1. एक अजीब प्रयोग के नियम
आप (स्लीपिंग ब्यूटी) को एक वैज्ञानिक प्रयोग के विषय (subject) के रूप में चुना गया है। यह प्रयोग रविवार से बुधवार तक चलेगा। रविवार रात को आपको नींद की गोली देकर सुला दिया जाता है।
आपके सोने के बाद, प्रयोगकर्ता एक निष्पक्ष सिक्का (fair coin) (एक सिक्का जिसमें चित और पट आने की प्रायिकता बिल्कुल 1/2 है) उछालता है। फिर, उस परिणाम के आधार पर, आपको निम्नलिखित कार्यक्रम के अनुसार जगाया जाएगा:
【यदि सिक्के का परिणाम “चित (Heads)” था】
- आपको सोमवार को केवल एक बार जगाया जाता है और एक प्रश्न पूछा जाता है। उसके बाद, आपको फिर से सुला दिया जाता है और प्रयोग समाप्त होने (बुधवार) तक आप नहीं जागेंगे।
【यदि सिक्के का परिणाम “पट (Tails)” था】
- आपको सोमवार को जगाया जाता है और एक प्रश्न पूछा जाता है। उसके बाद, आपको एक विशेष दवा (याददाश्त मिटाने वाली दवा) दी जाती है और फिर से सुला दिया जाता है।
- मंगलवार को आपको फिर से जगाया जाता है और वही प्रश्न पूछा जाता है। उसके बाद, आपको फिर से सुला दिया जाता है, और प्रयोग समाप्त (बुधवार) हो जाता है।
※ याददाश्त मिटाने वाली दवा के प्रभाव के कारण, जब आप जागते हैं तो आपको बिल्कुल याद नहीं रहता कि “आज कौन सा दिन है” या “क्या मुझे पहले भी जगाया गया है।”
（उसके बाद प्रयोग समाप्त）"] Toss -->|पट (1/2)| Mon_Tails["सोमवार: जागना + प्रश्न
（उसके बाद याददाश्त मिटाना）"] Mon_Tails --> Tue_Tails["मंगलवार: जागना + प्रश्न
（उसके बाद प्रयोग समाप्त）"] style Toss fill:#ff9999,stroke:#333 style Mon_Heads fill:#aaffaa,stroke:#333 style Mon_Tails fill:#aaffaa,stroke:#333 style Tue_Tails fill:#aaffaa,stroke:#333
खैर, सोमवार (या मंगलवार) को आप जाग गए। कमरे में कोई घड़ी या कैलेंडर नहीं है, और आपको नहीं पता कि आज कौन सा दिन है।
तभी प्रयोगकर्ता आता है और आपसे यह प्रश्न पूछता है: “आपकी वर्तमान जागृत अवस्था में, आपको क्या लगता है कि उछाला गया सिक्का ‘चित’ होने की प्रायिकता कितनी है?”
आप गणित की अच्छी जानकार एक ब्यूटी हैं। तो, आपका उत्तर क्या होगा?
2. टकराते हुए दो गुट: 1/2 या 1/3?
इस समस्या का विचार 1990 के दशक में प्रस्तुत किया गया था, और 2000 में दार्शनिक एडम एल्गा (Adam Elga) द्वारा एक अकादमिक पत्रिका में प्रकाशित किया गया था। सिक्के की प्रायिकता स्पष्ट लग सकती है, लेकिन वास्तव में इस समस्या ने दुनिया भर के गणितज्ञों, सांख्यिकीविदों और दार्शनिकों को दो खेमों में विभाजित कर दिया है: “1/2 गुट (Halfers)” और “1/3 गुट (Thirders)”, और आज तक वे आपस में उग्र बहस कर रहे हैं।
आइए प्रत्येक गुट के “पूर्ण तर्क” को सुनें।
“1/2 गुट (Halfers)” का तर्क
“सिक्का बिना किसी बेईमानी वाला एक निष्पक्ष सिक्का है, इसलिए चित आने की प्रायिकता स्वाभाविक रूप से 1/2 है। मेरे सोने के बाद प्रयोगकर्ता मुझे कितनी भी बार जगाए या मेरी याददाश्त मिटाए, यह सिक्के के भौतिक परिणाम को बिल्कुल प्रभावित नहीं करता है। सिक्का उछालने के समय प्रायिकता 1/2 थी, और मेरे जागने से कोई नई जानकारी (यह अनुमान लगाने का सुराग कि यह चित है या पट) प्राप्त नहीं हुई है। इसलिए, प्रायिकता 1/2 ही रहती है।”
यह एक बहुत ही तर्कसंगत राय है जो उद्देश्यपूर्ण भौतिक घटनाओं और जानकारी के अद्यतन (update) न होने पर जोर देती है।
“1/3 गुट (Thirders)” का तर्क
“तथ्य यह है कि आप ‘जाग रहे हैं’, अपने आप में एक जानकारी है जो प्रायिकता को बदल देती है। मान लीजिए कि इस प्रयोग को 100 बार (100 सप्ताह) दोहराया जाता है। सिक्के को 50 बार ‘चित’ और 50 बार ‘पट’ आना चाहिए।
- जिन 50 सप्ताहों में चित आता है, आप सोमवार को केवल 1 बार जागते हैं $\rightarrow$ ‘चित’ के साथ जागने की संख्या 50 बार है
- जिन 50 सप्ताहों में पट आता है, आप सोमवार और मंगलवार दोनों दिन 2 बार जागते हैं $\rightarrow$ ‘पट’ के साथ जागने की संख्या 100 बार है
अर्थात्, जब आप जागते हैं, तो कुल 150 परिस्थितियों में से, ‘चित के साथ जागने के पैटर्न’ 50 बार होते हैं, और ‘पट के साथ जागने के पैटर्न’ 100 बार होते हैं। इसलिए, इस बात की प्रायिकता कि आपका वर्तमान जागना ‘चित’ का है, 50 / 150 = 1/3 है!”
यह एक मजबूत राय है जो “फ्रीक्वेंटिज़्म (Frequentism)” या “एंथ्रोपिक सिद्धांत (Anthropic principle)” पर आधारित है, जहां इस तथ्य को कि “आप अभी मौजूद हैं (देख रहे हैं)” गणना में प्रायिकता स्थान के एक तत्व के रूप में शामिल किया जाता है।
3. बेयस प्रमेय के साथ गणना
गणितीय रूप से प्रायिकताओं को अद्यतन करने के लिए एक उपकरण, “बेयस प्रमेय (Bayes’ Theorem)” का उपयोग करके इस समस्या को हल करने के प्रयास भी किए गए हैं। आइए सशर्त प्रायिकता (conditional probability) के दृष्टिकोण से “1/3 गुट” के तर्क को व्यवस्थित करें।
जागने पर आपकी अवस्था निम्नलिखित तीन में से एक होगी:
- $E_1$: सिक्का “चित” था, और अभी “सोमवार” है।
- $E_2$: सिक्का “पट” था, और अभी “सोमवार” है।
- $E_3$: सिक्का “पट” था, और अभी “मंगलवार” है।
“चित” आने की प्रायिकता $1/2$ है, और “पट” आने की प्रायिकता $1/2$ है। हालाँकि, पट के मामले में, “सोमवार” और “मंगलवार” पूरी तरह से सममित (symmetrical) हैं (स्मृति के बिना उन्हें अलग नहीं किया जा सकता), इसलिए ऐसा माना जाता है कि $E_2$ और $E_3$ के होने की संभावना समान है।
चूँकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए, यदि हम प्रत्येक जागने को एक स्वतंत्र “घटना (अवलोकन बिंदु)” के रूप में समान प्रायिकता के साथ आवंटित करते हैं, तो $P(E_1) = 1/3$ $P(E_2) = 1/3$ $P(E_3) = 1/3$ होता है। इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि “चित होने की प्रायिकता ($P(E_1)$)” $1/3$ है।
दूसरी ओर, “1/2 गुट” यह तर्क देते हुए खंडन करता है कि “जब सिक्का पट होता है तो सोमवार और मंगलवार ($E_2$ और $E_3$) केवल एक ही सिक्के के परिणाम से उत्पन्न आश्रित (dependent) घटनाएँ हैं, और उन्हें स्वतंत्र प्रायिकताओं के रूप में गिनना गलत है।”
4. यह समस्या हल क्यों नहीं होती?
“स्लीपिंग ब्यूटी समस्या” विद्वानों को इतना परेशान क्यों करती है, इसका कारण केवल गणना की गलती या भ्रम नहीं है। यह समस्या प्रायिकता सिद्धांत के सबसे गहरे, मूलभूत प्रश्न को छूती है: “आखिर प्रायिकता क्या है?”
- 1/2 गुट के लिए, प्रायिकता “सिक्के की भौतिक संपत्ति” या “उद्देश्यपूर्ण तथ्य” है।
- 1/3 गुट के लिए, प्रायिकता “पर्यवेक्षक (ब्यूटी) के विश्वास की डिग्री” या “देखी जाने वाली आवृत्ति” है।
एक गहरा विषय जो क्वांटम यांत्रिकी (quantum mechanics) में “मापन समस्या (measurement problem)” और ब्रह्मांड विज्ञान में “एंथ्रोपिक सिद्धांत (इस तथ्य से ब्रह्मांड की प्रायिकता की गणना करना कि हम मौजूद हैं)” से जुड़ता है, इस सरल सिक्का उछालने वाले प्रयोग में संघनित (condensed) है।
5. निष्कर्ष
यदि आप इस प्रयोग के विषय होते, तो क्या आप जागने पर “1/2” उत्तर देते? या आप “1/3” उत्तर देते?
चाहे आप कोई भी उत्तर दें, दुनिया के शीर्ष गणितज्ञ आपका समर्थन करेंगे। देखने में सरल लगने वाली गणितीय परिभाषाएँ कैसे ढह जाती हैं जब वे “विषय-वस्तु (subjectivity)” और मानव “अस्तित्व” जैसी जटिल अवधारणाओं के साथ जुड़ जाती हैं। विरोधाभास आज भी हमारे सामान्य ज्ञान को हिलाना जारी रखे हुए हैं।