घर्षण के बह सकता है” (लैंडौ का क्रांतिक वेग प्रमेय)।

$$ \Delta E = \mathbf{v} \cdot \mathbf{p} = \epsilon(p) $$$$ v \geq \frac{\epsilon(p)}{p} $$

होगा।

$$ v_c = \min \left[ \frac{\epsilon(p)}{p} \right] $$

यदि तरल हीलियम एक आदर्श बोस गैस होती, तो इसमें एक मुक्त कण का फैलाव संबंध $\epsilon(p) = p^2 / 2m$ होता, अतः $v_c = \min [p/2m] = 0$ होगा, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितनी धीमी गति से चलता है, उत्तेजना उत्पन्न होगी और यह सुपरफ्लुइड नहीं होगा। हालाँकि, वास्तविक तरल हीलियम में, परस्पर क्रिया के कारण फैलाव वक्र रैखिक ($\epsilon = c p$) रूप से शुरू होता है, इसलिए मूल (origin) के पास ढलान $c$ (ध्वनि की गति, लगभग 240 m/s) है। यदि हम संपूर्ण फैलाव वक्र के आकार से न्यूनतम मान की गणना करते हैं, तो रोटॉन न्यूनतम (roton minimum) की ओर स्पर्शरेखा का ढलान $v_c$ देता है, और इसका मान लगभग 60 m/s है। (*वास्तविक प्रयोगों में देखा गया क्रांतिक वेग इससे बहुत छोटा है, कुछ सेमी/सेकेंड के क्रम में, लेकिन इसे बाद में रिचर्ड फेनमैन और अन्य लोगों द्वारा “क्वांटम भंवर” के निर्माण तंत्र के रूप में स्पष्ट किया जाएगा।)

इस प्रकार, प्रणाली के ऊर्जा फैलाव संबंध में एक “गैप” या “परिमित ढलान” का अस्तित्व सुपरफ्लुइडिटी (शून्य घर्षण के साथ प्रवाह) की गारंटी के लिए एक पूर्ण शर्त है।

अध्याय 5: क्वांटम भंवर (Quantized Vortex) और टोपोलॉजिकल दोष

लैंडौ के क्रांतिक वेग सिद्धांत ने सुपरफ्लुइडिटी की सूक्ष्म उत्पत्ति को समझाया, लेकिन प्रयोगात्मक रूप से देखे गए क्रांतिक वेग के सैद्धांतिक मूल्य से बहुत कम होने का कारण एक रहस्य बना रहा। लार्स ओन्सेगर (Lars Onsager) और रिचर्ड फेनमैन (Richard Feynman) के “क्वांटम भंवर” के सिद्धांत ने इस रहस्य को सुलझाया और इसे सुपरफ्लुइड के मैक्रोस्कोपिक तरंग फलन के चरण (टोपोलॉजी) से जोड़ा।

5.1 मैक्रोस्कोपिक तरंग फलन का चरण और परिसंचरण का परिमाणीकरण (Quantization)

$$ \mathbf{v}_s = \frac{\hbar}{m} \nabla \theta $$$$ \kappa = \oint_C \mathbf{v}_s \cdot d\mathbf{r} = \frac{\hbar}{m} \oint_C \nabla \theta \cdot d\mathbf{r} $$

समाकलन भाग बंद वक्र $C$ के चारों ओर घूमने पर चरण में परिवर्तन की मात्रा $\Delta\theta$ का अर्थ देता है।

$$ \Delta\theta = 2\pi n \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) $$$$ \kappa = \frac{\hbar}{m} (2\pi n) = n \frac{h}{m} $$

अर्थात, सुपरफ्लुइड में परिसंचरण लगातार मान नहीं ले सकता है, और $h/m$ (प्लांक स्थिरांक $h$ को हीलियम परमाणु के द्रव्यमान $m$ से विभाजित किया गया है) की इकाइयों में पूरी तरह से “परिमाणित (quantized)” होता है। यह “परिसंचरण का परिमाणीकरण (quantization of circulation)” है।

5.2 घूमते हुए तरल हीलियम में भंवर जाली (Vortex Lattice) और टोपोलॉजिकल दोष

जब सामान्य श्यानता वाले तरल पदार्थ से भरे कंटेनर को घुमाया जाता है, तो पूरा तरल एक कठोर शरीर (rigid body) की तरह घूमता है और एक पैराबोलॉइड (paraboloid) बनाता है। हालाँकि, सुपरफ्लुइड हीलियम (सुपरफ्लुइड घटक) में $\nabla \times \mathbf{v}_s = (\hbar/m) \nabla \times \nabla \theta = 0$, यानी गैर-घूर्णनशील (अघूर्णी) गुण होता है, इसलिए भले ही आप कंटेनर को धीरे-धीरे घुमाएं, सामग्री एक साथ नहीं घूमती है। हालाँकि, जैसे-जैसे घूर्णन गति धीरे-धीरे बढ़ती है, उस क्षण जब यह एक निश्चित क्रांतिक कोणीय वेग से अधिक हो जाती है, अनगिनत “क्वांटम भंवर (Quantized Vortex)” रेखाएँ (भंवर फिलामेंट) सुपरफ्लुइड में प्रवेश करती हैं।

चूंकि क्वांटम भंवर का केंद्र (कोर) एक विलक्षणता (singularity) बन जाता है और इसे परिभाषित नहीं किया जा सकता है, सुपरफ्लुइड घनत्व $n_0$ शून्य हो जाता है (यानी यह सामान्य प्रवाह बन जाता है या निर्वात हो जाता है)। तरल, परिमाणित परिसंचरण $\kappa = h/m$ (आमतौर पर न्यूनतम अवस्था जहां $n=1$ ऊर्जावान रूप से स्थिर है) के साथ कोर के चारों ओर घूमता है। जैसे ही घूर्णन की गति और बढ़ाई जाती है, क्वांटम भंवरों की संख्या बढ़ जाती है, और वे एक नियमित त्रिकोणीय जाली (एब्रिकोसोव जाली (Abrikosov lattice) के समान एक भंवर जाली) बनाने के लिए एक दूसरे को प्रतिकर्षित (repel) करते हैं। मैक्रोस्कोपिक दृष्टि से, अनगिनत क्वांटम भंवरों का यह संग्रह ऐसा व्यवहार करता है मानो संपूर्ण तरल एक कठोर निकाय के रूप में घूम रहा हो।

लैंडौ के क्रांतिक वेग में विसंगति को भी इन क्वांटम भंवरों द्वारा समझाया गया था। जब द्रव केशिका ट्यूब की दीवार के साथ बहता है, तो बहुत छोटे प्रवाह वेगों पर भी दीवार पर मौजूद सूक्ष्म अनियमितताओं से क्वांटम भंवर उत्पन्न होते हैं। चूँकि इन क्वांटम भंवरों को बनाने कैलकुलेट करने के लिए आवश्यक ऊर्जा रोटॉन उत्तेजना की तुलना में बहुत कम है, प्रयोगात्मक क्रांतिक वेग लैंडौ के सैद्धांतिक मान से बहुत छोटा था। क्वांटम भंवर “टोपोलॉजिकल दोष” के रूप में कार्य करते हैं जो सुपरफ्लुइडिटी को नष्ट करते हैं।

अध्याय 6: लेजर कूलिंग द्वारा गैसीय BEC का अहसास और आधुनिक भौतिकी में इसका विकास

चूंकि तरल हीलियम में कणों के बीच परस्पर क्रिया बहुत मजबूत होती है, संघनन दर पूर्ण शून्य पर भी केवल 10% के आसपास रहती है, जो शुद्ध आदर्श गैस के BEC से बहुत दूर था। सच्चे अर्थों में “पतली गैस में BEC” का एहसास करने के लिए, ऐसी पतली गैस को पूर्ण शून्य के करीब ठंडा करना आवश्यक था जहां अंतर-परमाणु परस्पर क्रिया को नजरअंदाज किया जा सके।

6.1 क्षारीय परमाणु गैसों के BEC की उपलब्धि

1980 और 1990 के दशक में, लेजर कूलिंग (डॉपलर कूलिंग, सिसिफस कूलिंग), चुंबकीय जाल (magnetic trapping) और वाष्पीकरणीय शीतलन (evaporative cooling) जैसी नवीन तकनीकों का विकास किया गया, जिससे परमाणु गैसों को नैनोकेल्विन ($10^{-9}$ K) सीमा तक ठंडा करना संभव हो गया। और 1995 में, यूनिवर्सिटी ऑफ कोलोराडो (JILA) के एरिक कॉर्नेल (Eric Cornell) और कार्ल वीमन (Carl Wieman) ने रूबिडीयम ($^{87}$Rb) परमाणु गैस का उपयोग करते हुए, और उसी वर्ष एमआईटी (MIT) के वोल्फगैंग केटरले (Wolfgang Ketterle) ने सोडियम ($^{23}$Na) परमाणु गैस का उपयोग करते हुए, मानव इतिहास में पहली बार एक दुर्लभ क्षारीय परमाणु गैस में बोस-आइंस्टीन संघनन का सीधे निरीक्षण करने में सफलता प्राप्त की। इस उपलब्धि के लिए उन्हें 2001 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला।

केटरले के समूह द्वारा किए गए प्रयोग में, दो स्वतंत्र BEC को स्थानिक रूप से हस्तक्षेप (interfere) कराने से स्पष्ट “हस्तक्षेप फ्रिंज (interference fringes)” देखे गए। यह निर्णायक प्रमाण था कि मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर पदार्थ का द्रव्यमान एकल पदार्थ तरंग के रूप में व्यवहार कर रहा था।

6.2 ऑप्टिकल जाली (Optical Lattice) में सुपरफ्लुइड-मॉट इंसुलेटर संक्रमण

आधुनिक BEC अनुसंधान केवल घटनाओं की पुष्टि से आगे बढ़कर “क्वांटम सिमुलेटर” के रूप में अनुप्रयोगों में विकसित हुआ है। जब BEC को विपरीत लेजर बीम (ऑप्टिकल जाली, Optical Lattice) में हस्तक्षेप करके बनाई गई आवधिक क्षमता में पेश किया जाता है, तो परमाणु एक ठोस के क्रिस्टल जाली में इलेक्ट्रॉनों की तरह व्यवहार करते हैं। लेजर की तीव्रता को समायोजित करके, परमाणुओं और हॉपिंग (आसन्न साइटों पर टनलिंग प्रभाव) के बीच परस्पर क्रिया के अनुपात को स्वतंत्र रूप से नियंत्रित किया जा सकता है। जब परस्पर क्रिया कमजोर होती है, तो परमाणु “सुपरफ्लुइड अवस्था” में होते हैं जहां वे एक संरेखित चरण के साथ पूरे सिस्टम में स्वतंत्र रूप से घूम सकते हैं, लेकिन जैसे ही परस्पर क्रिया मजबूत होती है, एक परमाणु प्रत्येक जाली बिंदु पर स्थानीयकृत हो जाता है, जिससे मैक्रोस्कोपिक चरण की सुसंगतता (coherence) पूरी तरह से नष्ट हो जाती है और एक “मॉट इंसुलेटर (Mott Insulator) अवस्था” में क्वांटम चरण संक्रमण होता है। यह सुपरफ्लुइड-मॉट इंसुलेटर संक्रमण (2002 में ग्रीनर और अन्य द्वारा देखा गया) ने एक आदर्श कृत्रिम प्रणाली में दृढ़ता से सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों (जैसे उच्च तापमान वाले अतिचालकों) के हबर्ड मॉडल (Hubbard model) को सटीक रूप से सत्यापित करने का मार्ग प्रशस्त किया।

6.3 अतिचालकता के साथ एकीकृत समझ (कूपर जोड़े का BEC)

अंत में, आइए सुपरफ्लुइडिटी और अतिचालकता (superconductivity) के बीच गहरे संबंध पर गौर करें। अतिचालकता की व्याख्या एक ऐसी घटना के रूप में की जा सकती है जहां धातुओं में चालन इलेक्ट्रॉन (फर्मी कण) फोनॉन (जाली कंपन) की मध्यस्थता से आकर्षण के माध्यम से दो (कूपर जोड़े, Cooper pairs) के जोड़े बनाते हैं, और जोड़े बोस कणों की तरह व्यवहार करते हैं और BEC (BCS सिद्धांत) का कारण बनते हैं। हाल के वर्षों में, फर्मी परमाणु गैसों का उपयोग करके “BCS-BEC क्रॉसओवर” पर सक्रिय शोध किया गया है, जहां परमाणुओं के बीच परस्पर क्रिया को एक चुंबकीय क्षेत्र (फेशबैक अनुनाद, Feshbach resonance) द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लगातार अणुओं के BEC (BEC सीमा) से अवस्था को कूपर जोड़े की BCS अवस्था (BCS सीमा) में बदलता है।

सुपरफ्लुइडिटी और BEC परम भौतिक घटनाएं हैं जहां सूक्ष्म क्वांटम यांत्रिकी को नियंत्रित करने वाले नियमों को रोजमर्रा के मैक्रोस्कोपिक पैमाने तक बढ़ाया गया है। शून्य-श्यानता प्रवाह, परिसंचरण का परिमाणीकरण, पदार्थ तरंगों का हस्तक्षेप। यह सब उस ब्रह्मांड का सबसे मौलिक और शुद्ध रूप है जिसे प्रकृति पूर्ण शून्य की चरम स्थिति में हमें दिखाती है।