अध्याय 1: क्लासिकल ब्लैक होल और “नो-हेयर थ्योरम”
रात के आसमान में चमकने वाले अनगिनत तारों के पीछे, ब्लैक होल जैसे अंधेरे खगोलीय पिंड छिपे होते हैं, जिनसे प्रकाश भी बचकर नहीं निकल सकता। 1915 में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा प्रस्तुत सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत (General Relativity) ने गुरुत्वाकर्षण को “स्पेस-टाइम की वक्रता” के रूप में वर्णित किया, जिसने भौतिकी के इतिहास में सबसे सुंदर पैराडाइम शिफ्ट (paradigm shift) ला दिया। इसके तुरंत बाद, 1916 में, कार्ल श्वार्जचाइल्ड ने एक सटीक समाधान (श्वार्जचाइल्ड समाधान) खोजा, जिसने दिखाया कि गोलाकार सममित द्रव्यमान वितरण अपने आस-पास के स्पेस-टाइम को कैसे विकृत करता है। यह ब्लैक होल की अवधारणा की गणितीय शुरुआत थी।
क्लासिकल सामान्य सापेक्षता के ढांचे में, ब्लैक होल आश्चर्यजनक रूप से “सरल” इकाइयां हैं। जब किसी तारे का जीवन समाप्त होता है और वह अपने ही गुरुत्वाकर्षण के कारण ढह जाता है, तो यह प्रक्रिया अत्यंत जटिल होती है। मूल तारे के पास प्रचुर मात्रा में जानकारी (स्वतंत्रता की कोटियां या degrees of freedom) होती है, जैसे कि रासायनिक संरचना, चुंबकीय क्षेत्र की संरचना, और आकार की विषमता। हालाँकि, एक बार घटना क्षितिज (Event Horizon) बन जाने के बाद, यह सारी जटिल जानकारी या तो क्षितिज के भीतर छिप जाती है या गुरुत्वीय तरंगों के रूप में बाहर विकिरित हो जाती है।
इस आश्चर्यजनक गुण को जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर द्वारा गढ़े गए प्रसिद्ध वाक्यांश “ब्लैक होल में बाल नहीं होते” (Black holes have no hair) के माध्यम से व्यक्त किया गया था, जिसे “नो-हेयर थ्योरम” (No-Hair Theorem) के रूप में जाना जाता है। इस प्रमेय के अनुसार, एक स्थिर अवस्था में पहुंचने वाला ब्लैक होल पूरी तरह से केवल तीन भौतिक मात्राओं द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
- द्रव्यमान (Mass, $M$)
- विद्युत आवेश (Electric Charge, $Q$)
- कोणीय संवेग (Angular Momentum, $J$)
श्वार्जचाइल्ड समाधान सबसे सरल ब्लैक होल है जिसमें केवल द्रव्यमान होता है; केर (Kerr) समाधान एक घूर्णन करने वाला ब्लैक होल है जिसमें द्रव्यमान और कोणीय संवेग दोनों होते हैं; रीस्नर-नॉर्डस्ट्रॉम (Reissner-Nordström) समाधान में द्रव्यमान और विद्युत आवेश होता है; और केर-न्यूमैन (Kerr-Newman) समाधान सबसे सामान्य समाधान है जिसमें ये तीनों विशेषताएं मौजूद हैं। चाहे कोई भी जटिल पदार्थ (लोहे का टुकड़ा, एंटीमैटर, या विश्वकोशों का पहाड़) ब्लैक होल का निर्माण करे, बाहर से केवल ये तीन पैरामीटर ही देखे जा सकते हैं।
हालाँकि, इस अत्यधिक सरलता ने भौतिकी के एक और प्रमुख स्तंभ, “ऊष्मागतिकी” (Thermodynamics), विशेष रूप से “ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम” के साथ एक गंभीर विरोधाभास पैदा कर दिया। ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम यह निर्धारित करता है कि “एक पृथक प्रणाली की एन्ट्रापी (entropy) कभी कम नहीं हो सकती।” एन्ट्रापी किसी प्रणाली की सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या, यानी “सूचना की अव्यवस्था” का माप है।
यदि ब्लैक होल एक “बाल-रहित” (no-hair) इकाई है जिसे पूरी तरह से केवल उपरोक्त तीन मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो इसकी सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या केवल एक होगी (जिसका अर्थ है कि एन्ट्रापी शून्य है)। यह एक बड़ी समस्या है। मान लीजिए कि हम भारी मात्रा में एन्ट्रापी वाली गर्म गैस या जटिल संरचना वाले पदार्थ को ब्लैक होल में फेंकते हैं। ब्लैक होल द्वारा इसे निगल लेने के बाद, बाहरी ब्रह्मांड से उस पदार्थ की एन्ट्रापी पूरी तरह से नष्ट हो जाएगी। यदि ब्लैक होल की अपनी एन्ट्रापी शून्य है, तो पूरे ब्रह्मांड की एन्ट्रापी कम हो जाएगी, जिससे ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम टूट जाएगा।
“ब्लैक होल ब्रह्मांड का कूड़ेदान नहीं है।” भौतिकी के इस संकट को सुलझाने के लिए, गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत, ऊष्मागतिकी और क्वांटम यांत्रिकी के एकीकरण के एक अभूतपूर्व क्षेत्र में कदम रखना आवश्यक था। क्या घटना क्षितिज की पूर्ण दीवार वास्तव में सब कुछ शून्य में बदल देती है? या ब्लैक होल में कोई “छिपी हुई एन्ट्रापी” मौजूद है जिसके बारे में हम अभी तक नहीं जानते हैं? अगले अध्याय में, हम एक युवा भौतिक विज्ञानी के अभूतपूर्व विचार को देखेंगे जिसने इस रहस्य को चुनौती दी।
अध्याय 2: बेकेनस्टीन-हॉकिंग सूत्र
इस गंभीर विरोधाभास के जवाब में कि ब्लैक होल ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करता है, 1972 में प्रिंसटन विश्वविद्यालय के एक स्नातक छात्र, जैकब बेकेनस्टीन ने एक साहसिक और सहज परिकल्पना प्रस्तुत की। उन्होंने स्टीफन हॉकिंग द्वारा सिद्ध किए गए “ब्लैक होल के क्षेत्रफल प्रमेय” (Area Theorem - ब्लैक होल के घटना क्षितिज का क्षेत्रफल कभी कम नहीं होता) पर ध्यान केंद्रित किया।
एन्ट्रापी भी कभी कम नहीं होती। ब्लैक होल का क्षेत्रफल भी कभी कम नहीं होता। क्या इन दोनों के बीच की समानता महज़ एक संयोग थी? बेकेनस्टीन ने तर्क दिया कि “ब्लैक होल के घटना क्षितिज का क्षेत्रफल ही ब्लैक होल की एन्ट्रापी है।” जब पदार्थ ब्लैक होल में गिरता है, तो ब्लैक होल का द्रव्यमान बढ़ जाता है, और इसके साथ ही घटना क्षितिज का क्षेत्रफल भी बढ़ जाता है। पदार्थ की एन्ट्रापी नष्ट नहीं होती है, बल्कि ब्लैक होल के क्षेत्रफल में वृद्धि के रूप में संरक्षित होती है, और इस प्रकार ऊष्मागतिकी का सामान्यीकृत दूसरा नियम (ब्रह्मांड की एन्ट्रापी + ब्लैक होल की एन्ट्रापी का योग कम नहीं होता) मान्य होता है।
इस अभूतपूर्व विचार को बाद में हॉकिंग के क्वांटम यांत्रिक विश्लेषण द्वारा समर्थन मिला और यह “बेकेनस्टीन-हॉकिंग एन्ट्रापी सूत्र” के रूप में फलित हुआ।
$$ S_{BH} = \frac{k_B c^3}{4 G \hbar} A $$यहाँ, $S_{BH}$ ब्लैक होल की एन्ट्रापी है, और $A$ घटना क्षितिज का सतह क्षेत्रफल है। आनुपातिकता स्थिरांक में भौतिकी के सभी मूलभूत स्थिरांक एक साथ आते हैं: बोल्ट्जमैन स्थिरांक $k_B$, प्रकाश की गति $c$, न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $G$, और डिराक स्थिरांक $\hbar$ (प्लैंक स्थिरांक को $2\pi$ से विभाजित किया गया)। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि यह सूत्र “क्वांटम गुरुत्व सिद्धांत” (Quantum Gravity) का एक मील का पत्थर है जहाँ ऊष्मागतिकी ($k_B$), सापेक्षता ($c, G$) और क्वांटम यांत्रिकी ($\hbar$) प्रतिच्छेद करते हैं।
इस सूत्र का अर्थ अत्यंत गहरा है। एन्ट्रापी सूचना की मात्रा के बराबर है। सामान्यतः, पदार्थ की एन्ट्रापी उसके आयतन (3-आयामी अंतरिक्ष) के अनुपात में बढ़ती है (उदाहरण के लिए: गैस बनाने वाले अणुओं की संख्या)। हालाँकि, ब्लैक होल की एन्ट्रापी आयतन के नहीं बल्कि “क्षेत्रफल (2-आयामी)” के समानुपाती होती है। प्लैंक लंबाई $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$ का उपयोग करके सूत्र को फिर से लिखने पर, यह इस प्रकार हो जाता है:
$$ S_{BH} = k_B \frac{A}{4 l_p^2} $$इसका अर्थ है कि यदि घटना क्षितिज को सूक्ष्म वर्गाकार टाइलों से ढक दिया जाए, जिनमें से प्रत्येक की एक भुजा प्लैंक लंबाई (लगभग $1.6 \times 10^{-35}$ मीटर) के बराबर हो, तो प्रत्येक 4 टाइलों (4 प्लैंक क्षेत्र) के लिए 1 बिट सूचना (एन्ट्रापी) संग्रहीत होती है। ब्लैक होल में गिरने वाले पदार्थ की 3-आयामी जानकारी 2-आयामी घटना क्षितिज पर पूरी तरह से “होलोग्राम” की तरह दर्ज हो जाती है। यह चौंकाने वाला तथ्य बाद में “होलोग्राफिक सिद्धांत” की ओर ले जाने वाला सबसे महत्वपूर्ण पूर्वाभास बन जाता है।
हालाँकि, एन्ट्रापी के अस्तित्व का अर्थ ऊष्मागतिकी के मूलभूत संबंधों से अनिवार्य रूप से यह है कि ब्लैक होल का एक “तापमान” होना चाहिए। ऊष्मागतिकी के पहले नियम $dE = T dS$ में ब्लैक होल की द्रव्यमान ऊर्जा $E = Mc^2$ और बेकेनस्टीन की एन्ट्रापी को प्रतिस्थापित करने पर, यह प्राप्त होता है कि ब्लैक होल का तापमान $T$ “सतह गुरुत्वाकर्षण (surface gravity) $\kappa$” के समानुपाती होता है।
शुरुआत में, हॉकिंग सहित कई भौतिकविदों का मानना था कि “चूँकि ब्लैक होल सब कुछ सोख लेता है और कुछ भी उत्सर्जित नहीं करता है, इसलिए इसका तापमान परम शून्य होना चाहिए,” और वे बेकेनस्टीन की परिकल्पना के प्रति संशय में थे। जिस वस्तु का तापमान होता है, उसे तापीय विकिरण (ब्लैक-बॉडी विकिरण) उत्सर्जित करना चाहिए। क्या यह संभव है कि ब्लैक होल प्रकाश उत्सर्जित कर सके?
बेकेनस्टीन को गलत साबित करने के प्रयास में, हॉकिंग ने ब्लैक होल पर घुमावदार स्पेस-टाइम (curved spacetime) में क्वांटम फील्ड थ्योरी को लागू करने की गणनाओं में खुद को डुबो दिया। लेकिन जिस परिणाम पर वे पहुंचे, उसने उनकी अपनी उम्मीदों को पूरी तरह से पलट दिया; यह भौतिकी के इतिहास की सबसे सुंदर खोजों में से एक थी। ब्लैक होल वास्तव में क्वांटम यांत्रिक प्रभावों के कारण चमक रहा था।
अध्याय 3: हॉकिंग विकिरण की खोज
1974 में, स्टीफन हॉकिंग ने एक चौंकाने वाला शोध पत्र प्रकाशित किया जिसका शीर्षक था “ब्लैक होल पूरी तरह से काले नहीं होते हैं।” उन्होंने सैद्धांतिक रूप से यह निष्कर्ष निकाला कि घटना क्षितिज, जिससे शास्त्रीय रूप से कुछ भी बच नहीं सकता, क्वांटम यांत्रिक टनलिंग प्रभाव के माध्यम से कणों का उत्सर्जन करता है। इस घटना को “हॉकिंग विकिरण” (Hawking Radiation) कहा जाता है।
इस घटना को समझने के लिए, “शून्य” (vacuum) के बारे में क्वांटम यांत्रिक दृष्टिकोण में बदलाव की आवश्यकता है। क्वांटम फील्ड थ्योरी के अनुसार, निर्वात “खाली स्थान” नहीं है, बल्कि “क्वांटम उतार-चढ़ाव” (quantum fluctuations) का एक समुद्र है, जहाँ कण और प्रतिकण (आभासी कण) जोड़े लगातार बनते हैं और एक-दूसरे को नष्ट (annihilate) कर देते हैं। आमतौर पर, इन आभासी कणों के जोड़े तुरंत नष्ट हो जाते हैं, इसलिए उन्हें सीधे तौर पर नहीं देखा जा सकता।
हालाँकि, जब यह युग्म-निर्माण ब्लैक होल के बहुत करीब, घटना क्षितिज के ठीक बाहर होता है, तो एक नाटकीय स्थिति उत्पन्न होती है। घटना क्षितिज के निकट तीव्र ज्वारीय बलों (गुरुत्वाकर्षण प्रवणता) के कारण उत्पन्न कण जोड़े अलग हो जाते हैं। यह संभव है कि एक कण घटना क्षितिज को पार कर ब्लैक होल के अंदर गिर जाए, और दूसरा कण बाहरी ब्रह्मांड में भाग जाए।
बाहरी पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, ऐसा प्रतीत होता है मानो कण ब्लैक होल से बाहर निकल रहे हों। यही हॉकिंग विकिरण है। तो, ऊर्जा संरक्षण के नियम का क्या होता है? बचकर निकलने वाले कण में धनात्मक ऊर्जा होती है और वह एक वास्तविक कण बन जाता है। ऊर्जा के संरक्षण के लिए, ब्लैक होल में गिरने वाले कण में “ऋणात्मक ऊर्जा” (negative energy) होनी चाहिए। ऋणात्मक ऊर्जा को अवशोषित करने वाला ब्लैक होल अपना द्रव्यमान (यानी ऊर्जा) खो देता है। दूसरे शब्दों में, विकिरण उत्सर्जित करके ब्लैक होल धीरे-धीरे वाष्पित (evaporate) हो जाता है।
हॉकिंग ने स्पेस-टाइम ज्यामिति और क्वांटम फील्ड थ्योरी को संयोजित करने वाली एक उन्नत गणितीय तकनीक (बोगोलीबोव ट्रांसफॉर्मेशन - Bogoliubov transformation) का उपयोग करके इस विकिरण के स्पेक्ट्रम की कड़ाई से गणना की। उन्होंने समतल स्पेस-टाइम में अतीत के अनंत ($\mathscr{I}^-$) पर निर्वात अवस्था (vacuum state) को परिभाषित किया, और फिर विश्लेषण किया कि तारे के ढहने से बनने वाले ब्लैक होल के स्पेस-टाइम के माध्यम से फैलने के बाद भविष्य के अनंत ($\mathscr{I}^+$) में यह किस कण अवस्था के रूप में देखा जाएगा।
जब पिछली निर्वात अवस्था $|0\rangle_{in}$ को भविष्य के कण निर्माण और विनाश ऑपरेटरों (creation and annihilation operators) का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है, तो इसे बोगोलीबोव गुणांक (Bogoliubov coefficients) $\alpha, \beta$ का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। हॉकिंग की गणना का मूल यह दिखाना था कि ढहते हुए तारे की सतह से गुजरने वाले और भविष्य के अनंत तक पहुँचने वाले प्रकाश के चरण (phase) में घटना क्षितिज के निर्माण के कारण लॉगरिदमिक देरी (रेडशिफ्ट) होती है। यह ज्यामितीय रेडशिफ्ट ही बोगोलीबोव गुणांक $\beta$ (कण निर्माण के लिए जिम्मेदार गुणांक) को गैर-शून्य बनाता है और थर्मल स्पेक्ट्रम उत्पन्न करने का निर्णायक कारक है।
परिणामी विकिरण, आश्चर्यजनक रूप से, एक आदर्श ब्लैक-बॉडी विकिरण के प्लैंक स्पेक्ट्रम से पूरी तरह मेल खाता था। इसका तापमान (हॉकिंग तापमान $T_H$) निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B} $$यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि हॉकिंग तापमान ब्लैक होल के द्रव्यमान $M$ के “व्युत्क्रमानुपाती” (inversely proportional) होता है। इसका अर्थ यह है कि जैसे-जैसे ब्लैक होल द्रव्यमान खोता है और छोटा होता जाता है, उसका तापमान बढ़ता है, और वह अधिक तीव्रता से विकिरण करता है (अर्थात, इसकी विशिष्ट ऊष्मा ऋणात्मक होती है)।
एक सौर द्रव्यमान वाले ब्लैक होल के लिए, हॉकिंग तापमान लगभग $6 \times 10^{-8}$ केल्विन होता है, जो कि वर्तमान कॉस्मिक बैकग्राउंड रेडिएशन (लगभग 2.7 केल्विन) से बहुत कम है, जिससे इस विकिरण का निरीक्षण करना व्यावहारिक रूप से असंभव हो जाता है। हालाँकि, जैसे-जैसे द्रव्यमान कम होता है, तापमान में तेज़ी से वृद्धि होती है। ब्लैक होल के पूरी तरह से वाष्पित होने तक का जीवनकाल (वाष्पीकरण समय) उसके द्रव्यमान के घन (cube) के समानुपाती होता है, $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$। एक सौर द्रव्यमान वाले ब्लैक होल को वाष्पित होने में $10^{67}$ वर्ष लगेंगे, जो अकल्पनीय रूप से लंबा समय है, लेकिन एक सूक्ष्म (microscopic) ब्लैक होल अंततः भारी मात्रा में ऊर्जा जारी करेगा और विस्फोटक रूप से गायब हो जाएगा।
हॉकिंग विकिरण की खोज ने ब्लैक होल ऊष्मागतिकी को पूर्ण किया और यह सैद्धांतिक भौतिकी में एक मील का पत्थर बन गई। लेकिन साथ ही, इसने भौतिकी की नींव को हिला देने वाले सबसे गहरे और सबसे पेचीदा विरोधाभास का पेंडोरा बॉक्स खोल दिया। यही “ब्लैक होल सूचना हानि विरोधाभास” (Black Hole Information Paradox) है।
अध्याय 4: सूचना हानि विरोधाभास का प्रकोप
हॉकिंग विकिरण ने भविष्यवाणी की कि ब्लैक होल अंततः वाष्पित हो जाएंगे और गायब हो जाएंगे। यहीं से आधुनिक भौतिकी के सबसे बड़े रहस्यों में से एक, “सूचना हानि विरोधाभास” (Information Paradox) उभरता है।
क्वांटम यांत्रिकी के सबसे मौलिक और पवित्र सिद्धांतों में से एक “यूनिटेरिटी” (Unitarity) है। यह वह सिद्धांत है जिसके अनुसार जब कोई प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, तो सभी संभावनाओं का योग हमेशा 1 बना रहता है, और जानकारी नियतात्मक रूप से अतीत से भविष्य और भविष्य से अतीत तक संरक्षित रहती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप किसी दिए गए समय पर किसी प्रणाली की संपूर्ण जानकारी (शुद्ध अवस्था - pure state) जानते हैं, तो श्रोडिंगर समीकरण (या इसके विस्तारित समीकरणों) को हल करके आप अतीत या भविष्य में किसी भी समय स्थिति की पूरी तरह से भविष्यवाणी या पुनर्निर्माण कर सकते हैं; यह भौतिक नियमों की प्रतिवर्तीता (reversibility) की गारंटी है।
अब, आइए इस सिद्धांत को ब्लैक होल के निर्माण और वाष्पीकरण की प्रक्रिया पर लागू करें। मान लें कि कोई पदार्थ शुद्ध अवस्था (pure state) में है (उदाहरण के लिए, कणों का एक समूह जो विशिष्ट क्वांटम अवस्था में सटीक रूप से तैयार किया गया हो, या कोई विश्वकोश) जो गुरुत्वाकर्षण के कारण ढहकर ब्लैक होल बनाता है। इस बिंदु पर, सारी जानकारी ब्लैक होल के अंदर मौजूद होती है।
इसके बाद, हॉकिंग विकिरण शुरू होता है। हॉकिंग की गणनाओं के अनुसार, घटना क्षितिज पर उत्पन्न होने वाला विकिरण “पूर्ण तापीय विकिरण” (perfect thermal radiation) है। तापीय विकिरण का स्पेक्ट्रम पूरी तरह से तापमान (ब्लैक होल का द्रव्यमान, आवेश, कोणीय संवेग) से निर्धारित होता है, और उत्सर्जित कणों के बीच कोई क्वांटम सहसंबंध (एन्टैंगलमेंट) नहीं होता है। इसमें इस बात की कोई “जानकारी” नहीं होती है कि ब्लैक होल में मूल रूप से कौन सा पदार्थ गिरा था। यदि आप किसी विश्वकोश को जलाकर राख और धुएं में बदल देते हैं, तो सिद्धांत रूप में राख और धुएं की गतिविधियों को मापकर मूल पाठ को फिर से बनाना संभव है। लेकिन हॉकिंग ने तर्क दिया कि हॉकिंग विकिरण “सही मायने में यादृच्छिक” (truly random) है।
और अंततः, ब्लैक होल पूरी तरह से वाष्पित हो जाता है और गायब हो जाता है। जो पीछे बचता है वह केवल थर्मल विकिरण (मिश्रित अवस्था - mixed state) है जिसमें कोई जानकारी नहीं होती है। ब्रह्मांड, जिसे शुद्ध अवस्था में होना चाहिए था, एक बिना सूचना वाली मिश्रित अवस्था में बदल गया है। मूल पदार्थ की भारी जानकारी ब्रह्मांड से ब्लैक होल के साथ हमेशा के लिए गायब हो गई।
इसका मतलब क्वांटम यांत्रिकी की यूनिटेरिटी का टूटना है। क्वांटम यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता के बीच इस टकराव को लेकर भौतिक विज्ञानी गुटों में बंट गए और एक भयंकर बहस छिड़ गई। इसे ही दुनिया “ब्लैक होल वार्स” (The Black Hole War) के नाम से जानती है।
एक पक्ष के अगुआ खुद स्टीफन हॉकिंग थे। उन्होंने तर्क दिया कि “ब्लैक होल में, क्वांटम यांत्रिकी के नियम टूट जाते हैं, और जानकारी वास्तव में खो जाती है।” उन्होंने किप थोर्न (Kip Thorne) के साथ मिलकर जॉन प्रेस्किल (John Preskill) से यह शर्त लगाई कि “जानकारी खो जाती है।”
लियोनार्ड सस्किंड (Leonard Susskind) और जेरार्ड ‘टी हूफ्ट (Gerard ’t Hooft) जैसे कण भौतिकविदों ने इसका कड़ा विरोध किया। “यदि जानकारी खो जाती है, तो ऊर्जा संरक्षण का नियम भी टूट जाएगा, और आधुनिक भौतिकी की पूरी नींव ढह जाएगी।” उन्हें यकीन था कि जब ब्लैक होल वाष्पित होता है, तो कोई अज्ञात तंत्र (mechanism) हॉकिंग विकिरण में जानकारी को एन्क्रिप्ट करता है और उसे बाहर ले जाता है।
हालाँकि, हॉकिंग की गणनाएँ ठोस प्रतीत होती थीं। एक बार जब कोई जानकारी घटना क्षितिज को पार कर लेती है, तो वह प्रकाश की गति को पार किए बिना बाहर नहीं निकल सकती। घटना क्षितिज के अंदर और बाहर कारण-संबंध (causality) से अलग हो जाते हैं, और सामान्य सापेक्षता (स्थानीयता - locality) यह अनुमति नहीं देती है कि जानकारी बाहर निकल सके। यदि हम सूचना के संरक्षण (क्वांटम यांत्रिकी) की रक्षा करने की कोशिश करते हैं, तो कार्य-कारण संबंध (सापेक्षता) टूट जाता है, और यदि हम कार्य-कारण संबंध की रक्षा करते हैं, तो सूचना खो जाती है। इस दुविधा को हल करने के लिए, स्पेस-टाइम की अवधारणा को मूल रूप से बदलने की आवश्यकता थी।
सस्किंड और उनके सहयोगियों ने क्वांटम एन्टैंगलमेंट और स्ट्रिंग थ्योरी (String Theory) को हथियार बनाकर इस अभेद्य विरोधाभास को चुनौती दी। अगले अध्याय में, आइए जानकारी की रक्षा के लिए “ब्लैक होल पूरकता” (Black Hole Complementarity) नामक नाटकीय सैद्धांतिक छलांग, और इससे उत्पन्न होने वाले “फ़ायरवॉल समस्या” (Firewall Problem) के नए विवाद के बारे में गहराई से जानें।
अध्याय 5: ब्लैक होल पूरकता और फ़ायरवॉल समस्या
सस्किंड और उनके सहयोगी, जो सूचना के संरक्षण के प्रति आश्वस्त थे, ने घटना क्षितिज के विरोधाभास को हल करने के लिए 1993 में नील्स बोह्र के पूरकता सिद्धांत से प्रेरित होकर “ब्लैक होल पूरकता” (Black Hole Complementarity) की अभूतपूर्व अवधारणा का प्रस्ताव रखा।
विरोधाभास का मूल कारण यह था कि यदि “जानकारी का ब्लैक होल के अंदर गिरना” और “हॉकिंग विकिरण के रूप में जानकारी का बाहर निकलना” दोनों एक साथ होते हैं, तो जानकारी की “कॉपी” (प्रतिलिपि) बन जाएगी, जो कि क्वांटम नो-क्लोनिंग थ्योरम (Quantum no-cloning theorem) का उल्लंघन है।
ब्लैक होल पूरकता का तर्क निम्नलिखित है: बाहर रहने वाले एक पर्यवेक्षक (एलिस) के दृष्टिकोण से, घटना क्षितिज के पास स्थित एक गर्म झिल्ली (स्ट्रेच्ड होराइजन - stretched horizon) पर गिरने वाला पदार्थ जलकर भस्म हो जाता है, और उसकी जानकारी हॉकिंग विकिरण के माध्यम से लंबे समय के बाद बाहर लौट आती है। दूसरी ओर, ब्लैक होल में स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पर्यवेक्षक (बॉब) के लिए, घटना क्षितिज मात्र अंतरिक्ष का एक सामान्य पारगमन बिंदु है, और वह अपनी जानकारी के साथ बिना किसी नुकसान के अंदर गिरता चला जाता है।
पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि जानकारी दो भागों में विभाजित हो गई है। लेकिन सस्किंड ने तर्क दिया कि चूँकि “एलिस और बॉब के लिए एक-दूसरे के साथ संवाद करना और परिणामों की तुलना करना सैद्धांतिक रूप से असंभव है,” इसलिए कोई विरोधाभास उत्पन्न नहीं होता। एक ही भौतिक घटना के दो अलग-अलग, लेकिन पूरक विवरण (complementary descriptions) मौजूद हैं, और पूरे ब्रह्मांड का वर्णन करने वाला कोई निरपेक्ष परिप्रेक्ष्य (“ईश्वर का दृष्टिकोण”) नहीं है। इसका मतलब यह था कि गुरुत्वाकर्षण और क्वांटम यांत्रिकी के प्रतिच्छेदन के चरम क्षेत्र में, स्पेस-टाइम की “स्थानीयता” (locality) का सामान्य ज्ञान ढह जाता है।
ऐसा लगा कि ब्लैक होल पूरकता ने विरोधाभास को हल कर दिया है। हालाँकि, 2012 में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सांता बारबरा के चार भौतिकविदों (अलम्हीरी, मैरोल्फ, पोलचिन्स्की, और सली: जिन्हें सामूहिक रूप से AMPS कहा जाता है) द्वारा प्रकाशित एक पेपर ने भौतिकी जगत में फिर से भूकंप ला दिया। यह “AMPS फ़ायरवॉल विरोधाभास” का आगमन था।
AMPS ने इस आधार पर ध्यान केंद्रित किया कि हॉकिंग विकिरण जानकारी बाहर लाता है (यूनिटेरिटी संरक्षित रहती है), और ब्लैक होल की आधी उम्र (पेज समय - Page time) बीत जाने के बाद उत्पन्न होने वाले क्वांटम एन्टैंगलमेंट के जटिल वितरण संबंधों का विश्लेषण किया।
जानकारी को बाहर लाने के लिए, नव उत्सर्जित हॉकिंग कणों (B) को अतीत में उत्सर्जित सभी हॉकिंग कणों (A) के समुच्चय के साथ दृढ़ता से एन्टैंगल्ड (क्वांटम उलझाव की स्थिति में) होना चाहिए। दूसरी ओर, घटना क्षितिज को बिना किसी नुकसान के पार करने (समतुल्यता सिद्धांत - Equivalence Principle को संरक्षित करने) के लिए, वैक्यूम उतार-चढ़ाव से उत्पन्न कण जोड़े—अर्थात्, बाहर जाने वाले कण (B) और अंदर गिरने वाले कण (C)—के बीच भी मजबूत एन्टैंगलमेंट होना चाहिए।
हालाँकि, क्वांटम यांत्रिकी में “एन्टैंगलमेंट मोनोगैमी” (Entanglement Monogamy) का एक सख्त नियम है। एक क्वांटम प्रणाली (B) के लिए एक ही समय में दो अन्य स्वतंत्र प्रणालियों (A और C) के साथ अधिकतम रूप से एन्टैंगल्ड होना असंभव है।
इस दुविधा को हल करने के लिए, किसी न किसी चीज का बलिदान देना ही होगा। AMPS ने यह निष्कर्ष निकाला कि यदि हम ब्लैक होल पूरकता को बनाए रखना चाहते हैं, तो हमारे पास B और C के बीच एन्टैंगलमेंट को तोड़ने के अलावा कोई विकल्प नहीं है। लेकिन B और C के एन्टैंगलमेंट को तोड़ने का मतलब है कि घटना क्षितिज पर अत्यधिक उच्च-ऊर्जा वाले कणों की एक दीवार, यानी “फ़ायरवॉल” (Firewall), का निर्माण होना।
यदि फ़ायरवॉल मौजूद है, तो घटना क्षितिज को पार करने की कोशिश करने वाला बॉब बिना खरोंच के गुजरने के बजाय इस उच्च-ऊर्जा की दीवार से टकराएगा और तुरंत जलकर खाक हो जाएगा। इसका अर्थ होगा आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के आधार, “समतुल्यता सिद्धांत” (कि स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पर्यवेक्षक को गुरुत्वाकर्षण का एहसास नहीं होता, अर्थात् घटना क्षितिज पर कुछ भी विशेष नहीं होता) का पूरी तरह से ढह जाना।
यदि आप जानकारी की रक्षा करने का प्रयास करते हैं, तो घटना क्षितिज एक आग की दीवार बन जाता है (समतुल्यता सिद्धांत का पतन)। यदि आप समतुल्यता सिद्धांत की रक्षा करते हैं, तो जानकारी खो जाती है या क्वांटम यांत्रिकी की नींव ढह जाती है। भौतिकविदों को पहले से कहीं अधिक गहरे और तीखे विरोधाभास का सामना करना पड़ा। इस हताश संकट से बचने की कुंजी “होलोग्राफिक सिद्धांत” और नवीनतम क्वांटम गुरुत्व सिद्धांत में छिपी थी, जिसने आयामों (dimensions) की दीवार को पार कर लिया।
अध्याय 6: होलोग्राफिक सिद्धांत, AdS/CFT पत्राचार, और आइलैंड सूत्र
फ़ायरवॉल विरोधाभास के कारण उत्पन्न भौतिकी के संकट को बचाने वाला निर्णायक प्रतिमान बदलाव (paradigm shift) “होलोग्राफिक सिद्धांत” (Holographic Principle) और इसका कड़ाई से गणितीय रूप “AdS/CFT पत्राचार” (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence) लाया।
होलोग्राफिक सिद्धांत 1993 में जेरार्ड ‘टी हूफ्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और 1995 में लियोनार्ड सस्किंड द्वारा इसे स्ट्रिंग थ्योरी के ढांचे में शामिल किया गया। जैसा कि अध्याय 2 में देखे गए बेकेनस्टीन-हॉकिंग सूत्र (कि एन्ट्रापी आयतन के नहीं बल्कि क्षेत्रफल के समानुपाती होती है) से संकेत मिलता है, यह सिद्धांत दावा करता है कि “किसी 3-आयामी स्थानिक क्षेत्र में होने वाली सभी भौतिक घटनाएं (गुरुत्वाकर्षण सहित) पूरी तरह से उस क्षेत्र को घेरने वाली 2-आयामी सीमा (boundary) पर मौजूद गैर-गुरुत्वाकर्षण भौतिक नियमों द्वारा वर्णित की जा सकती हैं।” हमारा 3-आयामी ब्रह्मांड बहुत दूर स्थित किसी 2-आयामी स्क्रीन पर प्रक्षेपित “होलोग्राम” का भ्रम मात्र हो सकता है।
1997 में, जुआन मालदासेना (Juan Maldacena) ने सुपरस्ट्रिंग थ्योरी का उपयोग करके पहला विशिष्ट मॉडल प्रस्तुत किया जिसमें यह होलोग्राफिक सिद्धांत कड़ाई से लागू होता है। यही “AdS/CFT पत्राचार” है। मालदासेना ने साबित कर दिया कि नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक वाले एंटी-डी सिटर स्पेस (AdS स्पेस) में क्वांटम गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत (सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत) गणितीय रूप से उस स्पेस के अनंत की सीमा पर परिभाषित गुरुत्वाकर्षण-मुक्त कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी (CFT) के पूरी तरह से समतुल्य (dual) है।
यह भौतिकी में एक चमत्कारी खोज थी। गुरुत्वाकर्षण सहित बल्क (आंतरिक स्थान) की भौतिकी, और बिना गुरुत्वाकर्षण के सीमा (CFT) की भौतिकी, पूरी तरह से अलग आयामों और नियमों वाले ये दो सिद्धांत वास्तव में एक ही भौतिक घटना के दो अलग-अलग अनुवाद मात्र थे। इस द्वैत शब्दकोश (holographic dictionary) का उपयोग करके, क्वांटम गुरुत्व की उन समस्याओं को जिन्हें हल करना निराशाजनक रूप से कठिन है, सीमा पर क्वांटम फील्ड थ्योरी की आसान समस्याओं में बदलकर हल करना संभव हो गया।
सूचना हानि विरोधाभास के संदर्भ में, AdS/CFT पत्राचार ने एक अत्यंत महत्वपूर्ण उत्तर प्रदान किया। चूँकि सीमा पर मौजूद CFT सामान्य क्वांटम यांत्रिकी का पालन करता है, यूनिटेरिटी (Unitarity) पूरी तरह से सुनिश्चित है (जानकारी कभी भी नष्ट नहीं होती है)। यदि AdS/CFT पत्राचार सही है, तो AdS अंतरिक्ष में ब्लैक होल के निर्माण और वाष्पीकरण की दोहरी प्रक्रिया को भी समग्र रूप से एकात्मक (unitary) होना चाहिए, और जानकारी निश्चित रूप से संरक्षित होनी चाहिए।
हालाँकि, भले ही यह सिद्ध हो गया कि “जानकारी संरक्षित है,” लेकिन “वास्तव में जानकारी को ब्लैक होल के अंदर से बाहरी हॉकिंग विकिरण में कैसे स्थानांतरित किया जाता है” की गतिशीलता (dynamics) का तंत्र अभी भी एक रहस्य था। इस प्रश्न की अंतिम सफलता 2019 में “आइलैंड सूत्र” (Island Formula) की खोज के साथ आई।
इसकी शुरुआत 1993 में डॉन पेज (Don Page) द्वारा प्रस्तुत “पेज कर्व” (Page Curve) की अवधारणा से हुई। पेज ने भविष्यवाणी की कि यदि जानकारी संरक्षित रहती है (यूनिटेरिटी बनी रहती है), तो हॉकिंग विकिरण की एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी समय के साथ कैसे बदलनी चाहिए। विकिरण के प्रारंभिक चरण में, उत्सर्जित कण ब्लैक होल के अंदर के कणों के साथ उलझे (entangled) होते हैं, इसलिए समग्र विकिरण की एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी समय के साथ लगातार बढ़ती है। हालाँकि, जब ब्लैक होल अपनी आधी उम्र (पेज टाइम) तक पहुँचता है, तो स्थिति नाटकीय रूप से उलट जाती है। नव उत्सर्जित कण अतीत में उत्सर्जित कणों के साथ उलझना शुरू कर देते हैं, और समग्र विकिरण की एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी कम होने लगती है। अंततः जब ब्लैक होल गायब हो जाएगा, तो सभी विकिरण शुद्ध अवस्था में लौट आएंगे, और एन्ट्रापी फिर से शून्य हो जाएगी। पहाड़ के आकार का यह वक्र ही पेज कर्व है।
दूसरी ओर, हॉकिंग की शास्त्रीय गणनाओं में (जहाँ जानकारी नष्ट हो जाती है), एन्ट्रापी हमेशा के लिए बढ़ती रहती है और कभी कम नहीं होती (हॉकिंग वक्र)।
2019 में, जेफ पेनिंगटन, अल्महीरी, महाजन, मालदासेना, और झाओ ने हॉकिंग विकिरण की एन्ट्रापी की पुनर्गणना करने के लिए स्ट्रिंग सिद्धांत से प्राप्त होलोग्राफिक एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी गणना पद्धति (क्वांटम चरम सतह - Quantum Extremal Surface का सूत्र, जो रयू-ताकायानागी सूत्र का सामान्यीकरण है) का उपयोग किया। नतीजतन, उन्होंने पाया कि एक निश्चित बिंदु (पेज टाइम) के बाद, एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी की गणना करने के लिए ज्यामितीय क्षेत्र असंतत (discontinuously) रूप से बदल जाता है।
उनके द्वारा निकाले गए सूत्र से पता चला कि हॉकिंग विकिरण की एन्ट्रापी की गणना करते समय, न केवल ब्लैक होल के बाहर के विकिरण, बल्कि घटना क्षितिज के “अंदर” एक विशिष्ट क्षेत्र (जिसे “आइलैंड” या Island कहा जाता है) के योगदान को भी जोड़ा जाना चाहिए।
आश्चर्यजनक रूप से, जब इस आइलैंड सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, तो पेज टाइम के बाद आइलैंड का योगदान हावी हो जाता है, और गणना के परिणाम उत्कृष्ट रूप से डॉन पेज के वक्र (Page curve) को पुनरुत्पादित करते हैं। दूसरे शब्दों में, हॉकिंग की गणना में जो कमी थी वह गुरुत्वाकर्षण का गैर-पर्टुरबेटिव क्वांटम प्रभाव (स्पेस-टाइम टोपोलॉजी में बदलाव जिसे प्रतिकृति वर्महोल - replica wormholes - कहा जाता है) था, और इसे शामिल करके यह साबित हो गया कि जानकारी निश्चित रूप से हॉकिंग विकिरण में एन्कोड होती है और बच निकलती है।
इससे भी अधिक चौंकाने वाला तथ्य यह है कि भले ही “आइलैंड” घटना क्षितिज के अंदर है, लेकिन इसकी जानकारी पूरी तरह से हॉकिंग विकिरण में मौजूद है। इसका अर्थ यह है कि ब्लैक होल का आंतरिक भाग वास्तव में हॉकिंग विकिरण के माध्यम से बाहर की ओर होलोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित (projected) हो रहा है। जैसा कि ER=EPR परिकल्पना (आइंस्टीन-रोसेन ब्रिज = वर्महोल, और आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन एन्टैंगलमेंट मूलतः एक ही हैं) इंगित करती है, क्वांटम एन्टैंगलमेंट ने स्पेस-टाइम का एक पुल (वर्महोल) बना दिया था, जो ब्लैक होल के आंतरिक भाग को बाहरी हॉकिंग विकिरण से जोड़ता था।
परिशिष्ट A: हॉकिंग विकिरण का बोगोलीबोव परिवर्तन और थर्मल स्पेक्ट्रम की सटीक व्युत्पत्ति
हॉकिंग विकिरण की गहरी प्रकृति को वास्तव में समझने के लिए, घुमावदार स्पेस-टाइम में क्वांटम फील्ड थ्योरी की गणितीय संरचना, विशेष रूप से “बोगोलीबोव ट्रांसफॉर्मेशन” (Bogoliubov Transformation) की विस्तृत व्युत्पत्ति प्रक्रिया को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। इस परिशिष्ट में, हम 1974 के स्टीफन हॉकिंग के ऐतिहासिक शोध पत्र में प्रस्तुत गणना के मुख्य भाग को यथासंभव सख्ती से और विस्तार से ट्रैक करेंगे।
1. सपाट स्पेस-टाइम और घुमावदार स्पेस-टाइम में “वैक्यूम” (शून्य) की परिभाषाओं में अंतर
क्वांटम फील्ड थ्योरी में, अदिश क्षेत्र (scalar field) $\phi(x)$ को निर्माण ऑपरेटर $\hat{a}^\dagger$ और विनाश ऑपरेटर $\hat{a}$ का उपयोग करके मोड विस्तार (mode expansion) के रूप में व्यक्त किया जाता है। समतल मिंकोवस्की स्पेस-टाइम में, क्षेत्र समीकरण (क्लेन-गॉर्डन समीकरण) $(\square + m^2)\phi = 0$ के समाधान को विमान तरंगों $e^{ikx}$ को आधार (basis) मानकर विस्तारित किया जाता है। सकारात्मक आवृत्ति मोड $f_k(x)$ और नकारात्मक आवृत्ति मोड $f_k^*(x)$ का उपयोग करते हुए, क्षेत्र को निम्नानुसार लिखा जाता है:
$$ \hat{\phi}(x) = \sum_k \left( \hat{a}_k f_k(x) + \hat{a}_k^\dagger f_k^*(x) \right) $$$$ \hat{a}_k |0\rangle = 0 \quad (\text{सभी } k \text{ के लिए}) $$हालाँकि, जब स्पेस-टाइम घुमावदार (वक्र) होता है (यानी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र मौजूद होता है), वैश्विक पॉइंकारे (Poincaré) समरूपता खो जाती है, इसलिए “सकारात्मक आवृत्ति मोड” को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए कोई सार्वभौमिक समय समन्वय (universal time coordinate) नहीं होता है। पर्यवेक्षक की गति की स्थिति और स्थान (स्पेस-टाइम की ज्यामिति) के आधार पर यह सापेक्ष हो जाता है कि किस मोड को “सकारात्मक” माना जाए।
2. अतीत के अनंत ($\mathscr{I}^-$) और भविष्य के अनंत ($\mathscr{I}^+$) पर मोड विस्तार
हॉकिंग ने उस गतिशील स्पेस-टाइम पर विचार किया जहाँ एक तारा अपने गुरुत्वाकर्षण के कारण ढह जाता है और ब्लैक होल बनाता है। इस स्पेस-टाइम में, ढहने से पहले एक सपाट स्पर्शोन्मुख क्षेत्र (flat asymptotic region) जिसे “अतीत का नल इन्फिनिटी (Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$)” कहा जाता है, और ब्लैक होल के बनने के बाद एक सपाट स्पर्शोन्मुख क्षेत्र जिसे “भविष्य का नल इन्फिनिटी (Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$)” कहा जाता है, मौजूद हैं।
अतीत के अनंत $\mathscr{I}^-$ पर मोड फ़ंक्शन को $f_k$, संबंधित ऑपरेटरों को $\hat{a}_k, \hat{a}_k^\dagger$, और पिछले पर्यवेक्षक द्वारा परिभाषित वैक्यूम को $|0_{in}\rangle$ मान लें। भविष्य के अनंत $\mathscr{I}^+$ पर मोड फ़ंक्शन को $p_j$, संबंधित ऑपरेटरों को $\hat{b}_j, \hat{b}_j^\dagger$, और भविष्य के पर्यवेक्षक द्वारा परिभाषित वैक्यूम को $|0_{out}\rangle$ मान लें।
चूँकि क्षेत्र $\hat{\phi}$ को किसी भी आधार का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है, इसलिए निम्नलिखित समीकरण सत्य है:
$$ \hat{\phi} = \sum_k \left( \hat{a}_k f_k + \hat{a}_k^\dagger f_k^* \right) = \sum_j \left( \hat{b}_j p_j + \hat{b}_j^\dagger p_j^* \right) $$3. बोगोलीबोव परिवर्तन और कण निर्माण
चूँकि दो अलग-अलग मोड कार्यों के सेट $f_k$ और $p_j$ एक पूर्ण प्रणाली (complete system) बनाते हैं, एक को दूसरे के रैखिक संयोजन (linear combination) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$$ p_j = \sum_k \left( \alpha_{jk} f_k + \beta_{jk} f_k^* \right) $$यह रैखिक परिवर्तन ही बोगोलीबोव परिवर्तन है, और विस्तार गुणांक $\alpha_{jk}$ और $\beta_{jk}$ को बोगोलीबोव गुणांक कहा जाता है। भविष्य के विनाश ऑपरेटर $\hat{b}_j$ को अतीत के ऑपरेटरों के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए इसका उपयोग करने पर:
$$ \hat{b}_j = \sum_k \left( \alpha_{jk}^* \hat{a}_k - \beta_{jk}^* \hat{a}_k^\dagger \right) $$यहाँ से एक महत्वपूर्ण तथ्य सामने आता है। मान लीजिए कि प्रारंभिक अवस्था पिछले वैक्यूम $|0_{in}\rangle$ थी (अर्थात, शुरुआत में बिल्कुल कोई कण मौजूद नहीं था)। इस अवस्था में, आइए भविष्य के पर्यवेक्षक द्वारा देखे गए तरंग संख्या $j$ वाले कणों के अपेक्षित मूल्य (अपेक्षा मूल्य - संख्या ऑपरेटर $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$ का अपेक्षित मूल्य) की गणना करें।
$$ \langle 0_{in} | \hat{N}_j | 0_{in} \rangle = \langle 0_{in} | \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j | 0_{in} \rangle = \sum_k |\beta_{jk}|^2 $$यदि $\beta_{jk} \neq 0$ है, तो भले ही प्रारंभिक अवस्था निर्वात थी, भविष्य का पर्यवेक्षक “कणों के मौजूद होने” का अवलोकन करेगा! स्पेस-टाइम की वक्रता में उतार-चढ़ाव (तारे का ढहना) ने $\beta_{jk}$ को गैर-शून्य बना दिया, और वैक्यूम से कण “उत्पन्न” (create) कर दिए।
4. घटना क्षितिज के कारण चरण (phase) में लॉगरिदमिक देरी (रेडशिफ्ट)
हॉकिंग की सबसे बड़ी उपलब्धि ज्यामितीय किरण अनुरेखण (ray tracing) के माध्यम से ब्लैक होल गठन स्पेस-टाइम में इस $\beta_{jk}$ की विशेष रूप से गणना करना था।
कल्पना करें कि अतीत के अनंत $\mathscr{I}^-$ से शुरू होने वाला एक वेव पैकेट ढहते हुए तारे से होकर गुजरता है और भविष्य के अनंत $\mathscr{I}^+$ तक पहुँचता है। घटना क्षितिज के निर्माण से ठीक पहले तारे से गुजरने वाली प्रकाश किरण (मोड) मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए अत्यधिक रेडशिफ्ट से गुजरती है।
ज्यामितीय गणनाओं के अनुसार, यह दिखाया गया है कि भविष्य की अनंतता तक पहुंचने वाले समय $u$ पर तरंग के चरण (phase) में लॉगरिदमिक देरी (logarithmic delay) होती है क्योंकि यह घटना क्षितिज के गठन के समय के करीब पहुंचती है। विशेष रूप से, अतीत के अनंत पर समय $v$ और भविष्य के अनंत पर समय $u$ के बीच, घटना क्षितिज के आसपास निम्नलिखित लॉगरिदमिक संबंध (रेचौधुरी समीकरण का परिणाम) लागू होता है:
$$ v \approx v_0 - C e^{-\kappa u} $$यहाँ, $v_0$ उस प्रकाश किरण के प्रस्थान का समय है जो घटना क्षितिज का निर्माण करती है, और $\kappa$ ब्लैक होल का सतह गुरुत्वाकर्षण (surface gravity) है। चरण में यह लॉगरिदमिक देरी $e^{-\kappa u}$ फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से निर्णायक रूप से $\beta_{jk}$ के कार्यात्मक रूप को नियंत्रित करती है।
5. प्लैंक स्पेक्ट्रम और हॉकिंग तापमान की व्युत्पत्ति
बोगोलीबोव गुणांक $\alpha_{jk}$ और $\beta_{jk}$ की गणना आंतरिक गुणनफल (क्लेन-गॉर्डन इनर प्रोडक्ट) का उपयोग करके की जाती है। उपरोक्त लॉगरिदमिक चरण देरी वाली तरंग का फूरियर ट्रांसफॉर्म लेकर और एकीकरण (गामा फ़ंक्शन और जटिल एकीकरण का उपयोग करके) करने पर, $\alpha_{jk}$ और $\beta_{jk}$ के निरपेक्ष मानों (absolute values) के बीच निम्नलिखित आश्चर्यजनक विश्लेषणात्मक संबंध प्राप्त होता है:
$$ |\alpha_{jk}| = e^{\frac{\pi \omega}{\kappa}} |\beta_{jk}| $$यहाँ, $\omega$ उत्सर्जित कण की ऊर्जा (कोणीय आवृत्ति) है। इसके अलावा, बोगोलीबोव परिवर्तन की सामान्यीकरण स्थिति (कम्यूटेशन संबंध के संरक्षण) से, $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$ लागू होता है। इन दोनों समीकरणों को एक साथ हल करके $|\beta_{jk}|^2$ का मान प्राप्त करने पर:
$$ |\beta_{jk}|^2 = \frac{1}{e^{\frac{2\pi \omega}{\kappa}} - 1} $$यह परिणाम आश्चर्यजनक है। बायां पक्ष निर्वात से उत्पन्न कणों की संख्या (अपेक्षित मूल्य) का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि दायां पक्ष बिल्कुल तापमान $T$ वाले ब्लैक-बॉडी से उत्सर्जित बोसोन कणों के तापीय वितरण (प्लैंक वितरण) के आकार का है!
प्लैंक वितरण का मानक रूप $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$ है। इसकी तुलना करने पर, ब्लैक होल का तापमान (हॉकिंग तापमान $T_H$) तुरंत प्राप्त किया जा सकता है:
$$ \frac{\hbar \omega}{k_B T_H} = \frac{2\pi \omega}{\kappa} \implies T_H = \frac{\hbar \kappa}{2\pi k_B} $$एक श्वार्जचाइल्ड ब्लैक होल के मामले में, सतह का गुरुत्वाकर्षण $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$ दिया गया है, इसलिए इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B} $$इस प्रकार हॉकिंग तापमान का सूत्र शानदार ढंग से व्युत्पन्न (derived) होता है। ब्लैक होल के घटना क्षितिज के कारण होने वाला अत्यधिक ज्यामितीय रेडशिफ्ट (लॉगरिदमिक चरण देरी) एक शुद्ध क्वांटम यांत्रिक प्रारंभिक अवस्था से पूरी तरह से तापीय मिश्रित अवस्था (प्लैंक वितरण) पैदा करता है—यही हॉकिंग की भयानक गणितीय अंतर्दृष्टि की पूरी तस्वीर है। यह आश्चर्यजनक गणना मानव बुद्धि का एक स्मारक है, जिसने सापेक्षता ($\kappa$), क्वांटम यांत्रिकी ($\hbar$), और ऊष्मागतिकी ($k_B$) को एक ही गणितीय सूत्र में एकीकृत किया है।
परिशिष्ट B: रयू-ताकायानागी सूत्र और होलोग्राफिक एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी की गहराई
सूचना हानि विरोधाभास के समाधान में “आइलैंड सूत्र” (Island Formula) की नींव, जिसने पेज कर्व (Page Curve) के पुनरुत्पादन को संभव बनाया, “रयू-ताकायानागी सूत्र” (Ryu-Takayanagi Formula) पर आधारित है, जो सुपरस्ट्रिंग थ्योरी और AdS/CFT पत्राचार से उत्पन्न हुआ। यह सूत्र आधुनिक भौतिकी के सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों में से एक है जो क्वांटम सूचना के एन्टैंगलमेंट को सीधे स्पेस-टाइम ज्यामिति (गुरुत्वाकर्षण) से जोड़ता है। यहाँ हम इसकी अवधारणाओं और गणितीय पृष्ठभूमि की विस्तार से व्याख्या करेंगे।
1. एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी का ज्यामितीयकरण
क्वांटम फील्ड थ्योरी में, स्थानिक क्षेत्र $A$ और उसके बाहरी क्षेत्र $B$ के बीच क्वांटम एन्टैंगलमेंट की डिग्री को मापने वाली मात्रा “एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी” (वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी) $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$ है। यहाँ, $\rho_A$ क्षेत्र $A$ का रिड्यूस्ड डेंसिटी मैट्रिक्स (reduced density matrix) है। हालाँकि, इंटरैक्टिंग निरंतर क्वांटम फील्ड थ्योरी में सीधे एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी की गणना करना बेहद मुश्किल है और अक्सर पराबैंगनी भिन्नता (ultraviolet divergences - अनंत) की कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है।
2006 में, शिन्सेई रयू (Shinsei Ryu) और तादाशी ताकायानागी (Tadashi Takayanagi) ने एक अभूतपूर्व अनुमान (सूत्र) का प्रस्ताव रखा कि AdS/CFT पत्राचार ढांचे का उपयोग करके, सीमा पर CFT में एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी की गणना ज्यामितीय रूप से बल्क (आंतरिक AdS स्पेस) में “न्यूनतम सतह के क्षेत्र” (area of a minimal surface) के रूप में की जा सकती है।
$$ S_A = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N^{(d+1)}} $$यहाँ:
- $S_A$ सीमा पर CFT में क्षेत्र $A$ की एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी है।
- $\gamma_A$ बल्क स्पेस में फैला $(d-1)$ आयामी न्यूनतम पृष्ठ (minimal surface - साबुन की फिल्म जैसी सतह) है। इस सतह की सीमा CFT पर क्षेत्र $A$ की सीमा $\partial A$ से मेल खानी चाहिए ($\partial \gamma_A = \partial A$)।
- $G_N^{(d+1)}$ बल्क स्पेस में $(d+1)$ आयामी न्यूटन का स्थिरांक है।
इस सूत्र के स्वरूप को देखकर कई पाठक अपना आश्चर्य नहीं छिपा पाएंगे। इस सूत्र की संरचना अध्याय 2 में चर्चा किए गए बेकेनस्टीन-हॉकिंग एन्ट्रापी सूत्र $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$ के बिल्कुल समान है! ब्लैक होल के घटना क्षितिज की थर्मोडायनामिक एन्ट्रापी, और वैक्यूम अवस्था में क्वांटम फ़ील्ड की एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी, होलोग्राफिक दृष्टिकोण के माध्यम से एक ज्यामितीय इकाई, यानी “क्षेत्रफल” के रूप में पूरी तरह से एकीकृत हो गई थीं।
2. न्यूनतम सतह और “प्रतिकृति वर्महोल” (Replica Wormholes)
रयू-ताकायानागी सूत्र शुरुआत में अंतर्ज्ञान और विभिन्न परिस्थितिजन्य साक्ष्यों पर आधारित एक “अनुमान” (conjecture) था, लेकिन बाद में आरोन वॉल, अलेक्जेंडर माल्डासेना और जुआन मालदासेना द्वारा क्वांटम ग्रेविटी पाथ इंटीग्रल्स का उपयोग करके “रेप्लिका ट्रिक” (Replica Trick) के गुरुत्वाकर्षण संस्करण (रेप्लिका वर्महोल) के माध्यम से इसे गणितीय रूप से सिद्ध किया गया।
रेप्लिका ट्रिक एक ऐसी तकनीक है जहां $\log \rho_A$ की प्रत्यक्ष गणना से बचने के लिए, $\rho_A$ की $n$ वीं घात के ट्रेस $\text{Tr}(\rho_A^n)$ की गणना की जाती है, और अंत में $n \to 1$ की सीमा (limit) ली जाती है।
$$ S_A = -\lim_{n \to 1} \frac{\partial}{\partial n} \text{Tr}(\rho_A^n) $$CFT में $\text{Tr}(\rho_A^n)$ की गणना करना मूल स्पेस-टाइम को क्षेत्र $A$ के साथ काटने, $n$ प्रतियां (प्रतिकृतियां) तैयार करने, और उन्हें एक साथ सिलकर बनाई गई एक जटिल कई-शीटेड रीमैन सतह (multiple Riemann surface) पर विभाजन फलन (partition function) की गणना करने से मेल खाता है। AdS/CFT पत्राचार के अनुसार, सीमा पर यह विभाजन फलन बल्क के गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत के विभाजन फलन (सैडल-पॉइंट मूल्यांकन - saddle-point evaluation) के बराबर होना चाहिए जो सीमा शर्तों को पूरा करता है।
मालदासेना और उनके सहयोगियों ने दिखाया कि बल्क के भीतर गुरुत्वाकर्षण पथ अभिन्न (gravity path integral) में, जब सीमा $n$ प्रतिकृति स्पेस-टाइम होती है, तो “वर्महोल (प्रतिकृति वर्महोल)” के समाधान प्रमुख हो जाते हैं जहां $n$ स्पेस-टाइम बल्क के अंदर एक दूसरे से जुड़ते हैं। और जब $n \to 1$ की सीमा ली जाती है, तो उन्होंने कठोरता से सिद्ध किया कि इस वर्महोल की ज्यामितीय प्रतिक्रिया वास्तव में रयू-ताकायानागी सूत्र के “न्यूनतम सतह $\gamma_A$” के रूप में प्रकट होती है।
3. क्वांटम चरम सतह (QES) और आइलैंड का उदय
रयू-ताकायानागी सूत्र तब के लिए एक सूत्र था जब बल्क स्पेस में गुरुत्वाकर्षण शास्त्रीय (classical) हो (यानी क्वांटम प्रभावों को नजरअंदाज किया जा सकता हो)। ऐसी घटनाओं से निपटने के लिए जिनमें क्वांटम प्रभाव आवश्यक भूमिका निभाते हैं, जैसे कि ब्लैक होल वाष्पीकरण (हॉकिंग विकिरण), बल्क में क्वांटम फील्ड थ्योरी प्रभावों को शामिल करने के लिए इस सूत्र के विस्तार की आवश्यकता थी। यही वह नुस्खा है जिसे 2014 में एंगेलहार्ट और वॉल द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसे “क्वांटम चरम सतह” (Quantum Extremal Surface, QES) कहा जाता है।
QES सूत्र में, जिस लक्ष्य को छोटा किया जाना है वह केवल “क्षेत्रफल” नहीं है, बल्कि यह सामान्यीकृत एन्ट्रापी (Generalized Entropy) $S_{gen}$ है, जो “क्षेत्रफल + बल्क में क्वांटम एन्टैंगलमेंट एन्ट्रापी” का योग है।
$$ S_{gen} = \frac{\text{Area}(X)}{4G_N} + S_{bulk}(\Sigma_X) $$यहाँ, $X$ बल्क के अंदर की सतह है, और $\Sigma_X$ वह बल्क स्पेस क्षेत्र है जो $X$ और सीमा पर क्षेत्र $A$ के बीच स्थित है। इस सामान्यीकृत एन्ट्रापी को चरम (स्थित) बनाया जाता है, और न्यूनतम मान वाली सतह $X$ (यही QES है) खोजी जाती है। उस समय का $S_{gen}$ मान सीमा पर CFT की एन्ट्रापी $S_A$ बन जाता है।
हॉकिंग विकिरण की एन्ट्रापी की गणना करते समय, विकिरण एकत्र करने वाले बाहरी क्षेत्र को $A$ माना जाता है। प्रारंभिक चरण में, QES एक मामूली सतह (शून्य क्षेत्रफल) है, और एन्ट्रापी लगातार बढ़ती है (हॉकिंग वक्र)। हालाँकि, जब पेज टाइम बीत जाता है, तो घटना क्षितिज के “अंदर” अचानक एक गैर-तुच्छ QES प्रकट होता है, और एक नाटकीय चरण संक्रमण (phase transition) होता है जहां इस सतह का $S_{gen}$ मान छोटा (प्रमुख) हो जाता है।
इस नए QES से घिरा घटना क्षितिज के अंदर का क्षेत्र ही “आइलैंड” (Island) है। जब आइलैंड प्रकट होता है, तो बल्क एन्ट्रापी शब्द $S_{bulk}$ की गणना में, आइलैंड के अंदर के कण (ब्लैक होल में गिरे हुए कण) और हॉकिंग विकिरण (बाहर निकलने वाले कण) एक-दूसरे से दृढ़ता से उलझे (entangled) होते हैं, इसलिए एन्ट्रापी का योग काफी हद तक कट (cancel out) जाता है, और यह कम होने लगता है।
इसके साथ, डॉन पेज द्वारा अनुमानित पेज कर्व को गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत की गणना से पूरी तरह से प्राप्त किया गया। सूचना हानि विरोधाभास का समाधान मात्र वैचारिक तर्कों से आगे निकल गया, और “प्रतिकृति वर्महोल” के गैर-पर्टुरबेटिव टोपोलॉजिकल परिवर्तनों पर विचार करके इसे एक सटीक गणितीय सूत्र के रूप में सिद्ध कर दिया गया है। स्पेस-टाइम क्वांटम एन्टैंगलमेंट से उत्पन्न (emerge) होता है, और ब्लैक होल की गहरी जानकारी वर्महोल के अदृश्य धागों के माध्यम से ब्रह्मांड के अंत तक निश्चित रूप से पहुंचाई जा रही है।