सेंट पीटर्सबर्ग पैराडॉक्स: "अनंत" अपेक्षित मूल्य वाले जुए के लिए आप कितना भुगतान करेंगे?

1. “अनंत” अपेक्षित मूल्य वाला सपनों का जुआ

जब आप एक कसीनो में टहल रहे होते हैं, तो एक डीलर आपको एक नए कॉइन-टॉस गेम में आमंत्रित करता है।

【गेम के नियम】

भाग लेने के लिए शुल्क (एंट्री फीस) का भुगतान करें और खेल शुरू करें।
एक सिक्का उछाला जाता है। यदि चित (Heads) आता है, तो आपकी पुरस्कार राशि दोगुनी हो जाती है और आप फिर से सिक्का उछाल सकते हैं।
जैसे ही पट (Tails) आता है, खेल समाप्त हो जाता है। उस समय तक जमा हुई पुरस्कार राशि आपको मिल जाती है।

प्रारंभिक पुरस्कार राशि $2 से शुरू होती है।

यदि पहली बार उछालने पर पट आता है, तो आपको $2 मिलते हैं और खेल समाप्त हो जाता है।
यदि पहली बार चित और दूसरी बार पट आता है, तो आपको $4 मिलते हैं और खेल समाप्त हो जाता है।
यदि पहली बार चित, दूसरी बार चित और तीसरी बार पट आता है, तो आपको $8 मिलते हैं और खेल समाप्त हो जाता है।
…इसके बाद, जब तक चित आता रहता है, पुरस्कार राशि दोगुनी होती जाती है: $16, $32, $64…।

graph TD Start["खेल शुरू"] --> Toss1{"पहला कॉइन टॉस"} Toss1 -->|पट (1/2)| End1["समाप्त: $2 जीते"] Toss1 -->|चित (1/2)| Toss2{"दूसरा कॉइन टॉस"} Toss2 -->|पट (1/2)| End2["समाप्त: $4 जीते"] Toss2 -->|चित (1/2)| Toss3{"तीसरा कॉइन टॉस"} Toss3 -->|पट (1/2)| End3["समाप्त: $8 जीते"] Toss3 -->|चित (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|जितना अधिक चित आएगा| Infinite["पुरस्कार राशि अनंत रूप से दोगुनी हो जाएगी!"]

अब, आपके लिए एक सवाल है। अगर इस गेम की एंट्री फीस “$10,000” है, तो क्या आप इसमें हिस्सा लेंगे?

शायद ज़्यादातर लोग कहेंगे “नहीं”। कारण यह है कि 50% संभावना है कि पहले टॉस में ही पट आ जाए, जिससे आपको सिर्फ $2 मिलेंगे और भारी नुकसान होगा।

हालांकि, जब हम इसे गणितीय प्रायिकता सिद्धांत (अपेक्षित मूल्य) के अनुसार सख्ती से गणना करते हैं, तो एक आश्चर्यजनक तथ्य सामने आता है। गणितीय रूप से, चाहे एंट्री फीस $10,000 हो या $100 मिलियन, आपको अपने सारे पैसे उधार लेकर भी इस गेम में हिस्सा लेना चाहिए।

आखिर ऐसा क्यों है?

2. आइए अपेक्षित मूल्य (Expected Value) की गणना करें

यह तय करने के लिए एक गणितीय संकेतक “अपेक्षित मूल्य (Expected Value)” है कि कोई जुआ “फायदेमंद है या नुकसानदायक”। अपेक्षित मूल्य वह संख्या है जो यह दर्शाती है कि “यदि आप इस खेल को कई बार दोहराते हैं, तो आप औसतन प्रति बार कितना लाभ कमा सकते हैं।” इसकी गणना का सूत्र है सभी संभावित परिणामों के “(इनाम) × (उसकी प्रायिकता)” का योग।

आइए इस गेम के अपेक्षित मूल्य की गणना करें।

पहली बार में पट आने की प्रायिकता: $\frac{1}{2}$ इनाम $2$ डॉलर है। अपेक्षित मूल्य में योगदान = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ डॉलर
दूसरी बार में पट आने की प्रायिकता: चित और फिर पट आने की प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ इनाम $4$ डॉलर है। अपेक्षित मूल्य में योगदान = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ डॉलर
तीसरी बार में पट आने की प्रायिकता: चित, चित, और फिर पट आने की प्रायिकता $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ इनाम $8$ डॉलर है। अपेक्षित मूल्य में योगदान = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ डॉलर
$n$वीं बार में पट आने की प्रायिकता: $(\frac{1}{2})^n$ इनाम $2^n$ डॉलर है। अपेक्षित मूल्य में योगदान = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ डॉलर

यानी, खेल चाहे कितनी भी बार चले, प्रत्येक पैटर्न का अपेक्षित मूल्य हमेशा “1 डॉलर” होता है। चूंकि खेल अनंत रूप से जारी रह सकता है, इसलिए इन सभी अपेक्षित मूल्यों को जोड़ने पर हमें यह मिलता है:

$$ \text{कुल अपेक्षित मूल्य} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{（अनंत）} $$

गणित द्वारा निकाला गया उत्तर यह था कि “इस खेल का अपेक्षित मूल्य अनंत है”। चूँकि अपेक्षित मूल्य अनंत है, एंट्री फीस चाहे कितनी भी अधिक क्यों न हो, सैद्धांतिक रूप से यह निश्चित रूप से एक “फायदेमंद जुआ” है।

इसे 1713 में निकोलस बर्नौली द्वारा प्रस्तावित “सेंट पीटर्सबर्ग पैराडॉक्स” कहा जाता है। गणित का सही गणना परिणाम (कि इसका अनंत मूल्य है) और मानवीय व्यावहारिक ज्ञान (कि वे केवल कुछ डॉलर का भुगतान करना चाहेंगे) एक-दूसरे के घोर विरोधाभास में हैं।

3. गणित और मनुष्य के बीच के अंतर को हल करने वाली “उपयोगिता” (Utility) की खोज

इस विरोधाभास को निकोलस के चचेरे भाई, एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ डैनियल बर्नौली ने सुलझाया था। (इसे यह नाम इसलिए मिला क्योंकि उन्होंने सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज में इस शोध पत्र को प्रस्तुत किया था।)

डैनियल ने मानव मनोविज्ञान में गहराई से विचार किया। उन्होंने यह विचार प्रस्तुत किया: “मनुष्य पैसे के ‘पूर्ण मौद्रिक मूल्य’ के आधार पर निर्णय नहीं लेते, बल्कि उस ‘संतुष्टि (उपयोगिता)’ के आधार पर निर्णय लेते हैं जो पैसा लाता है।”

इसे “ह्रासमान सीमांत उपयोगिता का नियम (Law of Diminishing Marginal Utility)” कहा जाता है।

पैसे का मूल्य आपकी संपत्ति के अनुसार घटता है

उदाहरण के लिए, यदि आप रेगिस्तान में बहुत प्यासे हैं, तो पानी का पहला गिलास इतना मूल्यवान (संतुष्टिदायक) है कि आप “इसके लिए 10,000 रुपये देने को भी तैयार होंगे।” हालाँकि, जैसे ही आप दूसरा और तीसरा गिलास पीते हैं, एक गिलास पानी का मूल्य कम होता जाता है। 10वें गिलास तक पहुंचते-पहुंचते, शायद आप कहेंगे, “अगर यह मुफ्त में भी मिले तो मुझे नहीं चाहिए।”

पैसे के साथ भी यही बात है।

एक ऐसा व्यक्ति जिसकी कोई बचत नहीं है, उसके लिए 1 मिलियन डॉलर प्राप्त करना जीवन बचाने वाला एक बहुत बड़ा मूल्य है।
हालाँकि, एलन मस्क जैसे व्यक्ति के लिए, जिसके पास 10 बिलियन डॉलर की संपत्ति है, 1 मिलियन डॉलर प्राप्त करना सड़क पर पड़े हुए एक सिक्के के मूल्य (संतुष्टि) के बराबर है।

यानी, भले ही पुरस्कार राशि $2 \rightarrow $4 \rightarrow $8 \rightarrow $16… अनंत तक बढ़ती जाए, मनुष्यों द्वारा महसूस की जाने वाली “खुशी (उपयोगिता)” राशि के अनुपात में अनंत तक नहीं बढ़ती है।

4. “उपयोगिता” का उपयोग करके अपेक्षित मूल्य की फिर से गणना करना

डैनियल बर्नौली ने माना कि “मनुष्यों द्वारा महसूस किया जाने वाला पैसे का मूल्य (उपयोगिता) उस राशि के लघुगणक (logarithm) के समानुपाती होता है।”

मान लीजिए राशि $x$ है, तो मनुष्यों द्वारा महसूस किया जाने वाला मूल्य (उपयोगिता) $u(x)$ को एक लघुगणक फलन के रूप में दर्शाया जा सकता है (यहाँ हम आधार 2 वाला एक सरल मॉडल मानते हैं)।

$2$ डॉलर की पुरस्कार राशि की उपयोगिता: $\log_2(2) = 1$
$4$ डॉलर की पुरस्कार राशि की उपयोगिता: $\log_2(4) = 2$
$8$ डॉलर की पुरस्कार राशि की उपयोगिता: $\log_2(8) = 3$
$2^n$ डॉलर की पुरस्कार राशि की उपयोगिता: $\log_2(2^n) = n$

पुरस्कार राशि दोगुनी हो जाती है, लेकिन मनुष्यों की “खुशी” केवल थोड़ी-थोड़ी बढ़ती है, जैसे 1, 2, 3…। इस “उपयोगिता” का उपयोग करते हुए, आइए अपेक्षित मूल्य (अपेक्षित उपयोगिता - Expected Utility) की फिर से गणना करें।

$$ \text{अपेक्षित उपयोगिता} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

जब आप इस अनंत श्रृंखला के योग की गणना যত্ন करते हैं, तो परिणाम “अनंत” नहीं होता है, बल्कि यह “2” पर अभिसरित (converges) होता है। यदि हम उस राशि की विपरीत गणना करें जिसकी उपयोगिता “2” है, तो हमें $2^2 = 4$ डॉलर प्राप्त होते हैं।

दूसरे शब्दों में, जब हम इसमें मानव मनोविज्ञान (उपयोगिता) को शामिल करके फिर से गणना करते हैं, तो हमें एक बहुत ही सामान्य और व्यावहारिक उत्तर मिलता है: “मानवीय दृष्टि से इस खेल का मूल्य लगभग $4 है।” यही कारण है कि हम इस खेल के लिए 10,000 डॉलर का भुगतान करने के इच्छुक नहीं होते हैं।

5. निष्कर्ष: अर्थशास्त्र के दरवाजे खोलने वाला पैराडॉक्स

सेंट पीटर्सबर्ग पैराडॉक्स एक ऐसा ऐतिहासिक पैराडॉक्स था जिसने गणितीय रूप से यह साबित कर दिया कि “पैसे” की वस्तुनिष्ठ (objective) संख्या और “मानवीय संतुष्टि” का व्यक्तिपरक (subjective) मूल्य मेल नहीं खाते हैं।

डैनियल बर्नौली द्वारा प्रस्तावित “उपयोगिता (Utility)” की अवधारणा, 200 साल बाद, आधुनिक सूक्ष्मअर्थशास्त्र (microeconomics) और वित्तीय इंजीनियरिंग (जैसे कि पोर्टफोलियो थ्योरी) का सबसे महत्वपूर्ण आधार बन गई। बीमा खरीदने या निवेश में विविधता लाने (diversified investment) जैसे हमारे व्यवहारों को भी इसी मानव मनोवैज्ञानिक तंत्र द्वारा समझाया जा सकता है - “ह्रासमान सीमांत उपयोगिता” (बहुत बड़ा लाभ कमाने की खुशी की तुलना में बहुत बड़ा नुकसान उठाने का दर्द कहीं अधिक होता है)।

जुआ खेलने की एक साधारण गणितीय समस्या ने मानव मन को समझने और अर्थशास्त्र के एक विशाल अकादमिक अनुशासन को जन्म देने का काम किया।