परिचय

रैंडम वॉक (यादृच्छिक चाल) एक गणितीय अवधारणा है जिसमें अगली स्थिति को यादृच्छिक (प्रायिकता) रूप से निर्धारित किया जाता है। इसे अक्सर “शराबी की चाल” कहा जाता है।

सूत्र (1D)

मान लें कि एक कण मूल बिंदु $x = 0$ पर है। यह दाईं ओर $+1$ या बाईं ओर $-1$ समान प्रायिकता के साथ जाता है:

$$ X_i = \begin{cases} +1 & (\text{प्रायिकता } 1/2) \\ -1 & (\text{प्रायिकता } 1/2) \end{cases} $$

$n$ कदमों के बाद स्थिति है:

$$ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i $$

  flowchart LR
    A["स्थिति 0"] -->|"+1 (प्रायिकता 1/2)"| B["स्थिति +1"]
    A -->|"-1 (प्रायिकता 1/2)"| C["स्थिति -1"]
    B -->|"+1"| D["स्थिति +2"]
    B -->|"-1"| A
    C -->|"+1"| A
    C -->|"-1"| E["स्थिति -2"]
    %% 1D आंदोलन के लिए बुनियादी फ्लोचार्ट

प्रत्याशित मान और प्रसरण

प्रत्याशित मान $0$ है, लेकिन प्रसरण $n$ है।

प्रसार समीकरण

निरंतर सीमा पर, रैंडम वॉक प्रसार समीकरण बन जाता है:

$$ \frac{\partial P}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} $$

  stateDiagram-v2
    direction LR
    state "सूक्ष्म दृश्य" as Micro {
        [*] --> रैंडमवॉक
        रैंडमवॉक --> असततकदम
    }
    state "स्थूल दृश्य" as Macro {
        [*] --> प्रसारसमीकरण
        प्रसारसमीकरण --> निरंतरफैलाव
    }
    Micro --> Macro : "निरंतर सीमा (Δx, Δt → 0)"
    %% असतत से निरंतर में संक्रमण

ब्राउनियन गति और पोल्या का प्रमेय

पोल्या का प्रमेय बताता है कि 1D और 2D के लिए मूल बिंदु पर लौटने की प्रायिकता 100% है, लेकिन 3D या उससे अधिक के लिए, यह 1 से कम है।

  flowchart TD
    Start["मूल बिंदु से प्रारंभ"] --> Dim12{"1D या 2D?"}
    Dim12 -- "हाँ" --> Ret12["प्रायिकता 1 के साथ वापसी (पुनरावर्ती)"]
    Dim12 -- "नहीं (3D या अधिक)" --> Ret3["प्रायिकता < 1 (क्षणिक)"]
    %% पोल्या प्रमेय की शाखा

पायथन के साथ सिमुलेशन

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_random_walk_2d(steps):
    """
    2D रैंडम वॉक सिमुलेशन
    """
    directions = np.array([[1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1]])
    random_steps = np.random.randint(0, 4, size=steps)
    movements = directions[random_steps]
    path = np.vstack([[0, 0], np.cumsum(movements, axis=0)])
    return path

steps = 50000
path = simulate_random_walk_2d(steps)

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], alpha=0.6, color='royalblue', linewidth=0.5)
plt.scatter(0, 0, color='red', marker='x', s=150, label='प्रारंभ', zorder=5)
plt.scatter(path[-1, 0], path[-1, 1], color='darkorange', marker='o', s=100, label='अंत', zorder=5)

plt.title(f"2D Random Walk ({steps} steps)", fontsize=16)
plt.xlabel("X अक्ष", fontsize=12)
plt.ylabel("Y अक्ष", fontsize=12)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axis('equal')
plt.show()