इतिहास में अपनी छाप छोड़ने वाले महान गणितज्ञों को उनके जन्म के क्रम में प्रस्तुत किया जा रहा है।

पाइथागोरस (Pythagoras, लगभग 582 ईसा पूर्व - लगभग 496 ईसा पूर्व)

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और दार्शनिक। “सब कुछ संख्या है” का विचार प्रस्तुत किया और क्रोटन में पाइथागोरियन संप्रदाय की स्थापना की। वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को दर्शाने वाले “पाइथागोरस प्रमेय” के लिए प्रसिद्ध हैं, लेकिन उनके शिष्य हिप्पासस द्वारा अपरिमेय संख्याओं की खोज करने पर, क्योंकि यह संप्रदाय की नींव को हिला देने वाले सिद्धांत के खिलाफ था, उसे समुद्र में धकेल कर उसकी हत्या करने की भयानक किंवदंती भी है। वे संगीत और गणित के बीच संबंध पर ध्यान देने और संगीत के पैमाने की नींव रखने के लिए भी जाने जाते हैं।

आर्किमिडीज़ (Archimedes, लगभग 287 ईसा पूर्व - 212 ईसा पूर्व)

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और आविष्कारक। एक्जॉर्शन विधि का उपयोग करके पाई के सन्निकट मान की सटीक गणना की, और गोले के आयतन और सतह क्षेत्र के सूत्रों की खोज की। कैलकुलस की शुरुआत माने जाने वाले तरीकों का उपयोग करने के कारण उन्हें प्राचीन काल का सबसे महान गणितज्ञ माना जाता है। “आर्किमिडीज़ का सिद्धांत” खोजने पर, उत्तेजना में “यूरेका (मुझे मिल गया)!” चिल्लाते हुए नग्न अवस्था में सड़क पर दौड़ने की उनकी कहानी बहुत प्रसिद्ध है। सिराक्यूज की रक्षा के दौरान उन्होंने कई नए हथियारों का आविष्कार कर रोमन सेना को परेशान किया था, लेकिन जब वे जमीन पर खींची गई एक ज्यामितीय आकृति में मग्न थे, तब एक सैनिक ने उनकी हत्या कर दी।

यूक्लिड (Euclid, लगभग तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व)

प्राचीन मिस्र के यूनानी मूल के गणितज्ञ, जिन्होंने अलेक्जेंड्रिया में काम किया। अपनी पुस्तक “एलिमेंट्स” (यूक्लिड की एलिमेंट्स) में, कुछ स्वयंसिद्धों और अभिधारणाओं से शुरू होकर तार्किक रूप से प्रमेयों को प्राप्त करने वाली “स्वयंसिद्ध प्रणाली” की स्थापना की, जिसका गणित और विज्ञान के बाद के विकास पर असीमित प्रभाव पड़ा। जब एक राजा ने पूछा कि “क्या ज्यामिति सीखने का कोई शॉर्टकट है?”, तो उनका दृढ़ उत्तर “ज्यामिति के लिए कोई शाही रास्ता नहीं है” बहुत प्रसिद्ध है। उनके द्वारा स्थापित यूक्लिडियन ज्यामिति 19वीं सदी में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के जन्म तक एक पूर्ण सत्य के रूप में राज करती रही।

डायोफैंटस (Diophantus, लगभग 207 - लगभग 291)

यूनानी गणितज्ञ, जिन्हें “बीजगणित का पिता” भी कहा जाता है। प्रतीकों के उपयोग और समीकरणों के परिमेय हलों के अध्ययन के लिए प्रसिद्ध हैं। उनके जीवन के बारे में अधिक जानकारी नहीं है, लेकिन एक किंवदंती है कि उनकी कब्र पर उनकी आयु निकालने के लिए एक बीजगणितीय शब्द समस्या खुदी हुई है। उनकी प्रमुख कृति “अरिथमेटिका” है, और समीकरणों के पूर्णांक और परिमेय हलों को खोजने के क्षेत्र को आज भी “डायोफैंटाइन समीकरण” कहा जाता है। बाद में फर्मेट ने इस पुस्तक को पढ़ा और इसके हाशिये में प्रसिद्ध “फर्मेट का अंतिम प्रमेय” लिखा, जिसने इसे ऐतिहासिक प्रसिद्धि दिलाई।

फाइबोनैचि (L. Fibonacci, लगभग 1175 - लगभग 1250)

मध्ययुगीन इतालवी गणितज्ञ। उनका असली नाम लियोनार्डो दा पीसा था। उन्होंने अपनी मुख्य पुस्तक “लिबर एबासी” लिखी और यूरोप में आमतौर पर इस्तेमाल होने वाले रोमन अंकों के बजाय गणना के लिए सुविधाजनक हिंदू-अरबी अंकों और स्थानीय मान प्रणाली को पेश किया और लोकप्रिय बनाया। खरगोशों के जोड़े के प्रजनन मॉडल पर आधारित एक समस्या से उत्पन्न “फाइबोनैचि अनुक्रम” (1, 1, 2, 3, 5, 8…) के खोजकर्ता के रूप में वे विश्व प्रसिद्ध हैं। यह अनुक्रम सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था और नॉटिलस के खोल जैसे प्रकृति में हर जगह पाए जाने वाले स्वर्ण अनुपात के साथ निकटता से संबंधित होने के लिए जाना जाता है।

बाचे (C. G. Bachet, 1581-1638)

17वीं सदी के फ्रांसीसी कुलीन और शौकिया गणितज्ञ जिन्होंने शौक के तौर पर संख्याओं की पहेलियाँ और गणितीय शोध किए। उन्होंने डायोफैंटस की ‘अरिथमेटिका’ के मूल ग्रीक पाठ का लैटिन में अनुवाद और प्रकाशन किया, और इसमें अपने शोध को टिप्पणियों के रूप में शामिल करके एक महान योगदान दिया। इसी बाचे संस्करण की ‘अरिथमेटिका’ को फर्मेट ने पढ़ा और हाशिये पर कई नोट्स छोड़े, जिसने बाद में गणित की दुनिया को बहुत प्रभावित किया। साथ ही, उन्होंने नदी पार करने की समस्याओं और संख्याओं के जादू जैसी मनोरंजन गणित की क्लासिक पहेलियों की पुस्तक प्रकाशित की और उन्हें मनोरंजक गणित के प्रणेता के रूप में भी सराहा जाता है।

मर्सेन (M. Mersenne, 1588-1648)

फ्रांसीसी मिनिम भिक्षु और पादरी। उनका नाम “मर्सेन संख्याओं” से जुड़ा है, हालांकि कहा जाता है कि वास्तव में इन संख्याओं का विचार उनके मित्र फर्मेट ने दिया था। उन्होंने अपने मठ को आधार बनाकर देकार्त, फर्मेट, पास्कल और गैलीलियो जैसे तत्कालीन यूरोप के शीर्ष विद्वानों के साथ पत्राचार किया और उनके शोध को एक-दूसरे तक पहुँचाने वाले “चलते-फिरते विज्ञान अकादमी” के रूप में शैक्षणिक विकास में एक अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। ध्वनि विज्ञान के क्षेत्र में भी उनके योगदान हैं, और वे तारों की कंपन आवृत्ति से संबंधित “मर्सेन के नियम” की खोज के लिए भी जाने जाते हैं।

देकार्त (R. Descartes, 1596-1650)

17वीं सदी के एक मौलिक फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ। वे अपने कथन “मैं सोचता हूँ, इसलिए मैं हूँ” के लिए प्रसिद्ध हैं। उनकी प्रमुख कृतियों में ‘डिस्कोर्स ऑन द मेथड’ और ‘ज्यामिति’ शामिल हैं। गणित में उनकी सबसे बड़ी उपलब्धि समतल पर X-अक्ष और Y-अक्ष को समकोण पर काटने वाले “कार्तीय निर्देशांक प्रणाली” का आविष्कार है। इससे आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों में व्यक्त करना संभव हो गया, और उन्होंने ज्यामिति और बीजगणित को एकीकृत करने वाली “विश्लेषणात्मक ज्यामिति” की स्थापना की। एक प्रसिद्ध किस्सा यह है कि बिस्तर पर लेटे हुए छत पर रेंगती हुई एक मक्खी को देखकर उनके मन में निर्देशांक का विचार आया था।

फर्मेट (P. de Fermat, 1601-1665)

17वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ। मुख्य रूप से वे टूलूज़ की अदालत में एक न्यायाधीश थे, और गणित केवल उनके खाली समय का शौक था; उन्हें “शौकिया गणितज्ञों का राजा” कहा जाता है। उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति, प्रायिकता सिद्धांत और कैलकुलस की नींव रखी। वे संख्या सिद्धांत के भी जनक हैं, और डायोफैंटस की ‘अरिथमेटिका’ के हाशिये में उन्होंने जो लिखा—“मैंने इस प्रमेय का वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन यह हाशिया इसे लिखने के लिए बहुत छोटा है”—यही “फर्मेट का अंतिम प्रमेय” है, जिसने बाद के 360 से अधिक वर्षों तक दुनिया के प्रतिभाशाली गणितज्ञों को परेशान किया।

रोबर्वल (G. P. de Roberval, 1602-1675)

17वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ। उस समय के हिसाब से वे एक दुर्लभ पेशेवर थे, जिन्होंने कॉलेज रॉयल में गणित के प्रोफेसर का पद प्राप्त किया था। वे साइक्लॉयड (पहिए पर एक बिंदु द्वारा खींचा गया पथ) के क्षेत्रफल की गणना करने वाले अपने शोध के लिए जाने जाते हैं। उन्होंने अविभाज्य (indivisibles) के तर्क का उपयोग करके कैलकुलस के क्षेत्र में अग्रणी योगदान दिया। अपने प्रोफेसर के पद को बनाए रखने চৈতন্য के लिए (चूंकि यह पद गणित प्रतियोगिता के विजेता को दिया जाता था), उन्होंने अपनी खोजों और प्रमेयों को गुप्त रखा और तुरंत पेपर प्रकाशित नहीं किए, और अक्सर अन्य गणितज्ञों के साथ प्राथमिकता को लेकर तीखे विवाद किए, जो उनके मानवीय स्वभाव को दर्शाता है।

वालिस (J. Wallis, 1616-1703)

17वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ और ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर। अपनी प्रमुख कृति ‘अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम’ में, उन्होंने सीमा (limit) की अवधारणा को एक गणितीय रूप दिया और न्यूटन तथा अन्य गणितज्ञों के कैलकुलस की नींव रखने में बड़ा योगदान दिया। उन्होंने अनंत के प्रतीक “∞” का आविष्कार किया जिसे आज हम आम तौर पर उपयोग करते हैं, और गणितीय साहित्य में इसका पहली बार उपयोग किया। इसके अलावा, वे क्रिप्टोग्राफी के भी प्रतिभाशाली व्यक्ति थे और अंग्रेजी गृहयुद्ध के दौरान संसद वादियों के लिए रॉयलवादियों के कई एन्क्रिप्टेड दस्तावेजों को डिकोड करके प्रसिद्धि प्राप्त की। वे रॉयल सोसाइटी के संस्थापक सदस्यों में से एक थे।

ब्रौंकर (W. Brouncker, 1620-1684)

एक आयरिश कुलीन (दूसरे विस्काउंट ब्रौंकर) और रॉयल सोसाइटी (ब्रिटिश अकादमी ऑफ साइंसेज) के पहले अध्यक्ष थे। उन्हें गणित से गहरा प्रेम था और वालिस जैसे समकालीन विद्वानों के साथ उनका सक्रिय संपर्क था। गणित के इतिहास में उनका नाम पाई को व्यक्त करने वाले सुंदर “निरंतर भिन्न” सूत्र की खोज के लिए याद किया जाता है। साथ ही, जब फर्मेट ने ब्रिटिश गणितज्ञों को चुनौती के रूप में पेल के समीकरण की समस्या भेजी, तो उन्होंने वालिस के साथ मिलकर एक अनूठा समाधान निकाला, जिससे 17वीं शताब्दी के गणित के विकास में एक अग्रणी और महत्वपूर्ण भूमिका निभाने वाले बुद्धिजीवी के रूप में उनकी पहचान बनी।

पास्कल (B. Pascal, 1623-1662)

17वीं सदी के फ्रांसीसी दार्शनिक, गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और धार्मिक विचारक। वे अपने कथन “मनुष्य एक सोचने वाला सरकंडा है” के लिए प्रसिद्ध हैं। बचपन से ही उन्होंने अपनी प्रतिभा का प्रदर्शन किया, किशोरावस्था में “पास्कल का प्रमेय” खोजा, और अपने पिता की कर गणना में मदद करने के लिए दुनिया का पहला यांत्रिक कैलकुलेटर “पास्कलीन” का आविष्कार किया। फर्मेट के साथ अपने पत्राचार के माध्यम से, उन्हें आधुनिक प्रायिकता सिद्धांत की नींव रखने के लिए भी जाना जाता है। बाद में, एक रहस्यमय अनुभव जिसे “पास्कल का अनुभव” कहा जाता है, से गुजरने के बाद उन्होंने जैनसेनिज्म अपना लिया, और अपने अंतिम वर्ष गणित से दूर धार्मिक गतिविधियों और चिंतन में बिताए। ‘पेन्सीस’ उस समय के उनके मरणोपरांत प्रकाशित लेखों का संग्रह है।

आइजैक न्यूटन (I. Newton, 1642-1727)

ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री। उन्हें इतिहास के महानतम वैज्ञानिकों में से एक माना जाता है। कहा जाता है कि प्लेग की महामारी के कारण विश्वविद्यालय बंद होने पर जब वे अपने गृहनगर में समय बिता रहे थे, उन “अद्भुत वर्षों” में उन्होंने गुरुत्वाकर्षण का नियम, कैलकुलस और प्रकाशिकी के आधार—ये तीन महान उपलब्धियों की प्रेरणा प्राप्त की। उन्होंने लाइबनिट्स से स्वतंत्र रूप से कैलकुलस का आविष्कार किया, लेकिन बाद में इसकी प्राथमिकता को लेकर दोनों में तीखा विवाद हुआ। उनकी प्रमुख कृति ‘प्रिंसिपिया’ ने शास्त्रीय यांत्रिकी की नींव रखी। सेब के पेड़ से गिरने को देखकर गुरुत्वाकर्षण का विचार आने का किस्सा ऐसा है जिसके बारे में कहा जाता है कि उन्होंने खुद अपने जीवन के अंतिम वर्षों में बताया था।

सेकी ताकाकाज़ु (T. Seki, लगभग 1642-1708)

प्रारंभिक ईदो काल के एक जापानी गणितज्ञ। उन्हें जापानी गणित “वसन” को एक उन्नत गणितीय प्रणाली में बदलने वाला अग्रणी माना जाता है, और उन्हें “सान्सेई” (गणित के संत) की उपाधि दी गई है। उन्होंने पश्चिमी गणितज्ञ लाइबनिट्स से भी पहले एक साथ कई समीकरणों को हल करने के लिए सारणिकों के समतुल्य अवधारणा की खोज की, स्वतंत्र रूप से बर्नौली संख्याओं का पता लगाया, और अलगाववादी जापान में दुनिया के सर्वोच्च स्तर का गणित विकसित किया। उन्होंने पाई की गणना 11 दशमलव स्थानों तक सटीक रूप से की और “एनरी” की नींव रखी, जो कैलकुलस का एक प्रारंभिक रूप था। उनके द्वारा स्थापित सेकी संप्रदाय वसन की मुख्य धारा बन गया और जापान की अनूठी और उन्नत गणितीय संस्कृति के विकास में भारी योगदान दिया।

गॉटफ्रीड लाइबनिट्स (G. W. Leibniz, 1646-1716)

17वीं सदी के प्रमुख जर्मन दार्शनिक और गणितज्ञ। वे एक “बहुज्ञ प्रतिभा” थे, जिन्होंने राजनयिक और पुस्तकालयाध्यक्ष के रूप में भी काम किया। उन्होंने न्यूटन से स्वतंत्र रूप से कैलकुलस का आविष्कार किया और आज हम जिन कैलकुलस प्रतीकों (जैसे dy/dx, ∫) का उपयोग करते हैं, उन्हें तैयार किया। उनके प्रतीक सहजता से समझने में आसान थे और उन्होंने गणित के बाद के विकास में बहुत बड़ा योगदान दिया। उन्होंने बाइनरी सिस्टम के अध्ययन और तर्क के औपचारिकरण में भी योगदान दिया और कंप्यूटर के इतिहास में एक महत्वपूर्ण व्यक्ति हैं। उन्हें अपने आशावादी दर्शन के लिए भी जाना जाता है कि “यह दुनिया सभी संभावित दुनियाओं में सबसे अच्छी है।”

यूलर (L. Euler, 1707-1783)

18वीं सदी में स्विट्जरलैंड में जन्मे, इतिहास के सबसे महान “गणित के राजा”। अपने जीवन के उत्तरार्ध में दोनों आँखों की रोशनी खो देने के बावजूद, उन्होंने अपनी अद्भुत याददाश्त और मानसिक गणना क्षमता के साथ शोध जारी रखा, और 700 से अधिक शोध पत्र तथा 45 पुस्तकें लिखने का एक अभूतपूर्व रिकॉर्ड बनाया। “यूलर का सूत्र (e^iπ + 1 = 0)” दुनिया का सबसे सुंदर गणितीय समीकरण माना जाता है। उन्होंने फलन का प्रतीक f(x), प्राकृतिक लघुगणक का आधार e, और पाई π जैसे प्रतीकों का मानकीकरण किया, और विश्लेषण, संख्या सिद्धांत तथा ज्यामिति जैसे हर क्षेत्र की नींव रखी। उनके बारे में कहा जाता है कि “वे सांस लेने जितनी सहजता से गणना करते थे” और वे प्रतिभाओं में भी सबसे महान प्रतिभा थे।

लैग्रेंज (J. L. Lagrange, 1736-1813)

18वीं सदी के एक इतालवी-जन्मे फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री। नेपोलियन ने उनकी प्रशंसा “गणित के ऊंचे पिरामिड” के रूप में की थी। यूलर की सिफारिश पर उन्होंने बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज में गणित विभाग के निदेशक के रूप में कार्य किया। उनकी सबसे बड़ी उपलब्धि ‘विश्लेषणात्मक यांत्रिकी’ का लेखन है, जिसमें ज्यामितीय अंतर्ज्ञान को हटाकर केवल बीजगणितीय गणनाओं द्वारा यांत्रिकी का पुनर्निर्माण किया गया था। साथ ही, उन्होंने संख्या सिद्धांत, विविधताओं के कैलकुलस, और समीकरणों के हलों के सूत्रों पर शोध (जो बाद में गैलोइस सिद्धांत का अग्रदूत बना) में भी महान योगदान दिया। मीट्रिक प्रणाली की स्थापना में एक समिति के सदस्य के रूप में शामिल होकर उन्होंने आधुनिक समाज की नींव रखने में भी मदद की।

लीजेंड्रे (A. M. Legendre, 1752-1833)

फ्रांसीसी गणितज्ञ। उन्होंने संख्या सिद्धांत, अण्डाकार अभिन्न और गुरुत्वाकर्षण समस्याओं में कई उपलब्धियां हासिल कीं, और वे विशेष रूप से न्यूनतम वर्ग विधि की खोज के लिए गॉस के साथ अपने तीखे प्राथमिकता विवाद के लिए जाने जाते हैं। संख्या सिद्धांत का फ्रांसीसी शब्द “थ्योरी डेस नोम्ब्रेस” उनकी प्रमुख पुस्तक ‘Théorie des Nombres’ से आता है, और वे अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुमान और द्विघात पारस्परिकता के नियम के कठोर प्रमाण में अपने योगदान के लिए भी प्रसिद्ध हैं। हालाँकि, वे दुर्भाग्यशाली रहे क्योंकि उनके कई कार्यों को बाद में गॉस और एबेल द्वारा अधिक सामान्य रूपों में पूर्ण किया गया।

गॉस (C. F. Gauss, 1777-1855)

जर्मनी में जन्मे प्रतिभा जिन्हें “गणित का राजा” कहा जाता है। उन्होंने संख्या सिद्धांत, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, भूगणित और खगोल विज्ञान सहित अत्यंत विविध क्षेत्रों में अभूतपूर्व उपलब्धियां हासिल कीं। वे एक चरम पूर्णतावादी थे, और “कम लेकिन परिपक्व” (Pauca sed matura) के अपने आदर्श वाक्य के साथ, वे तब तक अपने परिणाम प्रकाशित नहीं करते थे जब तक कि वे पूरी तरह से निर्दोष न हों, इसलिए उनकी मृत्यु के बाद उनके कागजातों से एक के बाद एक कई अद्भुत खोजें सामने आईं। उनकी प्रमुख कृति ‘डिस्क्विज़िशन अरिथमेटिका’ आधुनिक संख्या सिद्धांत का मील का पत्थर है, और बचपन में 1 से 100 तक की संख्याओं का तुरंत योग निकालने का उनका किस्सा बहुत प्रसिद्ध है।

कौशी (A. L. Cauchy, 1789-1857)

फ्रांसीसी गणितज्ञ। वे यूलर के बाद सबसे अधिक उत्पादन करने वाले शोधकर्ताओं में से एक माने जाते हैं, और जटिल फलन सिद्धांत की स्थापना और कैलकुलस की कठोरता स्थापित करके विश्लेषण के लिए एक निर्णायक नींव रखी। एक कट्टर राजशाहीवादी और सख्त कैथोलिक होने के कारण, राजनीतिक उथल-पुथल के दौर में उन्हें अक्सर निर्वासन या इस्तीफे का सामना करना पड़ा और उन्होंने एक अशांत जीवन व्यतीत किया। दूसरों के शोध पत्रों की समीक्षा को टालने की उनकी बुरी आदत थी, और गणित के इतिहास में यह दर्दनाक किस्सा दर्ज है कि उन्होंने एबेल और गैलोइस के अत्यंत महत्वपूर्ण शोध पत्र खो दिए थे।

लैमे (G. Lamé, 1795-1870)

फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी। वक्ररेखीय निर्देशांक प्रणाली के सिद्धांत का निर्माण किया और अनुप्रयुक्त गणित तथा गणितीय भौतिकी, जैसे लोच सिद्धांत और ऊष्मा चालन के क्षेत्रों में बड़ा योगदान दिया। उन्होंने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध करने का भी प्रयास किया और n=7 के मामले में प्रमाण देने में सफल रहे, लेकिन जटिल पूर्णांकों में अद्वितीय गुणनखंडन के भ्रम में पड़ने का उनका किस्सा भी प्रसिद्ध है। उनका नाम “लैमे वक्र” और लोच सिद्धांत में “लैमे के स्थिरांक” में आज भी जीवित है, और वे एफिल टॉवर पर उकेरे गए 72 फ्रांसीसी वैज्ञानिकों में से एक हैं।

एबेल (N. H. Abel, 1802-1829)

नॉर्वेजियन गणितज्ञ। अत्यधिक गरीबी से जूझते हुए, उन्होंने केवल 21 वर्ष की आयु में यह साबित करने की महान ऐतिहासिक उपलब्धि हासिल की कि सामान्य 5-घात वाले समीकरण का बीजीय हल असंभव है। उन्होंने अण्डाकार फलन सिद्धांत और एबेलियन अभिन्न में जैकोबी के बराबर की प्रतिभा दिखाई, लेकिन उनके पेपर को कौशी ने नजरअंदाज कर दिया और उनके जीवनकाल में उन्हें उचित मान्यता नहीं मिली। उन्हें एक दुखद प्रतिभा के रूप में जाना जाता है, जिनकी विश्वविद्यालय में प्रोफेसर के पद पर नियुक्ति की सूचना मिलने से कुछ ही दिन पहले 26 वर्ष की छोटी आयु में तपेदिक से मृत्यु हो गई।

जैकोबी (C. G. J. Jacobi, 1804-1851)

यहूदी-जर्मन गणितज्ञ। अण्डाकार फलन सिद्धांत, थीटा फलन सिद्धांत, आंशिक अवकल समीकरण और सारणिक सिद्धांत में अपनी जबर्दस्त गणना क्षमता और अंतर्दृष्टि का प्रदर्शन किया, और उनका नाम “जैकोबियन” में संरक्षित है। समकालीन एबेल के साथ उनकी अच्छी प्रतिद्वंद्विता थी, और उनकी कम उम्र में मृत्यु के बाद, उन्होंने एबेल के काम को दुनिया के सामने लाने के लिए कड़ी मेहनत की। फूरियर के इस दावे के खिलाफ कि “विज्ञान को प्रकृति की खोज और जनहित में योगदान देना चाहिए”, जैकोबी ने यह कहते हुए पलटवार किया कि “विज्ञान का एकमात्र उद्देश्य मानव मन का सम्मान है” और शुद्ध गणित की सर्वोच्चता का दृढ़ता से बचाव करने का उनका यह किस्सा बहुत प्रसिद्ध है।

लिउविल (J. Liouville, 1809-1882)

फ्रांसीसी गणितज्ञ। जटिल विश्लेषण में “लिउविल का प्रमेय” और अवकल समीकरणों में “स्टर्म-लिउविल सीमा-मूल्य समस्या” जैसी विश्लेषण की कई मूलभूत अवधारणाओं पर उनका नाम है। वे पहली बार ट्रान्सेंडैंटल नंबर (पारलौकिक संख्या) का ठोस प्रमाण देकर “लिउविल संख्या” की खोज के लिए भी जाने जाते हैं। एक शिक्षक और अकादमिक पत्रिका के संपादक के रूप में भी उन्होंने उत्कृष्ट क्षमता का प्रदर्शन किया, और गैलोइस की जटिल मरणोपरांत पांडुलिपियों को डिकोड किया (जिन्हें उनके जीवनकाल में कोई मान्यता नहीं मिली थी) और उन्हें दुनिया के सामने प्रकाशित किया; वे गैलोइस के समूह सिद्धांत को गणित की दुनिया में मान्यता दिलाने वाले सबसे बड़े योगदानकर्ता बने।

कुमर (E. E. Kummer, 1810-1893)

जर्मन गणितज्ञ। बीजीय संख्या सिद्धांत में “आदर्श संख्याओं” की अवधारणा पेश की और साइक्लोटोमिक फील्ड के संख्या सिद्धांत का गहराई से अध्ययन किया। उन्होंने इसे फर्मेट के अंतिम प्रमेय पर लागू किया और उस समय एक अभूतपूर्व उपलब्धि हासिल की, यह साबित करके कि यह प्रमेय कुछ निश्चित शर्तों को पूरा करने वाली अभाज्य संख्याओं के लिए सही है, जिन्हें “नियमित अभाज्य” कहा जाता है। उन्होंने 10 वर्षों तक जिमनैजियम (माध्यमिक विद्यालय) के शिक्षक के रूप में काम किया था और एक उत्कृष्ट शिक्षक भी थे जिन्होंने क्रोनेकर और वीरस्ट्रैस जैसे बाद के महान गणितज्ञों की प्रतिभाओं को खोजा और उन्हें पाला।

गैलोइस (É. Galois, 1811-1832)

फ्रांसीसी गणितज्ञ। एक अद्वितीय प्रतिभा जिसने “समूह” की बिल्कुल नई अवधारणा का उपयोग करके समीकरणों को बीजीय रूप से हल करने की शर्तों को स्पष्ट किया और आधुनिक बीजगणित के दरवाजे खोले। हालाँकि, उनके सिद्धांत इतने परिपक्व और जटिल थे कि उनके जीवनकाल में अकादमी द्वारा उन्हें लगातार नजरअंदाज किया गया। एक उत्साही रिपब्लिकन के रूप में राजनीतिक आंदोलनों में गहराई से शामिल हुए और उन्हें जेल भी हुई; इस प्रकार उनका छोटा जीवन अशांत रहा। केवल 20 वर्ष की आयु में प्रेम संबंध से उपजे विवाद के कारण द्वंद्वयुद्ध में उनकी मृत्यु हो गई, लेकिन पिछली रात उन्होंने अपने सबसे अच्छे दोस्त के लिए जो गणितीय वसीयत छोड़ी, उसका बाद के गणित पर गहरा प्रभाव पड़ा।

कार्ल वीरस्ट्रैस (K. Weierstrass, 1815-1897)

जर्मन गणितज्ञ। ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भर उस समय के कैलकुलस के विपरीत, उन्होंने कठोर “ε-δ तर्क” स्थापित किया और विश्लेषण की नींव को मजबूत किया, जिसके लिए उन्हें “आधुनिक विश्लेषण के पिता” के रूप में सराहा जाता है। उन्होंने एक ऐसे फलन को प्रस्तुत कर गणित की दुनिया को चौंका दिया जो “हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी अवकलनीय नहीं है”। वे लंबे समय तक जिमनैजियम के शिक्षक के रूप में काम करते रहे, जहाँ वे जिमनास्टिक और सुलेख तक पढ़ाते थे, लेकिन बाद में वे विश्वविद्यालय के प्रोफेसर बने। वे अपने दयालु स्वभाव के लिए जाने जाते थे और सोफिया कोवाल्वेस्काया सहित कई प्रतिभाशाली छात्रों को प्रशिक्षित किया।

क्रोनेकर (L. Kronecker, 1823-1891)

यहूदी-जर्मन गणितज्ञ। उनका नाम “क्रोनेकर डेल्टा” से जुड़ा है, और उन्होंने बीजीय संख्या सिद्धांत और अण्डाकार फलन सिद्धांत में भारी योगदान दिया। उनके प्रसिद्ध कथन, “ईश्वर ने पूर्णांक बनाए हैं, बाकी सब मानव निर्मित है,” की तरह, उन्होंने सख्त रचनावाद का पक्ष लिया कि गणित को केवल उन चीज़ों से निपटना चाहिए जिनका निर्माण सीमित चरणों में किया जा सके। उनकी अत्यधिक मान्यताओं और व्यक्तिपरक स्वभाव के कारण, उन्होंने कैंटर के समुच्चय सिद्धांत पर “गणित की बीमारी” कहकर हिंसक हमला किया और उसे मानसिक रूप से परेशान किया, तथा अपने सहयोगी वीरस्ट्रैस की भी आलोचना की, जिससे गणित के इतिहास पर एक काली छाया पड़ी।

रीमैन (B. Riemann, 1826-1866)

जर्मन गणितज्ञ। वे गॉस के प्रिय शिष्य थे और उन्होंने आधुनिक गणित और भौतिकी के मूल को बनाने वाली कई अभूतपूर्व अवधारणाओं का निर्माण किया, जिनमें जटिल विश्लेषण में “रीमैन सतह”, समाकलन के आधार को परिभाषित करने वाला “रीमैन इंटीग्रल”, और आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता सिद्धांत का गणितीय ढांचा बनने वाली “रीमैनियन ज्यामिति” शामिल है। 1859 में उनके द्वारा प्रकाशित संख्या सिद्धांत के एकमात्र पेपर में प्रस्तावित “रीमैन परिकल्पना”, अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में गणित के इतिहास में सबसे बड़ी अनसुलझी समस्या के रूप में आज भी कई प्रतिभाओं के लिए चुनौती बनी हुई है। वे बहुत शर्मीले और बीमार रहते थे, और 39 वर्ष की आयु में तपेदिक के कारण उनकी मृत्यु हो गई।

जॉर्ज कैंटर (G. Cantor, 1845-1918)

जर्मन गणितज्ञ। उन्होंने “समुच्चय सिद्धांत” की स्थापना अकेले ही की, जिसे आधुनिक गणित की भाषा कहा जा सकता है, और विकर्ण तर्क का उपयोग करके यह साबित किया कि अनंत के आकार में भी भिन्न ‘कार्डिनैलिटी’ (cardinality) के पदानुक्रम मौजूद हैं। हालाँकि, उनके इस गहन सिद्धांत, जो मानव अंतर्ज्ञान के खिलाफ था, का क्रोनेकर और पोइंकारे जैसे तत्कालीन दिग्गजों ने “गणित को नष्ट करने वाला विधर्म” कहकर मज़ाक उड़ाया और तीव्र आलोचना की। ‘कंटिन्यूम हाइपोथिसिस’ को साबित करने में विफलता और आसपास के लोगों के उत्पीड़न के कारण उन्हें गंभीर अवसाद का सामना करना पड़ा और उन्होंने अपना जीवन एक पागलखाने में दुर्भाग्यपूर्ण स्थिति में समाप्त किया, लेकिन आज उन्हें गणित के इतिहास में सबसे महान क्रांतिकारी के रूप में आंका जाता है।

पोइंकारे (H. Poincaré, 1854-1912)

फ्रांसीसी प्रतिभाशाली गणितज्ञ, जिन्हें “अंतिम बहुज्ञ वैज्ञानिक” कहा जाता है। ऑटॉमॉर्फिक फलन सिद्धांत की स्थापना, टोपोलॉजी की नींव, और अवकल समीकरणों के गुणात्मक सिद्धांत आदि, गणित के हर क्षेत्र में उन्होंने महान योगदान दिया। खगोलीय यांत्रिकी में थ्री-बॉडी प्रॉब्लम के अध्ययन से उन्होंने “कैओस थ्योरी” की शुरुआत की, और भौतिकी में वे विशेष सापेक्षता सिद्धांत के बहुत करीब पहुँच गए थे, जो उनकी असाधारण अंतर्दृष्टि को दर्शाता है। वे बहुत अधिक निकट दृष्टि दोष वाले और भुलक्कड़ थे; उनकी शैली पूरी तरह से अपने दिमाग में विचार को परिष्कृत करने के बाद उसे एक ही बार में लिख देने की थी। “पोइंकारे अनुमान” को लगभग 100 साल बाद ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा हल किया गया था।

हेंसेल (K. Hensel, 1861-1941)

जर्मन गणितज्ञ और क्रोनेकर के छात्र। बीजीय फलन सिद्धांत के विचारों को संख्या सिद्धांत में लाकर, उन्होंने परिमेय संख्याओं के क्षेत्र पर एक बिल्कुल नई पूर्णता के रूप में “p-adic संख्या” की अवधारणा की खोज की और उसे पेश किया। p-adic संख्याओं का यह सिद्धांत आधुनिक अंकगणितीय ज्यामिति और बीजीय संख्या सिद्धांत में एक अनिवार्य और अत्यंत शक्तिशाली उपकरण बन गया है। वे संगीतकारों के परिवार में पैदा हुए थे; उनके दादा संगीतकार फैनी मेंडेलसोहन थीं और उनके पिता एक चित्रकार थे, जिससे उन्हें एक कलात्मक पृष्ठभूमि भी मिली थी।

हिल्बर्ट (D. Hilbert, 1862-1943)

जर्मन गणितज्ञ। 19वीं से 20वीं सदी के संक्रमण काल में इनवेरिएंट थ्योरी के परिमितता प्रमेय, बीजीय संख्या सिद्धांत के संकलन ‘ज़ाहलबेरिच्ट’, और ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण सहित गणित के हर क्षेत्र का नेतृत्व करने वाले एक दिग्गज। 1900 में पेरिस अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस में उनके द्वारा प्रस्तावित “हिल्बर्ट की 23 समस्याएँ” 20वीं सदी के गणित के लिए मार्गदर्शक बनीं। गणित की निरंतरता को साबित करने का उनका प्रयास “हिल्बर्ट प्रोग्राम” गोडेल के अपूर्णता प्रमेय द्वारा विफल हो गया, लेकिन इस प्रक्रिया में उत्पन्न गणितीय तार्किक रूपरेखा आधुनिक तर्कशास्त्र का आधार बनी। उनके मकबरे पर लिखा उनका कथन, “हमें जानना चाहिए, हम जानेंगे” अत्यंत प्रसिद्ध है।

ताकागी तेइजी (T. Takagi, 1875-1960)

जापानी गणितज्ञ। जर्मनी में पढ़ाई करने और हिल्बर्ट के मार्गदर्शन में काम करने के बाद, प्रथम विश्व युद्ध के कारण आई शैक्षणिक अलगाव की स्थिति में उन्होंने स्वतंत्र रूप से अपना शोध गहरा किया और “क्लास फील्ड थ्योरी” नामक एक भव्य सिद्धांत को पूरा किया, जिसने एबेलियन एक्सटेंशन की पूरी तस्वीर को स्पष्ट कर दिया। इस उपलब्धि के साथ, उन्होंने जापान के गणित को, जो उस समय एक पिछड़ा हुआ देश था, अचानक दुनिया के सर्वोच्च स्तर तक पहुँचा दिया। 1936 में उन्होंने पहले फील्ड्स मेडल की चयन समिति के सदस्य के रूप में एक सम्मानजनक भूमिका भी निभाई। उनके द्वारा लिखी गई ‘कैलकुलस का परिचय’ और ‘प्राथमिक संख्या सिद्धांत पर व्याख्यान’ जैसी पाठ्यपुस्तकें आज भी उत्कृष्ट कृतियों के रूप में जापानी गणित के छात्रों द्वारा पढ़ी जाती हैं।

एमी नोएदर (A. E. Noether, 1882-1935)

जर्मन गणितज्ञ। रिंग थ्योरी और आदर्श सिद्धांत को स्वयंसिद्ध किया और व्यावहारिक रूप से अकेले “अमूर्त बीजगणित” के आधुनिक क्षेत्र का निर्माण किया; वह इसकी सबसे बड़ी योगदानकर्ता हैं। भौतिकी में भी, उन्होंने “नोएदर का प्रमेय” सिद्ध किया, जो यह दर्शाता है कि हर निरंतर समरूपता एक संरक्षण कानून से मेल खाती है, जिसने आधुनिक भौतिकी को एक अनिवार्य आधार प्रदान किया। उस समय महिलाओं के प्रति तीव्र पूर्वाग्रह के कारण, लंबे समय तक उन्हें एक अवैतनिक व्याख्याता के रूप में ठंडे बस्ते में रखा गया था, लेकिन उनके चारों ओर हमेशा उत्कृष्ट छात्र (“नोएदर के लड़के”) एकत्रित रहते थे। यहूदी होने के कारण, नाजी शासन के दौरान उन्हें विश्वविद्यालय से निकाल दिया गया और अमेरिका भागने के बाद, इस अदम्य प्रतिभा का 53 वर्ष की उम्र में अचानक निधन हो गया।

श्रीनिवास रामानुजन (S. Ramanujan, 1887-1920)

भारतीय गणितज्ञ। उन्होंने लगभग कोई औपचारिक गणितीय शिक्षा प्राप्त नहीं की और स्व-शिक्षा से गणित का अध्ययन किया; अंतर्ज्ञान और प्रेरणा के माध्यम से उन्होंने पाई और विभाजन के बारे में कई आश्चर्यजनक सूत्रों की खोज की। उन्हें “भारत का जादूगर” कहा जाता था और जी.एच. हार्डी के साथ अपने संयुक्त शोध के लिए प्रसिद्ध हुए। उनके द्वारा खोजे गए अधिकांश सूत्रों में प्रमाण संलग्न नहीं थे, और वे अक्सर रहस्यमय कहानियाँ सुनाते थे जैसे कि “देवी ने मुझे सपने में सूत्र बताए”। इंग्लैंड जाने के बाद हार्डी के साथ उनकी प्रतिभा पूरी तरह से खिली, लेकिन इंग्लैंड की कठोर जलवायु और जीवनशैली में अंतर के कारण उनका स्वास्थ्य बिगड़ गया, और 32 वर्ष की कम उम्र में उनकी बीमारी से मृत्यु हो गई। उनके द्वारा छोड़ी गई “रामानुजन नोटबुक” उनकी मृत्यु के बाद कई वर्षों तक कई गणितज्ञों को प्रेरित करती रही है।

मोर्डेल (L. J. Mordell, 1888-1972)

अमेरिका में जन्मे ब्रिटिश गणितज्ञ। उनके माता-पिता लिथुआनिया से अप्रवासी थे। उन्होंने डायोफैंटाइन समीकरण सिद्धांत पर कई पत्र लिखे, लेकिन अण्डाकार वक्र सिद्धांत पर मोर्डेल का प्रमेय (कि परिमेय बिंदुओं का समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है) विशेष रूप से प्रसिद्ध है। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय की छात्रवृत्ति परीक्षा देने के लिए वे अकेले इंग्लैंड चले गए और उसके बाद वे इंग्लैंड में ही कार्यरत रहे। 1922 में उनके द्वारा सिद्ध किए गए प्रमेय को बाद में आंद्रे वेइल ने सामान्य बीजीय किस्मों (अथवा एबेलियन किस्मों) के मामले में विस्तारित किया और इसे “मोर्डेल-वेइल प्रमेय” नाम दिया, जिससे अंकगणितीय ज्यामिति का विस्फोटक विकास शुरू हुआ। उनके द्वारा प्रस्तावित “मोर्डेल अनुमान” को वर्षों बाद फाल्टिंग्स द्वारा सिद्ध किया गया।

सीगेल (C. L. Siegel, 1896-1981)

जर्मन संख्या सिद्धांतकार। उन्होंने विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत और खगोलीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में कई ऐतिहासिक योगदान दिए। विशेष रूप से, वे द्विघात रूपों के विश्लेषणात्मक सिद्धांत, डायोफैंटाइन समीकरणों के पूर्णांक समाधानों की परिमितता पर “सीगेल के प्रमेय”, और पारलौकिक संख्या सिद्धांत में “सीगेल की लेम्मा” के लिए प्रसिद्ध हैं। वे बहुत सख्त और उच्च मानकों वाले व्यक्ति के रूप में जाने जाते थे; 20वीं सदी के गणितीय जगत में जहाँ अमूर्तीकरण बढ़ रहा था, उन्होंने बुर्बाकी द्वारा प्रतिनिधित्व की जाने वाली अमूर्त गणित की प्रवृत्ति की कड़ी आलोचना की और विशिष्ट शास्त्रीय विश्लेषणात्मक विधियों को महत्व दिया। उनके इस अकेले और दृढ़ रुख ने उन्हें बहुत सम्मान दिलाया और वे 20वीं सदी के महान गणितज्ञों में से एक गिने जाते हैं।

हास्से (H. Hasse, 1898-1979)

जर्मन गणितज्ञ। कर्ट हेंसेल के छात्र के रूप में, उन्होंने p-adic संख्याओं पर सिद्धांत विकसित किया और p-adic विश्लेषण की नींव और संख्या सिद्धांत में इसके अनुप्रयोगों में भारी योगदान दिया। उन्होंने “स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत” (हास्से का सिद्धांत) की स्थापना की और क्लास फील्ड थ्योरी के विकास तथा अण्डाकार वक्रों के L-फलन के अध्ययन में महत्वपूर्ण छाप छोड़ी। उन्हें ताकागी तेइजी के क्लास फील्ड सिद्धांत को यूरोप में पेश करने और एमिल आर्टिन के साथ इसके लोकप्रियकरण और विकास के लिए काम करने के लिए भी जाना जाता है। उनका नाम “हास्से आरेख” और “हास्से-वेइल एल-फलन” में भी जुड़ा हुआ है, और वे 20वीं सदी के पूर्वार्ध में बीजीय संख्या सिद्धांत का नेतृत्व करने वाले एक केंद्रीय व्यक्ति थे।

ओका कियोशी (K. Oka, 1901-1978)

जापानी गणितज्ञ। कई चरों के जटिल फलन सिद्धांत में, “तीन प्रमुख समस्याओं” (जैसे लेवी की समस्या), जिन्हें उस समय दुनिया का कोई भी गणितज्ञ हल नहीं कर सका था, उन्होंने अपने एकाकी शोध के वर्षों के बाद अकेले ही हल करने की आश्चर्यजनक उपलब्धि हासिल की। उनके काम की अग्रिमता और जटिलता के कारण, इसे शुरुआत में विश्व गणित समुदाय द्वारा ठीक से समझे जाने में समय लगा। उन्हें “भावना” को महत्व देने वाले उनके अनूठे गणितीय विचारों और शैक्षिक दर्शन के लिए भी जाना जाता है, और बसंत की शामों में गणित की सुंदरता के बारे में बात करने वाला उनका निबंध ‘शुनशो जुवा’ आम पाठकों द्वारा व्यापक रूप से पढ़ा जाता है। साफ मौसम में भी रबड़ के लंबे जूते पहनकर चलने जैसी उनकी अजीबोगरीब हरकतें भी काफी चर्चित रही हैं।

जॉन वॉन न्यूमैन (J. von Neumann, 1903-1957)

हंगरी में जन्मे अमेरिकी गणितज्ञ। शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित की सीमाओं को पार करते हुए, उन्होंने क्वांटम यांत्रिकी के सख्त गणितीय आधार, गेम थ्योरी की स्थापना और सेल्युलर ऑटोमेटा के अध्ययन जैसे अत्यंत विविध क्षेत्रों में निर्णायक योगदान दिया। इसके अतिरिक्त, उन्होंने आधुनिक कंप्यूटर की बुनियादी वास्तुकला “संग्रहीत-प्रोग्राम अवधारणा” (वॉन न्यूमैन आर्किटेक्चर) तैयार की और सूचना विज्ञान के विकास को आगे बढ़ाया। उन्होंने बचपन से ही भाषाओं और मानसिक गणना में असाधारण क्षमता का प्रदर्शन किया, और अपनी अद्भुत गणना, स्मृति और तार्किक सोच क्षमता के कारण उन्हें “राक्षसी मस्तिष्क” या “मंगल ग्रह का निवासी” कहा जाता था। वे मैनहट्टन प्रोजेक्ट जैसे सैन्य शोध कार्यों में भी गहराई से शामिल थे।

वेइल (A. Weil, 1906-1998)

यहूदी मूल के फ्रांसीसी गणितज्ञ। वे गणितज्ञ समूह “बुर्बाकी” के वास्तविक नेता और संस्थापक सदस्य थे, जिसका 20वीं सदी के गणित पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा। उन्होंने बीजीय ज्यामिति के लिए एक सख्त आधार प्रदान किया और इसका उपयोग परिमित क्षेत्रों पर बीजीय वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना को साबित करने के लिए किया। 1949 में उनके द्वारा प्रस्तावित “वेइल अनुमान” ने बीजीय ज्यामिति के बाद के दशकों में विस्फोटक विकास को गति दी। उन्हें विभिन्न भाषाओं और दर्शनशास्त्र (विशेषकर भारतीय दर्शन) का भी गहरा ज्ञान था, और गणित के इतिहास पर भी पुस्तकें छोड़ीं। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान सैन्य सेवा से इनकार करने के कारण उन्हें जेल जाना पड़ा और उन्होंने उथल-पुथल भरा जीवन जिया।

कर्ट गोडेल (K. Gödel, 1906-1978)

ऑस्ट्रियाई मूल के तर्कशास्त्री और गणितज्ञ। 1931 में प्रकाशित उनका “अपूर्णता प्रमेय” यह दर्शाता है कि किसी भी पर्याप्त अभिव्यक्ति वाली सुसंगत औपचारिक स्वयंसिद्ध प्रणाली में हमेशा ऐसे कथन होंगे जिन्हें न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही खंडन किया जा सकता है। इसने हिल्बर्ट के कार्यक्रम को समाप्त कर दिया और गणित और दर्शन की दुनिया पर गहरा प्रभाव डाला। इसके अलावा, उन्होंने “कंटिन्यूम हाइपोथिसिस” की सापेक्ष स्थिरता को साबित करके समुच्चय सिद्धांत में भी बड़ी उपलब्धियाँ हासिल कीं। आइंस्टीन के साथ उनकी गहरी मित्रता थी, और प्रिंसटन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में दोनों को साथ-साथ टहलते और चर्चा करते हुए देखा जाना बहुत प्रसिद्ध था। जीवन के अंतिम वर्षों में वे जुनूनी-बाध्यकारी विकार और व्यामोह (paranoia) से पीड़ित रहे, और जहर दिए जाने के डर से भूखे रहकर दम तोड़ दिया।

एलन ट्यूरिंग (A. Turing, 1912-1954)

ब्रिटिश गणितज्ञ, तर्कशास्त्री और क्रिप्टोग्राफी शोधकर्ता। उन्होंने गणना की अवधारणा को गणितीय रूप से औपचारिक बनाने वाली एक आभासी मशीन “ट्यूरिंग मशीन” का आविष्कार किया, और उन्हें आधुनिक कंप्यूटर विज्ञान और कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) का जनक माना जाता है। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, उन्होंने ब्लैचले पार्क में जर्मन सैन्य कोड “एनिग्मा” को क्रैक करने में बहुत बड़ा योगदान दिया, जिससे मित्र राष्ट्रों को जीत हासिल हुई। युद्ध के बाद उन्होंने कंप्यूटर के विकास और आकार-रचना के गणितीय जैविक मॉडलिंग (ट्यूरिंग पैटर्न) पर भी काम किया। हालाँकि, समलैंगिकता को अपराध मानने वाले तत्कालीन ब्रिटिश कानून के तहत उन्हें दोषी ठहराया गया, और बाद में 41 वर्ष की आयु में साइनाइड लगे सेब को खाकर उनकी दुखद मृत्यु हो गई।

कोडैरा कुनिहिको (K. Kodaira, 1915-1997)

जापानी गणितज्ञ। हरमन वेइल द्वारा उनकी प्रतिभा को पहचाना गया और वे अमेरिका चले गए, जहाँ उन्होंने प्रिंसटन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में शानदार काम किया। 1954 में, वह फील्ड्स मेडल प्राप्त करने वाले पहले जापानी बने। उन्होंने हर्मोनिक इंटीग्रल थ्योरी को बीजीय ज्यामिति और जटिल मैनिफोल्ड सिद्धांत में लागू किया, और “कोडैरा वैनिशिंग थ्योरम”, “कोडैरा एम्बेडिंग थ्योरम” और जटिल विश्लेषणात्मक सतहों के वर्गीकरण जैसे कई ऐतिहासिक परिणाम दिए, जिसने 20वीं सदी में ज्यामिति के विकास में भारी योगदान दिया। जापान लौटने के बाद, उन्होंने टोक्यो विश्वविद्यालय आदि में पढ़ाया और अगली पीढ़ी के शोधकर्ताओं को प्रशिक्षित करने और गणित की शिक्षा में प्रयास किए। उनका किस्सा भी मशहूर है कि वे तब तक गणनाएँ करते रहते थे जब तक कि उनकी नोटबुक का किनारा पूरी तरह से काला नहीं हो जाता था, जो उनके दृढ़ प्रयासों को दर्शाता है।

इटो कियोशी (K. Ito, 1915-2008)

जापानी गणितज्ञ। प्रायिकता सिद्धांत में, उन्होंने “स्टोकैस्टिक इंटीग्रल” और “स्टोकैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशंस” (इटो का फॉर्मूला, इटो की लेम्मा) नामक बिल्कुल नए क्षेत्र की शुरुआत की। यादृच्छिक गतियों का वर्णन करने वाला उनका सिद्धांत बाद में वॉल स्ट्रीट की वित्तीय इंजीनियरिंग (जैसे ब्लैक-स्कोल्स समीकरण) का गणितीय आधार बन गया और अर्थशास्त्र ही नहीं बल्कि भौतिकी और जीव विज्ञान जैसे कई क्षेत्रों पर इसका गहरा प्रभाव पड़ा। इन बड़े व्यावहारिक अनुप्रयोगों की मान्यता में उन्हें 2006 में अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस में पहला गॉस पुरस्कार दिया गया। यह एक खूबसूरत उदाहरण है कि कैसे शुद्ध गणितीय अन्वेषण से उत्पन्न सिद्धांत वास्तविक दुनिया में अकल्पनीय अनुप्रयोग ला सकते हैं।

तानियामा युताका (Y. Taniyama, 1927-1958)

जापानी गणितज्ञ। 1955 में एक अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी में, केवल 28 वर्ष की कम उम्र में उन्होंने एक विशाल अनुमान का मूल रूप प्रस्तुत किया: “सभी तर्कसंगत संख्याओं पर अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर होते हैं” जिसे बाद में “तानियामा-शिमुरा अनुमान” कहा गया। बाद में यह अनुमान फर्मेट के अंतिम प्रमेय (जिसे पहले पूरी तरह से असंबद्ध माना जाता था) को हल करने के लिए सबसे बड़ी सफलता साबित हुआ। हालाँकि, अपनी प्रतिभा से कई विचार उत्पन्न करने वाले तानियामा ने 1958 में 31 वर्ष की आयु में सगाई होने के बावजूद अचानक आत्महत्या कर ली। उनके सबसे अच्छे दोस्त शिमुरा गोरो ने उनके काम को आगे बढ़ाया, और यह आधुनिक संख्या सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण आधारों में से एक बन गया।

एलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक (A. Grothendieck, 1928-2014)

फ्रांसीसी गणितज्ञ। उन्होंने स्कीम थ्योरी, टोपोस थ्योरी और मोटिफ्स जैसी भव्य अवधारणाओं को पेश किया, और वे 20वीं सदी के उत्तरार्ध में बीजीय ज्यामिति के परिदृश्य को पूरी तरह से फिर से लिखने वाले सबसे बड़े गणितज्ञ थे। उनकी गहन सामान्यीकरण और अमूर्तीकरण की विधि का पूरे आधुनिक गणित पर अपार प्रभाव पड़ा, और इसने वेइल अनुमानों के समाधान का मार्ग प्रशस्त किया। 1966 में उन्हें फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया, लेकिन सैन्य शोध के विरोध में वे अचानक गणित की दुनिया से दूर हो गए और पिरिनीज़ पहाड़ों की तलहटी में एकांत जीवन बिताया। वे हजारों पन्नों की अप्रकाशित पांडुलिपियाँ छोड़ गए, और उनके विचार आज भी गणित की दुनिया में गहराई से रचे-बसे हैं।

शिमुरा गोरो (G. Shimura, 1930-2019)

जापानी गणितज्ञ। प्रिंसटन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर एमेरिटस। अपने सबसे अच्छे दोस्त तानियामा युताका की दुखद मृत्यु के बाद, उन्होंने उनके काम को अपनाया और उनके अस्पष्ट अंतर्ज्ञान को “तानियामा-शिमुरा अनुमान” के रूप में कठोर गणितीय सूत्रीकरण में बदल दिया। यह अनुमान एंड्रयू वाइल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की कुंजी बना। इसके अतिरिक्त, उन्होंने संख्यात्मक ज्यामिति में एबेलियन किस्मों के जटिल गुणन सिद्धांत और ऑटोमॉर्फिक रूपों के अध्ययन में बड़ी उपलब्धियां हासिल कीं, और उनका नाम “शिमुरा वैरायटी” जैसी अवधारणाओं में दर्ज है। वे अपने सख्त और समझौता न करने वाले स्वभाव के लिए जाने जाते थे, और अपनी किताबों में गणित की सटीकता के प्रति हमेशा कड़ा रुख बनाए रखा।

हिरोनाका हेइसुके (H. Hironaka, 1931-)

जापानी गणितज्ञ। 1970 में कोडैरा कुनिहिको के बाद फील्ड्स मेडल प्राप्त करने वाले दूसरे जापानी बने। बीजीय ज्यामिति में एक अत्यंत कठिन समस्या माने जाने वाले “विशेषता 0 के क्षेत्र पर बीजीय किस्मों की विलक्षणताओं का समाधान” को सैकड़ों पृष्ठों के जटिल तर्कों के बाद शानदार ढंग से सिद्ध किया, जिसका बाद में बीजीय ज्यामिति और विलक्षणता सिद्धांत के विकास पर गहरा प्रभाव पड़ा। वे खुद को “मिट्टी से जुड़ा मेहनती व्यक्ति” कहते थे और एक ही समस्या पर लगातार और गहराई से सोचने का रुख बनाए रखा। उन्होंने युवा पीढ़ी के लिए गणित की शिक्षा और युवा शोधकर्ताओं के विकास के लिए समर्पित होकर काम किया और “गणितीय विज्ञान संवर्धन फाउंडेशन” की स्थापना भी की।

बेकर (A. Baker, 1939-)

ब्रिटिश संख्या सिद्धांतकार। 1970 के अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस में, उन्हें हिरोनाका हेइसुके के साथ फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया। उन्होंने “बेकर का प्रमेय” सिद्ध किया, जो बीजीय संख्याओं के लघुगणकों के रैखिक रूप के लिए एक गैर-तुच्छ निचली सीमा देता है, और यह पारलौकिक संख्या सिद्धांत में एक क्रांतिकारी छलांग लेकर आया। इस शक्तिशाली प्रमेय ने डायोफैंटाइन समीकरणों के पूर्णांक हलों की ऊपरी सीमा की गणना करना संभव बना दिया, जिससे गॉस की क्लास नंबर समस्या (कक्षा 1 के काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों का निर्धारण) जैसी कई पुरानी अनसुलझी समस्याएँ एक के बाद एक हल हो गईं। उन्होंने लंबे समय तक कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के ट्रिनिटी कॉलेज में संख्या सिद्धांत में शोध का नेतृत्व किया।

वाइल्स (A. Wiles, 1953-)

ब्रिटिश मूल के गणितज्ञ। उन्होंने इवासावा सिद्धांत और बर्च और स्विनर्टन-डाययर अनुमान जैसे संख्यात्मक ज्यामिति के महत्वपूर्ण मुद्दों में बहुत बड़ा योगदान दिया है। 10 साल की उम्र में एक पुस्तकालय में “फर्मेट का अंतिम प्रमेय” देखने के बाद वे इससे मोहित हो गए, और गणितज्ञ बनने के बाद भी गुप्त रूप से 7 साल तक अकेले इस पर शोध करते रहे। 1993 में उन्होंने एक प्रमाण प्रस्तुत किया जिसमें बाद में एक खामी पाई गई, लेकिन भारी कठिनाइयों और अपने पूर्व छात्र रिचर्ड टेलर के सहयोग के बाद, 1995 में उन्होंने एक पूर्ण प्रमाण प्रकाशित किया और गणित के इतिहास की 350 साल पुरानी इस सबसे कठिन पहेली को हल कर दिया। इस महान उपलब्धि के लिए उन्हें विशेष पुरस्कार के रूप में फील्ड्स मेडल की एक चांदी की पट्टिका प्रदान की गई।

फाल्टिंग्स (G. Faltings, 1954-)

जर्मन गणितज्ञ। 1983 में, 28 वर्ष की आयु में, उन्होंने “मोर्डेल अनुमान” (कि 2 या अधिक की प्रजाति वाले बीजीय वक्र पर तर्कसंगत बिंदु सीमित होते हैं) को सिद्ध किया, जो बीजीय ज्यामिति और संख्यात्मक ज्यामिति में एक अत्यंत कठिन समस्या थी, और दुनिया भर के गणितज्ञों को चौंका दिया। इस उपलब्धि के लिए उन्हें 1986 में फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया। इसके अलावा, उन्होंने एक ही झटके में शाफारेविच अनुमान और टेट अनुमान को भी हल कर दिया, और ग्रोथेन्डिक द्वारा निर्मित अमूर्त सिद्धांत की शक्ति को साबित कर दिया। वे अपनी अत्यधिक कठोरता और गहरी अंतर्दृष्टि के लिए जाने जाते हैं, और वे आज भी संख्यात्मक ज्यामिति में सबसे शीर्ष शोधकर्ताओं में से एक के रूप में आने वाली पीढ़ियों पर भारी प्रभाव डाल रहे हैं।

संदर्भ

फर्मेट का महान प्रमेय हल हो गया! यूलर से वाइल्स के प्रमाण तक, कोदंशा