क्वांटम उलझाव और बेल की असमानता: आइंस्टीन की अंतिम हार और क्वांटम सूचना क्रांति की सुबह

आधुनिक भौतिकी में सबसे बड़ा रहस्य और एक ही समय में सबसे शक्तिशाली उपकरण, “क्वांटम उलझाव (Quantum Entanglement)"। और “बेल की असमानता”, जिसने मानवीय अंतर्ज्ञान, “स्थानीय यथार्थवाद” को तोड़ दिया। ये केवल भौतिकी के सैद्धांतिक खेल नहीं हैं, बल्कि हमें ब्रह्मांड की मौलिक प्रकृति से रूबरू कराते हैं, और क्वांटम कंप्यूटर तथा क्वांटम क्रिप्टोग्राफी संचार जैसी अगली पीढ़ी की प्रौद्योगिकियों की नींव बनाते हैं।

इस लेख में, हम 1935 में आइंस्टीन और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत ईपीआर पेपर से शुरू होकर, छिपे हुए चर सिद्धांत की दुविधा, जॉन स्टीवर्ट बेल द्वारा ऐतिहासिक असमानता की व्युत्पत्ति, CHSH असमानता और क्वांटम यांत्रिकी में अधिकतम उल्लंघन (त्सिरेलसन की सीमा) के गणितीय प्रमाण, और एस्पेक्ट तथा अन्य लोगों द्वारा प्रायोगिक सत्यापन से लेकर 2022 के नोबेल भौतिकी पुरस्कार तक के भव्य नाटक को, भौतिकी, क्वांटम सूचना विज्ञान और विज्ञान के दर्शन के दृष्टिकोण से अत्यंत विस्तार से समझाएंगे। इसके अलावा, हम बहु-कण उलझाव की GHZ अवस्था के माध्यम से स्थानीय यथार्थवाद के पूर्ण खंडन, क्वांटम टेलीपोर्टेशन के सख्त प्रोटोकॉल, और उलझाव को मापने के तरीकों तक, गणितीय सूत्रों के साथ गहराई से विचार करेंगे।

अध्याय 1: 1935, आइंस्टीन का पलटवार

1920 के दशक में कोपेनहेगन स्कूल (नील्स बोहर और वर्नर हाइजेनबर्ग और अन्य) द्वारा क्वांटम यांत्रिकी को सूत्रबद्ध किए जाने के दौरान, अल्बर्ट आइंस्टीन इसकी संभाव्य और गैर-नियतात्मक व्याख्या से अत्यधिक असंतुष्ट थे। उनका प्रसिद्ध कथन, “भगवान पासा नहीं खेलते हैं,” क्वांटम यांत्रिकी के मूल में अंतर्निहित संभाव्य प्रकृति की अस्वीकृति को दर्शाता है।

1935 में, आइंस्टीन ने बोरिस पोडोल्स्की और नाथन रोसेन के साथ मिलकर भौतिकी के इतिहास में एक ऐतिहासिक शोध पत्र प्रकाशित किया, जिसका शीर्षक था ‘क्या भौतिक यथार्थ के क्वांटम-यांत्रिक वर्णन को पूर्ण माना जा सकता है? (Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?)’, जिसे “EPR पेपर” के रूप में जाना जाता है। इस पेपर का उद्देश्य तार्किक रूप से यह साबित करना था कि क्वांटम यांत्रिकी “अपूर्ण” है, अर्थात्, अभी भी ऐसे “छिपे हुए चर” मौजूद होने चाहिए जिनके बारे में हम नहीं जानते हैं।

स्थानिकता और यथार्थवाद की परिभाषा

ईपीआर पेपर के तार्किक विकास को समझने के लिए, उन दो मूलभूत अवधारणाओं को सटीक रूप से समझना आवश्यक है जिन्हें आइंस्टीन और उनके सहयोगियों ने पूर्वशर्त के रूप में माना था।

यथार्थवाद (Realism): यह विचार कि अवलोकन किए जाने की परवाह किए बिना भौतिक प्रणालियों में निश्चित भौतिक गुण (मूल्य) होते हैं। ईपीआर पेपर में, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया था: “यदि, किसी भौतिक प्रणाली की अवस्था को किसी भी तरह से परेशान किए बिना, हम निश्चितता के साथ (संभावना 1 के साथ) किसी भौतिक मात्रा के मूल्य की भविष्यवाणी कर सकते हैं, तो उस भौतिक मात्रा के अनुरूप भौतिक वास्तविकता का एक तत्व मौजूद है।” दूसरे शब्दों में, मापन से पहले ही वस्तु निश्चित रूप से अपनी विशेषताओं को बनाए रखती है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी में सामान्य ज्ञान है।
स्थानिकता (Locality): सापेक्षता के सिद्धांत पर आधारित यह सिद्धांत कि, स्थानिक रूप से अलग-अलग दो क्षेत्रों में, एक तरफ किए गए संचालन या माप प्रकाश की गति से अधिक तेजी से दूसरी तरफ की भौतिक वास्तविकता को तत्काल प्रभावित नहीं कर सकते। विशेष सापेक्षता के कारण, प्रकाश की गति से अधिक तेजी से जानकारी का प्रसारण कार्य-कारण के टूटने का कारण बनेगा, इसलिए कोई भी भौतिक अंतःक्रिया प्रकाश की गति द्वारा सीमित है।

“दूरी पर डरावनी क्रिया” (Spooky action at a distance) और EPR विरोधाभास

ईपीआर पेपर में निम्नलिखित विचार प्रयोग प्रस्तुत किया गया था। दो कणों A और B पर विचार करें जो एक दूसरे के साथ दृढ़ता से बातचीत करने के बाद बहुत दूर चले गए हैं। क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे के भीतर, ये दो कण “उलझी हुई (Entangled)” अवस्था में हैं और उन्हें संपूर्ण तरंग फलन के रूप में वर्णित किया गया है।

मान लीजिए कि हम कण A की स्थिति $x_A$ मापते हैं। संवेग संरक्षण के नियम आदि के कारण, जैसे ही A की स्थिति निर्धारित होती है, कण B की स्थिति $x_B$ भी तुरंत निर्धारित हो जाती है। दूसरी ओर, यदि हम कण A के संवेग $p_A$ को मापते हैं, तो कण B का संवेग $p_B$ तुरंत निर्धारित हो जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार, स्थिति और संवेग गैर-विनिमेय भौतिक मात्राएँ हैं ($[x, p] = i\hbar$), और एक ही समय में निश्चित मान नहीं हो सकते (हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत)। हालांकि, ऐसा लगता है कि A पर माप का विकल्प (स्थिति मापना है या संवेग) प्रकाश की गति से अधिक तेजी से B की स्थिति (क्या स्थिति निर्धारित है, या संवेग निर्धारित है) को तुरंत निर्धारित करता है।

यदि “स्थानिकता” सही है, तो A पर माप के लिए B को तुरंत प्रभावित करना असंभव है। आइंस्टीन ने इसे “दूरी पर डरावनी क्रिया (Spukhafte Fernwirkung / Spooky action at a distance)” कहा और इसकी कड़ी आलोचना की। इसलिए, B में माप से पहले स्थिति और संवेग दोनों के निश्चित मान (छिपे हुए चर) होने चाहिए, और क्वांटम यांत्रिकी, जो स्थिति और संवेग का पूरी तरह से वर्णन नहीं कर सकती, एक “अपूर्ण सिद्धांत” है। यह विरोधाभास बाद में क्वांटम सूचना सिद्धांत में उलझाव (Entanglement) की आवश्यक समझ की दिशा में पहला कदम बन गया।

अध्याय 2: छिपे हुए चर सिद्धांत की दुविधा और बोहमियन यांत्रिकी

ईपीआर पेपर के प्रकाशन के बाद, भौतिकविद इस परिकल्पना का पता लगाने के लिए मुड़े कि “क्वांटम यांत्रिकी सही है लेकिन अपूर्ण है, और एक गहरे स्तर पर एक नियतात्मक सिद्धांत (छिपे हुए चर सिद्धांत) मौजूद हो सकता है।”

वॉन न्यूमैन का गलत “असंभवता प्रमेय”

इस बहस पर ठंडा पानी डालने वाले प्रतिभाशाली गणितज्ञ जॉन वॉन न्यूमैन थे। अपनी 1932 की पुस्तक “मैथेमेटिकल फाउंडेशंस ऑफ क्वांटम मैकेनिक्स” में, उन्होंने एक प्रमाण (असंभवता प्रमेय) प्रस्तुत किया कि एक “छिपा हुआ चर सिद्धांत” बनाना गणितीय रूप से असंभव है जो क्वांटम यांत्रिकी के समान भविष्यवाणियां देगा। वॉन न्यूमैन का अधिकार इतना बड़ा था कि अगले कुछ दशकों तक, भौतिक विज्ञान समुदाय में इस धारणा का दबदबा रहा कि “छिपे हुए चरों की खोज व्यर्थ है।”

हालांकि, जैसा कि बाद में स्पष्ट हुआ, वॉन न्यूमैन के प्रमाण में “छिपे हुए चरों को पूरा करने वाली स्थितियों” के रूप में एक अत्यंत प्रतिबंधात्मक और गैर-भौतिक धारणा शामिल थी (यह धारणा कि गैर-विनिमेय भौतिक मात्राओं के अपेक्षित मानों की योगात्मकता: $\langle A+B \rangle = \langle A \rangle + \langle B \rangle$ छिपे हुए चर स्तर पर भी लागू होती है), और वास्तव में यह एक पूर्ण प्रमाण नहीं था। ग्रेटे हरमन ने शुरुआत में ही इस खामी को देख लिया था, लेकिन उस समय इस पर किसी का ध्यान नहीं गया।

बोहमियन यांत्रिकी: गैर-स्थानीय छिपा हुआ चर सिद्धांत

1952 में, डेविड बोहम ने वॉन न्यूमैन के असंभवता प्रमेय को तोड़ा और एक नियतात्मक “छिपा हुआ चर सिद्धांत (बोहमियन यांत्रिकी, या डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत)” बनाया जिसने भविष्यवाणियां दीं जो क्वांटम यांत्रिकी के साथ पूरी तरह से सहमत थीं। बोहम के सिद्धांत में, कणों की हमेशा एक निश्चित स्थिति (एक छिपा हुआ चर) होती है और वे पूरे ब्रह्मांड में फैले एक “क्वांटम क्षमता (Quantum potential)” द्वारा निर्देशित होते हैं। यह क्षमता $Q = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2 R}{R}$, जो श्रोडिंगर समीकरण को ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित करके प्राप्त की जाती है, का यह अनूठा गुण है कि यह दूरी के साथ क्षीण नहीं होती है।

हालाँकि, बोहमियन यांत्रिकी की एक बड़ी कीमत चुकानी पड़ी। चूंकि क्वांटम क्षमता पूरे स्थान को तुरंत प्रभावित करती है, इसलिए यह सिद्धांत मूल रूप से “गैर-स्थानीय” था। बोहमियन यांत्रिकी ने आइंस्टीन के सबसे घृणित “दूरी पर डरावनी क्रिया” को सिद्धांत की नींव के रूप में शामिल किया। आइंस्टीन ने भी बोहम के सिद्धांत के प्रति एक नकारात्मक रवैया अपनाया, इसे “सस्ता समाधान” कहा, और फिर भी एक “स्थानीय” छिपे हुए चर सिद्धांत के अस्तित्व में विश्वास किया।

अध्याय 3: स्पिन 1/2 कणों की सिंगलेट अवस्था और क्वांटम यांत्रिकी की सटीक भविष्यवाणी

बेल की असमानता पर आगे बढ़ने से पहले, आइए क्वांटम यांत्रिकी द्वारा अनुमानित उलझाव के सहसंबंधों के लिए पाउली मैट्रिसेस का उपयोग करके सटीक ब्रा-केट (bra-ket) गणना प्रक्रिया को पूरी तरह से विकसित करें। यह क्वांटम यांत्रिकी का मूल बन जाता है जो बाद में स्थानीय यथार्थवाद के साथ संघर्ष करता है।

मान लीजिए कि स्पिन 1/2 कणों का एक जोड़ा उत्पन्न होता है और शून्य के कुल स्पिन के साथ “सिंगलेट अवस्था (Singlet State)” में है। यह अवस्था $|\psi^-\rangle$ इस प्रकार वर्णित है:

$$ |\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B - |\downarrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B \right) $$

जहाँ, $|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$ क्रमशः स्पिन अप ($+1$) और डाउन ($-1$) के ईजेनस्टेट्स (eigenstates) ($z$ आधार) का प्रतिनिधित्व करते हैं। सरलता के लिए इसे $|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle)$ भी लिखा जा सकता है।

ऐलिस अपने कण के स्पिन को दिशा $\vec{a}$ में और बॉब दिशा $\vec{b}$ में मापती है। दिशा सदिश (vector) इकाई सदिश हैं और इन्हें गोलाकार समन्वय प्रणाली (spherical coordinate system) में $\vec{a} = (\sin\theta_a\cos\phi_a, \sin\theta_a\sin\phi_a, \cos\theta_a)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्येक दिशा में स्पिन माप ऑपरेटर पाउली मैट्रिसेस $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ का उपयोग करते हुए $\sigma_a = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ और $\sigma_b = \vec{b} \cdot \vec{\sigma}$ हैं।

हम जो जानना चाहते हैं वह ऐलिस और बॉब के माप परिणामों के उत्पाद का अपेक्षित मान $\langle \sigma_a \otimes \sigma_b \rangle$ है। इसकी गणना करने के लिए, हम अपेक्षित मान की परिभाषा के अनुसार विस्तार करते हैं।

$$ \langle \psi^- | (\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) \otimes (\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) | \psi^- \rangle $$

सबसे पहले, पाउली मैट्रिसेस के गुण के रूप में, $\vec{a} \cdot \vec{\sigma} = a_x \sigma_x + a_y \sigma_y + a_z \sigma_z$ पर विचार करें। गणना को सरल बनाने की एक चतुर तकनीक के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सिंगलेट अवस्था $|\psi^-\rangle$ घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है (किसी भी आधार में समान रूप है)। हालाँकि, यहाँ हम अधिक प्रत्यक्ष बीजीय दृष्टिकोण का उपयोग करके एक पूर्ण विस्तार करेंगे।

$$ \sum_{i \in \{x,y,z\}} \sum_{j \in \{x,y,z\}} a_i b_j (\sigma_i \otimes \sigma_j) $$$$ \sum_{i,j} a_i b_j \langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_j | \psi^- \rangle $$

यहाँ, हम प्रत्येक घटक के लिए $\langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_j | \psi^- \rangle$ का मूल्यांकन करते हैं।

$|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)$ के लिए,

$\sigma_z \otimes \sigma_z$: $\sigma_z \otimes \sigma_z |01\rangle = (+1)(-1)|01\rangle = -|01\rangle$ $\sigma_z \otimes \sigma_z |10\rangle = (-1)(+1)|10\rangle = -|10\rangle$ इसलिए $\sigma_z \otimes \sigma_z |\psi^-\rangle = -|\psi^-\rangle$, और अपेक्षित मान $-1$ है।
$\sigma_x \otimes \sigma_x$: $\sigma_x \otimes \sigma_x |01\rangle = |10\rangle$ $\sigma_x \otimes \sigma_x |10\rangle = |01\rangle$ इसलिए $\sigma_x \otimes \sigma_x \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle - |01\rangle) = -|\psi^-\rangle$, और अपेक्षित मान $-1$ है।
$\sigma_y \otimes \sigma_y$: चूंकि $\sigma_y |0\rangle = i|1\rangle, \sigma_y |1\rangle = -i|0\rangle$, $\sigma_y \otimes \sigma_y |01\rangle = (i|1\rangle) \otimes (-i|0\rangle) = |10\rangle$ $\sigma_y \otimes \sigma_y |10\rangle = (-i|0\rangle) \otimes (i|1\rangle) = |01\rangle$ इसलिए $\sigma_y \otimes \sigma_y |\psi^-\rangle = -|\psi^-\rangle$, और अपेक्षित मान $-1$ है।

दूसरी ओर, विभिन्न घटकों के लिए अपेक्षित मान (उदा. $\sigma_x \otimes \sigma_y$) सभी $0$ हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि $\sigma_x \otimes \sigma_y |01\rangle = |1\rangle \otimes (-i|0\rangle) = -i|10\rangle$ आदि, और जब $\langle \psi^-|$ के साथ आंतरिक गुणनफल लिया जाता है, तो यह ऑर्थोगोनैलिटी के कारण गायब हो जाता है।

$$ \sum_{i} a_i b_i \langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_i | \psi^- \rangle = \sum_{i} a_i b_i (-1) = - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) = - \vec{a} \cdot \vec{b} $$

के रूप में कड़ाई से प्राप्त किया जाता है। यदि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है, तो आंतरिक गुणनफल की परिभाषा से $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \cos\theta$ (दिशा सदिश इकाई सदिश हैं, इसलिए उनकी लंबाई 1 है)। इसलिए, क्वांटम यांत्रिकी द्वारा अनुमानित सहसंबंध एक अत्यंत सुंदर और सरल सूत्र बन जाता है:

$$ E(\vec{a}, \vec{b}) = \langle \sigma_a \otimes \sigma_b \rangle = - \cos\theta $$

यह $-\cos\theta$ का मजबूत सहसंबंध “क्वांटम-विशिष्ट व्यवहार” का स्रोत है जिसे शास्त्रीय छिपे हुए चर सिद्धांत द्वारा कभी भी पुन: पेश नहीं किया जा सकता है।

अध्याय 4: जॉन स्टीवर्ट बेल का प्रभाव और CHSH असमानता की सख्त व्युत्पत्ति

1964 में, सर्न (CERN) में कण भौतिकी का शोध कर रहे आयरिश भौतिक विज्ञानी जॉन स्टीवर्ट बेल ने अपने खाली समय में क्वांटम यांत्रिकी की मूलभूत समस्याओं का अध्ययन किया। बोहमियन यांत्रिकी की गैर-स्थानीयता को ध्यान में रखते हुए, उन्होंने निम्नलिखित गहन प्रश्न उठाया:

“क्या एक ‘स्थानीय’ छिपे हुए चर सिद्धांत के साथ क्वांटम यांत्रिकी की सभी भविष्यवाणियों को पुन: उत्पन्न करना संभव है, जैसा कि आइंस्टीन चाहते थे?”

बेल ने इस समस्या को, जो केवल एक दार्शनिक विवाद था, एक सख्त गणितीय सूत्रीकरण के माध्यम से प्रयोगात्मक रूप से सत्यापन योग्य रूप में उन्नत किया। यह विज्ञान के इतिहास में चमकता हुआ “बेल का प्रमेय (Bell’s Theorem)” और “बेल की असमानता” है। और 1969 में, जॉन क्लॉसर, माइकल हॉर्न, एबनर शिमनी, और रिचर्ड होल्ट (CHSH) ने “CHSH असमानता” नामक असमानता का एक विस्तारित संस्करण प्राप्त किया जिसे वास्तविक प्रयोगों में सत्यापित किया जा सकता है।

स्थानीय यथार्थवाद की धारणाएं और CHSH असमानता का अभिन्न और बीजीय विस्तार

$$ \int \rho(\lambda) d\lambda = 1 $$

है।

$$ A(a, \lambda) = \pm 1, \quad B(b, \lambda) = \pm 1 $$$$ A(a', \lambda) = \pm 1, \quad B(b', \lambda) = \pm 1 $$$$ E(a, b) = \int A(a, \lambda) B(b, \lambda) \rho(\lambda) d\lambda $$$$ S(\lambda) = A(a, \lambda)B(b, \lambda) + A(a, \lambda)B(b', \lambda) + A(a', \lambda)B(b, \lambda) - A(a', \lambda)B(b', \lambda) $$$$ S(\lambda) = A(a, \lambda) \left[ B(b, \lambda) + B(b', \lambda) \right] + A(a', \lambda) \left[ B(b, \lambda) - B(b', \lambda) \right] $$

यहाँ एक बहुत ही महत्वपूर्ण तार्किक कदम आता है। $B(b, \lambda)$ और $B(b', \lambda)$ दोनों हमेशा $+1$ या $-1$ का मान लेते हैं। इसलिए, उनके योग और अंतर को देखते हुए, केवल दो मामले मौजूद हैं।

स्थिति 1: जब $B(b, \lambda) = B(b', \lambda)$ योग $B(b, \lambda) + B(b', \lambda) = \pm 2$ है, और अंतर $B(b, \lambda) - B(b', \lambda) = 0$ है।
स्थिति 2: जब $B(b, \lambda) = -B(b', \lambda)$ योग $B(b, \lambda) + B(b', \lambda) = 0$ है, और अंतर $B(b, \lambda) - B(b', \lambda) = \pm 2$ है।

$$ S(\lambda) = \pm 2 $$$$ |S(\lambda)| = 2 $$

यह हो जाता है।

यदि ब्रह्मांड “स्थानीय यथार्थवाद” का पालन करता है, तो यह निरपेक्ष सीमा मान है जिसे पार नहीं किया जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिक अधिकतम उल्लंघन (त्सिरेलसन की सीमा)

क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणी $E(\vec{a}, \vec{b}) = -\cos\theta$ को याद करें जिसे हमने अध्याय 3 में प्राप्त किया था। मान लीजिए कि ऐलिस और बॉब अपने मापक यंत्रों को निम्नलिखित कोणों पर सेट करते हैं:

$a = 0$
$a' = \pi/2$
$b = \pi/4$
$b' = -\pi/4$

(ध्यान दें कि यदि फोटॉन के ध्रुवीकरण का उपयोग किया जाता है, तो गुणांक स्पिन 1/2 से भिन्न होता है, और $E = \cos(2\theta)$ है, लेकिन यदि आप स्पिन का उपयोग करके उपरोक्त सेटिंग के साथ गणना करते हैं तो सार समान है) प्रत्येक सेटिंग के बीच कोण का अंतर है: $|a - b| = \pi/4$ $|a - b'| = \pi/4$ $|a' - b| = \pi/4$ $|a' - b'| = 3\pi/4$

क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियों में प्रतिस्थापित (Substituting) करने पर, $E(a, b) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a, b') = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a', b) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a', b') = -\cos(3\pi/4) = +1/\sqrt{2}$

$$ S = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( +\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} $$

पूर्ण मान लेने पर, $|S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$।

यह स्पष्ट रूप से $2$ से अधिक है, जो स्थानीय यथार्थवाद की सीमा है ($2.828 > 2$)। क्वांटम यांत्रिकी द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले इस अधिकतम मान को त्सिरेलसन की सीमा (Tsirelson Bound) कहा जाता है। सख्त गणितीय प्रमाण से यह दिखाया गया कि स्थानीय यथार्थवाद क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियों के साथ बिल्कुल असंगत है।

अध्याय 5: बहु-कण उलझाव और स्थानीय यथार्थवाद का “पूर्ण” खंडन (All-or-Nothing)

बेल का प्रमेय सांख्यिकीय सहसंबंधों की “असमानताओं” पर आधारित था। हालांकि, 1989 में, डैनियल ग्रीनबर्गर, माइकल हॉर्न और एंटोन ज़िलिंगर ने दिखाया कि यदि हम ऐसी अवस्था पर विचार करते हैं जहाँ तीन कण उलझे हुए हैं (GHZ अवस्था), तो स्थानीय यथार्थवाद को असमानताओं या सांख्यिकीय संभावनाओं पर भरोसा किए बिना केवल एक माप परिणाम के विरोधाभास के माध्यम से पूरी तरह से गलत साबित किया जा सकता है। इसे “All-or-Nothing प्रमाण” या “GHZ प्रमेय” कहा जाता है।

GHZ अवस्था के गुण

$$ |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle - |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle \right) $$

यहाँ, हम पाउली ऑपरेटरों के निम्नलिखित उत्पादों को लागू करते हैं:

$X_1 Y_2 Y_3 = \sigma_x^{(1)} \otimes \sigma_y^{(2)} \otimes \sigma_y^{(3)}$
$Y_1 X_2 Y_3 = \sigma_y^{(1)} \otimes \sigma_x^{(2)} \otimes \sigma_y^{(3)}$
$Y_1 Y_2 X_3 = \sigma_y^{(1)} \otimes \sigma_y^{(2)} \otimes \sigma_x^{(3)}$
$X_1 X_2 X_3 = \sigma_x^{(1)} \otimes \sigma_x^{(2)} \otimes \sigma_x^{(3)}$

$\sigma_x |\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle, \sigma_x |\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle$ $\sigma_y |\uparrow\rangle = i|\downarrow\rangle, \sigma_y |\downarrow\rangle = -i|\uparrow\rangle$ का उपयोग करके, जब $X_1 Y_2 Y_3$ को $|GHZ\rangle$ पर लागू किया जाता है, $X_1 Y_2 Y_3 |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle (i|\downarrow\rangle) (i|\downarrow\rangle) = -|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ $X_1 Y_2 Y_3 |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle (-i|\uparrow\rangle) (-i|\uparrow\rangle) = -|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ इसलिए, $X_1 Y_2 Y_3 |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (-|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle + |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle) = |GHZ\rangle$ और ईजेनवैल्यू (eigenvalue) $+1$ है। समरूपता से, $Y_1 X_2 Y_3$ और $Y_1 Y_2 X_3$ के लिए भी ईजेनवैल्यू $+1$ है।

दूसरी ओर, जब $X_1 X_2 X_3$ को लागू किया जाता है, $X_1 X_2 X_3 |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ $X_1 X_2 X_3 |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ इसलिए, $X_1 X_2 X_3 |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle - |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle) = -|GHZ\rangle$ और ईजेनवैल्यू $-1$ है। क्वांटम यांत्रिकी निश्चितता (प्रायिकता 1) के साथ उपरोक्त परिणामों की भविष्यवाणी करती है।

स्थानीय यथार्थवाद के टूटने का बीजीय प्रमाण

स्थानीय यथार्थवाद में, हम मानते हैं कि माप के परिणाम पूर्व निर्धारित छिपे हुए चरों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। मान लीजिए कि कण 1 के लिए X-दिशा और Y-दिशा में माप परिणाम क्रमशः $m_x^1, m_y^1 \in \{+1, -1\}$ हैं। इसी तरह, हम कण 2 और 3 के लिए भी परिभाषित करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी की $+1$ की भविष्यवाणी से मेल खाने के लिए, स्थानीय यथार्थवाद मॉडल को निम्नलिखित तीन समीकरणों को पूरा करना होगा:

$m_x^1 m_y^2 m_y^3 = +1$
$m_y^1 m_x^2 m_y^3 = +1$
$m_y^1 m_y^2 m_x^3 = +1$

हम इन तीनों समीकरणों को एक साथ गुणा करते हैं। $(m_x^1 m_y^2 m_y^3)(m_y^1 m_x^2 m_y^3)(m_y^1 m_y^2 m_x^3) = +1 \times +1 \times +1 = +1$ बाईं ओर को पुनर्व्यवस्थित करने पर, प्रत्येक $m_y^i$ को दो बार गुणा किया जाता है, इसलिए $(m_y^i)^2 = 1$। $m_x^1 m_x^2 m_x^3 (m_y^1)^2 (m_y^2)^2 (m_y^3)^2 = m_x^1 m_x^2 m_x^3 = +1$

यानी, जब तक कोई स्थानीय यथार्थवाद का पालन करता है, $X_1 X_2 X_3$ का माप परिणाम हमेशा $+1$ होना चाहिए। हालाँकि, जैसा कि हमने पहले देखा, क्वांटम यांत्रिकी की सटीक भविष्यवाणी (और वास्तविक प्रायोगिक परिणाम) $-1$ है। $+1$ और $-1$। सांख्यिकीय असमानताओं की भी आवश्यकता के बिना, एकल माप में स्थानीय यथार्थवाद और क्वांटम यांत्रिकी निर्णायक रूप से विरोधाभासी हैं, और क्वांटम यांत्रिकी की शुद्धता सिद्ध हुई थी।

(वैसे, 3-कण उलझाव में, W अवस्था $|W\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle)$ भी मौजूद है, जिसके गुण GHZ अवस्था से भिन्न हैं, और इसमें यह मजबूती है कि यदि एक कण खो भी जाए तो उलझाव पूरी तरह से नष्ट नहीं होता है।)

अध्याय 6: क्वांटम सूचना विज्ञान में अनुप्रयोग और क्वांटम टेलीपोर्टेशन का कठोर विकास

उलझाव एक विरोधाभास के विषय से एक “सूचना संसाधन” में बदल गया है। इसका एक विशिष्ट उदाहरण “क्वांटम टेलीपोर्टेशन” है। इसे 1993 में चार्ल्स बेनेट और अन्य द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और पहली बार 1997 में एंटोन ज़िलिंगर (2022 के नोबेल पुरस्कार विजेता) के समूह द्वारा प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया था।

क्वांटम टेलीपोर्टेशन प्रोटोकॉल का गणितीय विस्तार

मान लीजिए ऐलिस के पास एक अज्ञात क्वांटम अवस्था $|\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ है, और वह इसे बहुत दूर बैठे बॉब को भेजना चाहती है। ($|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$) नो-क्लोनिंग प्रमेय (No-cloning theorem) के कारण, इस अवस्था की प्रतिलिपि बनाकर उसे भेजना संभव नहीं है। साथ ही, यदि आप इसे मापते हैं, तो अवस्था ढह जाती है (collapses), और आप अज्ञात $\alpha, \beta$ को सटीक रूप से नहीं जान सकते।

$$ |\Phi^+\rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A |0\rangle_B + |1\rangle_A |1\rangle_B) $$$$ |\psi_{total}\rangle = |\phi\rangle_C \otimes |\Phi^+\rangle_{AB} = (\alpha|0\rangle_C + \beta|1\rangle_C) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A |0\rangle_B + |1\rangle_A |1\rangle_B) $$$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha|000\rangle + \alpha|011\rangle + \beta|100\rangle + \beta|111\rangle \right) $$

(सबस्क्रिप्ट $C, A, B$ के क्रम में हैं)

यहाँ ऐलिस अपने हाथ में मौजूद कण C और कण A पर एक “बेल माप (Bell measurement)” करती है। यह एक माप है जो दो कणों को निम्नलिखित चार बेल अवस्थाओं के आधार पर प्रक्षेपित (projects) करता है। $|\Phi^\pm\rangle_{CA} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle \pm |11\rangle)$ $|\Psi^\pm\rangle_{CA} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle \pm |10\rangle)$

$$ |\psi_{total}\rangle = \frac{1}{2} \left[ |\Phi^+\rangle_{CA}(\alpha|0\rangle_B + \beta|1\rangle_B) + |\Phi^-\rangle_{CA}(\alpha|0\rangle_B - \beta|1\rangle_B) + |\Psi^+\rangle_{CA}(\alpha|1\rangle_B + \beta|0\rangle_B) + |\Psi^-\rangle_{CA}(\alpha|1\rangle_B - \beta|0\rangle_B) \right] $$

जब ऐलिस बेल माप करती है, तो प्रणाली 1/4 की संभावना के साथ इन चार पदों में से किसी एक में ढह जाती है।

यदि ऐलिस को $|\Phi^+\rangle$ मिलता है, तो बॉब की अवस्था $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle = |\phi\rangle$ हो जाती है, और स्थानांतरण पहले ही पूरा हो चुका है (यूनिटरी ऑपरेटर $I$)।
यदि उसे $|\Phi^-\rangle$ मिलता है, तो बॉब की अवस्था $\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle$ है। यदि बॉब पाउली $Z$ ऑपरेटर ($\sigma_z$) लागू करता है, तो यह $|\phi\rangle$ पर वापस आ जाता है।
यदि उसे $|\Psi^+\rangle$ मिलता है, तो बॉब की अवस्था $\alpha|1\rangle + \beta|0\rangle$ है। यदि बॉब पाउली $X$ ऑपरेटर ($\sigma_x$) लागू करता है, तो यह $|\phi\rangle$ पर वापस आ जाता है।
यदि उसे $|\Psi^-\rangle$ मिलता है, तो बॉब की अवस्था $\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle$ है। बॉब $Z$ लागू करके और फिर $X$ लागू करके ($XZ$ या $i\sigma_y$) इसे $|\phi\rangle$ पर वापस ला सकता है।

ऐलिस माप परिणाम (शास्त्रीय जानकारी के 2 बिट्स: 00, 01, 10, 11) को सामान्य संचार (टेलीफोन या इंटरनेट) के माध्यम से बॉब को संचारित करती है। चूंकि यह संचार प्रकाश की गति से अधिक नहीं होता है, यह सापेक्षता के सिद्धांत का खंडन नहीं करता है। बॉब प्राप्त 2 बिट्स के अनुसार उपयुक्त पाउली ऑपरेटर लागू करता है, और अज्ञात क्वांटम अवस्था $|\phi\rangle$ को शानदार ढंग से पुनर्स्थापित करता है। यह क्वांटम टेलीपोर्टेशन का पूर्ण प्रोटोकॉल है।

अध्याय 7: उलझाव का परिमाणीकरण (Quantification)

उलझाव केवल इस बारे में नहीं है कि यह “है” या “नहीं”, बल्कि यह निर्धारित करना भी संभव है कि “यह कितनी मजबूती से उलझा हुआ है।” क्वांटम सूचना सिद्धांत में, यह एक अत्यंत महत्वपूर्ण शोध विषय है।

1. वॉन न्यूमैन एंटैंगलमेंट एंट्रोपी

$$ S(\rho_A) = -\text{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A) $$

बेल अवस्था जैसी अधिकतम उलझी हुई अवस्था में, $\rho_A$ पूरी तरह से मिश्रित अवस्था (पहचान मैट्रिक्स के आनुपातिक) बन जाती है, और $S = 1$ (अधिकतम मान) लेती है। सहज रूप से कहें तो, यह उलझाव के सार को व्यक्त करता है: “संपूर्ण स्थिति पूरी तरह से ज्ञात है, लेकिन जब आप केवल भाग (प्रणाली ए) को देखते हैं, तो कोई जानकारी नहीं होती है (यह यादृच्छिक दिखता है)।”

2. कंकरेंस (Concurrence)

$$ C(\rho) = \max(0, \lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4) $$

$C(\rho)$ $0$ (कोई उलझाव नहीं) से $1$ (अधिकतम उलझाव) तक मान लेता है, और इसमें एक शक्तिशाली गणितीय गुण है कि इस मान का उपयोग सीधे दूसरे पैमाने की गणना करने के लिए किया जा सकता है जिसे “एंटैंगलमेंट ऑफ फॉर्मेशन” कहा जाता है।

3. नकारात्मकता (Negativity)

$$ \mathcal{N}(\rho) = \frac{||\rho^{T_B}||_1 - 1}{2} $$

यह नकारात्मक ईजेनवैल्यू के निरपेक्ष मानों के योग के बराबर है, और चूंकि गणना करना आसान है, यह उच्च-आयामी और बहु-निकाय प्रणालियों में उलझाव का अध्ययन करने के लिए एक अत्यंत उपयोगी संकेतक बन गया है।

अध्याय 8: प्रायोगिक सत्यापन और खामियों (Loophole) का पूर्ण रूप से बंद होना

सिद्धांत पूरा हो गया है, और अनुप्रयोग दृष्टिगोचर हो रहे हैं। बस यह जानना बाकी है कि वास्तव में प्रकृति किन नियमों का पालन करती है, और प्रयोगशाला में इसका परीक्षण करना है।

एलेन एस्पेक्ट का स्विच प्रयोग (1982)

ऐलिस और बॉब द्वारा अपने मापक यंत्रों के कोण तय करने के बाद, इस संभावना को बाहर रखा जाना चाहिए कि जानकारी प्रकाश की गति से नीचे की गति से दूसरे पक्ष तक प्रेषित होती है और “छिपे हुए चरों” को प्रभावित करती है। इसे “स्थानिकता की खामी (Locality Loophole)” कहा जाता है। फ्रांस के एलेन एस्पेक्ट और उनकी टीम ने एक एकोस्टो-ऑप्टिक (acousto-optic) मॉड्यूलेटर का उपयोग करके अल्ट्रा-हाई स्पीड पर मापक यंत्रों की कोण सेटिंग्स को बेतरतीब ढंग से स्विच करने के प्रयोग में सफलता प्राप्त की, जब फोटॉन प्रकाश स्रोत से मापक यंत्र की ओर उड़ रहे थे। इससे एक ऐसी स्थिति (स्थानिक अलगाव) पैदा हो गई जहाँ प्रकाश की गति के संकेतों से भी जानकारी प्रसारित नहीं की जा सकती थी, और असमानता के उल्लंघन को सफलतापूर्वक देखा गया। आइंस्टीन की “दूरी पर डरावनी क्रिया” एक वास्तविकता बन गई।

अंतिम चुनौती: पूर्ण Loophole-free प्रयोग (2015)

एस्पेक्ट के प्रयोग के बाद भी, थोड़ी सी गुंजाइश बाकी थी, जैसे कि कम पहचान दक्षता (एक “पता लगाने की खामी / Fair-sampling Loophole” जो मानती है कि जिन फोटॉनों को मापा नहीं जा सका, उनके पास सुविधाजनक छिपे हुए चर थे)। हालाँकि, 2015 में, नीदरलैंड्स में डेल्फ़्ट यूनिवर्सिटी ऑफ़ टेक्नोलॉजी, ऑस्ट्रिया में वियना विश्वविद्यालय, और यूएसए में NIST जैसे कई शोध समूहों ने अंततः एक “Loophole-free Bell test” में सफलता प्राप्त की जिसने सभी प्रमुख खामियों को एक साथ बंद कर दिया। डेल्फ़्ट के प्रयोग में, 1.3 किलोमीटर दूर हीरे के NV केंद्रों में इलेक्ट्रॉन स्पिन को उलझाकर, उन्होंने स्थानिकता की खामी और पहचान की खामी को पूरी तरह से सील कर दिया, और स्थानीय यथार्थवाद के ताबूत में आखिरी कील ठोक दी।

निष्कर्ष: आइंस्टीन की हार द्वारा लाया गया प्रकाश

2022 में, भौतिकी का नोबेल पुरस्कार एलेन एस्पेक्ट, जॉन क्लॉसर और एंटोन ज़िलिंगर को प्रदान किया गया, जिन्होंने क्वांटम यांत्रिकी की नींव को निर्णायक रूप से स्थापित किया।

आइंस्टीन क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति और गैर-स्थानीयता से घृणा करते थे, और उन्होंने इसकी आलोचना करने के लिए ईपीआर पेपर लिखा था। लेकिन विडंबना यह है कि उनकी तीखी आलोचना ने “उलझाव” की अवधारणा को स्पष्ट रूप से उजागर किया, और बेल नाम की प्रतिभा के माध्यम से, इसने मानवता के लिए ब्रह्मांड के गैर-स्थानीय संबंध को सही मायने में समझने और इसे प्रौद्योगिकी के रूप में उपयोग करने का मार्ग प्रशस्त किया।

आइंस्टीन की “अंतिम हार” किसी भी तरह से भौतिकी का ठहराव नहीं था, बल्कि मानवता के लिए क्वांटम सूचना की पूरी तरह से नई ब्रह्मांडीय भाषा प्राप्त करने की एक महान सुबह थी।

लेखक: क्वांटम सूचना विज्ञान और प्रौद्योगिकी लेखक यह लेख एक अकादमिक स्पष्टीकरण है जो क्वांटम यांत्रिकी की मूल बातों से लेकर अत्याधुनिक क्वांटम सूचना प्रौद्योगिकी तक सब कुछ कवर करता है।