“क्या यह सच है कि कोई भी संख्या अंत में 1 हो जाती है?” ── कोलैट्ज़ अनुमान के साथ खेलना

नमस्ते! मैं kenji हूँ।

अचानक से, अगर आप सुनें “एक नियम जहाँ कोई भी संख्या अंततः 1 बन जाती है”, क्या यह थोड़ा अजीब नहीं लगता?

उदाहरण के लिए, 19, 87, या 1000000 भी। यदि आप एक नियम के अनुसार संख्याओं में हेरफेर करते हैं, तो किसी कारण से यह अंत में “1” पर अभिसरण करता है।

यह सपने जैसी कहानी ** कोलैट्ज़ अनुमान (Collatz Conjecture) ** है।

आखिर कोलैट्ज़ अनुमान क्या है?

सबसे पहले, मैं नियम का परिचय दूंगा।

• प्रारंभ: कोई भी ** धनात्मक पूर्णांक ** चुनें

• संचालन:

  • यदि यह सम है → इसे आधा करें (n → n / 2)
  • यदि यह विषम है → 3 से गुणा करें और 1 जोड़ें (n → 3n + 1)

इसे बार-बार दोहराने पर, यह एक अनुमान है कि ** कोई भी संख्या अंततः 1 तक पहुंच जाएगी **।

उदाहरण के लिए, 6 से शुरू करना:

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

यह ठीक से “1” बन गया। वापसी पर स्वागत है!

आइए इसे कोड के साथ करते हैं: पायथन में कोलैट्ज़

खैर, ऐसे समय में, कोड के साथ परीक्षण करना अधिक तेज़ है! आइए पायथन में “कोलैट्ज़ अनुक्रम” प्रिंट करें।

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12

def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# उदाहरण: 19 से शुरू करना
print(collatz(19))

जब निष्पादित किया जाता है:

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

यह शानदार ढंग से 1 तक पहुंचता है। भले ही यह बहुत सारे चक्कर लगाता है, लेकिन अंत में यह लक्ष्य तक पहुंच ही जाता है!

वैसे, यदि आप 29 से शुरू करते हैं, तो यह उसी तरह 1 तक पहुंच जाएगा।

1

print(collatz(29))

जब निष्पादित किया जाता है

1
2
3
4
5
6
7
8

[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

वाह, इसमें 111 कदम लगते हैं!

और साथ ही, ऐसे दृश्य हैं जहाँ यह रास्ते में 9000 से अधिक तक फूल जाता है। यह एक ऐसा पैटर्न है जहाँ आप लक्ष्य तक पहुँचने से पहले पागलों की तरह चक्कर लगाते हैं।

तो फिर, इसमें इतना बढ़िया क्या है?

इस अनुमान के बारे में क्या बढ़िया है,

** हालांकि यह साबित नहीं हुआ है, ऐसा लगता है कि कोई भी संख्या जिसे आप आजमाते हैं वह 1 हो जाएगी **

यही है।

एह? तो, 1 ट्रिलियन, या 10 क्वाड्रिलियन के बारे में क्या…?

जिन लोगों ने ऐसा सोचा, वे बहुत तेज हैं। वास्तव में, कंप्यूटर का उपयोग करके, “2 की घात 68” तक की पुष्टि की गई है, और ** सभी 1 तक पहुँच गए हैं **। अविश्वसनीय…

लेकिन, ** यह सैद्धांतिक रूप से साबित नहीं हुआ है कि “सभी ऐसे होंगे” **। गणित की दुनिया में इसे “अनसुलझी समस्या” कहा जाता है।

मिस्टर कोलैट्ज़ कौन हैं?

तो, यहाँ तक पढ़ने के बाद, आप शायद सोच रहे होंगे “आखिर कोलैट्ज़ कौन है?"। मैं उनका ठीक से परिचय दूंगा!

• नाम: ** लोथर कोलैट्ज़ (Lothar Collatz) **
• राष्ट्रीयता: जर्मनी
• जन्म वर्ष: 1910 से 1990
• शीर्षक: गणितज्ञ (कार्यात्मक विश्लेषण और संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में सक्रिय)

उन्होंने 1937 में इस अनुमान का प्रस्ताव रखा, और उसके बाद, 80 से अधिक वर्षों तक, ** कोई भी इसे साबित या गलत साबित नहीं कर पाया है **।

वैसे, यह समस्या इतनी सरल है लेकिन इतनी गहरी है कि यहाँ तक कि पॉल एर्डोस (अति प्रसिद्ध गणितज्ञ) ने भी कुछ ऐसा कहा था।

“कोलैट्ज़ से निपटने के लिए गणित अभी अपरिपक्व है”

दूसरे शब्दों में, यह सिद्धांत कि मानवता का गणित अभी तक इस रहस्य तक नहीं पहुंच पाया है…

“कठिन गणितीय सूत्रों” की आवश्यकता नहीं है

कोलैट्ज़ अनुमान के बारे में अच्छी बात यह है कि ** कोई भी खेल सकता है **।

आप इसे कागज और कलम से कर सकते हैं। यदि आप पायथन में कोड लिखते हैं, तो आप स्वचालित रूप से इसका परीक्षण कर सकते हैं। और फिर भी, ** शीर्ष गणितज्ञ इसे गंभीरता से ले रहे हैं **।

किसी तरह, क्या यह रोमांचक नहीं है?

बोनस: एक साथ सब कुछ जांचने के लिए कोड

मैं एक ही समय में कई संख्याओं का परीक्षण करने के लिए एक कोड भी पोस्ट करूंगा।

1
2
3

for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n}: {steps} (कदम: {len(steps)-1})")

यह हमें एक ही बार में “1 से 20” के कोलैट्ज़ अनुक्रम देगा।

निष्कर्ष: यह दुनिया, आखिरकार, रहस्यमय है

तो, वह कोलैट्ज़ अनुमान है।

• भले ही यह बहुत सरल है
• कोई इसे साबित नहीं कर सकता
• गणित की दुनिया में एक बड़ी समस्या

यह रहस्यों के एक समूह की तरह एक अस्तित्व था।

यहां तक कि शुरुआती प्रोग्रामर भी इसे आजमा सकते हैं, इसलिए कृपया इसके साथ खेलें!

अनुशंसित लिंक (रुचि रखने वालों के लिए)

• Wikipedia: कोलैट्ज़ अनुमान
• टेरेंस ताओ का पेपर (अंग्रेजी)
• पायथन में एक विज़ुअलाइज़्ड संस्करण बनाना भी मज़ेदार है! (मांग होने पर मैं एक बनाऊंगा)

यदि आप इस तरह की “रहस्यमयी गणित x प्रोग्रामिंग” सामग्री के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो बेझिझक अनुरोध करें और कहें “मुझे और सिखाएं”। अंततः, मैं रीमैन परिकल्पना और अभाज्य संख्याओं जैसी विभिन्न चीजों का परिचय दूंगा!

📮अंत!