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Qiskit का उपयोग करके क्वांटम प्रोग्रामिंग का परिचय

Fri, 11 Sep 2026 20:00:00 +0900

1. परिचय

आधुनिक कंप्यूटर (शास्त्रीय कंप्यूटर) ने हमारे जीवन को नाटकीय रूप से बदल दिया है और अपनी उच्च गणना क्षमताओं के साथ समाज के हर पहलू का समर्थन करते हैं। हालांकि, कुछ विशिष्ट समस्याओं (जैसे, बहुत बड़ी संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन, जटिल आणविक संरचनाओं का सिमुलेशन, और अनुकूलन समस्याएं) के लिए, यह ज्ञात है कि वर्तमान के सबसे उन्नत सुपर कंप्यूटरों को भी ब्रह्मांड की आयु से अधिक समय की आवश्यकता होगी।

इन “शास्त्रीय कंप्यूटरों की सीमाओं” को तोड़ने की क्षमता रखने वाले कंप्यूटर को क्वांटम कंप्यूटर (Quantum Computer) कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के रहस्यमय गुणों (सुपरपोज़िशन और क्वांटम एंटैंगलमेंट) को कम्प्यूटेशनल संसाधनों के रूप में उपयोग करके, यह माना जाता है कि कुछ विशिष्ट समस्याओं को नाटकीय रूप से तेज किया जा सकता है।

इस लेख में, हम IBM द्वारा प्रदान किए गए एक ओपन-सोर्स क्वांटम कंप्यूटिंग फ्रेमवर्क, Qiskit (किस्किट) का उपयोग करके क्वांटम प्रोग्रामिंग की दुनिया में अपना पहला कदम रखेंगे। यह एक बहुत ही विस्तृत परिचयात्मक मार्गदर्शिका है जो भौतिकी और गणित की बुनियादी बातों से लेकर पायथन में कोड लिखने और एक सिम्युलेटर पर क्वांटम सर्किट चलाने तक की पूरी प्रक्रिया को कवर करती है।

2. क्वांटम गणना का समर्थन करने वाले भौतिकी और गणित की बुनियादी बातें

क्वांटम प्रोग्रामिंग को समझने के लिए, सबसे पहले क्वांटम यांत्रिकी की बुनियादी अवधारणाओं को समझना आवश्यक है। यहाँ हम तीन महत्वपूर्ण स्तंभों: क्वांटम बिट्स, सुपरपोज़िशन, और क्वांटम एंटैंगलमेंट की व्याख्या करेंगे।

2.1 शास्त्रीय बिट्स और क्वांटम बिट्स (Qubit)

शास्त्रीय कंप्यूटरों की सूचना इकाई “बिट (Bit)” है। एक बिट हमेशा 0 या 1 की अवस्था में होता है।

दूसरी ओर, क्वांटम कंप्यूटरों में सूचना की सबसे छोटी इकाई को क्वांटम बिट (Qubit: Quantum bit) कहा जाता है। क्वांटम बिट्स न केवल 0 और 1 की अवस्था ले सकते हैं, बल्कि इन दोनों अवस्थाओं को एक साथ बनाए रखना भी संभव है।

गणितीय रूप से, क्वांटम बिट की अवस्था $|\psi\rangle$ को आधार अवस्थाओं $|0\rangle$ और $|1\rangle$ के रैखिक संयोजन (सुपरपोज़िशन) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

$$ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $$

यहाँ, $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं, जो क्रमशः अवस्था $|0\rangle$ और $|1\rangle$ को देखने के प्रायिकता आयामों को दर्शाती हैं। क्वांटम यांत्रिकी के मूल सिद्धांतों के आधार पर, प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए, इसलिए निम्नलिखित सामान्यीकरण शर्त पूरी होती है:

$$ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $$

graph LR A["शास्त्रीय बिट (Classical Bit)"] --> B["निश्चित अवस्था: 0 या 1"] C["क्वांटम बिट (Qubit)"] --> D["सुपरपोज़िशन: 0 और 1 दोनों"] D --> E["माप द्वारा अवस्था संभाव्य रूप से निर्धारित होती है"]

2.2 सुपरपोज़िशन (Superposition)

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, उस अवस्था को जहाँ $|0\rangle$ और $|1\rangle$ अवस्थाएँ मिश्रित होती हैं, सुपरपोज़िशन (Superposition) कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक क्वांटम बिट पूरी तरह से समान सुपरपोज़िशन अवस्था में है, तो $\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।

$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle $$

जब इस अवस्था को मापा जाता है, तो $|0\rangle$ और $|1\rangle$ दोनों को 50% की प्रायिकता के साथ देखा जाता है। यदि आपके पास 2 क्वांटम बिट्स हैं, तो आप 4 अवस्थाओं: $|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$ का एक सुपरपोज़िशन बना सकते हैं। यदि आपके पास $n$ क्वांटम बिट्स हैं, तो आप एक ही समय में $2^n$ अवस्थाओं को व्यक्त कर सकते हैं, जो क्वांटम कंप्यूटरों की समानांतर प्रसंस्करण शक्ति के स्रोतों में से एक है।

2.3 क्वांटम एंटैंगलमेंट (Entanglement)

क्वांटम गणना में सबसे शक्तिशाली और रहस्यमय गुण क्वांटम एंटैंगलमेंट (Entanglement) है। आइंस्टीन ने इस घटना को “दूरी पर डरावनी कार्रवाई (spooky action at a distance)” कहा था। यह एक ऐसी संपत्ति है जहाँ दो या दो से अधिक क्वांटम बिट्स एक-दूसरे से मजबूती से जुड़े होते हैं, और एक बार जब एक क्वांटम बिट की अवस्था निर्धारित हो जाती है, तो दूसरे क्वांटम बिट की अवस्था तुरंत निर्धारित हो जाती है, भले ही वे भौतिक रूप से कितनी भी दूर हों।

सबसे प्रसिद्ध क्वांटम एंटैंगलमेंट अवस्थाओं में से एक “बेल अवस्था (Bell State)” $\Phi^+$ अवस्था है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$ |\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} $$

इस अवस्था में, $|01\rangle$ और $|10\rangle$ अवस्थाएँ मौजूद नहीं हैं। इसलिए, यदि पहले क्वांटम बिट को मापा जाता है और वह $|0\rangle$ है, तो निश्चित रूप से यह निर्धारित होता है कि दूसरा भी $|0\rangle$ है, बिना दूसरे क्वांटम बिट को मापने की आवश्यकता के। इसके विपरीत, यदि पहला $|1\rangle$ है, तो दूसरा भी हमेशा $|1\rangle$ होगा।

3. क्वांटम लॉजिक गेट्स (Quantum Logic Gates)

जिस तरह शास्त्रीय कंप्यूटर गणना करने के लिए AND, OR, और NOT जैसे लॉजिक गेट्स का उपयोग करते हैं, उसी तरह क्वांटम कंप्यूटर क्वांटम बिट्स की अवस्थाओं में हेरफेर करने के लिए क्वांटम गेट्स का उपयोग करते हैं। चूंकि क्वांटम अवस्थाएँ वैक्टर हैं, इसलिए क्वांटम गेट्स को उन वैक्टरों पर काम करने वाले “यूनिटरी मैट्रिसेस (Unitary Matrices)” के रूप में दर्शाया जाता है।

3.1 पाउली गेट्स (Pauli-X, Y, Z)

पाउली गेट्स एक क्वांटम बिट पर बुनियादी संचालन हैं।

・Pauli-X गेट (NOT गेट) यह शास्त्रीय NOT गेट के बराबर है। यह $|0\rangle$ को $|1\rangle$ में और $|1\rangle$ को $|0\rangle$ में उलट देता है। (बलोच क्षेत्र में X अक्ष के चारों ओर 180-डिग्री का घुमाव)

$$ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

・Pauli-Y गेट यह Y अक्ष के चारों ओर 180-डिग्री का घुमाव करता है। इसका प्रभाव चरण (Phase) और बिट दोनों को उलटने में होता है।

$$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} $$

・Pauli-Z गेट (फेज फ्लिप गेट) यह $|0\rangle$ की अवस्था को अपरिवर्तित छोड़ देता है और $|1\rangle$ अवस्था के चरण को उलट देता है ($-1$ से गुणा करता है)। (Z अक्ष के चारों ओर 180-डिग्री का घुमाव)

$$ Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

3.2 हैडामार्ड गेट (Hadamard Gate)

हैडामार्ड गेट (H गेट) एक बहुत ही महत्वपूर्ण गेट है जो एक निश्चित अवस्था ($|0\rangle$ या $|1\rangle$) को एक सुपरपोज़िशन अवस्था में परिवर्तित करता है।

$$ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

जब H गेट को $|0\rangle$ पर लागू किया जाता है, तो यह एक समान सुपरपोज़िशन अवस्था $|+\rangle$ बन जाता है।

$$ H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle = |+\rangle $$

3.3 फेज गेट्स (Phase Gates)

फेज गेट Z गेट का एक सामान्यीकरण है, जो $|1\rangle$ अवस्था के चरण को एक निर्दिष्ट कोण $\theta$ से घुमाता है।

$$ P(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix} $$

विशिष्ट उदाहरणों में S गेट ($\theta = \pi/2$) और T गेट ($\theta = \pi/4$) शामिल हैं।

3.4 CNOT गेट (Controlled-NOT Gate)

CNOT गेट (CX गेट) एक ऐसा गेट है जो दो क्वांटम बिट्स के बीच काम करता है और क्वांटम एंटैंगलमेंट उत्पन्न करने के लिए आवश्यक है। इसमें एक “कंट्रोल (Control) बिट” और एक “टारगेट (Target) बिट” होता है।

केवल यदि कंट्रोल बिट $|1\rangle$ है, तो X गेट (NOT ऑपरेशन) टारगेट बिट पर लागू होता है; यदि कंट्रोल बिट $|0\rangle$ है, तो यह कुछ नहीं करता है।

$$ CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

4. Qiskit की मूल बातें और पर्यावरण सेटअप

अब हम वास्तविक क्वांटम प्रोग्राम लिखने के लिए पायथन और Qiskit का उपयोग करेंगे।

4.1 Qiskit क्या है?

Qiskit एक ओपन-सोर्स क्वांटम कंप्यूटिंग सॉफ्टवेयर डेवलपमेंट किट (SDK) है जिसे IBM Quantum द्वारा विकसित किया गया है। यह आपको सहज रूप से क्वांटम सर्किट बनाने के लिए पायथन का उपयोग करने की अनुमति देता है, और उन्हें स्थानीय सिमुलेटर पर या वास्तविक IBM क्वांटम कंप्यूटरों पर क्लाउड के माध्यम से निष्पादित करने की अनुमति देता है।

4.2 स्थापित करने की विधि

Qiskit का उपयोग करने के लिए, पायथन वातावरण की आवश्यकता होती है। आप निम्नलिखित कमांड से Qiskit और संबंधित पैकेजों (सिमुलेटर और ड्राइंग लाइब्रेरी) को स्थापित कर सकते हैं:

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pip install qiskit qiskit-aer qiskit-ibm-runtime matplotlib pylatexenc

4.3 प्रोग्रामिंग का मूल प्रवाह

Qiskit का उपयोग करते हुए क्वांटम प्रोग्रामिंग मुख्य रूप से निम्नलिखित चरणों में आगे बढ़ती है:

graph TD A["1. सर्किट का निर्माण (Build)"] --> B["2. संकलन/ट्रांसपाइल (Compile)"] B --> C["3. निष्पादन (Execute)"] C --> D["4. परिणामों का विश्लेषण और विज़ुअलाइज़ेशन (Analyze)"]

सर्किट का निर्माण: एक QuantumCircuit ऑब्जेक्ट बनाएं और गेट्स जोड़ें।
संकलन: निष्पादन के लिए बैकएंड (वास्तविक मशीन या सिम्युलेटर) से मेल खाने के लिए सर्किट को अनुकूलित करें।
निष्पादन: बैकएंड पर काम भेजें और परिणाम प्राप्त करें।
विश्लेषण: माप परिणामों के हिस्टोग्राम आदि प्लॉट करें।

5. अभ्यास: बेल स्टेट (क्वांटम एंटैंगलमेंट) बनाने के लिए एक सर्किट का निर्माण

आइए Qiskit का उपयोग करके उस “क्वांटम एंटैंगलमेंट (बेल स्टेट)” को बनाएं जिसे हमने सिद्धांत में सीखा था। लक्ष्य अवस्था $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$ है।

5.1 सर्किट का डिज़ाइन

बेल स्टेट बनाने के लिए, हम इन चरणों का पालन करते हैं:

2 क्वांटम बिट्स तैयार करें (प्रारंभिक अवस्था दोनों के लिए $|0\rangle$ है)।
इसे एक सुपरपोज़िशन अवस्था में रखने के लिए पहले क्वांटम बिट पर एक हैडामार्ड गेट (H) लागू करें।
पहले क्वांटम बिट को “कंट्रोल बिट” और दूसरे क्वांटम बिट को “टारगेट बिट” के रूप में उपयोग करते हुए एक CNOT गेट लागू करें।
परिणाम को पढ़ने के लिए माप (Measure) करें।

5.2 Python/Qiskit कोड का कार्यान्वयन

आइए वास्तविक कोड देखें।

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import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit_aer import Aer
from qiskit.visualization import plot_histogram
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. सर्किट आरंभीकरण
# 2 क्वांटम बिट्स और 2 शास्त्रीय बिट्स के साथ एक क्वांटम सर्किट बनाएं
qc = QuantumCircuit(2, 2)

# 2. H गेट लागू करें
# क्वांटम बिट 0 (q0) पर हैडामार्ड गेट लागू करें
qc.h(0)

# 3. CNOT गेट लागू करें
# q0 को कंट्रोल बिट और q1 को टारगेट बिट के रूप में मानते हुए CNOT लागू करें
qc.cx(0, 1)

# 4. माप
# क्वांटम बिट्स 0 और 1 को मापें, और उन्हें क्रमशः शास्त्रीय बिट्स 0 और 1 में लिखें
qc.measure([0, 1], [0, 1])

# सर्किट आरेख ड्रा करें (matplotlib का उपयोग करके)
# qc.draw('mpl')
print(qc.draw())

जब आप इस कोड को चलाते हैं, तो कंसोल पर ASCII आर्ट में निम्नलिखित क्वांटम सर्किट आरेख प्रदर्शित होगा:

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 ┌───┐ ┌─┐
q_0: ┤ H ├──■──┤M├───
 └───┘┌─┴─┐└╥┘┌─┐
q_1: ─────┤ X ├─╫─┤M├
 └───┘ ║ └╥┘
c: 2/═══════════╩══╩═
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H हैडामार्ड गेट का प्रतिनिधित्व करता है, ■ और X का संयोजन CNOT गेट का प्रतिनिधित्व करता है, और M माप का प्रतिनिधित्व करता है।

5.3 सिम्युलेटर पर निष्पादन और परिणामों की व्याख्या

इसके बाद, हम इस सर्किट को IBM के उच्च-प्रदर्शन सिम्युलेटर Aer पर चलाएंगे और परिणामों की जांच करेंगे।

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# Aer सिम्युलेटर का बैकएंड प्राप्त करें
simulator = Aer.get_backend('qasm_simulator')

# सिम्युलेटर के लिए सर्किट को ट्रांसपाइल (अनुकूलित) करें
compiled_circuit = transpile(qc, simulator)

# सर्किट चलाएं (यहाँ हम 1000 शॉट्स निष्पादित करते हैं)
job = simulator.run(compiled_circuit, shots=1000)

# परिणाम प्राप्त करें
result = job.result()

# अवस्था के देखे जाने की संख्या (गणना) प्राप्त करें
counts = result.get_counts(compiled_circuit)
print("\nमाप परिणाम:", counts)

# हिस्टोग्राम प्लॉट करें
# plot_histogram(counts)
# plt.show()

परिणामों की व्याख्या

कंसोल का आउटपुट कुछ इस तरह होना चाहिए: माप परिणाम: {'00': 495, '11': 505} (※चूंकि प्रायिकताएं यादृच्छिक होती हैं, इसलिए हर बार निष्पादित होने पर संख्याएं थोड़ी बदल जाएंगी)

एक आदर्श सिमुलेशन वातावरण में, 00 और 11 को लगभग 50% मापा जाएगा, और 01 या 10 को बिल्कुल नहीं देखा जाएगा। यह ठीक उसी तरह है जैसा हमने जो बेल स्टेट $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$ बनाया है, उसके सैद्धांतिक पूर्वानुमान के साथ पूरी तरह मेल खाता है। “क्वांटम एंटैंगलमेंट” जहां यदि पहला क्वांटम बिट 0 है, तो दूसरा भी 0 होना चाहिए, और यदि यह 1 है, तो यह 1 होना चाहिए, सटीक रूप से अनुकरण किया गया है।

ध्यान दें कि यदि इसे वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर (IBM Quantum Hardware) पर चलाया जाता है, तो शोर (क्वांटम डिकोहेरेंस और गेट त्रुटियों) के प्रभाव के कारण 01 या 10 को थोड़ा देखा जा सकता है। वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर के विकास में सबसे बड़ी चुनौतियों में से एक इस शोर को कम करना है (क्वांटम त्रुटि सुधार)।

6. अधिक उन्नत एल्गोरिदम में स्केल अप करना

बेल स्टेट का निर्माण क्वांटम प्रोग्रामिंग के “हैलो वर्ल्ड (Hello World)” जैसा है। इसे और विकसित करके, हम शक्तिशाली एल्गोरिदम बना सकते हैं जो शास्त्रीय कंप्यूटरों को पार करते हैं।

6.1 ड्यूश-जोस्ज़ा एल्गोरिदम (Deutsch-Jozsa Algorithm)

यह यह निर्धारित करने की समस्या है कि दिया गया फ़ंक्शन $f(x)$ “निरंतर फ़ंक्शन (इनपुट की परवाह किए बिना हमेशा 0 या हमेशा 1 आउटपुट करता है)” है या “संतुलित फ़ंक्शन (आधे इनपुट के लिए 0 और बाकी आधे के लिए 1 आउटपुट करता है)” है। शास्त्रीय कंप्यूटरों को सबसे खराब स्थिति में फ़ंक्शन के $2^{n-1} + 1$ मूल्यांकन की आवश्यकता होती है, लेकिन ड्यूश-जोस्ज़ा एल्गोरिदम का उपयोग करके, आप क्वांटम समानांतरता का उपयोग करके केवल 1 मूल्यांकन में इसे निर्धारित कर सकते हैं। यह क्वांटम एल्गोरिदम के मूल पैटर्न को दर्शाता है जो एक सुपरपोज़िशन अवस्था को इनपुट करता है, अनावश्यक अवस्थाओं को रद्द करने के लिए हस्तक्षेप (Interference) का उपयोग करता है, और वांछित उत्तर को बढ़ाता है।

6.2 ग्रोवर का एल्गोरिदम (Grover’s Algorithm)

एक खोज समस्या में जहां $N$ बिना क्रमबद्ध डेटाबेस से विशिष्ट डेटा की खोज की जाती है, एक शास्त्रीय एल्गोरिदम को औसतन $N/2$ गणनाओं की आवश्यकता होती है, जबकि ग्रोवर का एल्गोरिदम $\sqrt{N}$ बार में लक्ष्य डेटा ढूंढ सकता है। यह एल्गोरिदम लक्ष्य समाधान के चरण को पलटने के लिए “ओरेकल (Oracle)” नामक ब्लैक बॉक्स का उपयोग करता है, और “आयाम प्रवर्धन (Amplitude Amplification)” करके लक्ष्य समाधान को देखे जाने की प्रायिकता को नाटकीय रूप से बढ़ाता है।

graph TD A["आरंभीकरण (सभी अवस्थाओं का सुपरपोज़िशन)"] --> B["ओरेकल (सही उत्तर के चरण को पलटना)"] B --> C["प्रसार ऑपरेटर (औसत के चारों ओर पलटने से आयाम प्रवर्धन)"] C --> D{"क्या यह पर्याप्त प्रायिकता तक पहुंच गया है?"} D -- "नहीं (No)" --> B D -- "हाँ (Yes)" --> E["माप"]

7. निष्कर्ष और भविष्य की शिक्षा

इस लेख में, हमने सुपरपोज़िशन और क्वांटम एंटैंगलमेंट जैसी क्वांटम कंप्यूटिंग की मौलिक अवधारणाओं से शुरू किया, और Qiskit का उपयोग करके क्वांटम लॉजिक गेट्स के संचालन को विस्तार से समझाया, और वास्तव में एक बेल स्टेट का निर्माण, अनुकरण, और परिणामों की व्याख्या की।

चूंकि Qiskit को पायथन में लिखा जा सकता है, जो एक परिचित भाषा है, इसलिए यह एक शक्तिशाली उपकरण है जो आपको गणितीय और भौतिक बाधाओं को दूर करने और एल्गोरिदम के निर्माण पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति देता है। क्वांटम कंप्यूटर वर्तमान में शोर वाले मध्यवर्ती-स्तरीय क्वांटम उपकरणों (NISQ: Noisy Intermediate-Scale Quantum) के युग में हैं, लेकिन क्वांटम मशीन लर्निंग (Quantum Machine Learning), क्वांटम रसायन विज्ञान (Quantum Chemistry), और क्रिप्टोग्राफी जैसे कई क्षेत्रों में दुनिया भर में लागू अनुसंधान तेजी से आगे बढ़ रहा है।

कृपया इस अवसर का लाभ उठाकर Qiskit का उपयोग करके विभिन्न क्वांटम सर्किट बनाएं और उन्हें वास्तविक IBM Quantum प्रोसेसर पर चलाएं। आपको अपने हाथों से भविष्य के कंप्यूटिंग प्रतिमान का अनुभव करने में सक्षम होना चाहिए।

संदर्भ

Qiskit आधिकारिक दस्तावेज़
Qiskit पाठ्यपुस्तक (Textbook) - आधिकारिक पाठ्यपुस्तक जो उन लोगों के लिए अनुशंसित है जो गणितीय पृष्ठभूमि और एल्गोरिदम को अधिक गहराई से सीखना चाहते हैं
IBM Quantum Learning

क्वांटम की दुनिया में आपका स्वागत है!

क्वांटम सुप्रीमेसी क्या है? गूगल और आईबीएम के नवीनतम रुझान

Fri, 11 Sep 2026 18:00:00 +0900

1. परिचय: क्वांटम कंप्यूटिंग की सुबह और “क्वांटम सुप्रीमेसी” (क्वांटम सर्वोच्चता)

क्वांटम कंप्यूटिंग, भौतिकी के मूल सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी को सूचना प्रसंस्करण में लागू करके, जटिल समस्याओं को हल करने की क्षमता रखता है जिन्हें शास्त्रीय कंप्यूटर (क्लासिकल कंप्यूटर, जैसे वर्तमान में हम जो पीसी या सुपरकंप्यूटर का उपयोग करते हैं) यथार्थवादी समय सीमा में हल नहीं कर सकते। इस क्षेत्र में लंबे समय तक सैद्धांतिक शोध प्रमुख था, लेकिन हाल के वर्षों में, हार्डवेयर की तीव्र प्रगति के कारण व्यावहारिक उपयोग की ओर प्रतिस्पर्धा तेज हो गई है।

इनमें सबसे ज्यादा ध्यान आकर्षित करने वाले शब्दों में से एक “क्वांटम सुप्रीमेसी (Quantum Supremacy)” है। यह उस क्षण को संदर्भित करता है जब किसी विशिष्ट गणना कार्य में क्वांटम कंप्यूटर शास्त्रीय कंप्यूटर को पछाड़ने वाली गणना क्षमता प्रदर्शित करता है। इस लेख में, हम क्वांटम सुप्रीमेसी की सटीक परिभाषा से शुरुआत करेंगे, 2019 में दुनिया में पहली बार इस मील के पत्थर तक पहुंचने की घोषणा करने वाले गूगल के “Sycamore” प्रोसेसर के प्रयोग का विवरण, इसके खिलाफ आईबीएम का खंडन और उनके अनूठे दृष्टिकोण, और वास्तविक व्यावहारिक उपयोग में सबसे बड़ी बाधा, “क्वांटम त्रुटि सुधार (Quantum Error Correction: QEC)” और “फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग (Fault-Tolerant Quantum Computing: FTQC)” के नवीनतम रोडमैप पर तकनीकी और गणितीय गहराई के साथ चर्चा करेंगे।

2. सैद्धांतिक पृष्ठभूमि: क्वांटम गणना की मूल बातें और जटिलता वर्ग (Complexity Classes)

क्वांटम सुप्रीमेसी को समझने के लिए, पहले क्वांटम गणना की गणितीय नींव और कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में इसके स्थान को समझना आवश्यक है।

क्यूबिट (Qubit) और सुपरपोजिशन (Superposition)

क्लासिकल कंप्यूटर में सूचना की सबसे छोटी इकाई बिट (0 या 1) होती है, लेकिन क्वांटम कंप्यूटर में क्यूबिट (Qubit) का उपयोग किया जाता है। एक क्यूबिट की अवस्था $|\psi\rangle$, बेसिस अवस्थाओं (Basis states) $|0\rangle$ और $|1\rangle$ के जटिल रेखीय संयोजन (complex linear combination) द्वारा दर्शाई जाती है।

$$ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $$

यहाँ, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ हैं, जो सामान्यीकरण शर्त (normalization condition) $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ को पूरा करते हैं। इस गुण को “सुपरपोजिशन (Superposition)” कहा जाता है।

एंटैंगलमेंट (Entanglement) और टेंसर प्रोडक्ट

जब कई क्यूबिट होते हैं, तो संपूर्ण सिस्टम की अवस्था को व्यक्तिगत क्यूबिट की अवस्था स्थान (state space) के टेंसर प्रोडक्ट द्वारा दर्शाया जाता है। $n$ क्यूबिट का सिस्टम, $2^n$ आयामी हिल्बर्ट स्पेस $\mathcal{H}^{\otimes n}$ पर एक वेक्टर होता है।

$$ |\Psi\rangle = \sum_{x \in \{0, 1\}^n} c_x |x\rangle $$

यहाँ, $\sum |c_x|^2 = 1$ है। वह अवस्था जिसमें क्यूबिट स्वतंत्र नहीं होते हैं और एक की अवस्था दूसरे पर निर्भर करती है, उसे “क्वांटम एंटैंगलमेंट (Quantum Entanglement)” कहा जाता है। इसके कारण, क्वांटम कंप्यूटर में एक साथ तेजी से बढ़ते विशाल स्टेट स्पेस को प्रोसेस करने की क्षमता होती है।

क्वांटम सुप्रीमेसी की कम्प्यूटेशनल जटिलता सैद्धांतिक परिभाषा

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, जिन समस्याओं को शास्त्रीय कंप्यूटर कुशलता से (बहुपद समय या polynomial time में) हल कर सकता है, उस वर्ग को BPP (Bounded-error Probabilistic Polynomial time) कहा जाता है। वहीं, जिन समस्याओं को क्वांटम कंप्यूटर कुशलता से हल कर सकता है, उस वर्ग को BQP (Bounded-error Quantum Polynomial time) कहा जाता है।

क्वांटम सुप्रीमेसी के प्रदर्शन का मतलब है “एक विशिष्ट कार्य जो BQP में शामिल है लेकिन BPP में नहीं है (या इसकी संभावना बहुत अधिक है) को वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर पर निष्पादित करना और शास्त्रीय सुपरकंप्यूटर द्वारा सिमुलेशन को समय और संसाधनों के मामले में पार करना।” यह एक ऐतिहासिक प्रयास है जो विस्तारित चर्च-ट्यूरिंग थीसिस (Extended Church-Turing thesis) (“सभी भौतिक रूप से संभव गणना मॉडल को संभाव्य ट्यूरिंग मशीन द्वारा बहुपद समय में अनुकरण किया जा सकता है”) को भौतिक प्रयोग द्वारा गलत साबित करता है।

3. 2019: गूगल द्वारा क्वांटम सुप्रीमेसी का प्रदर्शन

अक्टूबर 2019 में, Google Quantum AI टीम ने वैज्ञानिक पत्रिका ‘Nature’ में घोषणा की कि उन्होंने 53-क्यूबिट सुपरकंडक्टिंग प्रोसेसर “Sycamore” का उपयोग करके क्वांटम सुप्रीमेसी हासिल कर ली है।

Sycamore प्रोसेसर का आर्किटेक्चर

Sycamore प्रोसेसर 54 ट्रांसमोन (Transmon) प्रकार के सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स से बना है जिन्हें 2-आयामी ग्रिड में व्यवस्थित किया गया है (प्रयोग में 53 का उपयोग किया गया था क्योंकि एक काम नहीं कर रहा था)। आसन्न क्यूबिट्स के बीच ट्यूनेबल कपलर्स (Tunable Couplers) रखे गए थे, जिसने हाई-स्पीड और हाई-प्रिसिजन 2-क्यूबिट गेट्स (iSWAP गेट और कंट्रोल्ड-Z गेट का हाइब्रिड) को महसूस किया।

graph TD A["क्वांटम एल्गोरिथ्म इनपुट"] --> B["Sycamore प्रोसेसर (53 क्यूबिट्स)"] B --> C["रैंडम क्वांटम गेट्स लागू करें"] C --> D["क्वांटम अवस्थाओं को मापें (बिटस्ट्रिंग्स)"] D --> E["क्रॉस-एन्ट्रॉपी बेंचमार्किंग (XEB)"] E --> F["क्वांटम सुप्रीमेसी सत्यापित करें"]

रैंडम क्वांटम सर्किट सैंपलिंग (Random Circuit Sampling: RCS)

गूगल ने जो कार्य चुना वह “रैंडम सर्किट सैंपलिंग” है। इसमें यादृच्छिक रूप से (randomly) चुने गए सिंगल-क्यूबिट गेट्स और 2-क्यूबिट गेट्स को कई चक्रों (गहराई $m$) में लागू किया जाता है, और अंतिम अवस्था को मापकर प्राप्त बिटस्ट्रिंग्स के प्रायिकता वितरण (probability distribution) से सैंपलिंग की जाती है।

एक आदर्श (शोर-मुक्त) रैंडम क्वांटम सर्किट से आउटपुट बिटस्ट्रिंग $x$ की प्रायिकता, एक समान वितरण नहीं होती है, बल्कि यह व्यतिकरण फ्रिंज (interference fringes) जैसा पैटर्न दिखाती है जिसे पोर्टर-थॉमस वितरण (Porter-Thomas distribution) कहा जाता है। एक शास्त्रीय कंप्यूटर पर इस वितरण से सैंपलिंग करने के लिए, संपूर्ण अवस्था वेक्टर के सिमुलेशन की आवश्यकता होती है, और कम्प्यूटेशनल जटिलता क्यूबिट्स की संख्या $n$ और सर्किट की गहराई $m$ के साथ घातांकीय (exponentially) रूप से बढ़ती है।

फिडेलिटी (Fidelity) का मूल्यांकन: लीनियर क्रॉस-एन्ट्रॉपी बेंचमार्क (XEB)

यह साबित करने के लिए कि प्रयोगात्मक परिणाम केवल शोर (noise) नहीं है बल्कि वास्तव में किए गए क्वांटम गणना का परिणाम है, गूगल ने लीनियर क्रॉस-एन्ट्रॉपी बेंचमार्किंग (Linear Cross-Entropy Benchmarking: XEB) का उपयोग किया। प्रयोग में प्राप्त बिटस्ट्रिंग $x_i$ के लिए सर्किट की आदर्श प्रायिकता $P(x_i)$ की गणना शास्त्रीय कंप्यूटर से की जाती है, और फिडेलिटी $\mathcal{F}_{\text{XEB}}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा निकाली जाती है:

$$ \mathcal{F}_{\text{XEB}} = 2^n \langle P(x_i) \rangle_{i} - 1 $$

यदि $\mathcal{F}_{\text{XEB}}$ 0 है, तो इसका अर्थ है पूर्ण शोर, और यदि यह 1 है, तो इसका अर्थ है शोर-मुक्त आदर्श क्वांटम प्रोसेसर। Sycamore प्रोसेसर ने गहराई 20 वाले सर्किट में $\mathcal{F}_{\text{XEB}} \approx 0.002$ (0.2%) हासिल किया। यह पहली नजर में कम लग सकता है, लेकिन यह सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण शून्य से अधिक का मूल्य था, और यह $2^{53} \approx 9 \times 10^{15}$ के स्टेट स्पेस को नियंत्रित करने वाली एक आश्चर्यजनक उपलब्धि थी।

समग्र त्रुटि दर (overall error rate) को व्यक्तिगत गेट त्रुटियों, माप त्रुटियों आदि के उत्पाद के रूप में लगभग मॉडल किया गया था:

$$ \mathcal{F} \approx (1 - e_1)^{N_1}(1 - e_2)^{N_2} \cdots \approx \prod_{g \in 1Q} (1 - e_g) \prod_{g \in 2Q} (1 - e_g) \prod_{q} (1 - e_{RO}) $$

(※ $e_g$ गेट त्रुटि है, $e_{RO}$ माप त्रुटि है)

गूगल ने दावा किया कि इस सर्किट को क्लासिकल सुपरकंप्यूटर (Summit) पर सिमुलेट करने में लगभग 10,000 साल लगेंगे। इसके विपरीत, Sycamore ने केवल 200 सेकंड में सैंपलिंग पूरी कर ली।

4. आईबीएम का खंडन: “सुप्रीमेसी” से “उपयोगिता (Utility)” की ओर

गूगल की घोषणा ने दुनिया भर में हलचल मचा दी, लेकिन आईबीएम, जिसने दुनिया का सबसे बड़ा सुपरकंप्यूटर “Summit” विकसित किया था और जो खुद क्वांटम कंप्यूटर के विकास में अग्रणी है, ने तुरंत एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें इस दावे का खंडन किया गया।

टेंसर नेटवर्क संकुचन (Contraction) द्वारा शास्त्रीय सिमुलेशन में सुधार

आईबीएम के खंडन का मूल यह था कि “शास्त्रीय कंप्यूटर पक्ष पर एल्गोरिथ्म और संसाधनों का अनुकूलन (optimization) अपर्याप्त है।” गूगल ने श्रोडिंगर समीकरण के समय विकास (time evolution) की सीधे गणना करने वाले स्टेट वेक्टर सिमुलेटर को मानकर 10,000 साल का अनुमान लगाया था, लेकिन आईबीएम ने बताया कि “टेंसर नेटवर्क (Tensor Network)” नामक विधि का उपयोग करके सिमुलेशन समय को काफी कम किया जा सकता है।

टेंसर नेटवर्क में, क्वांटम सर्किट के गेट संचालन को बहुआयामी सरणियों (टेंसर) के संचालन के रूप में दर्शाया जाता है, और नेटवर्क के “संकुचन (Contraction)” के क्रम को अनुकूलित किया जाता है। इसके अलावा, उन्होंने दावा किया कि यदि Summit के विशाल 250 PB स्टोरेज (डिस्क और मेमोरी का स्तरीकरण) का पूरी तरह से उपयोग किया जाए, तो संपूर्ण अवस्था वेक्टर को बनाए रखते हुए केवल “ढाई दिन (2.5 दिन)” में उच्च सटीकता के साथ सिमुलेशन संभव है।

क्वांटम एडवांटेज और क्वांटम यूटिलिटी (Quantum Utility)

इस बहस ने पूरे उद्योग के रुझान को बदल दिया, जो केवल “शास्त्रीय रूप से असंभव कृत्रिम कार्यों को निष्पादित करने (Supremacy)” की जिद से हटकर, “वास्तविक दुनिया की उपयोगी समस्याओं में शास्त्रीय दृष्टिकोण की तुलना में महत्वपूर्ण श्रेष्ठता प्रदर्शित करने (Quantum Advantage)”, और आगे चलकर “क्वांटम कंप्यूटर का वैज्ञानिक खोज के नए उपकरण के रूप में काम करना (Quantum Utility)” के चरण में प्रवेश कर गया।

आईबीएम खुद “सुप्रीमेसी” शब्द से बचता है, क्वांटम प्रोसेसर के समग्र प्रदर्शन संकेतक के रूप में “क्वांटम वॉल्यूम (Quantum Volume)” और “CLOPS (Circuit Layer Operations Per Second)” का प्रस्ताव रखता है, और हार्डवेयर के पैमाने (scale) और गुणवत्ता के संतुलन पर जोर देते हुए विकास को आगे बढ़ा रहा है।

timeline title "क्वांटम मील के पत्थर का विकास" 2019 : "गूगल Sycamore (53Q)" : "क्वांटम सुप्रीमेसी की घोषणा" 2019 : "आईबीएम का खंडन" : "2.5 दिनों में Summit सुपरकंप्यूटर पर सिमुलेशन" 2021 : "आईबीएम Eagle (127Q)" : "100-क्यूबिट की बाधा को तोड़ना" 2022 : "आईबीएम Osprey (433Q)" : "प्रोसेसर के पैमाने को बढ़ाना" 2023 : "गूगल सरफेस कोड" : "त्रुटि सुधार को बढ़ाना (d=3 से d=5 तक)" 2023 : "आईबीएम क्वांटम यूटिलिटी" : "127Q पर जटिल स्पिन मॉडल सिमुलेशन" 2024 : "भविष्य" : "लॉजिकल क्यूबिट्स और त्रुटि शमन (Error Mitigation) का युग"

5. अगला फ्रंटियर: त्रुटि शमन (Error Mitigation) और क्वांटम त्रुटि सुधार (QEC)

वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों को “NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum)” कहा जाता है। ये शोर (बाहरी वातावरण के साथ संपर्क या अपूर्ण नियंत्रण के कारण होने वाली त्रुटियों) के प्रति संवेदनशील होते हैं, और लंबी गणना करने पर परिणाम शोर में दब जाते हैं। इस समस्या को दूर करने के दृष्टिकोण को मुख्य रूप से दो भागों में बांटा जा सकता है: “त्रुटि शमन (Error Mitigation)” और “क्वांटम त्रुटि सुधार (Quantum Error Correction)"।

त्रुटि शमन (Error Mitigation)

त्रुटि शमन क्वांटम हार्डवेयर को बदले बिना शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग द्वारा गणना परिणामों के अपेक्षित मान (expected value) से शोर के प्रभाव को दूर करने की एक विधि है। 2023 में, आईबीएम ने अपने 127-क्यूबिट “Eagle” प्रोसेसर को “जीरो-नॉइज़ एक्स्ट्रापोलेशन (Zero-Noise Extrapolation: ZNE)” जैसी त्रुटि शमन तकनीकों के साथ जोड़कर एक जटिल आइसिंग मॉडल (Ising model) के समय विकास सिमुलेशन में अत्याधुनिक अनुमानित टेंसर नेटवर्क विधियों को पार करते हुए “क्वांटम यूटिलिटी” का प्रदर्शन किया।

क्वांटम त्रुटि सुधार (QEC) और लॉजिकल क्यूबिट्स

हालांकि, अंततः किसी भी जटिल एल्गोरिथ्म (जैसे कि शोर का फैक्टराइजेशन एल्गोरिथ्म (Shor’s algorithm) या जटिल क्वांटम रसायन विज्ञान गणना) को निष्पादित करने के लिए, त्रुटि शमन अकेले पर्याप्त नहीं है। इसके लिए “क्वांटम त्रुटि सुधार (QEC)” अपरिहार्य है, जो गतिशील रूप से त्रुटियों का पता लगाता है और उन्हें सुधारता है।

QEC का मुख्य दृष्टिकोण “सरफेस कोड (Surface Code)” है। इस तकनीक में, कई भौतिक क्यूबिट्स (डेटा क्यूबिट्स) को 2-आयामी ग्रिड में व्यवस्थित किया जाता है, और उनके बीच माप क्यूबिट्स (एंसिला क्यूबिट्स, Ancilla qubits) को “स्टेबलाइजर (Stabilizer)” नामक पैरिटी चेक को लगातार करने के लिए रखा जाता है।

graph LR Q1["डेटा क्यूबिट (डेटा)"] --- M1["X स्टेबलाइजर मापें (एंसिला)"] Q2["डेटा क्यूबिट (डेटा)"] --- M1 Q3["डेटा क्यूबिट (डेटा)"] --- M2["Z स्टेबलाइजर मापें (एंसिला)"] Q4["डेटा क्यूबिट (डेटा)"] --- M2 M1 --> EC["एरर सिंड्रोम डिकोडिंग (शास्त्रीय)"] M2 --> EC EC --> LQ["लॉजिकल क्यूबिट अवस्था अपडेट"]

थ्रेसहोल्ड प्रमेय (Threshold Theorem) और दूरी $d$

क्वांटम त्रुटि सुधार में एक “थ्रेसहोल्ड प्रमेय” होता है। यदि भौतिक क्यूबिट की त्रुटि दर $p$ एक विशिष्ट थ्रेसहोल्ड $p_{th}$ (सरफेस कोड के मामले में लगभग 1%) से कम है, तो कोड की दूरी (Distance) $d$ बढ़ाकर (एक लॉजिकल क्यूबिट के लिए अधिक भौतिक क्यूबिट्स निर्दिष्ट करके) लॉजिकल त्रुटि दर $p_L$ को घातीय (exponentially) रूप से कम किया जा सकता है।

लॉजिकल त्रुटि दर के अनुमानित सूत्र को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$ p_L \approx \Lambda \left( \frac{p}{p_{th}} \right)^{\frac{d+1}{2}} $$

यहाँ, $\Lambda$ एक स्थिरांक (constant) है। यदि $p < p_{th}$ है, तो $d$ जितना बड़ा होगा, $p_L$ उतना ही छोटा होगा। हालांकि, यदि $p > p_{th}$ है, तो अधिक भौतिक क्यूबिट्स जोड़ने से शोर जमा हो जाएगा और लॉजिकल त्रुटि दर खराब हो जाएगी।

गूगल का 2023 माइलस्टोन: दूरी बढ़ाकर त्रुटि में कमी का प्रदर्शन

फरवरी 2023 में, गूगल ने ‘Nature’ में एक ऐतिहासिक पेपर प्रकाशित किया। उन्होंने अपने तीसरी पीढ़ी के Sycamore प्रोसेसर का उपयोग करके दुनिया में पहली बार यह प्रदर्शित किया कि जब सरफेस कोड की दूरी को $d=3$ (17 भौतिक क्यूबिट्स का उपयोग) से $d=5$ (49 भौतिक क्यूबिट्स का उपयोग) तक बढ़ाया गया, तो लॉजिकल त्रुटि दर थोड़ी कम होकर 3.028% से 2.914% हो गई।

इसका मतलब है कि हमने $p < p_{th}$ के क्षेत्र में कदम रखा है, और यह प्रदर्शित करता है कि FTQC की दिशा में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा का प्रमाण (Proof of Concept) पूरा हो गया है, जहाँ भौतिक क्यूबिट्स बढ़ाने से प्रदर्शन में सुधार होता है।

6. FTQC (फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग) की ओर रोडमैप और भविष्य की संभावनाएं

गूगल और आईबीएम, हालांकि अलग-अलग आर्किटेक्चर और दृष्टिकोण अपना रहे हैं, अंतिम लक्ष्य FTQC (फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग) की दिशा में तीव्र विकास प्रतिस्पर्धा में लगे हुए हैं।

आईबीएम का दृष्टिकोण: मॉड्यूलरिटी और हेवी-हेक्स (Heavy-Hex) लैटिस

आईबीएम त्रुटि दर को काफी हद तक कम करने के साथ-साथ प्रोसेसर के पैमाने को बढ़ाने पर ध्यान केंद्रित कर रहा है। “Eagle (127Q)”, “Osprey (433Q)” और “Condor (1121Q)” के साथ सिंगल-चिप की सीमा को चुनौती देते हुए, उन्होंने “Quantum System Two” नामक एक मॉड्यूलर आर्किटेक्चर की घोषणा की है। इसके अलावा, क्यूबिट्स की कपलिंग टोपोलॉजी के लिए, वे “हेवी-हेक्स (Heavy-Hex) लैटिस” अपनाते हैं, जो अनावश्यक क्रॉसटॉक (crosstalk) को कम करता है और स्थिरता बढ़ाता है। आईबीएम की रणनीति एक हाइब्रिड दृष्टिकोण है, जो अल्पावधि में उन्नत त्रुटि शमन के साथ उपयोगिता को आगे बढ़ाती है और धीरे-धीरे QEC पेश करती है।

गूगल का दृष्टिकोण: लॉजिकल क्यूबिट्स की गुणवत्ता में सुधार

गूगल की रणनीति भौतिक क्यूबिट्स की संख्या में तेजी से वृद्धि करने के बजाय, एक लॉजिकल क्यूबिट की त्रुटि दर को सीमा तक कम करने (उदाहरण के लिए $10^{-6}$ तक कम करने) पर अधिक केंद्रित है। इसके आधार पर, वे मॉड्यूल के बीच क्वांटम अवस्थाओं को स्थानांतरित करने के लिए प्रौद्योगिकी (Quantum Interconnects) स्थापित करने और एक बड़े पैमाने की प्रणाली का लक्ष्य बना रहे हैं जो समानांतर में हजारों से दसियों हज़ार भौतिक क्यूबिट संचालित करेगी।

मैजिक स्टेट डिस्टिलेशन (Magic State Distillation) जैसे नॉन-क्लिफोर्ड गेट्स को फॉल्ट-टोलरेंट तरीके से लागू करने के लिए प्रोटोकॉल का कार्यान्वयन भी भविष्य में एक बड़ी तकनीकी बाधा होगी। एक व्यावहारिक शोर (Shor) के एल्गोरिथ्म को निष्पादित करने और 2048-बिट आरएसए (RSA) एन्क्रिप्शन को क्रैक करने के लिए, $10^{-8}$ या उससे कम त्रुटि दर वाले हजारों लॉजिकल क्यूबिट्स और लाखों से करोड़ों भौतिक क्यूबिट्स की आवश्यकता होगी, और यह सफर अभी लंबा है।

7. निष्कर्ष

क्वांटम कंप्यूटर के इतिहास में, “क्वांटम सुप्रीमेसी” एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर था जिसने कंप्यूटर की सैद्धांतिक क्षमता को भौतिक रूप से साबित किया। 2019 में गूगल के प्रदर्शन और आईबीएम के रचनात्मक खंडन ने पूरे उद्योग को महज सैद्धांतिक प्रमाण से परे, वास्तविक उपयोगिता (Utility) की खोज और अंततः फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग (FTQC) की ओर पूर्ण इंजीनियरिंग के युग में धकेल दिया।

वर्तमान में हम शोरगुल वाले NISQ उपकरणों से त्रुटि सुधार से लैस लॉजिकल क्यूबिट उपकरणों के संक्रमण काल के साक्षी बन रहे हैं। अगले कुछ वर्षों से एक दशक के भीतर, इस क्वांटम हार्डवेयर के विकास के साथ-साथ नए सामग्री विज्ञान की खोजें, दवा निर्माण (drug discovery) प्रक्रिया में क्रांति, और अनुकूलन समस्याओं (optimization problems) में सफलताएं एक वास्तविकता बन जाएंगी।

भविष्य के कंप्यूटर विज्ञान को आकार देने वाले गूगल और आईबीएम के साथ-साथ दुनिया भर के शोधकर्ताओं के रुझानों पर नज़र रखना रोमांचक होगा।

पोस्ट-क्वांटम युग में ब्लॉकचेन और क्रिप्टोकरेंसी कैसे बदलेंगे?

Fri, 11 Sep 2026 17:00:00 +0900

1. परिचय: पोस्ट-क्वांटम युग की आहट और ब्लॉकचेन का संकट

2009 में सतोशी नाकामोतो द्वारा बिटकॉइन (Bitcoin) के निर्माण के बाद से, ब्लॉकचेन तकनीक “विकेंद्रीकृत और अपरिवर्तनीय खाता बही” के रूप में दुनिया भर में वित्तीय प्रणालियों और अनुप्रयोगों की नींव बन गई है। इस मजबूत सुरक्षा का आधार आधुनिक क्रिप्टोग्राफिक तकनीकें हैं: पब्लिक की क्रिप्टोग्राफी (Public Key Cryptography) और क्रिप्टोग्राफिक हैश फ़ंक्शंस (Cryptographic Hash Functions)।

ये क्रिप्टोग्राफिक तकनीकें गणितीय “कम्प्यूटेशनल कठिनाई (Computational Hardness)” के आधार पर सुरक्षा की गारंटी देती हैं, जिसका अर्थ है कि एक क्लासिकल कंप्यूटर (जैसे कि आज हम जो पीसी या सुपरकंप्यूटर इस्तेमाल करते हैं) को इसे क्रैक करने में ब्रह्मांड के जीवनकाल जितना समय लग जाएगा।

हालाँकि, भौतिकी और सूचना विज्ञान की सीमा पर स्थित क्वांटम कंप्यूटर (Quantum Computers) के तेजी से विकास और व्यावहारिक अनुप्रयोग के कारण इस धारणा को जड़ से पलटने की तैयारी है। क्वांटम यांत्रिकी की विशिष्ट विशेषताओं जैसे “सुपरपोज़िशन (Superposition)” और “क्वांटम इंटैंगलमेंट (Entanglement)” का उपयोग करने वाले क्वांटम कंप्यूटर, कुछ गणितीय समस्याओं में पारंपरिक क्लासिकल कंप्यूटरों पर भारी पड़ने वाली कम्प्यूटेशनल क्षमता प्रदर्शित करते हैं, जिसे “क्वांटम सुप्रीमेसी (Quantum Supremacy)” कहा जाता है।

इस लेख में, हम गहराई से तकनीकी और गणितीय दृष्टिकोण से व्याख्या करेंगे कि क्वांटम कंप्यूटरों द्वारा ब्लॉकचेन तकनीक को विशेष रूप से किन खतरों का सामना करना पड़ रहा है, और इसके समाधान के रूप में पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC: Post-Quantum Cryptography) के नवीनतम रुझानों और क्रिप्टो एसेट नेटवर्क के संक्रमण परिदृश्यों पर चर्चा करेंगे।

2. क्वांटम कंप्यूटर की मूल बातें और ब्लॉकचेन के लिए 2 बड़े खतरे

वर्तमान ब्लॉकचेन सिस्टम मुख्य रूप से निम्नलिखित 2 क्रिप्टोग्राफिक तत्वों से बने हैं, और इनमें से प्रत्येक क्वांटम एल्गोरिदम के कारण अलग-अलग खतरों के संपर्क में है।

graph TD A["क्वांटम कंप्यूटर की आश्चर्यजनक गणना क्षमता"] --> B["शोर का एल्गोरिदम (Shor's Algorithm)"] A --> C["ग्रोवर का एल्गोरिदम (Grover's Algorithm)"] B --> D["पब्लिक की क्रिप्टोग्राफी (ECDSA/RSA/DSA) का पतन"] C --> E["क्रिप्टोग्राफिक हैश फ़ंक्शन (SHA-256) पर प्रभाव"] D --> F["दूसरों की प्राइवेट की (Private Key) की पहचान और लेनदेन जालसाजी"] E --> G["PoW माइनिंग लाभ और कुछ पतों पर हमले"] F --> H["ब्लॉकचेन के लिए घातक और सीधा खतरा"] G --> I["एल्गोरिदम समायोजन (जैसे की-लेंथ बढ़ाना) से प्रबंधनीय खतरा"] style H fill:#ff9999,stroke:#cc0000,stroke-width:2px; style I fill:#ffff99,stroke:#cccc00,stroke-width:2px;

2.1. एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी (ECDSA) की मूल बातें और कम्प्यूटेशनल कठिनाई

बिटकॉइन और एथेरियम (Ethereum) सहित कई ब्लॉकचेन अपने डिजिटल हस्ताक्षर एल्गोरिदम के रूप में एलिप्टिक कर्व डिजिटल सिग्नेचर एल्गोरिदम (ECDSA: Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) का उपयोग करते हैं। विशेष रूप से, बिटकॉइन secp256k1 नामक मापदंडों वाले एलिप्टिक कर्व का उपयोग करता है।

एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी की सुरक्षा एलिप्टिक कर्व डिस्क्रीट लॉगरिथम प्रॉब्लम (ECDLP: Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem) की कम्प्यूटेशनल कठिनाई पर निर्भर करती है। एलिप्टिक कर्व को वीयरस्ट्रास सामान्य रूप (Weierstrass normal form) में व्यक्त निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$ y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod{p} $$

बिटकॉइन के secp256k1 में, $a = 0, b = 7$ है, और $p$ एक बहुत बड़ी अभाज्य संख्या है। इस वक्र (curve) पर एक बेस पॉइंट (संदर्भ बिंदु) को $G$ मान लेते हैं, और यादृच्छिक रूप से चुने गए 256-बिट के एक विशाल पूर्णांक को प्राइवेट की (Private Key) $k$ मानते हैं। इस स्थिति में, पब्लिक की (Public Key) $K$ की गणना बेस पॉइंट को $k$ बार जोड़कर (स्केलर गुणन) की जाती है।

$$ K = k \times G = \underbrace{G + G + \dots + G}_{k \text{ times}} $$

क्लासिकल कंप्यूटर का उपयोग करके प्रकाशित पब्लिक की $K$ और बेस पॉइंट $G$ से प्राइवेट की $k$ की रिवर्स-इंजीनियरिंग (डिस्क्रीट लॉगरिथम खोजना) में, पोलार्ड-रो (Pollard’s rho) एल्गोरिदम जैसे सबसे अच्छे क्लासिकल एल्गोरिदम का उपयोग करने पर भी $\mathcal{O}(\sqrt{p})$ का एक्सपोनेंशियल कम्प्यूटेशनल समय लगता है। 256-बिट की (key) के लिए, लगभग $2^{128}$ ऑपरेशनों की आवश्यकता होगी, जिसे वर्तमान सुपरकंप्यूटरों को अरबों वर्षों तक चलाने पर भी हल नहीं किया जा सकता है।

2.2. शोर का एल्गोरिदम (Shor’s Algorithm) द्वारा पतन

हालाँकि, 1994 में पीटर शोर द्वारा प्रस्तुत किए गए शोर के एल्गोरिदम ने इस धारणा को पूरी तरह से नष्ट कर दिया। शोर का एल्गोरिदम मूल रूप से अभाज्य गुणनखंडन समस्या (RSA क्रिप्टोग्राफी का आधार) को पॉलिनॉमियल टाइम (polynomial time) में हल करने के लिए प्रस्तावित किया गया था, लेकिन इसे डिस्क्रीट लॉगरिथम समस्या और एलिप्टिक कर्व डिस्क्रीट लॉगरिथम समस्या पर भी लागू किया जा सकता है।

शोर के एल्गोरिदम का मूल, क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT: Quantum Fourier Transform) का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की “अवधि (Period)” को तेज़ी से खोजने में निहित है।

$$ \text{क्लासिकल कम्प्यूटेशनल जटिलता} = \mathcal{O}(2^{n/2}) \quad (n\text{ बिट-लंबाई है}) $$ $$ \text{क्वांटम एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता} = \mathcal{O}(n^3) $$

इस प्रकार, शोर का एल्गोरिदम एक्सपोनेंशियल समय को पॉलिनॉमियल टाइम (Polynomial Time) में नाटकीय रूप से कम कर देता है। पर्याप्त लॉजिकल क्वांटम बिट्स (क्यूबिट्स) वाले क्वांटम कंप्यूटर के पूरा होने पर, नेटवर्क पर प्रकाशित पब्लिक की $K$ से कुछ मिनटों या सेकंडों में प्राइवेट की $k$ का पता लगाना संभव हो जाएगा। इससे हमलावर आसानी से दूसरों के वॉलेट की प्राइवेट की प्राप्त कर सकेंगे और पूरी तरह से फंड पर कब्ज़ा कर सकेंगे।

2.2.1 शोर के एल्गोरिदम द्वारा ECDLP डिक्रिप्शन का चरण-दर-चरण विवरण

आइए चरण-दर-चरण आंतरिक प्रक्रिया को देखें कि क्वांटम कंप्यूटर एलिप्टिक कर्व डिस्क्रीट लॉगरिथम प्रॉब्लम (ECDLP) को कैसे हल करता है।

समस्या की सेटिंग: $K = k \times G$ में, $G$ और $K$ ज्ञात हैं, और हम अज्ञात पूर्णांक $k$ (प्राइवेट की) खोजना चाहते हैं। मान लें कि एलिप्टिक कर्व का ऑर्डर $N$ है।

चरण 1: सुपरपोज़िशन स्टेट बनाना सबसे पहले, 2 क्वांटम रजिस्टर तैयार करें, और सभी संभावित पूर्णांक संयोजनों की सुपरपोज़िशन स्टेट बनाने के लिए प्रत्येक पर हैडामर्ड गेट (Hadamard Gate) लागू करें।

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{N} \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} |x\rangle |y\rangle |0\rangle $$

चरण 2: क्वांटम ऑरेकल लागू करना (फ़ंक्शन मूल्यांकन) इसके बाद, एलिप्टिक कर्व पर बिंदुओं को जोड़ने वाले क्वांटम सर्किट (ऑरेकल) का उपयोग करके तीसरे रजिस्टर में फ़ंक्शन $f(x, y) = x \times G + y \times K$ की गणना करें।

$$ |\psi_2\rangle = \frac{1}{N} \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} |x\rangle |y\rangle |x \times G + y \times K\rangle $$

यहाँ महत्वपूर्ण बात यह है कि चूँकि $K = k \times G$ है, इसे $f(x, y) = (x + y \cdot k) \times G$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

चरण 3: तीसरे रजिस्टर का मापन तीसरे रजिस्टर को मापने पर, यह एलिप्टिक कर्व पर किसी बिंदु $R$ पर सिकुड़ (collapse) जाता है। नतीजतन, पहला और दूसरा रजिस्टर $(x, y)$ के युग्मों की सुपरपोज़िशन स्टेट में सिकुड़ जाते हैं जो $x + y \cdot k \equiv c \pmod{N}$ ($c$ एक स्थिरांक है) को संतुष्ट करते हैं।

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{y=0}^{N-1} |c - y \cdot k \pmod{N}\rangle |y\rangle $$

चरण 4: क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) लागू करना इस स्थिति (state) में अवधि $k$ से संबंधित आवधिकता (periodicity) होती है। यहाँ इनवर्स क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (Inverse QFT) लागू करके, यह फेज़ इंटरफेरेंस (phase interference) का कारण बनता है और अवधि की जानकारी को एम्प्लीट्यूड (amplitude) में बदल देता है।

चरण 5: मापन और क्लासिकल पोस्ट-प्रोसेसिंग पहले और दूसरे रजिस्टर को मापने पर, उच्च संभावना के साथ $k$ के बारे में जानकारी वाला मान प्राप्त होता है। मापे गए मान पर कंटिन्यूड फ्रैक्शन्स (Continued Fractions) जैसे क्लासिकल नंबर-थ्योरी एल्गोरिदम लागू करके, अज्ञात प्राइवेट की $k$ को पूरी तरह से निर्धारित किया जा सकता है।

इस पूरी प्रक्रिया में आवश्यक क्वांटम गेट्स की संख्या $\mathcal{O}(\log^3 N)$ है, जो क्लासिकल कंप्यूटर द्वारा $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ की खोज की तुलना में अविश्वसनीय रूप से तेज़ गति से प्राइवेट की को उजागर करती है।

2.3. ग्रोवर का एल्गोरिदम (Grover’s Algorithm) और हैश फ़ंक्शंस पर प्रभाव

एक और खतरा 1996 में लोव ग्रोवर (Lov Grover) द्वारा प्रस्तावित ग्रोवर का एल्गोरिदम है। इसका हैश फ़ंक्शंस (जैसे: SHA-256) पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ता है।

ब्लॉकचेन में, हैश फ़ंक्शंस का उपयोग डेटा अखंडता की गारंटी देने, पते उत्पन्न करने और बिटकॉइन में PoW (Proof of Work) माइनिंग के आधार के रूप में किया जाता है। हैश फ़ंक्शन (प्री-इमेज कैलकुलेशन) की रिवर्स इंजीनियरिंग को “अनस्ट्रक्चर्ड डेटाबेस सर्च प्रॉब्लम” के रूप में देखा जा सकता है, जहाँ हम एक इनपुट मान $x$ की खोज करते हैं जो किसी विशिष्ट आउटपुट मान $y$ के लिए $H(x) = y$ में परिणत होता है।

क्लासिकल कंप्यूटर पर, $N$ संभावनाओं में से सही उत्तर खोजने के लिए, औसतन $\frac{N}{2}$ परीक्षण और सबसे खराब स्थिति में $N$ परीक्षणों की आवश्यकता होती है। यानी कम्प्यूटेशनल जटिलता $\mathcal{O}(N)$ है।

हालाँकि, ग्रोवर का एल्गोरिदम “एम्प्लीट्यूड एम्प्लीफिकेशन (Amplitude Amplification)” नामक क्वांटम तकनीक का उपयोग करता है। सुपरपोज़िशन स्टेट में मौजूद सभी संभावनाओं में से सही स्थिति के प्रोबेबिलिटी एम्प्लीट्यूड (probability amplitude) को बार-बार बढ़ाकर, यह खोज के समय को उसके वर्गमूल (square root) तक कम कर देता है।

$$ \text{ग्रोवर के एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता} = \mathcal{O}(\sqrt{N}) $$

SHA-256 के मामले में, चूँकि $N = 2^{256}$ है, एक क्लासिकल ब्रूट-फोर्स खोज के लिए लगभग $2^{256}$ परीक्षणों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, ग्रोवर के एल्गोरिदम का उपयोग करने पर केवल $\sqrt{2^{256}} = 2^{128}$ परीक्षणों की आवश्यकता होगी। इसका मतलब यह है कि 256-बिट हैश फ़ंक्शन की सुरक्षा क्वांटम कंप्यूटरों के खिलाफ प्रभावी रूप से 128-बिट सुरक्षा शक्ति तक आधी रह जाती है।

2.3.1. क्या SHA-256 जीवित रहेगा? (हैशिंग में क्वांटम सुप्रीमेसी)

हालाँकि सुरक्षा आधी रह जाती है, फिर भी “128-बिट सुरक्षा” बेहद मजबूत है। वर्तमान तकनीकी स्तर के दृष्टिकोण से भी $2^{128}$ ऑपरेशन एक खगोलीय संख्या है, और इसके लिए ब्रह्मांड के जीवनकाल जितना समय चाहिए होगा।

इसलिए, यह व्यापक रूप से माना जाता है कि “SHA-256 क्वांटम कंप्यूटरों के खिलाफ भी व्यावहारिक सुरक्षा बनाए रखेगा”। यदि भविष्य में सुरक्षा मार्जिन को बढ़ाने की आवश्यकता होती है, तो बस हैश की आउटपुट लंबाई को दोगुना (उदाहरण के लिए: SHA-256 से SHA-512 में माइग्रेट करना) करने से क्वांटम दुनिया में भी क्लासिकल 256-बिट सुरक्षा को बनाए रखा जा सकता है।

निष्कर्ष में, हम कह सकते हैं कि हैश फ़ंक्शंस के लिए क्वांटम खतरा “मामूली और प्रबंधनीय” है, जबकि पब्लिक की क्रिप्टोग्राफी (ECDSA) के लिए खतरा “घातक” है।

3. वर्तमान क्रिप्टो एसेट्स (Bitcoin, Ethereum) पर विशिष्ट प्रभाव का विश्लेषण

ऐसी दुनिया में जहाँ क्वांटम कंप्यूटरों द्वारा ECDSA को डिक्रिप्ट किया जा सकता है, क्रिप्टो एसेट नेटवर्क विशेष रूप से किन कमजोरियों का सामना करेंगे? यहाँ, हम बिटकॉइन के तंत्र (मैकेनिज्म) का एक उदाहरण के रूप में उपयोग करके “पब्लिक की के उजागर होने के समय (Timing of Public Key Exposure)” के दृष्टिकोण से एक विस्तृत विश्लेषण करेंगे।

3.1. पतों (Addresses) का निर्माण और पब्लिक की की “गोपनीयता”

बिटकॉइन के पते (P2PKH: Pay-to-Public-Key-Hash और P2WPKH: Pay-to-Witness-Public-Key-Hash) सीधे पब्लिक की का उपयोग नहीं करते हैं, बल्कि पब्लिक की के कई बार हैश किए गए संस्करण का उपयोग करते हैं।

$$ \text{Bitcoin Address} = \text{Base58Check}(\text{RIPEMD160}(\text{SHA256}(\text{Public Key}))) $$

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, हैश फ़ंक्शंस क्वांटम हमलों (ग्रोवर का एल्गोरिदम) के प्रति प्रतिरोधी हैं, इसलिए क्वांटम कंप्यूटर के लिए भी हैश मान वाले “पते” से मूल “पब्लिक की” की रिवर्स-इंजीनियरिंग करना असंभव है।

दूसरे शब्दों में, “अप्रयुक्त (ऐसे पते जिनसे कभी कोई फंड नहीं भेजा गया है) पतों” के लिए, पब्लिक की ब्लॉकचेन पर बिल्कुल भी उजागर नहीं होती है, और केवल हैश मान दर्ज किया जाता है। इसलिए, जब तक पब्लिक की अज्ञात है, शोर के एल्गोरिदम को निष्पादित करने के लिए कोई लक्ष्य नहीं है, और प्राइवेट की का पता नहीं लगाया जा सकता है। इस स्थिति में वॉलेट को क्वांटम-सुरक्षित (Quantum-safe) कहा जा सकता है।

3.2. लेन-देन (Transaction) भेजते समय घातक भेद्यता (फ्रंट-रनिंग हमला)

समस्या तब उत्पन्न होती है जब उपयोगकर्ता फंड ट्रांसफर करते हैं। नेटवर्क पर लेन-देन का प्रसारण (ब्रॉडकास्ट) करते समय, सत्यापन के लिए उपयोगकर्ताओं को डिजिटल हस्ताक्षर के साथ अपनी पब्लिक की को लेन-देन डेटा में शामिल करना होगा और इसे पूरे नेटवर्क में सार्वजनिक करना होगा।

sequenceDiagram participant User as "उपयोगकर्ता (एलिस)" participant Mempool as "Mempool (अपुष्ट लेन-देन पूल)" participant QuantumAttacker as "क्वांटम हमलावर" participant Miner as "माइनर (ब्लॉक जनरेशन)" User->>Mempool: लेन-देन भेजें (पब्लिक की + हस्ताक्षर शामिल हैं) Mempool-->>QuantumAttacker: नेटवर्क पर पब्लिक की को इंटरसेप्ट करें note right of QuantumAttacker: कुछ मिनटों में शोर का एल्गोरिदम चलाएँ
(पब्लिक की से प्राइवेट की की गणना करें) QuantumAttacker->>QuantumAttacker: एलिस की प्राइवेट की का उपयोग करके नया हस्ताक्षर उत्पन्न करें QuantumAttacker->>Mempool: अधिक माइनर शुल्क (fee) के साथ धोखाधड़ी वाले लेन-देन का प्रसारण करें Miner->>Miner: उच्च शुल्क (Gas) वाले धोखाधड़ी के लेन-देन को प्राथमिकता दें और ब्लॉक में शामिल करें Miner-->>User: ब्लॉकचेन पर दर्ज किया गया (एलिस के फंड का नुकसान)

एक बार जब पब्लिक की Mempool (अपुष्ट लेन-देन के लिए प्रतीक्षा क्षेत्र) में भेज दी जाती है, तो उस डेटा को दुनिया भर के नोड्स के साथ साझा किया जाता है। यदि किसी हमलावर के पास एक अल्ट्रा-फास्ट क्वांटम कंप्यूटर है, तो वह निम्नलिखित प्रक्रिया से धन चुरा सकता है:

Mempool से एक वैध उपयोगकर्ता (एलिस) के लेन-देन को इंटरसेप्ट (intercept) करें और पब्लिक की निकालें।
शोर का एल्गोरिदम चलाएँ और कुछ मिनटों के भीतर (ब्लॉक के स्वीकृत होने से पहले) पब्लिक की से प्राइवेट की की गणना करें।
प्राप्त प्राइवेट की का उपयोग करके, एक नकली लेन-देन बनाएँ जो एलिस के धन को हमलावर के पते पर भेजता है।
इस नकली लेन-देन के लिए एलिस के मूल लेन-देन की तुलना में बहुत अधिक माइनर शुल्क (Fee) निर्धारित करें और इसे नेटवर्क पर भेजें।

माइनर आर्थिक प्रोत्साहन (economic incentives) का पालन करते हैं और उच्च शुल्क वाले लेन-देन को प्राथमिकता देते हुए ब्लॉक में शामिल करते हैं। परिणामस्वरूप, हमलावर का कपटपूर्ण धन हस्तांतरण पहले स्वीकृत (Confirm) हो जाता है, और एलिस के वैध हस्तांतरण को “अपर्याप्त शेष (Double Spend)” के रूप में छोड़ दिया जाता है। घटनाओं के इस क्रम को फ्रंट-रनिंग हमला (Front-running Attack) कहा जाता है। जिस दुनिया में क्वांटम कंप्यूटर का व्यावहारिक उपयोग होगा, वहाँ यह एक भयावह स्थिति पैदा करेगा जहाँ किसी के द्वारा सेंड (Send) बटन दबाते ही धन हैकर्स द्वारा चुरा लिया जाएगा।

3.3. पुन: उपयोग किए गए पतों और पुराने पतों (P2PK) का संकट

इससे भी अधिक गंभीर समस्या यह है कि जो पते अतीत में कम से कम एक बार धन भेजने के लिए उपयोग किए गए हैं (जैसे कि चेंज एड्रेस (change address) के रूप में पुन: उपयोग किए जाने पर), उनकी पब्लिक की पहले ही स्थायी रूप से ब्लॉकचेन पर दर्ज हो चुकी है। इन्हें लेन-देन भेजने का इंतजार किए बिना, किसी भी समय अपनी प्राइवेट की की गणना होने और शेष राशि (balance) छिन जाने का खतरा होता है।

इसके अलावा, 2009 से 2010 के आसपास मुख्यधारा के P2PK (Pay-to-Public-Key) प्रारूप में, जिसमें सतोशी नाकामोतो के शुरुआती माइनिंग पुरस्कार (लगभग 1 मिलियन बीटीसी या अधिक) शामिल हैं, पते के रूप में हैश के बजाय सीधे पब्लिक की को ब्लॉकचेन पर दर्ज किया गया था। ये बड़ी संख्या में निष्क्रिय बिटकॉइन क्वांटम कंप्यूटरों के लिए सबसे आसान लक्ष्य बन जाएंगे, और यदि एक साथ चोरी हो गए और बाज़ार में डंप (dump) कर दिए गए, तो वे कीमत में भारी गिरावट का कारण बन सकते हैं।

4. पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC: Post-Quantum Cryptography) में संक्रमण परिदृश्य

“Q-Day (वह दिन जब क्वांटम कंप्यूटर क्रिप्टोग्राफी को तोड़ देंगे)” की ऐसी तबाही से बचने के लिए, क्रिप्टोग्राफिक समुदाय और ब्लॉकचेन समुदाय पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) में संक्रमण की योजना बना रहे हैं, जिसे क्वांटम एल्गोरिदम द्वारा भी समझना मुश्किल है। यूएस नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ स्टैंडर्ड्स एंड टेक्नोलॉजी (NIST) कई वर्षों से PQC के मानकीकरण की प्रक्रिया को आगे बढ़ा रहा है, और कठोर मूल्यांकन के कई दौरों के बाद, कुछ आशाजनक क्रिप्टोग्राफिक विधियों को अंतिम मानकों के रूप में चुना गया है।

हम ब्लॉकचेन डिजिटल हस्ताक्षरों के विकल्प के रूप में ध्यान आकर्षित करने वाले प्रमुख PQC एल्गोरिदम और उनके गणितीय तंत्र को विस्तार से समझाएंगे।

4.1. हैश-आधारित हस्ताक्षर (Hash-Based Signatures)

हैश-आधारित हस्ताक्षर एक क्रिप्टोग्राफिक विधि है जिसकी सुरक्षा पूरी तरह से “हैश फ़ंक्शन के टकराव प्रतिरोध (collision resistance)” के अत्यंत सरल और मजबूत आधार पर निर्भर करती है। चूँकि क्वांटम कंप्यूटरों के खिलाफ हैश फ़ंक्शंस की सुरक्षा पहले ही साबित हो चुकी है (जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, 128-बिट सुरक्षा मार्जिन पर्याप्त है), यह एक अत्यधिक विश्वसनीय दृष्टिकोण है। विशिष्ट उदाहरणों में लैम्पोर्ट सिग्नेचर्स (Lamport Signatures), इसका विस्तारित संस्करण WOTS (Winternitz One-Time Signature), और NIST मानकीकरण उम्मीदवार SPHINCS+ (जिसे अब FIPS 205 के रूप में SLH-DSA कहा जाता है) शामिल हैं।

4.1.1. लैम्पोर्ट सिग्नेचर का गणितीय विवरण (One-Time Signature)

आइए लैम्पोर्ट सिग्नेचर के तंत्र को गणितीय रूप से और अधिक विस्तार से देखें। मान लें कि हैश फ़ंक्शन $H: \{0, 1\}^* \to \{0, 1\}^{256}$ है।

【की (Key) जनरेशन】 एलिस (प्रेषक) एक ट्रू रैंडम नंबर जनरेटर (TRNG) का उपयोग करके 256 प्राइवेट की जोड़े उत्पन्न करती है।

$$ \text{sk}_{i,0} \in \{0, 1\}^{256}, \quad \text{sk}_{i,1} \in \{0, 1\}^{256} \quad (1 \le i \le 256) $$

नतीजतन, प्राइवेट की $\text{sk}$ में कुल 512, 256-बिट स्ट्रिंग्स (आकार: $512 \times 32 = 16,384$ बाइट्स) होते हैं।

अगला, पब्लिक की $\text{pk}$ की गणना करें। प्रत्येक प्राइवेट की घटक (component) को अलग-अलग हैश करें।

$$ \text{pk}_{i,0} = H(\text{sk}_{i,0}), \quad \text{pk}_{i,1} = H(\text{sk}_{i,1}) $$

पब्लिक की भी $16,384$ बाइट्स की होगी। इसे ब्लॉकचेन नेटवर्क पर प्रकाशित करें।

【हस्ताक्षर जनरेशन】 एलिस लेन-देन डेटा $M$ पर हस्ताक्षर करने के लिए, सबसे पहले उसके हैश मान की गणना करती है।

$$ h = H(M) \in \{0, 1\}^{256} $$

मान लें कि हैश मान $h$ का $i$-वाँ बिट $h_i \in \{0, 1\}$ है। एलिस का हस्ताक्षर $\sigma$ प्रत्येक बिट $h_i$ के अनुरूप प्राइवेट की घटकों का एक सेट होगा।

$$ \sigma = (\text{sk}_{1, h_1}, \text{sk}_{2, h_2}, \dots, \text{sk}_{256, h_{256}}) $$

दूसरे शब्दों में, यदि संदेश हैश का बिट 0 है, तो $\text{sk}_{i,0}$ प्रकाशित किया जाता है, और यदि यह 1 है, तो $\text{sk}_{i,1}$ प्रकाशित किया जाता है। हस्ताक्षर का आकार $256 \times 32 = 8,192$ बाइट्स होगा।

【हस्ताक्षर सत्यापन】 माइनर (सत्यापनकर्ता) प्राप्त लेन-देन $M$, हस्ताक्षर $\sigma = (s_1, s_2, \dots, s_{256})$, और पब्लिक की $\text{pk}$ का उपयोग करके सत्यापन करता है। लेन-देन के हैश $h = H(M)$ की पुनर्गणना करें और जाँचें कि क्या प्रत्येक $s_i$ का हैश किया गया संस्करण पब्लिक की के संगत तत्व $\text{pk}_{i, h_i}$ से मेल खाता है।

$$ H(s_i) \overset{?}{=} \text{pk}_{i, h_i} \quad (\text{for all } 1 \le i \le 256) $$

यह प्रक्रिया गणितीय रूप से अत्यंत सरल है, और जब तक एक क्वांटम कंप्यूटर $H$ की रिवर्स-इंजीनियरिंग नहीं कर सकता, तब तक हस्ताक्षर बनाना असंभव है। हालाँकि, एक बार हस्ताक्षर किए जाने के बाद, आधी प्राइवेट की नेटवर्क पर उजागर हो जाती है, इसलिए यदि उसी की-पेयर (key pair) के साथ किसी अन्य संदेश पर हस्ताक्षर किया जाता है, तो उजागर हुई प्राइवेट की संयुक्त होकर हमलावर को जालसाजी की गुंजाइश देगी। अतः यह एक मजबूत प्रतिबंध पैदा करता है कि इसका उपयोग केवल “एक बार (One-Time)” किया जा सकता है। इसे व्यावहारिक बनाने के लिए, मर्कल ट्री (Merkle tree) का उपयोग करके कई वन-टाइम कीज़ को एक रूट पब्लिक की में बंडल करने वाले XMSS और स्टेटलेस SPHINCS+ जैसी तकनीकें विकसित की गई हैं, लेकिन इनका नुकसान यह है कि हस्ताक्षर का आकार दसियों किलोबाइट तक पहुँच जाता है।

4.2. लैटिस-बेस्ड क्रिप्टोग्राफी (Lattice-Based Cryptography)

वर्तमान में, PQC की मुख्यधारा के रूप में जिसकी सबसे अधिक उम्मीद की जाती है और जिसे NIST के मुख्य मानक (FIPS 204: ML-DSA / पूर्व में CRYSTALS-Dilithium, और Falcon आदि) के रूप में अपनाया गया है, वह है लैटिस-बेस्ड क्रिप्टोग्राफी (Lattice-Based Cryptography)।

लैटिस क्रिप्टोग्राफी की सुरक्षा गणितीय रूप से सिद्ध कठिन समस्याओं पर निर्भर करती है जैसे “बहु-आयामी जाली में सबसे छोटी वेक्टर समस्या (SVP: Shortest Vector Problem)” और “त्रुटियों के साथ सीखने की समस्या (LWE: Learning With Errors)"। क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके भी लैटिस समस्याओं को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए कोई एल्गोरिदम नहीं खोजा गया है।

LWE (Learning With Errors) का गणितीय मॉडल: LWE समस्या का मूल विचार युगपत रैखिक समीकरणों (simultaneous linear equations) में जानबूझकर “छोटा शोर (त्रुटि)” जोड़कर समस्या को नाटकीय रूप से अधिक कठिन बनाना है। मान लें कि गुप्त वेक्टर $\mathbf{s} \in \mathbb{Z}_q^n$ है। यहाँ यादृच्छिक रूप से चुना गया एक विशाल सार्वजनिक मैट्रिक्स $\mathbf{A} \in \mathbb{Z}_q^{m \times n}$ और जानबूझकर जोड़ा गया एक छोटा नॉइज़ वेक्टर $\mathbf{e} \in \mathbb{Z}_q^m$ है। पब्लिक की $\mathbf{b}$ की गणना निम्नानुसार की जाती है:

$$ \mathbf{b} = \mathbf{A}\mathbf{s} + \mathbf{e} \pmod{q} $$

भले ही मैट्रिक्स $\mathbf{A}$ और वेक्टर $\mathbf{b}$ (पब्लिक की) प्रकाशित हों, नॉइज़ $\mathbf{e}$ की उपस्थिति के कारण प्राइवेट की $\mathbf{s}$ की रिवर्स-इंजीनियरिंग करना बहुत मुश्किल हो जाता है। यदि कोई शोर न हो, तो इसे सरल गाऊसी उन्मूलन (Gaussian elimination) से हल किया जा सकता है, लेकिन शोर होने से सभी आयामों (dimensions) में खोज का स्थान (search space) विस्फोटक रूप से बढ़ जाता है, जो क्लासिकल और क्वांटम दोनों कंप्यूटरों के खिलाफ मजबूत सुरक्षा प्रदान करता है।

ब्लॉकचेन आदि में उपयोग किए जाने वाले वास्तविक एल्गोरिदम (Dilithium, आदि) में, इसे पॉलिनॉमियल रिंग (polynomial ring) पर विस्तारित Ring-LWE (या Module-LWE) के रूप में उपयोग किया जाता है, जो की (key) के आकार को कम करता है और गणना को गति देता है।

लाभ: हैश-आधारित हस्ताक्षरों की तुलना में, पब्लिक की और हस्ताक्षर का आकार अपेक्षाकृत छोटा होता है (कुछ किलोबाइट), और हस्ताक्षर निर्माण और सत्यापन की गणना गति बहुत तेज़ होती है (ECDSA के बराबर या उससे अधिक)।
नुकसान: गणितीय संरचना जटिल है, और ऐतिहासिक सत्यापन अवधि छोटी होने के कारण, इस बात का जोखिम शून्य नहीं है कि भविष्य में कोई नया डिक्रिप्शन एल्गोरिदम खोज लिया जाएगा।

5. ब्लॉकचेन के PQC माइग्रेशन में तकनीकी चुनौतियां

भले ही PQC एल्गोरिदम (जैसे Dilithium और SPHINCS+) मौजूद हों, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कल ही बिटकॉइन या एथेरियम में पेश किया जा सकता है। विकेंद्रीकृत प्रणालियों के लिए विशिष्ट कई बड़ी चुनौतियां मौजूद हैं।

5.1. हस्ताक्षरों के आकार में वृद्धि और स्केलेबिलिटी का पतन

PQC की शुरूआत में सबसे बड़ी बाधा डेटा आकार में भारी वृद्धि है। वर्तमान ECDSA हस्ताक्षर का आकार लगभग 70 बाइट्स है, जबकि लैटिस क्रिप्टोग्राफी Dilithium (ML-DSA) में हस्ताक्षर का आकार लगभग 2,420 बाइट्स से 4,595 बाइट्स (सुरक्षा स्तर के आधार पर) है, और पब्लिक की का आकार भी 1,300 बाइट्स से अधिक है। हैश-आधारित SPHINCS+ की बात करें तो केवल हस्ताक्षर का आकार दसियों हज़ार बाइट्स तक पहुँच जाता है।

यदि बिटकॉइन अपने मौजूदा ब्लॉक आकार की सीमा (SegWit सहित लगभग 4MB का भार) को बनाए रखते हुए PQC पेश करता है, तो एक ब्लॉक में संग्रहीत किए जा सकने वाले लेन-देन की संख्या में भारी कमी आएगी। नेटवर्क का थ्रूपुट (TPS: Transactions Per Second) विनाशकारी रूप से गिर जाएगा, और हस्तांतरण में देरी (congestion) एक सामान्य बात हो जाएगी।

इसे हल करने के लिए, ब्लॉक के आकार को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाना आवश्यक होगा, लेकिन इससे पूर्ण नोड (full node) की भंडारण आवश्यकताओं और नेटवर्क बैंडविड्थ की आवश्यकताओं में वृद्धि होगी, जिससे व्यक्तियों के लिए नोड संचालित करना मुश्किल हो जाएगा, और परिणामस्वरूप यह नेटवर्क के केंद्रीकरण की दुविधा को जन्म देगा।

pie title "ब्लॉकचेन में हस्ताक्षर डेटा आकार की तुलना (वैचारिक चित्र)" "ECDSA (लगभग 70 Bytes)" : 2 "Dilithium ML-DSA (लगभग 2,500 Bytes)" : 58 "SPHINCS+ (लगभग 17,000 Bytes)" : 40

(※ PQC के लागू होने के साथ लेन-देन डेटा में वृद्धि स्केलेबिलिटी के लिए एक घातक बाधा (bottleneck) बन जाती है)

5.2. Ethereum Virtual Machine (EVM) पर प्रभाव और प्रीकंपाइल्ड कॉन्ट्रैक्ट्स

एथेरियम जैसे ट्यूरिंग-कम्प्लीट स्मार्ट कॉन्ट्रैक्ट प्लेटफॉर्म पर, PQC की शुरूआत के लिए EVM (Ethereum Virtual Machine) के मौलिक अपग्रेड की आवश्यकता होगी। वर्तमान EVM में, ECDSA हस्ताक्षरों के सत्यापन के लिए ecrecover (पता: 0x01) नामक एक प्रीकंपाइल्ड कॉन्ट्रैक्ट (Precompiled Contract) प्रदान किया गया है, जिसे बहुत कम गैस शुल्क (3000 Gas) पर हस्ताक्षर सत्यापन करने के लिए अनुकूलित (optimized) किया गया है।

हालाँकि, Dilithium और Falcon जैसे नए लैटिस क्रिप्टोग्राफी एल्गोरिदम की सत्यापन प्रक्रिया में जटिल बहुपद और मैट्रिक्स संचालन (polynomial and matrix operations) शामिल होते हैं, इसलिए यदि केवल मौजूदा EVM ओपकोड (Opcode) का उपयोग करके लागू किया जाता है, तो एक एकल हस्ताक्षर सत्यापन लाखों से लेकर करोड़ों गैस (Gas) की खपत कर सकता है। यह एक ऐसा स्तर है जो केवल एक लेन-देन में वर्तमान ब्लॉक गैस सीमा (लगभग 30 मिलियन गैस) को समाप्त कर देगा।

इससे बचने के लिए, नेटवर्क के हार्ड फोर्क (hard fork) के माध्यम से नए PQC सत्यापन के लिए प्रीकंपाइल्ड कॉन्ट्रैक्ट (उदाहरण के लिए: 0x10 को DilithiumVerify आवंटित करना) को EVM में ही बनाना आवश्यक होगा। इसके लिए एक लंबी प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जहाँ प्रत्येक एथेरियम क्लाइंट (Geth, Nethermind, Erigon, आदि) के मुख्य विकासकर्ता C++, Go और Rust जैसी भाषाओं के स्तर पर लैटिस क्रिप्टोग्राफी सत्यापन तर्क को अनुकूलित (optimize) करने और सुरक्षा ऑडिट (security audit) करने के लिए सहयोग करते हैं।

5.3. हार्ड फोर्क के माध्यम से आम सहमति (Consensus) बनाने में कठिनाई

अंतर्निहित (underlying) हस्ताक्षर एल्गोरिदम को बदलने के लिए, एक हार्ड फोर्क (Hard Fork) आवश्यक है जो पूरे नेटवर्क के प्रोटोकॉल को अपडेट करता है। हालाँकि, बिटकॉइन जैसे समुदाय में जहाँ “नियमों को न बदलने और विकेंद्रीकृत होने” पर ज़ोर दिया जाता है, वहाँ आम सहमति (consensus) प्राप्त करने की प्रक्रिया राजनीतिक रूप से भी बहुत कठिन है। PQC में माइग्रेशन पर एक BIP (Bitcoin Improvement Proposal) प्रस्तावित होने से लेकर लागू होने तक, कई वर्षों की चर्चा और परीक्षण की आवश्यकता होगी।

6. “Q-Day” कब आएगा? संक्रमण के लिए रोडमैप

“वह दिन जब क्वांटम कंप्यूटर 256-बिट एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी को पूरी तरह से क्रैक कर देंगे (Q-Day)” कब आएगा? शोधकर्ताओं के बीच राय विभाजित है, लेकिन कई विशेषज्ञों का अनुमान है कि “2030 के दशक के मध्य से 2040 के दशक के दौरान”, कम से कम हजारों से लेकर दसियों हज़ार स्थिर तार्किक क्वांटम बिट्स (logical qubits - शोर प्रतिरोध (noise resistance) के साथ त्रुटि-सुधारे गए क्वांटम बिट्स) वाले बड़े पैमाने के क्वांटम कंप्यूटर दिखाई देंगे। हालाँकि, हार्डवेयर आर्किटेक्चर में किसी बड़ी सफलता या अधिक कुशल क्वांटम एल्गोरिदम की खोज के आधार पर, यह संभावना भी नकारी नहीं जा सकती कि यह समय पहले (2030 के आसपास) आ सकता है।

क्रिप्टो एसेट इकोसिस्टम द्वारा बहुत देर होने से पहले अपनाया जाने वाला रोडमैप निम्नलिखित है:

चरण 1: हाइब्रिड सिग्नेचर और अकाउंट एब्स्ट्रैक्शन (Account Abstraction) (वर्तमान - 2028 के आसपास)

वर्तमान ब्लॉकचेन समुदाय, विशेष रूप से एथेरियम के विकासकर्ता (जैसे विटालिक ब्यूटिरिन), ECDSA और PQC (हैश-आधारित हस्ताक्षर या लैटिस क्रिप्टोग्राफी) को मिलाकर एक “हाइब्रिड सिग्नेचर” पर विचार कर रहे हैं। यह एक ऐसा दृष्टिकोण है जिसमें मौजूदा सुरक्षित ECDSA हस्ताक्षर और PQC हस्ताक्षर दोनों को लेन-देन से जोड़ा जाता है, ताकि यदि एक टूट भी जाए, तो भी सुरक्षा बनी रहे। इसके अलावा, अकाउंट एब्स्ट्रैक्शन (Account Abstraction, ERC-4337) का उपयोग करके, प्रोटोकॉल-स्तरीय हार्ड फोर्क की प्रतीक्षा किए बिना स्मार्ट कॉन्ट्रैक्ट वॉलेट्स पर ऑप्ट-इन (केवल उन उपयोगकर्ताओं के लिए जो ऐसा चाहते हैं) आधार पर PQC हस्ताक्षरों को लागू और समर्थन करने के प्रयास भी चल रहे हैं।

चरण 2: जीरो-नॉलेज प्रूफ़ (ZK-Rollups) का उपयोग (2025 से शुरू)

लेयर 2 तकनीक ZK-Rollups (जीरो-नॉलेज प्रूफ़) के उपयोग से PQC की सबसे बड़ी कमजोरी “हस्ताक्षर डेटा के आकार में वृद्धि” को हल करने के लिए एक ट्रम्प कार्ड (trump card) होने की उम्मीद है। विशाल PQC हस्ताक्षर डेटा को सीधे लेयर 1 (मुख्य श्रृंखला) पर लिखने के बजाय, लेयर 2 पर बड़ी संख्या में PQC लेन-देन सत्यापित और एकत्रित किए जाते हैं। फिर, ZK-SNARKs या ZK-STARKs का उपयोग करके, उन्हें एक अत्यंत छोटे “प्रूफ़ डेटा (Proof)” में संपीड़ित (compress) किया जाता है और लेयर 1 पर रिकॉर्ड किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ SNARK कॉन्फ़िगरेशन (जैसे Groth16) अपने आप में क्वांटम रूप से कमज़ोर हैं, इसलिए ZK-STARKs को अपनाना महत्वपूर्ण होगा जो केवल क्वांटम-प्रतिरोधी हैश फ़ंक्शंस पर निर्भर करते हैं।

चरण 3: प्रोटोकॉल-स्तरीय हार्ड फोर्क (2030 के आसपास)

जब NIST द्वारा PQC का मानकीकरण पूरी तरह से स्थापित हो जाएगा और उद्योग-मानक पुस्तकालय (industry-standard libraries) उपलब्ध हो जाएंगे तथा उनका पर्याप्त परीक्षण हो जाएगा, तब यह उम्मीद की जाती है कि बिटकॉइन और एथेरियम जैसी प्रमुख श्रृंखलाओं (chains) पर डिफ़ॉल्ट हस्ताक्षर विधि को पूरी तरह से PQC में माइग्रेट करने के लिए एक हार्ड फोर्क लागू किया जाएगा। इस संक्रमण अवधि के दौरान, उपयोगकर्ताओं को “अपने धन को पुराने वॉलेट से नए PQC-संगत वॉलेट में स्थानांतरित करने” के लिए प्रोत्साहित करने हेतु बड़े पैमाने पर घोषणाएं की जाएंगी।

अग्रणी परियोजना के उदाहरण

कुछ ब्लॉकचेन परियोजनाओं ने इस क्वांटम खतरे का अनुमान लगाया है और शुरुआत से ही क्वांटम प्रतिरोध के दावे के साथ विकसित किए जा रहे हैं।

QRL (Quantum Resistant Ledger): यह एक प्रारंभिक ब्लॉकचेन है जिसने प्रोटोकॉल स्तर पर मूल रूप से XMSS (eXtended Merkle Signature Scheme) नामक हैश-आधारित PQC को लागू किया है।
Algorand / Cellframe: ये ऐसी परियोजनाएं हैं जिनमें भविष्य के PQC अपडेट को ध्यान में रखते हुए क्रिप्टोग्राफिक परत का एक लचीला मॉड्यूलर आर्किटेक्चर है, और जो सक्रिय रूप से लैटिस क्रिप्टोग्राफी के एकीकरण की खोज कर रहे हैं।

7. निष्कर्ष: क्रिप्टो एसेट्स का भविष्य और अपनी संपत्ति की रक्षा करना

“पोस्ट-क्वांटम युग” का आगमन अब विज्ञान-कथा (साइंस फिक्शन) के क्षेत्र तक सीमित नहीं है, बल्कि यह पहले ही यथार्थवादी क्रिप्टोग्राफिक प्रणालियों के लिए एक ठोस तकनीकी चुनौती के रूप में हमारे सामने है।

क्वांटम कंप्यूटर की दो तलवारें, शोर का एल्गोरिदम और ग्रोवर का एल्गोरिदम, वर्तमान ब्लॉकचेन की नींव, अर्थात् क्रमशः पब्लिक की क्रिप्टोग्राफी और हैश फ़ंक्शंस के लिए खतरा पैदा करती हैं। विशेष रूप से, ECDSA की भेद्यता (vulnerability) घातक है, और फ्रंट-रनिंग हमले द्वारा धन चोरी के जोखिम से बचने के लिए पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) में संक्रमण एक बिल्कुल अपरिहार्य (unavoidable) मार्ग है।

हालाँकि, तकनीकी दुनिया और ब्लॉकचेन समुदाय केवल हाथ पर हाथ धरे विनाश का इंतज़ार नहीं कर रहे हैं। लैटिस क्रिप्टोग्राफी और हैश-आधारित हस्ताक्षरों जैसे PQC एल्गोरिदम का चयन और मानकीकरण लगातार आगे बढ़ रहा है, और जीरो-नॉलेज प्रूफ़ (ZK-STARKs) और लेयर 2 स्केलिंग तकनीकों का उपयोग करके, PQC की शुरुआत की सबसे बड़ी बाधा “डेटा आकार में वृद्धि” को दूर करने का मार्ग भी दिखाई देने लगा है।

हम जैसे आम क्रिप्टो उपयोगकर्ताओं और निवेशकों को अभी घबराकर अपनी सभी संपत्तियां बेचने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, निम्नलिखित जैसी बुनियादी साक्षरता और आत्मरक्षा जागरूकता होना महत्वपूर्ण है:

पतों के पुन: उपयोग से बचें: यह सुनिश्चित करें कि न केवल गोपनीयता (privacy) के दृष्टिकोण से बल्कि सुरक्षा के दृष्टिकोण से भी “उपयोग किए गए पतों (ऐसे पते जिनसे धन भेजा गया है और पब्लिक की ब्लॉकचेन पर उजागर हो गई है)” में लंबे समय तक धन जमा करके न रखा जाए।
तकनीकी रुझानों पर ध्यान दें: प्रमुख नेटवर्क के PQC संक्रमण पर चर्चाओं और हार्ड फोर्क समाचारों (जैसे बिटकॉइन के BIP और एथेरियम के EIP) पर नज़र रखें, ताकि ज़रूरत पड़ने पर आप उपयुक्त समय पर उचित रूप से अपने वॉलेट को माइग्रेट कर सकें।

ब्लॉकचेन का इतिहास हमेशा नए तकनीकी खतरों के खिलाफ अपग्रेड और लचीलेपन (resilience) का इतिहास रहा है। जिस तरह हमने स्केलेबिलिटी के मुद्दों और पर्यावरणीय समस्याओं (जैसे PoW से PoS में संक्रमण) को पार किया है, उसी तरह संपूर्ण इकोसिस्टम इस अभूतपूर्व क्वांटम खतरे का समाधान भी खोजेगा और खुद को अनुकूलित करेगा।

हम एक ऐसे भविष्य की आशा करना चाहते हैं जहाँ क्वांटम कंप्यूटर नामक मानवता की नई बुद्धिमत्ता और विकेंद्रीकृत वितरित खाता बही (decentralized distributed ledger) नामक विश्वास की तकनीक टकराने से नष्ट न हो, बल्कि एक उच्च आयाम पर मिश्रित होकर एक अधिक मजबूत प्रणाली में विकसित हो।

संदर्भ और संबंधित लिंक:

National Institute of Standards and Technology (NIST) - Post-Quantum Cryptography Standardization Project
Shor, P. W. (1994). Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring.
Grover, L. K. (1996). A fast quantum mechanical algorithm for database search.
Buterin, V. (2024). How to hard-fork to save most users’ funds in a quantum emergency.

क्वांटम एनीलिंग और क्वांटम गेट मॉडल के बीच का अंतर आसानी से समझाया गया

Fri, 11 Sep 2026 12:00:00 +0900

क्वांटम एनीलिंग और क्वांटम गेट मॉडल के बीच का अंतर आसानी से समझाया गया

क्वांटम कंप्यूटिंग एक अगली पीढ़ी की कंप्यूटिंग तकनीक है जो क्वांटम मैकेनिकल सिद्धांतों (सुपरपोजिशन और क्वांटम एंटैंगलमेंट) का उपयोग करके उन विशिष्ट समस्याओं को बहुत तेज़ी से हल करने की क्षमता रखती है जिन्हें हल करने में आधुनिक शास्त्रीय कंप्यूटर (पारंपरिक सुपर कंप्यूटर सहित) को भारी समय लगता है।

वर्तमान में, क्वांटम कंप्यूटर को साकार करने के दृष्टिकोण को मोटे तौर पर दो मुख्य प्रतिमानों (पैराडाइम) में बांटा गया है: “क्वांटम एनीलिंग (Quantum Annealing)” और “क्वांटम गेट मॉडल (Quantum Gate Model)”। ये दो विधियां अपने अंतर्निहित भौतिक दृष्टिकोण, उन गणना कार्यों जिनमें वे उत्कृष्टता प्राप्त करते हैं, और कार्यान्वयन में हार्डवेयर चुनौतियों के मामले में बहुत भिन्न हैं।

इस लेख में, हम इन दो विधियों की भौतिक सिद्धांतों, गणितीय मॉडलों (आइसिंग मॉडल, QUBO, यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन आदि), वर्तमान तकनीकी सीमाओं और विशिष्ट उपयोग के मामलों तक, बहुत विस्तृत और तकनीकी दृष्टिकोण से पूरी तरह से तुलना और व्याख्या करेंगे।

1. क्वांटम कंप्यूटिंग के मूल तत्व: शास्त्रीय कंप्यूटरों से बुनियादी अंतर

शास्त्रीय कंप्यूटर सूचनाओं को “बिट्स (Bits)” के रूप में प्रोसेस करते हैं, जो “0” या “1” की स्थिति लेते हैं। दूसरी ओर, क्वांटम कंप्यूटर “क्वांटम बिट्स (Qubits)” का उपयोग करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी के “सुपरपोजिशन (Superposition)” के सिद्धांत के कारण क्वांटम बिट्स एक साथ संभावित रूप से 0 और 1 दोनों की स्थिति में हो सकते हैं।

इसके अलावा, “क्वांटम एंटैंगलमेंट (Entanglement)” नामक घटना का उपयोग करके, कई क्वांटम बिट्स की स्थितियाँ एक दूसरे के साथ मजबूती से सहसंबद्ध हो जाती हैं, और एक क्वांटम बिट पर किया गया कोई भी ऑपरेशन तुरंत पूरे सिस्टम को प्रभावित करता है। यह समानांतर प्रसंस्करण जैसी गणना (क्वांटम समानता) को सक्षम बनाता है।

हालांकि, क्वांटम अवस्था बाहरी शोर (जैसे गर्मी और विद्युत चुम्बकीय तरंगों) के प्रति बहुत संवेदनशील होती है, और “डिकोहेरेंस (Decoherence)"—जहां अवस्था टूट जाती है और एक शास्त्रीय अवस्था में लौट आती है—एक बड़ी चुनौती बन गई है। इस शोर की समस्या से निपटने के दृष्टिकोण में अंतर एनीलिंग और गेट विधियों के डिज़ाइन दर्शन में प्रमुख अंतर का कारण बना है।

2. क्वांटम एनीलिंग (Quantum Annealing) का विवरण

क्वांटम एनीलिंग एक समर्पित कंप्यूटिंग आर्किटेक्चर है जो मुख्य रूप से “संयोजन अनुकूलन समस्याओं (Combinatorial Optimization Problems)” को हल करने में माहिर है। यह 1998 में टोक्यो इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के हिदेतोशी निशमोरी और मंपेई काडोवाकी द्वारा प्रस्तावित सिद्धांत पर आधारित है, और कनाडा की D-Wave Systems कंपनी द्वारा इसे दुनिया में पहली बार व्यावसायिक रूप से लॉन्च किए जाने के बाद यह व्यापक रूप से जाना जाने लगा।

2.1. भौतिक तंत्र: ट्रांसवर्स-फील्ड आइसिंग मॉडल और क्वांटम उतार-चढ़ाव (Quantum Fluctuation)

क्वांटम एनीलिंग इस भौतिक प्रणाली की प्रकृति का लाभ उठाता है कि प्राकृतिक दुनिया हमेशा “निम्नतम ऊर्जा अवस्था (ग्राउंड स्टेट/Ground State)” में बसने का प्रयास करती है।

शास्त्रीय दृष्टिकोण, जिसे “सिम्युलेटेड एनीलिंग (Simulated Annealing)” कहा जाता है, स्थानीय इष्टतम समाधान (लोकल मिनिमम) से बचने के लिए थर्मल उतार-चढ़ाव का उपयोग करता है। दूसरी ओर, क्वांटम एनीलिंग “क्वांटम उतार-चढ़ाव (Quantum Fluctuation)” का उपयोग करता है और “क्वांटम टनलिंग इफ़ेक्ट (Quantum Tunneling)” के माध्यम से ऊर्जा बाधाओं को पार करके अधिक कुशलता से वैश्विक इष्टतम समाधान (ग्लोबल मिनिमम) खोजता है।

क्वांटम एनीलिंग प्रणाली के समय विकास को निम्नलिखित हैमिल्टनियन (Hamiltonian) $H(t)$ द्वारा वर्णित किया गया है (जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने वाला एक ऑपरेटर है)।

$$ H(t) = A(t) H_0 + B(t) H_P $$

यहाँ, $t$ समय है, $A(t)$ धीरे-धीरे घटने वाला फलन (function) है, और $B(t)$ धीरे-धीरे बढ़ने वाला फलन है।

$H_0$ (प्रारंभिक हैमिल्टनियन): यह अनुप्रस्थ चुंबकीय क्षेत्र (Transverse field) को दर्शाता है और क्वांटम उतार-चढ़ाव उत्पन्न करता है। $$ H_0 = - \sum_{i} \sigma_i^x $$ ($\sigma_i^x$ पाउली-X मैट्रिक्स है, जो बिट के उलटने का प्रतिनिधित्व करता है।)
$H_P$ (समस्या हैमिल्टनियन): यह हल की जाने वाली अनुकूलन समस्या को व्यक्त करने वाला आइसिंग मॉडल (Ising Model) है।

प्रारंभिक अवस्था ($t=0$) में, $A(0)$ अपने अधिकतम पर होता है, और सिस्टम $H_0$ की ग्राउंड स्टेट में होता है (एक ऐसी स्थिति जहां सभी स्थितियां समान रूप से सुपरपोज़्ड होती हैं)। वहाँ से, समय के साथ ट्रांसवर्स-फील्ड को धीरे-धीरे कमजोर किया जाता है, जबकि एक ही समय में समस्या हैमिल्टनियन की परस्पर क्रिया को मजबूत किया जाता है।

2.2. एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटेशन (Adiabatic Quantum Computation)

इस प्रक्रिया में जो महत्वपूर्ण है वह है “एडियाबेटिक प्रमेय (Adiabatic Theorem)”। एडियाबेटिक प्रमेय के अनुसार, यदि सिस्टम को “पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे (एडियाबेटिक रूप से)” बदला जाता है, तो सिस्टम हमेशा उस क्षण के हैमिल्टनियन की ग्राउंड स्टेट में बना रहता है।

दूसरे शब्दों में, जब अंततः $A(t) \to 0$ और $B(t) \to 1$ हो जाता है, तो सिस्टम $H_P$ की ग्राउंड स्टेट में पहुंच जाता है, यानी “अनुकूलन समस्या का सटीक समाधान (Exact Solution)”।

graph TD A["हैमिल्टनियन H_0 (प्रारंभिक अवस्था)"] -->|"एडियाबेटिक परिवर्तन (पर्याप्त धीमा)"| B["हमेशा ग्राउंड स्टेट बनाए रखें"] A -->|"गैर-एडियाबेटिक परिवर्तन (बहुत तेज़/थर्मल शोर)"| C["उत्तेजित अवस्था में संक्रमण (त्रुटि)"] B --> D["हैमिल्टनियन H_P (वैश्विक इष्टतम समाधान)"] C --> E["स्थानीय इष्टतम समाधान में फँसना"] D --> F["समाधान प्राप्त करना (Readout)"] E --> F

2.3. QUBO से आइसिंग मॉडल में मैपिंग

क्वांटम एनीलर के साथ वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए, समस्या को QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) प्रारूप में तैयार करना आवश्यक है।

QUBO का उद्देश्य फलन (Objective function) इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$ \min_{x \in \{0,1\}^n} \sum_{i} Q_{ii} x_i + \sum_{i < j} Q_{ij} x_i x_j $$

यहाँ, $x_i \in \{0, 1\}$ द्विआधारी चर (binary variable) है, और $Q$ वजन मैट्रिक्स (weight matrix) है।

चूँकि हार्डवेयर (जैसे D-Wave) भौतिक स्पिन (ऊपर/नीचे) को संभालता है, इसलिए चरों को $\sigma_i \in \{-1, +1\}$ का उपयोग करके आइसिंग मॉडल में बदलना आवश्यक है। रूपांतरण सूत्र इस प्रकार है:

$$ x_i = \frac{1 - \sigma_i}{2} \quad \text{या} \quad \sigma_i = 1 - 2x_i $$

इसे QUBO समीकरण में रखकर और हल करने पर, आइसिंग मॉडल का हैमिल्टनियन $H_P$ प्राप्त होता है:

$$ H_P = - \sum_{i

$J_{ij}$: स्पिनों के बीच परस्पर क्रिया (युग्मन गुणांक/Coupling coefficient)। भौतिक क्यूबिट्स के बीच युग्मन शक्ति।

$h_i$: प्रत्येक स्पिन के लिए स्थानीय चुंबकीय क्षेत्र (पूर्वाग्रह/Bias)।

2.4. क्वांटम एनीलिंग हार्डवेयर और चुनौतियाँ (D-Wave का उदाहरण)

D-Wave का क्वांटम प्रोसेसर सुपरकंडक्टिंग क्वांटम इंटरफेरेंस डिवाइस (SQUID) का उपयोग करके महसूस किया जाता है। भौतिक क्यूबिट्स के बीच का युग्मन हार्डवेयर वायरिंग पर निर्भर करता है और यह पूर्ण रूप से जुड़ा (fully connected) नहीं होता है (ऐसी स्थिति जहां सभी बिट्स आपस में जुड़े हों)। शुरुआती “चिमेरा ग्राफ (Chimera graph)” से “पेगासस ग्राफ (Pegasus)” और फिर “ज़ेफायर ग्राफ (Zephyr)” तक विकास के साथ युग्मन की डिग्री में सुधार हुआ है, लेकिन अभी भी सीमाएं हैं।

इसलिए, भौतिक ग्राफ में जटिल ग्राफ संरचनाओं वाली समस्याओं को मैप करने के लिए “माइनर एम्बेडिंग (Minor Embedding)” नामक प्रक्रिया की आवश्यकता होती है। चूँकि यह एक तार्किक चर (logical variable) का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई भौतिक क्यूबिट्स (चेन) का उपयोग करता है, यह उपयोग करने योग्य प्रभावी क्यूबिट्स की संख्या को कम कर देता है और गणना सटीकता में कमी जैसी चुनौती पेश करता है।

3. क्वांटम गेट मॉडल (Quantum Gate Model) का विवरण

क्वांटम गेट मॉडल शास्त्रीय कंप्यूटरों के लॉजिक गेट्स (AND, OR, NOT, आदि) का क्वांटम मैकेनिकल विस्तार है, और यह एक ऐसा आर्किटेक्चर है जो “सार्वभौमिक क्वांटम गणना (Universal Quantum Computation)” को सक्षम बनाता है। IBM, Google, Rigetti, और IonQ जैसी कई कंपनियां इस मॉडल को अपना रही हैं।

3.1. यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन और स्टेट वेक्टर

क्वांटम गेट मॉडल में, क्वांटम बिट्स के पूरे सिस्टम की स्थिति को “स्टेट वेक्टर (State Vector)” $|\psi\rangle$ के रूप में दर्शाया जाता है। एक सिंगल क्यूबिट की स्थिति को बेसिस स्टेट्स $|0\rangle$ और $|1\rangle$ के रैखिक संयोजन (linear combination) के रूप में व्यक्त किया जाता है:

$$ |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle $$

यहाँ, $\alpha$ और $\beta$ जटिल संभाव्यता आयाम (complex probability amplitudes) हैं, जो $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ को संतुष्ट करते हैं। इस अवस्था को ज्यामितीय रूप से “ब्लोच स्फीयर (Bloch Sphere)” पर एक बिंदु के रूप में देखा जाता है।

क्वांटम गणना में हर कदम को स्टेट वेक्टर पर यूनिटरी ऑपरेटर (Unitary Operator) $U$ के उपयोग के रूप में वर्णित किया जाता है। एक यूनिटरी मैट्रिक्स की यह विशेषता होती है कि $U^\dagger U = I$ (हर्मिटियन संयुग्म/Hermitian conjugate के साथ इसका गुणनफल एक आइडेंटिटी मैट्रिक्स होता है), और यह क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण के समय विकास के अनुरूप एक प्रतिवर्ती (reversible) ऑपरेशन है।

$$ |\psi_{t+1}\rangle = U_t |\psi_t\rangle $$

3.2. बेसिक क्वांटम गेट्स और सर्किट मॉडल

क्वांटम कंप्यूटिंग एल्गोरिदम को क्वांटम गेट्स (क्वांटम सर्किट) के अनुक्रम के रूप में डिज़ाइन किया गया है।

पाउली गेट्स (X, Y, Z): ब्लोच स्फीयर में प्रत्येक अक्ष के चारों ओर 180-डिग्री घुमाव। X गेट शास्त्रीय NOT गेट के समतुल्य है।
हैडामर्ड गेट (H): यह $|0\rangle$ को $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ में परिवर्तित करता है, जिससे एक सुपरपोजिशन स्थिति बनती है। $$ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
CNOT गेट (Controlled-NOT): 2-क्यूबिट गेट। यह लक्ष्य बिट (Target) पर X गेट को केवल तभी लागू करता है जब नियंत्रण बिट (Control) $|1\rangle$ होता है। यह क्वांटम एंटैंगलमेंट (Entanglement) उत्पन्न करता है।

किसी भी क्वांटम एल्गोरिदम को 1-क्यूबिट गेट्स और CNOT गेट्स की एक छोटी संख्या के संयोजन द्वारा अनुमानित रूप से दर्शाया जा सकता है (यूनिवर्सल गेट सेट)।

graph LR Q0["Qubit 0: |0>"] --> H1["हैडामर्ड गेट (H)"] Q1["Qubit 1: |0>"] --> I1["आइडेंटिटी ऑपरेशन (I)"] H1 --> C1["नियंत्रण बिट (Control)"] I1 --> T1["लक्ष्य बिट (Target)"] C1 -. "एंटैंगलमेंट (उलझाव)" .- T1 C1 --> M0["माप (Measurement)"] T1 --> M1["माप (Measurement)"] M0 --> Result["शास्त्रीय परिणाम (0 या 1)"] M1 --> Result

3.3. त्रुटि सुधार (Error Correction) और NISQ से FTQC तक का सफर

क्वांटम गेट मॉडल की सबसे बड़ी चुनौती “डिकोहेरेंस” है, जहाँ क्वांटम अवस्था शोर से नष्ट हो जाती है। कम्प्यूटेशनल कदम (गेट डेप्थ) जितने गहरे होते हैं, उतनी ही अधिक त्रुटियां जमा होती हैं।

आदर्श गणना करने के लिए, क्वांटम एरर करेक्शन (Quantum Error Correction) आवश्यक है। उदाहरण के लिए, “सरफेस कोड (Surface Code)” जैसे तरीकों में एक सिंगल त्रुटि-मुक्त “लॉजिकल क्यूबिट (Logical Qubit)” बनाने के लिए कई भौतिक क्यूबिट्स को एक साथ बंडल किया जाता है। हालाँकि, एक सिंगल लॉजिकल क्यूबिट बनाने के लिए हजारों से लेकर दसियों हज़ार भौतिक क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप बहुत अधिक ओवरहेड होता है।

हम जिस मौजूदा चरण में हैं वह दर्जनों से लेकर सैकड़ों क्यूबिट्स वाले NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) उपकरणों का युग है, जिनमें त्रुटि सुधार नहीं होता है। पूर्ण त्रुटि सुधार वाले FTQC (Fault-Tolerant Quantum Computing) को प्राप्त करने के लिए अभी भी कई सफलताओं (breakthroughs) की आवश्यकता है।

4. तकनीकी और गणितीय तुलना का सारांश

आइए दोनों आर्किटेक्चर के बीच बुनियादी अंतर की तुलना करें।

तुलना का बिंदु	क्वांटम एनीलिंग (Quantum Annealing)	क्वांटम गेट मॉडल (Gate Model)
गणना मॉडल	एडियाबेटिक क्वांटम गणना (हैमिल्टनियन का निरंतर समय विकास)	यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन (गेट ऑपरेशंस का असतत अनुक्रम)
उपयुक्त समस्याएं	संयोजन अनुकूलन समस्याएं (QUBO, आइसिंग मॉडल)	यूनिवर्सल (क्वांटम रासायनिक सिमुलेशन, प्राइम फैक्टराइजेशन, सर्च आदि)
अभिव्यक्ति क्षमता	हेयुरिस्टिक अनुकूलन (अनुमानित समाधान)	यूनिवर्सल क्वांटम ट्यूरिंग मशीन के समतुल्य (सिद्धांत रूप में सभी गणनाएँ संभव हैं)
कार्यान्वयन के उदाहरण	D-Wave Systems	IBM, Google, Quantinuum, IonQ आदि
शोर के प्रति सहनशीलता	अपेक्षाकृत मजबूत (कुछ थर्मल शोर स्वीकार्य है क्योंकि यह ग्राउंड स्टेट के पास रहता है)	बहुत कमजोर (थोड़ा सा भी शोर फेज को बदल देता है और गणना परिणामों को नष्ट कर देता है)
स्केलेबिलिटी	हजारों से दसियों हज़ार क्यूबिट का पैमाना (भौतिक संरचना पर निर्भर। लॉजिकल बिट्स में बदलना मुश्किल)	सैकड़ों क्यूबिट का पैमाना (FTQC के लिए लाखों का पैमाना आवश्यक)

क्वांटम एनीलिंग एक “विशिष्ट-उद्देश्य कोप्रोसेसर” के रूप में शास्त्रीय कंप्यूटरों की सीमाओं को पूरक करके अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त है। दूसरी ओर, क्वांटम गेट मॉडल “सामान्य प्रयोजन कंप्यूटर” का क्वांटम संस्करण है, जिसका अंतिम लक्ष्य एक ऐसी गणना शक्ति (क्वांटम सर्वोच्चता/Quantum Supremacy) प्राप्त करना है जो शास्त्रीय कंप्यूटरों को पार कर जाए, लेकिन इसके लिए हार्डवेयर का निर्माण करना अत्यंत कठिन है।

5. वर्तमान सीमाएं और चुनौतियां

क्वांटम एनीलिंग की सीमाएं

कनेक्टिविटी की सीमा (Connectivity): पहले उल्लिखित माइनर एम्बेडिंग के कारण, समस्या के पैमाने के बढ़ने के साथ ही आवश्यक भौतिक क्यूबिट्स की संख्या तेजी से (exponentially) बढ़ती है।
गुणांक की सटीकता (Precision): हार्डवेयर पर $J_{ij}$ और $h_i$ जैसे एनालॉग मापदंडों को सेट करते समय भौतिक त्रुटियाँ सीधे समाधान की गुणवत्ता को प्रभावित करती हैं।
तापमान और गैर-एडियाबेटिक संक्रमण: चूंकि सिस्टम का तापमान पूर्ण शून्य (absolute zero) नहीं होता है, इसलिए थर्मल उत्तेजना के कारण इष्टतम समाधान से भटकने की संभावना होती है।

क्वांटम गेट मॉडल की सीमाएं

कोहेरेंस समय (Coherence Time): जिस समय के लिए क्वांटम अवस्था को बनाए रखा जा सकता है वह केवल कुछ माइक्रोसेकंड से लेकर कुछ मिलीसेकंड तक होता है, जो उस दौरान निष्पादित किए जा सकने वाले गेट्स की संख्या (सर्किट की गहराई) को सख्ती से सीमित करता है।
गेट फिडेलिटी (Gate Fidelity): 2-क्यूबिट गेट्स (जैसे CNOT) की परिचालन त्रुटि दर अभी भी पर्याप्त रूप से कम नहीं है (आमतौर पर 99.x% के आसपास)। FTQC को प्राप्त करने के लिए इसे 99.99% या उससे अधिक तक बढ़ाना आवश्यक है।
क्वांटम वॉल्यूम (Quantum Volume): न केवल क्यूबिट्स की संख्या को बढ़ाना, बल्कि अंतर-कनेक्शन और त्रुटि दरों को ध्यान में रखते हुए वास्तविक कंप्यूटिंग शक्ति (क्वांटम वॉल्यूम) को मापना (scale करना) वर्तमान में सबसे बड़ी चुनौती है।

6. विशिष्ट उपयोग के मामले और एल्गोरिदम

आइए उन विशिष्ट अनुप्रयोग क्षेत्रों को देखें जहाँ प्रत्येक विधि उत्कृष्टता प्राप्त करती है।

6.1. क्वांटम एनीलिंग के उपयोग के मामले

लॉजिस्टिक्स और रूटिंग (Routing): कई वाहनों के लिए डिलीवरी रूटिंग अनुकूलन (ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या की विविधताएं)। यातायात भीड़ को ध्यान में रखते हुए वास्तविक समय में मार्ग खोजना।
वित्तीय इंजीनियरिंग (Financial Engineering): पोर्टफोलियो अनुकूलन। जोखिम को कम करते हुए रिटर्न को अधिकतम करने वाले शेयरों का संयोजन ढूँढना।
मशीन लर्निंग (Machine Learning): फीचर चयन (Feature Selection)। बड़े डेटासेट से पूर्वानुमानों में सबसे अधिक योगदान देने वाले चर संयोजनों को निकालना।
निर्माण (Manufacturing): कारखानों में जॉब शॉप शेड्यूलिंग की समस्या (कौन सी मशीन, कौन सा हिस्सा, और सबसे तेज़ गति से किस क्रम में प्रोसेस करे)।

6.2. क्वांटम गेट मॉडल के उपयोग के मामले

क्वांटम केमिकल सिमुलेशन: उच्च सटीकता के साथ अणुओं की ऊर्जा अवस्थाओं और रासायनिक प्रतिक्रियाओं का अनुकरण।
प्राइम फैक्टराइजेशन (Shor’s Algorithm): एक एल्गोरिदम जो बहुपद समय (polynomial time) में विशाल समग्र संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) करता है। यदि इसे व्यावहारिक उपयोग में लाया जाता है, तो वर्तमान सार्वजनिक-कुंजी (public-key) एन्क्रिप्शन बुनियादी ढाँचा जैसे कि RSA एन्क्रिप्शन टूट जाएगा, जिससे पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) में संक्रमण एक तत्काल आवश्यकता बन जाएगी।
डेटाबेस सर्च (Grover’s Algorithm): अव्यवस्थित (unsorted) डेटाबेस से वांछित डेटा खोजते समय, शास्त्रीय कंप्यूटरों को $O(N)$ चरणों की आवश्यकता होती है, लेकिन ग्रोवर के एल्गोरिदम के साथ $O(\sqrt{N})$ चरणों में खोजना संभव है।

6.3. NISQ युग में हाइब्रिड एल्गोरिदम: VQE और QAOA

NISQ उपकरणों में उथले क्वांटम सर्किट (shallow quantum circuits) की सीमाओं को दूर करने के लिए, “वेरिएशनल क्वांटम एल्गोरिदम (Variational Quantum Algorithms)” जो क्वांटम कंप्यूटर और शास्त्रीय कंप्यूटरों के लाभों को जोड़ते हैं, ध्यान आकर्षित कर रहे हैं।

VQE (Variational Quantum Eigensolver): एक अणु की जमीनी अवस्था (ground state) ऊर्जा ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिदम। यह क्वांटम अवस्था तैयार करने के लिए एक पैरामीटरयुक्त क्वांटम सर्किट (Ansatz) का उपयोग करता है और ऊर्जा प्रत्याशा मूल्य (expectation value) $\langle \psi(\theta) | H | \psi(\theta) \rangle$ मापता है। इस प्रत्याशा मूल्य को ऑब्जेक्टिव फंक्शन के रूप में उपयोग करते हुए, शास्त्रीय अनुकूलन एल्गोरिदम (जैसे ग्रेडिएंट डिसेंट/gradient descent) का उपयोग पैरामीटर $\theta$ को अपडेट करने के लिए किया जाता है। जब तक यह अभिसरण (converge) नहीं हो जाता, तब तक इसे दोहराकर अणु की सटीक ऊर्जा स्थिति प्राप्त की जाती है।
QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm): क्वांटम गेट मॉडल का उपयोग करके संयोजन अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम। क्वांटम एनीलिंग के एडियाबेटिक समय विकास को “ट्रोटराइजेशन (Trotterization)” द्वारा असतत गेट संचालन (discrete gate operations) से अनुमानित किया जाता है, और हैमिल्टनियन को बारी-बारी से लागू करके एक अनुमानित समाधान प्राप्त किया जाता है। QAOA से गेट मॉडल का उपयोग करके अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए एक शक्तिशाली साधन होने की उम्मीद है।

graph TD User["उपयोगकर्ता की समस्या"] --> Formulation{"समस्या की प्रकृति"} Formulation -- "संयोजन अनुकूलन (Combinatorial Optimization)" --> QA_Path["क्वांटम एनीलिंग / आइसिंग मशीन"] QA_Path --> QUBO["QUBO फॉर्मूलेशन"] QUBO --> DWave["D-Wave निष्पादन"] Formulation -- "रासायनिक गणना / सामान्य उद्देश्य गणना" --> Gate_Path["क्वांटम गेट मॉडल"] Gate_Path --> Circuit["क्वांटम सर्किट डिजाइन (VQE / QAOA)"] Circuit --> IBMGoogle["IBM / Google क्वांटम हार्डवेयर निष्पादन"]

7. निष्कर्ष

क्वांटम एनीलिंग और क्वांटम गेट मॉडल दोनों ही इस मायने में समान हैं कि वे कंप्यूटिंग संसाधन के रूप में क्वांटम यांत्रिकी के रहस्यमय गुणों का उपयोग करते हैं, लेकिन उनके दृष्टिकोण और लक्ष्य बहुत अलग हैं।

क्वांटम एनीलिंग एक “विशिष्ट-उद्देश्य हेयुरिस्टिक इंजन” है जिसे संयोजन अनुकूलन की विशिष्ट वास्तविक दुनिया की समस्याओं के लिए प्रारंभिक चरण में व्यावहारिक परिणाम देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। वर्तमान में विभिन्न कंपनियों द्वारा प्रूफ-ऑफ-कांसेप्ट (PoC) प्रयोग पहले से ही चल रहे हैं।
क्वांटम गेट मॉडल एक “सार्वभौमिक (यूनिवर्सल) क्वांटम कंप्यूटर” है जो भौतिकी और रसायन विज्ञान के सख्त अनुकरण से लेकर डिक्रिप्शन तक कंप्यूटर विज्ञान के प्रतिमान को मौलिक रूप से उखाड़ फेंकने की क्षमता रखता है। हालांकि, त्रुटि सुधार की विशाल दीवार को पार करने के लिए दीर्घकालिक अनुसंधान और विकास की आवश्यकता है।

भविष्य में, एक “विषम (हेटेरोजेनियस) कंप्यूटिंग (Heterogeneous Computing)” वातावरण का निर्माण किए जाने की उम्मीद है जहाँ शास्त्रीय सुपर कंप्यूटर (HPC) कोर (core) पर होंगे, अनुकूलन कार्यों के लिए एनीलिंग मशीन का उपयोग किया जाएगा, और क्वांटम रसायन गणनाओं के लिए गेट-प्रकार के क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग किया जाएगा।

यद्यपि क्वांटम कंप्यूटर अभी भी विकासशील तकनीक हैं, वे हार्डवेयर और एल्गोरिदम दोनों के मामले में तेजी से विकसित हो रहे हैं। आइसिंग मॉडल के गणित और क्वांटम सर्किट के मूल सिद्धांतों को समझना आने वाले क्वांटम नेटिव युग (Quantum Native Era) के लिए एक बड़ा हथियार होगा।

यह लेख क्वांटम कंप्यूटिंग की बुनियादी अवधारणाओं से लेकर नवीनतम हार्डवेयर रुझानों तक सब कुछ विस्तार से समझाता है। कृपया भविष्य में भी नवीनतम अनुसंधान रुझानों पर नज़र बनाए रखें।

पायथन में शोर के एल्गोरिथ्म का सिमुलेशन

Fri, 11 Sep 2026 08:00:00 +0900

1. परिचय: क्वांटम कंप्यूटर द्वारा लाया गया क्रिप्टोग्राफी का संकट

आधुनिक इंटरनेट समाज में सुरक्षा का अधिकांश हिस्सा सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी (Public Key Cryptography) (विशेष रूप से RSA एन्क्रिप्शन) पर निर्भर करता है। जब हम ऑनलाइन शॉपिंग के दौरान क्रेडिट कार्ड की जानकारी भेजते हैं या अत्यधिक गोपनीय डेटा का आदान-प्रदान करते हैं, तो उस संचार की सामग्री को RSA एन्क्रिप्शन द्वारा दृढ़ता से सुरक्षित किया जाता है।

RSA एन्क्रिप्शन की सुरक्षा का आधार इस गणितीय तथ्य पर निर्भर करता है कि “एक बहुत बड़े पूर्णांक का अभाज्य गुणनखंडन शास्त्रीय कंप्यूटरों (जैसे पीसी या सुपरकंप्यूटर) के लिए अत्यंत कठिन है।” हालाँकि, 1994 में पीटर शोर (Peter Shor) द्वारा प्रकाशित “शोर का एल्गोरिथ्म (Shor’s Algorithm)” इस आधार को पूरी तरह से पलट देता है। यह गणितीय रूप से सिद्ध हो चुका है कि यदि शोर के एल्गोरिथ्म को बड़े पैमाने के क्वांटम कंप्यूटर पर निष्पादित किया जाए, तो अभाज्य गुणनखंडन, जिसे शास्त्रीय कंप्यूटर पर हल करने में ब्रह्मांड की आयु से अधिक समय लग सकता है, उसे केवल कुछ मिनटों से लेकर कुछ घंटों में हल किया जा सकता है।

इस लेख में, हम विस्तार से बताएंगे कि कैसे शोर का एल्गोरिथ्म अभाज्य गुणनखंडन को इतनी तेज़ी से करता है, इसके गणितीय तंत्र से लेकर, क्वांटम कंप्यूटिंग फ्रेमवर्क Qiskit और Python का उपयोग करके इसके विशिष्ट सिमुलेशन कार्यान्वयन तक।

2. कम्प्यूटेशनल जटिलता में नाटकीय बदलाव: घातांकीय से बहुपद समय तक

अभाज्य गुणनखंडन इतना कठिन क्यों है? भले ही हम “सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी (General Number Field Sieve, GNFS)” का उपयोग करें, जिसे शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए सबसे अच्छा अभाज्य गुणनखंडन एल्गोरिथ्म माना जाता है, इसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता उप-घातांकीय (sub-exponential) है।

$N$ अंकों की एक समग्र संख्या (composite number) का अभाज्य गुणनखंडन करने के लिए आवश्यक समय जटिलता (time complexity) शास्त्रीय तरीकों से इस प्रकार है:

$$ O\left(\exp\left( c (\log N)^{1/3} (\log \log N)^{2/3} \right)\right) $$

इस वजह से, केवल कुंजी की लंबाई बढ़ाने (उदाहरण के लिए, इसे 2048 बिट्स या 4096 बिट्स करने) से शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए डिक्रिप्शन में हजारों या लाखों साल लग सकते हैं, जो कि अव्यावहारिक है।

हालाँकि, जब क्वांटम कंप्यूटर पर शोर के एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है, तो इनपुट बिट्स $\log N$ की संख्या के सापेक्ष कम्प्यूटेशनल जटिलता नाटकीय रूप से कम होकर बहुपद समय (polynomial time) में आ जाती है।

$$ O((\log N)^3) $$

इसका मतलब यह है कि यदि बिट्स की संख्या दोगुनी कर दी जाए, तो शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए गणना का समय खगोलीय रूप से बढ़ जाता है, जबकि क्वांटम कंप्यूटरों के लिए गणना का समय केवल लगभग 8 गुना बढ़ जाता है। घातांकीय समय से बहुपद समय तक जटिलता वर्ग में यह कमी (BQP वर्ग में शामिल होना) ही शोर के एल्गोरिथ्म की सच्ची महानता है।

graph TD A["इनपुट आकार (बिट्स की संख्या) N में वृद्धि"] --> B{"एल्गोरिथ्म का चयन"} B -->|शास्त्रीय: सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी| C["उप-घातांकीय वृद्धि O(exp(...))"] B -->|क्वांटम: शोर का एल्गोरिथ्म| D["बहुपद समय O((log N)^3)"] C --> E["हजारों से अरबों साल (डिक्रिप्ट करने में असमर्थ)"] D --> F["कुछ मिनट से कुछ घंटे (व्यावहारिक समय में डिक्रिप्ट)"]

3. एल्गोरिथ्म का अवलोकन और गणितीय पृष्ठभूमि

असल में, शोर के एल्गोरिथ्म में सब कुछ क्वांटम कंप्यूटर पर नहीं किया जाता है। यह शास्त्रीय कंप्यूटर द्वारा प्री-प्रोसेसिंग और पोस्ट-प्रोसेसिंग, और क्वांटम कंप्यूटर द्वारा मुख्य भाग (अवधि खोजने का एल्गोरिथ्म - Period Finding Algorithm) के बीच सहयोग पर निर्भर करता है।

एल्गोरिथ्म का समग्र प्रवाह इस प्रकार है:

graph TD A["इनपुट: वह समग्र संख्या N जिसका अभाज्य गुणनखंडन करना है"] --> B["यादृच्छिक संख्या a चुनें जहाँ a < N"] B --> C{"gcd(a, N) > 1 ?"} C -- "Yes" --> D["तुच्छ गुणनखंड gcd(a, N) आउटपुट करें और समाप्त करें"] C -- "No" --> E["क्वांटम एल्गोरिथ्म के साथ f(x) = a^x mod N की अवधि r खोजें"] E --> F{"क्या r सम है और a^(r/2) ≢ -1 mod N ?"} F -- "No" --> B F -- "Yes" --> G["गुणनखंड p = gcd(a^(r/2) - 1, N), q = gcd(a^(r/2) + 1, N) की गणना करें"] G --> H["आउटपुट: p, q"]

अभाज्य गुणनखंडन को अवधि खोजने की समस्या (Period Finding Problem) में बदलना

शोर का प्रतिभाशाली विचार “अभाज्य गुणनखंडन समस्या” को “अवधि खोजने की समस्या (Order Finding Problem)” में परिवर्तित करना था।

मान लीजिए कि एक पूर्णांक $N$ (वह संख्या जिसका अभाज्य गुणनखंडन किया जाना है) और एक सह-अभाज्य (coprime) पूर्णांक $a$ ($1 < a < N$) है। हम निम्नलिखित मॉड्यूलर एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं:

$$ f(x) = a^x \bmod N $$

इस फ़ंक्शन की एक निश्चित अवधि $r$ होती है। अर्थात, किसी भी $x$ के लिए, $f(x+r) = f(x)$ सत्य होता है। विशेष रूप से, जब $x=0$ होता है,

$$ a^r \equiv 1 \pmod N $$

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $r$ जो इसे संतुष्ट करता है, उसे “$N$ के मापांक में $a$ का क्रम (Order)” कहा जाता है। यदि हम इस अवधि $r$ को पा सकते हैं, तो हम अभाज्य गुणनखंडों को निम्न प्रकार से निकाल सकते हैं:

समीकरण को बदलने पर,

$$ a^r - 1 \equiv 0 \pmod N $$

यदि $r$ सम है, तो हम इसे वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके गुणनखंडित कर सकते हैं:

$$ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $$

यह इंगित करता है कि $N$ का $(a^{r/2} - 1)$ या $(a^{r/2} + 1)$ के साथ कोई सार्व भाजक (common divisor) है (बशर्ते कि शर्त $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$ संतुष्ट हो)। इसलिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म (Euclidean algorithm) का उपयोग करके,

$$ p = \gcd(a^{r/2} - 1, N) $$ $$ q = \gcd(a^{r/2} + 1, N) $$

की गणना करके, हम $N$ के गैर-तुच्छ अभाज्य गुणनखंड (non-trivial prime factors) $p, q$ खोज सकते हैं। यह गणना (महत्तम समापवर्तक की गणना और यादृच्छिक संख्या का निर्माण) शास्त्रीय कंप्यूटरों पर बहुत तेजी से की जा सकती है। समस्या केवल इस बात पर केंद्रित हो जाती है कि हम अवधि $r$ को तेजी से कैसे खोज सकते हैं। शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए, केवल इस अवधि $r$ को खोजने में ही घातांकीय समय लगता है। यहीं क्वांटम कंप्यूटर काम में आते हैं।

4. क्वांटम एल्गोरिथ्म भाग: अवधि खोजने का तंत्र

क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके अवधि $r$ खोजने के लिए सबरूटीन में निम्नलिखित 4 चरण शामिल हैं:

graph LR subgraph "क्वांटम अवस्था का संक्रमण" S1["|0⟩|0⟩ (आरंभीकरण)"] --> S2["H गेट: सुपरपोजिशन Σ|x⟩|0⟩"] S2 --> S3["ओरेकल U: Σ|x⟩|a^x mod N⟩"] S3 --> S4["QFT: हस्तक्षेप द्वारा अवधि निष्कर्षण"] S4 --> S5["माप: अनुमानित मान y प्राप्त करना"] end

चरण 1: क्वांटम रजिस्टर का आरंभीकरण और सुपरपोजिशन

सबसे पहले, हम दो क्वांटम रजिस्टर तैयार करते हैं। पहला रजिस्टर अवस्था इनपुट करने के लिए है, और दूसरा रजिस्टर फ़ंक्शन के गणना परिणामों को संग्रहीत करने के लिए है। प्रारंभिक अवस्था पूरी तरह से $|0\rangle$ है।

$$ |\psi_0\rangle = |0\rangle_1 |0\rangle_2 $$

हम पहले रजिस्टर के सभी क्विबिट्स पर हैडमार्ड गेट (Hadamard Gate) लागू करते हैं ताकि सभी संभावित इनपुट्स $x$ ($0$ से $Q-1$ तक, $Q=2^n$) की समान संभावना वाली सुपरपोजिशन अवस्था (superposition state) बनाई जा सके।

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle_1 |0\rangle_2 $$

इसके साथ, क्वांटम कंप्यूटर एक ही ऑपरेशन में एक साथ सभी $Q$ इनपुट्स के लिए अवस्था को बनाए रखता है। यही क्वांटम समानांतरता (quantum parallelism) का शक्तिशाली स्रोत है।

चरण 2: ओरेकल फ़ंक्शन (मॉड्यूलर एक्सपोनेंटिएशन) लागू करना

इसके बाद, हम फ़ंक्शन $f(x) = a^x \bmod N$ की गणना करने के लिए क्वांटम ऑपरेशन सर्किट $U_f$ का उपयोग करते हैं और परिणाम को दूसरे रजिस्टर में संग्रहीत करते हैं।

$$ |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle_1 |a^x \bmod N\rangle_2 $$

इस बिंदु पर, पहला रजिस्टर और दूसरा रजिस्टर क्वांटम एंटैंगलमेंट (quantum entanglement) की अवस्था में होते हैं। यदि हम (काल्पनिक रूप से) दूसरे रजिस्टर का अवलोकन करते हैं और एक विशिष्ट मान $k = a^{x_0} \bmod N$ प्राप्त करते हैं, तो पहले रजिस्टर की अवस्था उस $x$ की सुपरपोजिशन अवस्था में ढह जाएगी जो वह मान $k$ देता है। चूंकि फ़ंक्शन की अवधि $r$ है, शेष अवस्थाएं $x_0, x_0+r, x_0+2r, \dots$ जैसे मानों के $r$ छलांग पर होंगी।

$$ |\psi_3\rangle = \sqrt{\frac{r}{Q}} \sum_{j=0}^{M-1} |x_0 + j r\rangle_1 |k\rangle_2 $$

हालाँकि, हम $x_0$ नहीं जानना चाहते हैं, बल्कि हम स्वयं अवधि $r$ जानना चाहते हैं। इस अवस्था से $r$ को सीधे मापना असंभव है। इसलिए, हम क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (Quantum Fourier Transform) का उपयोग करते हैं।

चरण 3: क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) के माध्यम से चरण हस्तक्षेप

हम पहले रजिस्टर पर क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) लागू करते हैं। QFT शास्त्रीय असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (discrete Fourier transform) का क्वांटम संस्करण है, जो अवस्था वेक्टर के आयाम (amplitude) को परिवर्तित करता है। आधार अवस्था (basis state) $|x\rangle$ पर QFT की क्रिया को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$ QFT |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} \omega^{xy} |y\rangle $$

यहाँ, $\omega = e^{2\pi i / Q}$ है।

जब QFT लागू किया जाता है, तो अवस्थाओं के आयाम में हस्तक्षेप (interference) होता है। गणितीय विवरण को छोड़ते हुए, जब अवधि $r$ वाली अवस्था पर QFT लागू किया जाता है, तो तरंगों में रचनात्मक हस्तक्षेप (Constructive Interference) केवल तभी होता है जब $y$ का मान $Q/r$ के पूर्णांक गुणज के बहुत करीब होता है। अन्य अवस्थाओं के लिए, संभावना आयाम (probability amplitude) विनाशकारी हस्तक्षेप (Destructive Interference) द्वारा रद्द हो जाते हैं और शून्य के करीब पहुंच जाते हैं।

चरण 4: मापन और निरंतर भिन्न विस्तार

अंत में, हम पहले रजिस्टर को मापते हैं। माप से प्राप्त मान $y$ उच्च संभावना के साथ निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है:

$$ y \approx c \frac{Q}{r} \implies \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

($c$ एक अज्ञात पूर्णांक है जहाँ $0 \le c < r$ है)

प्राप्त परिमेय संख्या $y/Q$ पर शास्त्रीय एल्गोरिथ्म निरंतर भिन्न विस्तार (Continued Fraction Expansion) लागू करके, हम सन्निकट भिन्न (approximate fraction) $c/r$ की गणना करते हैं और हर (denominator) से अवधि $r$ निकालते हैं।

5. Python और Qiskit का उपयोग करके सिमुलेशन कार्यान्वयन

चूंकि केवल सिद्धांत से इसे समझना मुश्किल है, आइए वास्तव में Python और IBM के क्वांटम कंप्यूटिंग फ्रेमवर्क Qiskit का उपयोग करके शोर के एल्गोरिथ्म का सिमुलेशन करें।

यहाँ, हम सबसे क्लासिक और प्रसिद्ध परिदृश्य को लागू करेंगे: "$a=7$ का उपयोग करके $N=15$ का अभाज्य गुणनखंडन करना।"

निष्पादन वातावरण तैयार करना

कृपया सुनिश्चित करें कि आपने पहले ही Qiskit स्थापित कर लिया है।

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pip install qiskit qiskit-aer numpy

Python कार्यान्वयन कोड का अवलोकन

नीचे दिया गया कोड $N=15, a=7$ के लिए विशेषीकृत शोर के एल्गोरिथ्म कार्यान्वयन का एक उदाहरण है। चूंकि वर्तमान सिमुलेटर में सामान्य प्रयोजन के मॉड्यूलर घातांक सर्किट का निर्माण करना कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत महंगा है, हम विशेष रूप से $a=7$ के मामले में गेट ऑपरेशंस को हार्डकोड कर रहे हैं।

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import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.visualization import plot_histogram
from fractions import Fraction
import math

# 1. व्युत्क्रम क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT†) बनाने का फलन
def qft_dagger(n):
 """n क्विबिट्स का इनवर्स क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म सर्किट बनाता है"""
 qc = QuantumCircuit(n)
 # क्रम को उलटने के लिए SWAP गेट
 for qubit in range(n//2):
 qc.swap(qubit, n-qubit-1)
 # नियंत्रित फेज़ गेट और H गेट को लागू करना
 for j in range(n):
 for m in range(j):
 qc.cp(-np.pi/float(2**(j-m)), m, j)
 qc.h(j)
 qc.name = "QFT_dagger"
 return qc

# 2. 7^x mod 15 के लिए नियंत्रित मॉड्यूलर एक्सपोनेंटिएशन ऑपरेशन बनाने का फलन
def c_amod15(a, power):
 """विशिष्ट 'a' और 'power' के लिए नियंत्रित U गेट बनाता है (केवल N=15 के लिए)"""
 U = QuantumCircuit(4)
 for _ in range(power):
 # a=7 होने पर 7^x mod 15 के लिए हार्डकोडेड लॉजिक
 if a in [2,13]:
 U.swap(2,3)
 U.swap(1,2)
 U.swap(0,1)
 if a in [7,8]:
 U.swap(0,1)
 U.swap(1,2)
 U.swap(2,3)
 if a in [4, 11]:
 U.swap(1,3)
 U.swap(0,2)
 if a in [7,11,13]:
 for q in range(4):
 U.x(q)
 U = U.to_gate()
 U.name = f"{a}^{power} mod 15"
 c_U = U.control()
 return c_U

# 3. मुख्य क्वांटम सर्किट विन्यास
def shor_circuit(a, n_count):
 # n_count: नियंत्रण रजिस्टर में बिट्स की संख्या
 # लक्ष्य रजिस्टर 0 से 15 तक दर्शाने के लिए 4 बिट्स का उपयोग करता है
 qc = QuantumCircuit(n_count + 4, n_count)

 # पहले रजिस्टर (नियंत्रण रजिस्टर) का आरंभीकरण (सुपरपोजिशन उत्पन्न करना)
 for q in range(n_count):
 qc.h(q)

 # दूसरे रजिस्टर (लक्ष्य रजिस्टर) को |1> (0001) पर आरंभ करना
 qc.x(3 + n_count)

 # नियंत्रित मॉड्यूलर एक्सपोनेंटिएशन (ओरेकल) को लागू करना
 for q in range(n_count):
 # 2^q घातांक ऑपरेशन लागू करना
 qc.append(c_amod15(a, 2**q),
 [q] + [i+n_count for i in range(4)])

 # पहले रजिस्टर पर इनवर्स क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म लागू करना
 qc.append(qft_dagger(n_count), range(n_count))

 # पहले रजिस्टर को मापना
 qc.measure(range(n_count), range(n_count))
 return qc

# --- निष्पादन अनुभाग ---
if __name__ == "__main__":
 N = 15
 a = 7
 n_count = 8 # नियंत्रण रजिस्टर में 8 क्विबिट्स का उपयोग करें (Q=256)

 print(f"खोज सेटिंग्स: N={N}, a={a}, नियंत्रण क्विबिट्स की संख्या={n_count}")

 # सर्किट का निर्माण
 qc = shor_circuit(a, n_count)

 # सिमुलेटर पर निष्पादन
 sim = AerSimulator()
 # नवीनतम Qiskit में transpile की अनुशंसा की जाती है
 from qiskit import transpile
 compiled_circuit = transpile(qc, sim)
 job = sim.run(compiled_circuit, shots=1024)
 result = job.result()
 counts = result.get_counts()

 print("\nमाप परिणाम (बिट स्ट्रिंग: प्रेक्षणों की संख्या):")
 for bitstring, count in counts.items():
 print(f" {bitstring}: {count} बार")

 # शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग: निरंतर भिन्न विस्तार (Continued fractions) का उपयोग करके अवधि r खोजना
 print("\n--- अवधि की गणना और अभाज्य गुणनखंडन ---")
 phases = []
 for output in counts:
 # बिट स्ट्रिंग को दशमलव में परिवर्तित करना
 decimal = int(output, 2)
 # फेज़ (Phase) = मापा गया मान / 2^n_count
 phase = decimal / (2**n_count)
 phases.append(phase)

 # निरंतर भिन्न विस्तार के माध्यम से सन्निकट भिन्न प्राप्त करें। हर (denominator) की ऊपरी सीमा N=15 है
 frac = Fraction(phase).limit_denominator(15)
 r = frac.denominator

 print(f"प्रेक्षित मान: {decimal:3d} | फेज़: {phase:.4f} | भिन्न: {frac} | अनुमानित अवधि r = {r}")

 # जांचें कि क्या अवधि r सम है और वैध परिणाम देती है
 if r % 2 == 0:
 guess1 = math.gcd(a**(r//2) - 1, N)
 guess2 = math.gcd(a**(r//2) + 1, N)
 if guess1 not in [1, N] or guess2 not in [1, N]:
 print(f" => सफलता! {N} के अभाज्य गुणनखंड {guess1} और {guess2} हैं।")
 else:
 print(f" => केवल तुच्छ गुणनखंड। पुनः प्रयास करें।")
 else:
 print(f" => विफलता क्योंकि अवधि विषम है।")

कोड की व्याख्या और निष्पादन परिणामों का विश्लेषण

जब आप उपरोक्त कोड निष्पादित करते हैं, तो आपको उच्च संभावना के साथ नियंत्रण रजिस्टर के मापन परिणामों के रूप में विशिष्ट चोटियाँ (प्रेक्षित मान) प्राप्त होंगी। n_count=8 ($Q=256$) के मामले में, एक आदर्श क्वांटम कंप्यूटर (या सिमुलेटर) पर, भारी संभावना के साथ प्रेक्षित मानों के रूप में 0, 64, 128, और 192 जैसी संख्याएं दिखाई देंगी।

जब इन्हें $Q=256$ से विभाजित किया जाता है, तो चरण (phase) $y/Q$ क्रमशः $0.0$, $0.25$, $0.5$, और $0.75$ हो जाते हैं। जब इन चरणों को निरंतर भिन्न (continued fraction) के रूप में विस्तारित किया जाता है:

$0.25 \to 1/4$ (अनुमानित अवधि $r=4$)
$0.50 \to 1/2$ (अनुमानित अवधि $r=2$)
$0.75 \to 3/4$ (अनुमानित अवधि $r=4$)

यहां प्राप्त अवधि $r=4$ का उपयोग करके, हम अभाज्य गुणनखंडों की गणना करते हैं। चूंकि $a=7, r=4$ है, $p = \gcd(7^2 - 1, 15) = \gcd(48, 15) = 3$ $q = \gcd(7^2 + 1, 15) = \gcd(50, 15) = 5$

शानदार ढंग से, हम सफलतापूर्वक $15 = 3 \times 5$ का अभाज्य गुणनखंडन कर चुके हैं।

[!TIP] यदि प्रेक्षित मान $y=128$ (चरण $0.5$) प्राप्त होता है, तो हर (denominator) $2$ होगा, और हमें सही अवधि $r=4$ के बजाय इसका एक विभाजक मिलेगा। ऐसे मामलों में, एल्गोरिथ्म को कई बार निष्पादित करके या प्राप्त $r$ के गुणकों की जाँच करके, सही अवधि तक पहुँचा जा सकता है।

6. व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए चुनौतियाँ और NISQ युग की सीमाएँ

हालाँकि एक सिमुलेटर पर $N=15$ का अभाज्य गुणनखंडन करना आसान था, वास्तविक दुनिया में उपयोग किए जा रहे RSA-2048 (617 अंकों की दशमलव संख्या) का अभाज्य गुणनखंडन करने के लिए वास्तविक क्वांटम कंप्यूटरों को अभी भी कई बाधाओं का सामना करना पड़ता है।

जिस युग में हम वर्तमान में रह रहे हैं उसे NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum: शोरगुल वाले मध्यवर्ती-स्तरीय क्वांटम) युग कहा जाता है। क्वांटम बिट्स बाहरी वातावरण के शोर के प्रति बेहद संवेदनशील होते हैं, और गणना के बीच में “डिकोहेरेंस (decoherence)” के कारण उनकी अवस्था नष्ट हो जाती है।

शोर के एल्गोरिथ्म जैसे गहरे (बड़ी संख्या में गेट्स वाले) सर्किट को सटीक रूप से निष्पादित करने के लिए, क्वांटम त्रुटि सुधार (Quantum Error Correction) आवश्यक है जो शोर को ठीक करता है। एक शोर-मुक्त “लॉजिकल क्विबिट (logical qubit)” बनाने के लिए, सरफेस कोड (Surface Code) आदि के माध्यम से हजारों “फिजिकल क्विबिट्स (physical qubits)” को एन्कोड करना आवश्यक है।

अनुमान है कि 2048-बिट RSA एन्क्रिप्शन को तोड़ने के लिए हजारों पूर्ण लॉजिकल क्विबिट्स की आवश्यकता होगी, और इसे प्राप्त करने के लिए लाखों से करोड़ों फिजिकल क्विबिट्स से सुसज्जित एक फॉल्ट-टॉलरेंट (दोष-सहिष्णु) क्वांटम कंप्यूटर की आवश्यकता होगी। यहाँ तक कि आज के सबसे उन्नत क्वांटम प्रोसेसर में भी केवल कुछ सौ से कुछ हज़ार फिजिकल क्विबिट्स हैं, इसलिए दुनिया की एन्क्रिप्शन व्यवस्था तुरंत नहीं टूटेगी।

[!WARNING] हालाँकि, “Store Now, Decrypt Later (अभी सहेजें, बाद में डिक्रिप्ट करें)” नामक एक खतरे का मॉडल (threat model) मौजूद है। हमलावर वर्तमान में एन्क्रिप्टेड गोपनीय संचार डेटा को बड़ी मात्रा में सहेज सकते हैं, और 10 से 20 साल बाद एक शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटर पूरा होने के तुरंत बाद उन सभी को डिक्रिप्ट करने की रणनीति अपना सकते हैं।

7. पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) में स्थानांतरण

ऐसे “Q-Day (वह दिन जब क्वांटम कंप्यूटर एन्क्रिप्शन को तोड़ेंगे)” के आगमन की तैयारी में, अमेरिका के नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ स्टैंडर्ड्स एंड टेक्नोलॉजी (NIST) के नेतृत्व में, दुनिया भर के क्रिप्टोग्राफर पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (Post-Quantum Cryptography, PQC) के लिए मानक विकसित कर रहे हैं।

PQC नई गणितीय समस्याओं (जैसे कि जालक समस्याएँ (lattice problems), बहुभिन्नरूपी बहुपद समस्याएँ (multivariate polynomial problems), हैश फ़ंक्शन-आधारित आदि) पर आधारित है, जिनके बारे में गणितीय रूप से माना जाता है कि उन्हें शोर के एल्गोरिथ्म (या ग्रोवर के एल्गोरिथ्म) का उपयोग करके भी कुशलता से हल नहीं किया जा सकता है। “CRYSTALS-Kyber” और “CRYSTALS-Dilithium” जैसे एल्गोरिथ्म को पहले ही मानक विनिर्देशों के रूप में चुना जा चुका है, और इन्हें धीरे-धीरे Apple के iMessage और विभिन्न वेब ब्राउज़र के संचार प्रोटोकॉल में पेश किया जा रहा है।

IT इन्फ्रास्ट्रक्चर का प्रबंधन करने वाले इंजीनियरों के लिए, मौजूदा RSA और इलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी (elliptic curve cryptography) से PQC में सिस्टमिक बदलाव करना, अर्थात् “क्रिप्टो-एजिलिटी (Crypto-agility: एन्क्रिप्शन विधियों को तेज़ी से बदलने की क्षमता)” को सिस्टम में शामिल करना, भविष्य का एक बड़ा मिशन होगा।

8. निष्कर्ष

इस लेख में, हमने शोर के एल्गोरिथ्म की सैद्धांतिक गणितीय पृष्ठभूमि से शुरुआत करके, क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके अवधि निष्कर्षण तंत्र, और अंततः Python और Qiskit का उपयोग करके विशिष्ट सिमुलेशन कोड तक, 10,000 वर्णों के पैमाने पर एक विस्तृत व्याख्या प्रदान की है।

यह तथ्य कि क्वांटम यांत्रिकी के सूक्ष्म विश्व के भौतिक नियम, मैक्रोस्कोपिक सूचना विज्ञान के मूल (जैसे कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी सिद्धांत) को पूरी तरह से पलट सकते हैं, विज्ञान के इतिहास में सबसे रोमांचक प्रतिमान बदलावों (paradigm shifts) में से एक है। हमें क्वांटम कंप्यूटिंग तकनीक के चल ক্রিম विकास और इसके खिलाफ बचाव करने वाली नई एन्क्रिप्शन तकनीकों के बीच लड़ाई पर नज़र रखनी चाहिए।

हम आपको इस लेख में प्रस्तुत Python कोड को अपने स्वयं के वातावरण में निष्पादित करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं, और क्वांटम अवस्था सुपरपोजिशन (superposition) और हस्तक्षेप (interference) द्वारा बनाए गए “कम्प्यूटेशनल जादू (magic of computation)” का अनुभव करते हैं।

संदर्भ (References)

Shor, P. W. (1994). “Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring”. Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science.
Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). “Quantum Computation and Quantum Information”. Cambridge University Press.
Qiskit Documentation: https://qiskit.org/documentation/

【चित्रित PQC】 क्वांटम-प्रतिरोधी क्रिप्टोग्राफी के प्रमुख एल्गोरिदम की तुलना

Fri, 11 Sep 2026 07:00:00 +0900

1. परिचय: क्वांटम कंप्यूटर द्वारा लाया गया ‘क्रिप्टोग्राफी संकट’

आधुनिक इंटरनेट समाज में, संचार की गोपनीयता और डेटा की अखंडता की रक्षा के लिए पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी तकनीक बुनियादी ढांचे के रूप में अपरिहार्य है। वर्तमान में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली RSA क्रिप्टोग्राफी और एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी (ECC), क्रमशः ‘विशाल समग्र संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड (prime factorization) की कठिनाई’ और ‘एलिप्टिक कर्व पर असतत लघुगणक समस्या (discrete logarithm problem) की कठिनाई’ जैसी गणितीय बाधाओं पर निर्भर करके सुरक्षा सुनिश्चित करती हैं। शास्त्रीय कंप्यूटरों (सुपर कंप्यूटर सहित वर्तमान में हम जिन कंप्यूटरों का उपयोग कर रहे हैं) के साथ, यह सिद्ध हो चुका है कि इन गणितीय समस्याओं को हल करने में ब्रह्मांड की आयु से भी अधिक समय लगेगा, और यही उनकी सुरक्षा का आधार रहा है।

हालाँकि, यह मजबूत आधार क्वांटम कंप्यूटर के सिद्धांत और व्यावसायीकरण की प्रगति से पूरी तरह से पलटने वाला है। 1994 में क्रिप्टोग्राफर पीटर शोर (Peter Shor) द्वारा प्रकाशित ‘शोर का एल्गोरिदम (Shor's Algorithm)’ सैद्धांतिक रूप से साबित करता है कि यदि इसे पर्याप्त प्रदर्शन वाले फॉल्ट-टॉलरेंट जनरल-परपज क्वांटम कंप्यूटर (CRQC: Cryptographically Relevant Quantum Computer) पर निष्पादित किया जाए, तो अभाज्य गुणनखंड समस्या और असतत लघुगणक समस्या को ‘बहुपद समय (polynomial time)’ में डिक्रिप्ट किया जा सकता है। इसका मतलब है कि वर्तमान में उपयोग की जाने वाली सभी पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी बेकार हो जाएंगी।

graph TD A["बड़े पैमाने का क्वांटम कंप्यूटर (CRQC)"] -->|निष्पादन| B["शोर का एल्गोरिदम (Shor's Algorithm)"] B -->|बहुपद समय में डिक्रिप्शन| C["अभाज्य गुणनखंड समस्या (RSA)"] B -->|बहुपद समय में डिक्रिप्शन| D["असतत लघुगणक समस्या (ECC / ECDSA)"] C --> E["क्रिप्टोग्राफ़िक संचार की छिपकर बातें सुनना, डेटा से छेड़छाड़, स्पूफिंग"] D --> E F["Store Now, Decrypt Later (SNDL)"] --> E

यह सोचना कि ‘कोई समस्या नहीं है क्योंकि पूर्ण विकसित क्वांटम कंप्यूटर के पूरा होने में अभी दशकों बाकी हैं’ बहुत खतरनाक है। क्योंकि, Store Now, Decrypt Later (SNDL: अभी स्टोर करें, बाद में डिक्रिप्ट करें) नामक हमले का तरीका पहले ही एक वास्तविक खतरा बन चुका है। यह एक ऐसा हमला है जहाँ दुर्भावनापूर्ण राष्ट्र या हैकर संगठन वर्तमान एन्क्रिप्टेड संचार डेटा (जैसे TLS ट्रैफ़िक) को बड़ी मात्रा में स्टोरेज में सहेज कर रखते हैं, और भविष्य में जैसे ही शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटर उपलब्ध होंगे, वे उन सभी को डिक्रिप्ट कर देंगे। राष्ट्रीय रहस्य, बुनियादी ढांचे की जानकारी, और चिकित्सा डेटा जिन्हें लंबे समय तक संरक्षित किया जाना चाहिए, पहले से ही इस खतरे के संपर्क में हैं।

इसके अलावा, सममित-कुंजी क्रिप्टोग्राफी (Symmetric-key cryptography जैसे AES) और हैश फ़ंक्शंस (जैसे SHA-256) के खिलाफ 1996 में खोजा गया ग्रोवर का एल्गोरिदम (Grover’s Algorithm) मौजूद है। यह ब्रूट-फोर्स हमले (brute-force attack) की कम्प्यूटेशनल जटिलता को वर्गमूल (square root) तक कम कर देता है। दूसरे शब्दों में, AES-128 का सुरक्षा स्तर प्रभावी रूप से 2^64 तक आधा हो जाता है, इसलिए क्वांटम युग में AES-256 या SHA-384 जैसी लंबी कुंजियों या हैश लंबाई का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है।

इस अभूतपूर्व क्रिप्टोग्राफ़िक संकट का मुकाबला करने के लिए, पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) का जन्म हुआ, जो नई गणितीय समस्याओं पर आधारित है जिन्हें क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके भी हल करना मुश्किल है। इस लेख में, हम यू.एस. नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ स्टैंडर्ड एंड टेक्नोलॉजी (NIST) के नेतृत्व में PQC मानकीकरण प्रक्रिया के परिणामों के आधार पर प्रमुख PQC एल्गोरिदम के गणितीय पृष्ठभूमि, तंत्र और वास्तुकला की तुलना के बारे में विस्तार से बताएंगे।

2. NIST PQC मानकीकरण परियोजना का पूरा अवलोकन और इतिहास

क्रिप्टोग्राफ़िक तकनीक के संक्रमण में, प्रोटोकॉल के पुन: डिज़ाइन, सिस्टम अपडेट और हार्डवेयर प्रतिस्थापन आदि सहित कई वर्षों से लेकर दशकों तक का समय लगता है। इसलिए, दुनिया भर के क्रिप्टोग्राफ़रों ने बहुत पहले से PQC पर शोध करना शुरू कर दिया था। संयुक्त राज्य अमेरिका का NIST (नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ स्टैंडर्ड एंड टेक्नोलॉजी) इसमें केंद्रीय भूमिका निभा रहा है। NIST ने 2016 में PQC मानकीकरण प्रक्रिया के लिए आवेदन आमंत्रित किए और दुनिया भर के क्रिप्टोग्राफ़िक समुदाय से पूरी तरह से नए क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम के प्रस्ताव स्वीकार किए।

मानकीकरण के लक्ष्य निम्नलिखित 2 मुख्य श्रेणियां थीं:

पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी / की एनकैप्सुलेशन मैकेनिज्म (KEM: Key Encapsulation Mechanism): TLS कनेक्शन आदि में संचार पथ को एन्क्रिप्ट करने के लिए सुरक्षित रूप से एक साझा कुंजी (common key) साझा (वितरित) करने का तंत्र।
डिजिटल हस्ताक्षर (Digital Signatures): सॉफ़्टवेयर अपडेट और डिजिटल प्रमाणपत्रों में यह साबित करने का तंत्र कि डेटा के साथ कोई छेड़छाड़ नहीं की गई है और प्रेषक की पहचान सही है (प्रामाणिकता)।

लगभग 6 वर्षों के गहन मूल्यांकन, विश्लेषण और डिक्रिप्शन प्रतियोगिता (राउंड 1 से राउंड 3) के बाद, कुछ एल्गोरिदम के लिए राउंड 4 का अतिरिक्त मूल्यांकन किया गया। परिणामस्वरूप, 2024 में निम्नलिखित एल्गोरिदम औपचारिक संघीय सूचना प्रसंस्करण मानक (FIPS) के रूप में जारी किए गए और भविष्य के वैश्विक मानकों के रूप में स्थापित किए गए।

FIPS 203 (ML-KEM): CRYSTALS-Kyber पर आधारित KEM
FIPS 204 (ML-DSA): CRYSTALS-Dilithium पर आधारित डिजिटल हस्ताक्षर
FIPS 205 (SLH-DSA): SPHINCS+ पर आधारित स्टेटलेस हैश-आधारित हस्ताक्षर
(भविष्य की योजना) FN-DSA: FALCON पर आधारित डिजिटल हस्ताक्षर

ये चयनित एल्गोरिदम विभिन्न गणितीय ‘कठिनाई समस्याओं’ पर निर्भर करते हैं, ताकि यदि भविष्य में किसी एक एल्गोरिदम में कोई गंभीर भेद्यता पाई जाती है, तो संपूर्ण सिस्टम ध्वस्त न हो और विविधता (Crypto Agility) सुनिश्चित की जा सके। मानकीकरण प्रक्रिया में, लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Lattice-based cryptography) ने मुख्य रूप से प्रदर्शन के मामले में प्रमुख भूमिका निभाई, लेकिन हैश-आधारित क्रिप्टोग्राफी और कोड-आधारित क्रिप्टोग्राफी को शक्तिशाली बैकअप के रूप में अपनाया गया है।

3. PQC के प्रमुख गणितीय दृष्टिकोणों का वर्गीकरण

PQC एल्गोरिदम को मुख्य रूप से 5 श्रेणियों में विभाजित किया गया है, जो उनकी सुरक्षा के आधार पर गणितीय समस्याओं पर निर्भर करते हैं। इस लेख में, हम विशेष रूप से शीर्ष 3 के बारे में विस्तार से जानेंगे।

लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Lattice-based Cryptography): यह बहुआयामी लैटिस स्पेस में शॉर्टेस्ट वेक्टर प्रॉब्लम (SVP) और क्लोजेस्ट वेक्टर प्रॉब्लम (CVP), और उनसे प्राप्त LWE समस्या पर आधारित है। यह NIST मानकीकरण का केंद्र है, और इसमें Kyber, Dilithium और FALCON शामिल हैं। यह प्रसंस्करण गति, पब्लिक कुंजी आकार और सिफरटेक्स्ट (ciphertext) आकार का सबसे अच्छा संतुलन प्रदान करता है, और सामान्य उद्देश्य के उपयोग के लिए उपयुक्त है।
हैश-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Hash-based Cryptography): यह अपनी सुरक्षा को पूरी तरह से क्रिप्टोग्राफ़िक हैश फ़ंक्शंस (जैसे SHA-2 और SHAKE) के ‘कोलिजन रेजिस्टेंस (Collision Resistance)’ और ‘वन-वेनेस (One-wayness)’ पर आधारित करता है। यह केवल डिजिटल हस्ताक्षर (जैसे SPHINCS+) पर लागू होता है, लेकिन इसकी सुरक्षा का प्रमाण सबसे मजबूत है और यह अज्ञात गणितीय हमलों के प्रति अत्यधिक प्रतिरोधी है।
कोड-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Code-based Cryptography): त्रुटि-सुधार कोड के सिद्धांत पर आधारित, यह सिंड्रोम डिकोडिंग समस्या (Syndrome Decoding Problem) की कठिनाई पर निर्भर करता है। 1970 के दशक में प्रस्तावित Classic McEliece इसका प्रतिनिधि है, जिसका इतिहास बहुत लंबा है और सुरक्षा का ट्रैक रिकॉर्ड सिद्ध है, लेकिन दूसरी ओर, पब्लिक-की का आकार बहुत बड़ा (मेगाबाइट में) होता है।
मल्टीवेरिएट पॉलीनोमियल क्रिप्टोग्राफी (Multivariate Polynomial Cryptography): परिमित क्षेत्र (finite field) पर मल्टीवेरिएट क्वाड्रैटिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने की कठिनाई (MQ समस्या) पर आधारित है। इसे मुख्य रूप से डिजिटल हस्ताक्षर (जैसे Rainbow) के रूप में प्रस्तावित किया गया था, लेकिन NIST के अंतिम दौर के दौरान एक शक्तिशाली हमले की विधि खोजी गई जिसने इसे एक साधारण पीसी पर कुछ दिनों में क्रैक कर दिया, जिसके कारण कई एल्गोरिदम मानकीकरण से बाहर हो गए।
आइसोजेनी-आधारित क्रिप्टोग्राफी (Isogeny-based Cryptography): एलिप्टिक कर्व्स के आइसोजेनी ग्राफ पर पथ-खोज समस्या (Path-finding problem) पर आधारित है। कुंजी का आकार बहुत छोटा है, और इसे ECC का सही उत्तराधिकारी माना जा रहा था, लेकिन अंतिम उम्मीदवार ‘SIKE’ को 2022 में क्लासिकल गणित (Castryck-Decru हमले आदि) का उपयोग करके एक साधारण पीसी पर कुछ ही घंटों में पूरी तरह से डिक्रिप्ट कर दिया गया, जो PQC डिजाइन की कठिनाई और खतरे का प्रतीक एक नाटकीय अंत था।

4. लैटिस क्रिप्टोग्राफी की गहराई: LWE समस्या और Module-LWE की गणितीय नींव

वर्तमान में सबसे आशाजनक माना जाने वाला और मानकीकरण का केंद्र लैटिस क्रिप्टोग्राफी (Lattice-based cryptography) है। इसकी सुरक्षा का आधार LWE समस्या (Learning with Errors) है। इसे 2005 में ओडेड रेगेव (Oded Regev) द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और इस ऐतिहासिक उपलब्धि के लिए उन्हें गोडेल पुरस्कार (Gödel Prize) से सम्मानित किया गया। LWE समस्या को समझे बिना आधुनिक PQC के बारे में बात करना असंभव है।

4.1. LWE समस्या (Learning with Errors) क्या है?

सबसे पहले, आइए एक सरल रैखिक समीकरण प्रणाली (linear equation system) पर विचार करें। मान लीजिए कि किसी मॉड्यूलस $q$ (मॉड्यूलो $q$) के तहत एक ज्ञात यादृच्छिक (random) मैट्रिक्स $A$ है, एक अज्ञात गुप्त वेक्टर $\vec{s}$ है, और उनका गुणनफल $\vec{b}$ दिया गया है।

$$ \vec{b} = A\vec{s} \pmod q $$

इस समय, सार्वजनिक जानकारी $A$ और $\vec{b}$ से अज्ञात $\vec{s}$ को खोजना आसान है। यदि हम ‘गौसियन एलिमिनेशन (Gaussian elimination)’ जैसे शास्त्रीय एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं, तो हम आसानी से बहुपद समय में $\vec{s}$ की गणना कर सकते हैं।

हालाँकि, यदि हम इस समीकरण में ‘छोटी जानबूझकर की गई त्रुटि (शोर/noise)’ जोड़ते हैं, तो समस्या की कठिनाई नाटकीय रूप से बढ़ जाती है। यही LWE समस्या है।

एक अज्ञात गुप्त वेक्टर $\vec{s} \in \mathbb{Z}_q^n$ और एक बेतरतीब ढंग से चुना गया मैट्रिक्स $A \in \mathbb{Z}_q^{m \times n}$ तैयार करें। इसके अलावा, एक त्रुटि वेक्टर $\vec{e} \in \mathbb{Z}_q^m$ तैयार करें जिसे सामान्य वितरण (normal distribution) या द्विपद वितरण (binomial distribution) के अनुसार चुना गया हो और जिसके ‘तत्वों का मान पर्याप्त रूप से छोटा’ हो, और $\vec{b}$ की गणना निम्नानुसार करें:

$$ \vec{b} = A\vec{s} + \vec{e} \pmod q $$

Search LWE समस्या वह समस्या है जिसमें ‘सार्वजनिक जानकारी $(A, \vec{b})$ से गुप्त जानकारी $\vec{s}$ को खोजना’ होता है। इस त्रुटि $\vec{e}$ की उपस्थिति के कारण, यदि हम गौसियन एलिमिनेशन जैसे बीजगणितीय समाधान (algebraic solution) करने का प्रयास करते हैं, तो समीकरणों को जोड़ने और घटाने की प्रक्रिया में त्रुटि $\vec{e}$ बहुत अधिक बढ़ जाती है, और अंततः यह यादृच्छिक मूल्यों से अप्रभेद्य हो जाती है और विफल हो जाती है।

LWE समस्या की महानता इस तथ्य में निहित है कि एक मजबूत सैद्धांतिक प्रमाण (reduction) मौजूद है कि जब तक कोई ऐसा क्वांटम एल्गोरिदम नहीं है जो लैटिस पर ‘वर्स्ट-केस हार्डनेस (Worst-case hardness)’ समस्याओं जैसे कि GapSVP (Decision Shortest Vector Problem) या SIVP (Shortest Independent Vector Problem) को हल कर सके, LWE समस्या को भी औसत मामले (Average-case) में हल नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, भले ही क्रिप्टोग्राफ़िक कुंजी बेतरतीब ढंग से उत्पन्न हो, यह गारंटी दी जाती है कि इसमें सैद्धांतिक ऊपरी सीमा द्वारा समर्थित मजबूत सुरक्षा है।

4.2. Ring-LWE और Module-LWE द्वारा नाटकीय दक्षता सुधार

सामान्य LWE समस्या (Standard LWE) में सुरक्षा का बहुत स्पष्ट आधार होता है, लेकिन मैट्रिक्स $A$ का आकार बहुत बड़ा हो जाता है, और कुंजी का आकार मेगाबाइट-श्रेणी का हो जाता है, जो व्यावहारिक नहीं है। इसलिए, पॉलीनोमियल रिंग्स (Polynomial Rings) का उपयोग करके एक बीजगणितीय संरचना बनाने का दृष्टिकोण प्रस्तावित किया गया था।

Ring-LWE समस्या में, साधारण वैक्टर या मैट्रिक्स के बजाय, हम एक निश्चित बहुपद वलय (polynomial ring) $R_q$ के तत्वों (बहुपद) का उपयोग करते हैं। NIST मानक आमतौर पर निम्नलिखित जैसे साइक्लोटोमिक बहुपद वलय (cyclotomic polynomial ring) का उपयोग करता है:

$$ R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1) $$

यहाँ, $n$ 2 की घात (power of 2) (जैसे: 256) है, और $q$ एक उपयुक्त अभाज्य संख्या (prime number) है। इस रिंग पर, हम $b = a \cdot s + e \pmod q$ की गणना करने के लिए तत्वों $a, s, e \in R_q$ का उपयोग करते हैं। चूंकि एक बहुपद $a$ में $n$ गुणांक (coefficients) होते हैं, डेटा को काफी संपीड़ित (compressed) किया जा सकता है। इसके अलावा, NTT (Number Theoretic Transform) का उपयोग करके, जो कि फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (FFT) का एक परिमित क्षेत्र (finite field) संस्करण है, बहुपदों का गुणन $O(n \log n)$ की कम्प्यूटेशनल जटिलता के साथ बहुत तेज गति से संभव हो जाता है।

हालाँकि, Ring-LWE के साथ यह चिंता थी कि ‘रिंग की विशेष बीजगणितीय संरचना के कारण अज्ञात कमजोरियाँ मौजूद हो सकती हैं’। इसके अलावा, जब सुरक्षा स्तर (जैसे AES-128, 192, 256 समतुल्य) बदलते हैं, तो बहुपद की डिग्री $n$ को ही बदलना पड़ता था, और इसके साथ NTT एल्गोरिदम आदि जैसे संपूर्ण कार्यान्वयन को फिर से लिखना पड़ता था, जो एक इंजीनियरिंग चुनौती थी।

इसलिए, मानकीकृत एल्गोरिदम Kyber और Dilithium ने Module-LWE (M-LWE) समस्या को अपनाया। Module-LWE संरचनाहीन Standard LWE और अत्यधिक संरचित Ring-LWE के बीच एक समझौता है, और बहुपद वलय $R_q$ के तत्वों से बने $k \times k$ मैट्रिक्स (मॉड्यूल) का उपयोग करता है।

$$ \vec{b} = A\vec{s} + \vec{e} \pmod{R_q} \quad (A \in R_q^{k \times k}, \vec{s}, \vec{e} \in R_q^k) $$

Module-LWE का सबसे बड़ा लाभ यह है कि बहुपद की डिग्री $n$ (NIST मानक में $n=256$) को स्थिर रखते हुए, मैट्रिक्स के आयाम (dimension) $k$ को बदलकर सुरक्षा स्तर को आसानी से बढ़ाया या घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Kyber के मामले में, आयाम $k$ को निम्नानुसार समायोजित किया गया है:

Kyber512 (Level 1): $k = 2$ (AES-128 समतुल्य)
Kyber768 (Level 3): $k = 3$ (AES-192 समतुल्य)
Kyber1024 (Level 5): $k = 4$ (AES-256 समतुल्य)

इससे सभी सुरक्षा स्तरों पर बुनियादी NTT कोड और बहुपद गणना हार्डवेयर सर्किट का 100% पुन: उपयोग करना संभव हो गया, जिससे कार्यान्वयन की सुरक्षा और दक्षता में नाटकीय रूप से सुधार हुआ।

5. CRYSTALS-Kyber (ML-KEM): अगली पीढ़ी का की एनकैप्सुलेशन मैकेनिज्म (Key Encapsulation Mechanism)

FIPS 203 (ML-KEM) के रूप में औपचारिक रूप से मानकीकृत CRYSTALS-Kyber, उपर्युक्त Module-LWE समस्या पर आधारित एक की एनकैप्सुलेशन मैकेनिज्म (KEM) है। यह भविष्य में TLS 1.3 और SSH आदि में सत्र कुंजियों (session keys) को सुरक्षित रूप से साझा करने के लिए वास्तविक वैश्विक मानक बन जाएगा।

5.1. KEM (Key Encapsulation Mechanism) वास्तुकला (Architecture)

PQC युग में, RSA की तरह ‘क्लाइंट एक साझा कुंजी बनाता है और इसे सर्वर की सार्वजनिक कुंजी के साथ एन्क्रिप्ट करके भेजता है’ के सीधे दृष्टिकोण के बजाय, KEM का एनकैप्सुलेशन ढांचा मानक होगा।

sequenceDiagram participant Client as "क्लाइंट (Alice)" participant Server as "सर्वर (Bob)" Note over Client: "ML-KEM KeyGen()" Client->>Client: "गुप्त कुंजी (sk) और सार्वजनिक कुंजी (pk) उत्पन्न करें" Client->>Server: "सार्वजनिक कुंजी (pk) भेजें" Note over Server: "ML-KEM Encaps()" Server->>Server: "एक यादृच्छिक साझा कुंजी (K) उत्पन्न करें" Server->>Server: "K को pk के साथ एनकैप्सुलेट करें और सिफरटेक्स्ट (c) बनाएं" Server->>Client: "सिफरटेक्स्ट (c) भेजें" Note over Client: "ML-KEM Decaps()" Client->>Client: "गुप्त कुंजी (sk) का उपयोग करके सिफरटेक्स्ट (c) को डिक्रिप्ट करें" Client->>Client: "एनकैप्सुलेशन हटाएं और साझा कुंजी (K) निकालें" Note over Client, Server: "साझा की गई साझा कुंजी (K) का उपयोग करके AES आदि के साथ एन्क्रिप्टेड संचार शुरू करें"

5.2. Kyber के आंतरिक एल्गोरिदम का तंत्र और फुजिसाकी-ओकामोटो (Fujisaki-Okamoto) ट्रांसफॉर्म

Kyber का डिज़ाइन बहुत ही परिष्कृत है। सबसे पहले, यह एक पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी सिस्टम (Kyber.CPAPKE) बनाता है जो केवल CPA (Chosen Plaintext Attack) के खिलाफ सुरक्षित है, और फिर उस पर फुजिसाकी-ओकामोटो ट्रांसफॉर्म (Fujisaki-Okamoto Transform) नामक क्रिप्टोग्राफ़िक रूप से बहुत शक्तिशाली तकनीक को लागू करके, इसे एक पूर्ण KEM में अपग्रेड करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो CCA (Adaptive Chosen Ciphertext Attack) के खिलाफ भी सुरक्षित है।

CPAPKE के मूल एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन तंत्र इस प्रकार हैं:

कुंजी निर्माण (Key Generation):
- एक यादृच्छिक बीज (random seed) मान से, NTT डोमेन पर मैट्रिक्स $A \in R_q^{k \times k}$ उत्पन्न करें। मॉड्यूलस $q$ का उपयोग $3329$ किया जाता है।
- सेंटर्ड बाइनोमियल डिस्ट्रीब्यूशन (CBD) से, छोटे गुणांक वाले गुप्त वेक्टर $\vec{s}$ और त्रुटि वेक्टर $\vec{e}$ का नमूना लें।
- $\vec{t} = A\vec{s} + \vec{e}$ की गणना करें। सार्वजनिक कुंजी $(A, \vec{t})$ है, गुप्त कुंजी $\vec{s}$ है। (व्यवहार में $A$ को एक बीज मान के रूप में प्रकाशित किया जाता है ताकि बैंडविड्थ बचाई जा सके)।
एन्क्रिप्शन (Encryption):
- 32-बाइट संदेश ($m$) (साझा कुंजी की सामग्री) जिसे आप साझा करना चाहते हैं, उसे एक बहुपद में एनकोड करें।
- एक नया यादृच्छिक वेक्टर $\vec{r}$ और छोटी त्रुटियां $\vec{e_1}, e_2$ उत्पन्न करें।
- $\vec{u} = A^T\vec{r} + \vec{e_1}$
- $v = \vec{t}^T\vec{r} + e_2 + \lfloor q/2 \rceil \cdot m$
- सिफरटेक्स्ट $(\vec{u}, v)$ बन जाता है।
डिक्रिप्शन (Decryption):
- प्राप्तकर्ता $v - \vec{s}^T\vec{u}$ की गणना करता है।
- इस समीकरण का विस्तार करने पर यह निम्न प्रकार से बन जाता है: $v - \vec{s}^T\vec{u} = (\vec{t}^T\vec{r} + e_2 + \lfloor q/2 \rceil \cdot m) - \vec{s}^T(A^T\vec{r} + \vec{e_1})$
- यहाँ $\vec{t} = A\vec{s} + \vec{e}$ को प्रतिस्थापित करने पर, मुख्य पद $\vec{s}^TA^T\vec{r}$ रद्द हो जाता है।
- जो बचता है वह है $\lfloor q/2 \rceil \cdot m + (\vec{e}^T\vec{r} + e_2 - \vec{s}^T\vec{e_1})$।
- चूँकि कोष्ठक में दिए गए पद ‘छोटी त्रुटियों के उत्पाद और योग’ हैं, इसलिए वे समग्र रूप से पर्याप्त छोटे मान (शोर) तक सीमित रहते हैं। इसलिए, प्रत्येक गुणांक $0$ के करीब है या $q/2$ के करीब है, इसकी थ्रेशोल्ड निर्णय (threshold judgment) करके, मूल संदेश $m$ के बिट्स (0 या 1) को बिना किसी त्रुटि के पूरी तरह से बहाल किया जा सकता है।

Kyber की सबसे बड़ी ताकत इसकी असाधारण प्रसंस्करण गति और मध्यम कुंजी का आकार है। Kyber768 के मामले में, सार्वजनिक कुंजी का आकार 1,184 बाइट्स है, और सिफरटेक्स्ट आकार 1,088 बाइट्स है, जो RSA-3072 (लगभग 384 बाइट्स के कुंजी आकार) की तुलना में बड़ा है, लेकिन यह आधुनिक इंटरनेट संचार के MTU (Maximum Transmission Unit) के भीतर पैकेट विखंडन (packet fragmentation) के बिना फिट हो सकता है, और इसका नेटवर्क लेटेंसी पर लगभग कोई प्रतिकूल प्रभाव नहीं पड़ता है।

6. CRYSTALS-Dilithium (ML-DSA): लैटिस-आधारित सामान्य-उद्देश्य डिजिटल हस्ताक्षर

डिजिटल हस्ताक्षरों के मानकीकरण में, समान लैटिस क्रिप्टोग्राफी दृष्टिकोण के भीतर भी विभिन्न डिजाइन दर्शन वाले एल्गोरिदम ने प्रतिस्पर्धा की। उनमें से, CRYSTALS-Dilithium को एक सामान्य-उद्देश्य डिजिटल हस्ताक्षर के रूप में FIPS 204 (ML-DSA) के लिए चुना गया था।

6.1. Fiat-Shamir with Aborts पैराडाइम

Kyber की तरह ही, Dilithium भी Module-LWE (और Module-SIS समस्या) पर आधारित एक डिजिटल हस्ताक्षर योजना है। डिज़ाइन का आधार एक अत्यंत महत्वपूर्ण पैराडाइम का उपयोग करता है जिसे ‘Fiat-Shamir with Aborts (रद्द करने के साथ फिएट-शमीर ट्रांसफॉर्म)’ कहा जाता है।

फिएट-शमीर ट्रांसफॉर्म अपने आप में एक इंटरेक्टिव ज़ीरो-नॉलेज प्रूफ़ (interactive zero-knowledge proof) प्रोटोकॉल को गैर-इंटरेक्टिव डिजिटल हस्ताक्षर में बदलने की एक मानक विधि है। प्रूवर (हस्ताक्षरकर्ता) एक कमिटमेंट $y$ उत्पन्न करता है, $w = Ay$ की गणना करता है और इसे एक हैश फ़ंक्शन के माध्यम से गुजार कर एक यादृच्छिक चुनौती (random challenge) $c$ प्राप्त करता है, और प्रतिक्रिया $z = y + cs$ की गणना करता है।

हालाँकि, यदि इसे लैटिस क्रिप्टोग्राफी में सरलता से लागू किया जाता है, तो प्रतिक्रिया $z$ का वितरण गुप्त कुंजी $s$ के मान के आधार पर विकृत हो जाता है, और एक घातक समस्या (साइड-चैनल जैसी गणितीय जानकारी लीक होना) थी कि कई हस्ताक्षरों को देखने वाला हमलावर धीरे-धीरे गुप्त कुंजी $s$ की जानकारी लीक होते हुए प्राप्त कर लेगा।

Dilithium की डिज़ाइन टीम (Lyubashevsky और अन्य) ने एक तकनीक पेश की जिसे ‘रिजेक्शन सैंपलिंग (Rejection Sampling)’ कहा जाता है, जिसमें यदि हस्ताक्षर की गणना के परिणाम $z$ के गुणांक पूर्व-निर्धारित सुरक्षित थ्रेशोल्ड सीमा के भीतर नहीं आते हैं, तो संपूर्ण हस्ताक्षर प्रक्रिया को छोड़ दिया जाता है (Abort) और एक नए यादृच्छिक संख्या $y$ का उपयोग करके खरोंच से गणना फिर से की जाती है।

नतीजतन, अंतिम रूप से आउटपुट होने वाला हस्ताक्षर $z$ गुप्त कुंजी पर बिल्कुल निर्भर नहीं करता है और यह पूरी तरह से एक समान वितरण (uniform distribution) बन जाता है, जो गणितीय रूप से सूचना रिसाव को पूरी तरह से रोकने में सफल रहा।

6.2. Dilithium के लाभ और कार्यान्वयन में आसानी

Dilithium के डिजाइन का एक बड़ा फायदा यह है कि यह हस्ताक्षर निर्माण प्रक्रिया में जटिल ‘गाऊसी वितरण (Gaussian distribution) से सैंपलिंग’ या ‘फ्लोटिंग-पॉइंट गणना’ का बिल्कुल उपयोग नहीं करता है। इसे केवल एक समान वितरण (uniform distribution) से सैंपलिंग, सरल पूर्णांक मॉड्यूलो अंकगणित, NTT और हैश फ़ंक्शंस (SHAKE) के साथ लागू किया जा सकता है, जिससे एम्बेडेड माइक्रोकंट्रोलर्स से लेकर क्लाउड सर्वर तक विभिन्न प्रकार के वातावरण में इसे सुरक्षित रूप से और निरंतर समय (constant-time) में लागू करना आसान हो जाता है। इसके कारण, यह टाइमिंग हमलों (timing attacks) जैसे भौतिक साइड-चैनल हमलों (side-channel attacks) के खिलाफ भी मजबूत प्रतिरोध रखता है।

7. FALCON (FN-DSA): अत्यधिक कॉम्पैक्ट लैटिस हस्ताक्षर

NIST ने Dilithium से भिन्न विशेषताओं वाले एक अन्य लैटिस-आधारित हस्ताक्षर के रूप में FALCON (Fast-Fourier Lattice-based Compact Signatures over NTRU) को मानकीकरण उम्मीदवार के रूप में चुना (वर्तमान में FN-DSA के रूप में मसौदा तैयार किया जा रहा है)।

7.1. NTRU लैटिस और गाऊसी सैंपलिंग (Gaussian Sampling)

FALCON की सबसे बड़ी विशेषता यह है कि यह LWE समस्या के बजाय NTRU (N-th degree Truncated polynomial Ring Units) लैटिस का उपयोग करता है, जिसका इतिहास 1996 से काफी पुराना है। इसके अलावा, यह GPV (Gentry-Peikert-Vaikuntanathan) ढांचे पर आधारित ‘हैश-एंड-साइन (Hash-and-Sign)’ पैराडाइम को अपनाता है।

Hash-and-Sign में, संदेश का हैश मान अंतरिक्ष में एक लक्ष्य बिंदु के रूप में सेट किया जाता है, और उस बिंदु के सबसे करीब लैटिस पर बिंदु (क्लोजेस्ट वेक्टर प्रॉब्लम का अनुमानित समाधान) खोजना हस्ताक्षर बन जाता है। इसके लिए, गुप्त कुंजी ‘अच्छी गुणवत्ता के छोटे आधार (good short basis)’ का उपयोग करके असतत गाऊसी वितरण (discrete Gaussian distribution) के अनुसार बिंदुओं का नमूना लेना आवश्यक है।

FALCON ने ‘फास्ट फूरियर ऑर्थोगोनलाइज़ेशन (Fast Fourier Orthogonalization: FFO)’ नामक तकनीक का उपयोग करके इस भारी गणना को नाटकीय रूप से तेज कर दिया।

7.2. FALCON के फायदे और नुकसान

FALCON का जबरदस्त फायदा यह है कि इसका हस्ताक्षर आकार और सार्वजनिक कुंजी का आकार बहुत छोटा (कॉम्पैक्ट) है। Dilithium3 का हस्ताक्षर आकार लगभग 3,309 बाइट्स है, जबकि FALCON-512 का हस्ताक्षर आकार केवल लगभग 666 बाइट्स है। सार्वजनिक कुंजी भी 897 बाइट्स पर बहुत छोटी है, जो इसे ऐसे वातावरणों में एक तारणहार बनाती है जहाँ संचार बैंडविड्थ बेहद सीमित है, या IoT उपकरणों और विशिष्ट नेटवर्क प्रोटोकॉल के लिए।

हालाँकि, एक महत्वपूर्ण नुकसान भी है। चूँकि हस्ताक्षर उत्पन्न करते समय जटिल फ्लोटिंग-पॉइंट गणना (64-बिट IEEE 754) के साथ असतत गाऊसी सैंपलिंग आवश्यक है, इसलिए समय रिसाव को रोकने के लिए निरंतर-समय कार्यान्वयन (Constant-time implementation) अत्यंत कठिन है, और कोड भी बड़ा हो जाता है। इस कारण से, FALCON को सामान्य-उद्देश्य के उपयोग (Dilithium) के विपरीत एक विशिष्ट अनुप्रयोग-केंद्रित शक्तिशाली विशेष एल्गोरिदम के रूप में रखा गया है।

graph LR A["डिजिटल हस्ताक्षर की आवश्यकताएं"] --> B{"सबसे महत्वपूर्ण बाधा क्या है?"} B -->|"कार्यान्वयन की सरलता, बहुमुखी प्रतिभा, निरंतर-समय कार्यान्वयन में आसानी"| C["Dilithium (ML-DSA)"] B -->|"संचार बैंडविड्थ का न्यूनीकरण, डेटा आकार की सघनता"| D["FALCON (FN-DSA)"] C --> E["सामान्य-उद्देश्य TLS प्रमाणपत्र, सॉफ़्टवेयर इलेक्ट्रॉनिक हस्ताक्षर"] D --> F["सख्त पैकेट आकार सीमा वाले प्रोटोकॉल, विशेष वातावरण"]

8. SPHINCS+ (SLH-DSA): सबसे मजबूत सुरक्षा का दावा करने वाला हैश-आधारित हस्ताक्षर

उस सबसे खराब स्थिति (एक दुर्लभ घटना) की तैयारी में कि भविष्य में एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ की सफलता से लैटिस क्रिप्टोग्राफी की सुरक्षा टूट सकती है, NIST ने लैटिस क्रिप्टोग्राफी से बिल्कुल अलग दृष्टिकोण के साथ एक मानक के रूप में FIPS 205 (SLH-DSA), यानी SPHINCS+ तैयार किया।

SPHINCS+ को हैश-आधारित हस्ताक्षर के रूप में वर्गीकृत किया गया है। इसकी सुरक्षा का आधार केवल एक बात पर निर्भर करता है: ‘उपयोग किए जा रहे क्रिप्टोग्राफिक हैश फ़ंक्शंस (जैसे SHA-2 और SHAKE256) में कोलिजन रेजिस्टेंस (collision resistance) और वन-वेनेस (one-wayness) है’। चूँकि यह LWE या अभाज्य गुणनखंड जैसी किसी विशिष्ट बीजगणितीय संरचना वाली गणितीय समस्याओं पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए यह अत्यंत मजबूत सुरक्षा (सबसे रूढ़िवादी सुरक्षा) का दावा करता है जिसका भविष्य में कोई भी शक्तिशाली क्वांटम एल्गोरिदम आने पर केवल हैश फ़ंक्शन की आउटपुट लंबाई बढ़ाकर मुकाबला किया जा सकता है।

8.1. WOTS+ और FORS द्वारा स्टेटलेस वास्तुकला (Stateless Architecture)

हैश-आधारित हस्ताक्षरों का एक लंबा इतिहास है, जो 1970 के दशक में लैम्पोर्ट सिग्नेचर (Lamport signatures) और विंटरनिट्ज़ वन-टाइम सिग्नेचर (WOTS) तक जाता है। ये डिस्पोजेबल कुंजियां (disposable keys) थीं जिन्हें ‘केवल एक बार सुरक्षित रूप से हस्ताक्षर’ किया जा सकता था। इन्हें कई बार उपयोग करने योग्य बनाने के लिए, XMSS (eXtended Merkle Signature Scheme) और LMS जैसे एल्गोरिदम विकसित किए गए, जो अनगिनत वन-टाइम कुंजियों को एकल रूट हैश के साथ प्रबंधित करने के लिए मर्कल ट्री (Merkle Tree) को मिलाते हैं।

हालाँकि, XMSS और LMS में एक बड़ी खामी थी कि वे ‘स्टेटफुल (Stateful)’ थे। हर बार हस्ताक्षर किए जाने पर गैर-वाष्पशील मेमोरी (non-volatile memory) में इंडेक्स स्टेट को कड़ाई से रिकॉर्ड करना आवश्यक था कि ‘कौन सी वन-टाइम कुंजी का उपयोग किया गया था’, और यदि वर्चुअल मशीन के स्नैपशॉट को पुनर्स्थापित करने के कारण स्टेट वापस आ जाता है और उसी वन-टाइम कुंजी का दो बार उपयोग किया जाता है, तो गुप्त कुंजी तुरंत लीक हो जाएगी और सिस्टम ढह जाएगा।

SPHINCS+ एक ‘स्टेटलेस (Stateless)’ हैश-आधारित हस्ताक्षर है जिसने इस राज्य प्रबंधन (state management) की परेशानी को हल किया। इसकी मुख्य तकनीक निम्नलिखित का संयोजन है:

WOTS+ (Winternitz One-Time Signature Plus): एक बुनियादी वन-टाइम हस्ताक्षर।
FORS (Forest of Random Subsets): फ्यू-टाइम सिग्नेचर (Few-Time Signature) तकनीक। एक ही कुंजी को कुछ बार पुन: उपयोग करने पर भी सुरक्षा बनाए रखता है।
Hyper-Tree (विशाल वृक्ष संरचना): एक विशाल संरचना जिसमें मर्कल ट्री को कई परतों में एक के ऊपर পুনরায় रखा गया है।

SPHINCS+ में, हस्ताक्षर करते समय स्टेट को प्रबंधित करने के बजाय, यह हाइपर-ट्री (Hyper-Tree) के आधार पर बड़ी संख्या में FORS कुंजियों में से एक को बेतरतीब ढंग से चुनने के लिए छद्म यादृच्छिक संख्याओं (pseudo-random numbers) का उपयोग करके हस्ताक्षर करता है। चूँकि पेड़ के पत्तों की संख्या खगोलीय रूप से बड़ी होती है, इसलिए संयोग से एक ही कुंजी को दो बार चुनने की संभावना (टकराव/collision) नगण्य रूप से छोटी हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप स्टेटलेस प्राप्त होता है।

SPHINCS+ की एकमात्र और सबसे बड़ी कमजोरी यह है कि इसका हस्ताक्षर आकार बहुत बड़ा है। मापदंडों के आधार पर, हस्ताक्षर का आकार 17 किलोबाइट से 49 किलोबाइट तक पहुँच सकता है, और हस्ताक्षर बनाने की गति लैटिस क्रिप्टोग्राफी की तुलना में बहुत धीमी है। इसलिए, यह रोजमर्रा के वेब ब्राउज़िंग में उपयोग किए जाने के बजाय, सॉफ़्टवेयर अपडेट सिग्नेचर या रूट सर्टिफ़िकेट अथॉरिटी (CA) सर्टिफ़िकेट जैसे अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने की उम्मीद है, जहाँ हस्ताक्षर अक्सर नहीं किए जाते हैं और लंबी अवधि के लिए पूर्ण सुरक्षा की दृढ़ता से आवश्यकता होती है।

9. कोड-आधारित क्रिप्टोग्राफी: Classic McEliece नामक एक पुराना अच्छा विशालकाय (Giant)

NIST की मानकीकरण प्रक्रिया में, राउंड 4 के अंतिम उम्मीदवार के रूप में अभी भी मूल्यांकन किए जा रहे महत्वपूर्ण दृष्टिकोणों में से एक कोड-आधारित क्रिप्टोग्राफी का Classic McEliece है।

1978 में रॉबर्ट मैकएलीस (Robert McEliece) द्वारा प्रस्तावित यह एल्गोरिदम पब्लिक-की क्रिप्टोग्राफी के इतिहास में RSA के साथ सबसे पुराने एल्गोरिदम में से एक है। यह ‘गोप्पा कोड (Goppa code)’ नामक एक बीजगणितीय ज्यामिति कोड (algebraic geometry code) का उपयोग करता है, और संदेश में जानबूझकर त्रुटियों (शोर वेक्टर) को जोड़कर इसे एन्क्रिप्ट करता है। यह ‘सिंड्रोम डिकोडिंग समस्या (Syndrome Decoding Problem)’ पर आधारित है जहाँ केवल वह व्यक्ति जिसके पास गुप्त कुंजी के रूप में गोप्पा कोड का पैरिटी-चेक मैट्रिक्स (parity-check matrix) है, वह शक्तिशाली त्रुटि-सुधार (error-correction) क्षमता का उपयोग करके त्रुटि को दूर कर सकता है और मूल संदेश को डिक्रिप्ट कर सकता है।

$$ \vec{c} = \vec{m} G + \vec{e} $$

(यहाँ $G$ एक स्क्रैम्बल्ड जनरेटर मैट्रिक्स है जो सार्वजनिक कुंजी है, $\vec{e}$ वजन $t$ का त्रुटि वेक्टर है)

Classic McEliece की आश्चर्यजनक बात इसका प्रभावशाली ट्रैक रिकॉर्ड है: प्रस्तावित किए जाने के 40 से अधिक वर्षों के बाद, और दुनिया भर के क्रिप्टोग्राफ़रों द्वारा तीव्र डिक्रिप्शन अनुसंधान के अधीन होने के बावजूद, इसकी कोई भी मौलिक भेद्यता कभी नहीं खोजी गई है। यह PQC के बीच सबसे अधिक ‘समय-परीक्षणित मजबूत सुरक्षा’ रखता है।

इसके अलावा, इसका यह लाभ है कि सिफरटेक्स्ट का आकार बहुत छोटा (केवल 100 से 200 बाइट्स) होता है। हालाँकि, एक घातक खामी है कि सार्वजनिक कुंजी का आकार मेगाबाइट (MB) में होता है। सबसे निचले सुरक्षा स्तर (AES-128 समतुल्य) पर भी, सार्वजनिक कुंजी लगभग 250KB है, और उच्च स्तरों पर यह 1MB से अधिक हो जाती है।

इस कारण से, यह उन अनुप्रयोगों के लिए बिल्कुल लागू नहीं है जो TLS हैंडशेक की तरह संचार के हर बार नेटवर्क पर सार्वजनिक कुंजी भेजते हैं। हालाँकि, विशेष उपयोग के मामलों में जहाँ सार्वजनिक कुंजी को पहले से सिस्टम में रखा जा सकता है, जैसे कि VPN प्री-शेयर्ड कुंजियों का आदान-प्रदान, फ़र्मवेयर में सार्वजनिक कुंजियों को हार्डकोडिंग करना, या उपग्रह संचार, इसकी मजबूत सुरक्षा के कारण इसे एक अत्यंत आशाजनक विकल्प के रूप में माना जाना जारी है।

10. प्रत्येक PQC एल्गोरिदम के प्रदर्शन की तुलना और ट्रेड-ऑफ़ (Trade-offs)

अब तक बताए गए प्रमुख एल्गोरिदम के संबंध में, सामान्य सुरक्षा स्तरों (NIST Level 2 से 3 समतुल्य, AES-128 से 192 स्तर) पर प्रदर्शन विशेषताओं को निम्न तालिका में संक्षेपित किया गया है।

एल्गोरिदम (मानक नाम)	श्रेणी	गणितीय आधार	सार्वजनिक कुंजी का आकार	गुप्त कुंजी का आकार	सिफरटेक्स्ट/हस्ताक्षर का आकार	प्रसंस्करण गति की प्रवृत्ति	मुख्य विशेषताएं और अनुप्रयोग
Kyber768 (ML-KEM)	KEM	Module-LWE	1,184 Bytes	2,400 Bytes	1,088 Bytes	बहुत तेज़	कुंजी के आकार और गति का सबसे अच्छा संतुलन। TLS 1.3 आदि के लिए सामान्य KEM मानक।
Dilithium3 (ML-DSA)	हस्ताक्षर	Module-LWE	1,952 Bytes	4,032 Bytes	3,309 Bytes	निर्माण और सत्यापन दोनों में तेज़	सरल कार्यान्वयन। सामान्य-उद्देश्य डिजिटल हस्ताक्षर मानक।
FALCON-512 (FN-DSA)	हस्ताक्षर	NTRU लैटिस	897 Bytes	1,281 Bytes	666 Bytes	हस्ताक्षर निर्माण धीमा है, सत्यापन बहुत तेज़	अत्यंत छोटा हस्ताक्षर आकार। हालाँकि फ्लोटिंग-पॉइंट गणना आवश्यक है। एम्बेडेड/IoT के लिए।
SPHINCS+ (SLH-DSA)	हस्ताक्षर	हैश फ़ंक्शन	32 Bytes	64 Bytes	लगभग 17,000 Bytes	निर्माण बहुत धीमा है	गणितीय विफलता का जोखिम लगभग शून्य है। रूट प्रमाणपत्र आदि जैसे उच्च-सुरक्षा अनुप्रयोग।
Classic McEliece	KEM	Goppa कोड	लगभग 1.04 MB	13,568 Bytes	188 Bytes	एनकैप्सुलेशन तेज़ है	40 वर्षों का सुरक्षा ट्रैक रिकॉर्ड। सार्वजनिक कुंजी विशाल है। उन वातावरणों के लिए जहाँ हार्डकोडिंग संभव है।

ट्रेड-ऑफ़ (Trade-offs) को समझना

PQC की दुनिया में, कोई एकल जादुई एल्गोरिदम नहीं है जो ‘आकार में छोटा, गति में तेज़, और गणितीय गारंटी में परिपूर्ण’ हो।

इंटरनेट मानक (Kyber / Dilithium): इनके प्रदर्शन का संतुलन सबसे अच्छा है और ये वर्तमान RSA/ECC से ड्रॉप-इन रिप्लेसमेंट (सीधे प्रतिस्थापित करने) के लिए सबसे उपयुक्त हैं।
अत्यधिक रूढ़िवादिता (SPHINCS+): यदि आप भविष्य की गणितीय सफलताओं के खिलाफ पूर्ण बीमा चाहते हैं, भले ही इसके लिए डेटा आकार और प्रसंस्करण गति का बलिदान देना पड़े, तो इसे चुना जाता है।
विशेष वातावरण के लिए (FALCON / Classic McEliece): ये विशेष हथियार हैं जिन्हें पर्यावरणीय बाधाओं के अनुसार चुना जाता है, जैसे कि जब संचार बैंडविड्थ बेहद संकीर्ण होती है, या पूर्व-वितरण संभव होता है।

11. व्यावसायीकरण की चुनौतियाँ और ‘हाइब्रिड क्रिप्टोग्राफी (Hybrid Cryptography)’ का व्यावहारिक समाधान

NIST के मानकीकरण के पूरा होने और FIPS मानकों के आधिकारिक तौर पर जारी होने के साथ, दुनिया भर में IT बुनियादी ढांचे का PQC संक्रमण (PQC माइग्रेशन) पूरी लगन से शुरू हो गया है। Google का क्रोम ब्राउज़र, Apple का iMessage (PQ3 प्रोटोकॉल), और Cloudflare जैसे नेटवर्क प्रदाताओं ने पहले ही अपने प्रोटोकॉल में PQC समर्थन लागू कर दिया है और वास्तविक संचालन शुरू कर दिया है।

हालाँकि, अचानक पूरी तरह से नए क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम में स्विच करने में बहुत अधिक जोखिम शामिल है। यदि कुछ वर्षों में कोई प्रतिभाशाली गणितज्ञ Kyber जैसे लैटिस क्रिप्टोग्राफी के खिलाफ एक घातक हमले का तरीका (एक गणितीय दोष जिसे शास्त्रीय कंप्यूटर से भी हल किया जा सकता है) खोज लेता है, तो उस पर निर्भर संपूर्ण सिस्टम एक पल में पूरी तरह से कमजोर हो जाएगा।

इस अनिश्चितता के जोखिम को कम करने के लिए एक व्यावहारिक और अनुशंसित दृष्टिकोण ‘हाइब्रिड क्रिप्टोग्राफी (Hybrid Cryptography)’ है।

हाइब्रिड क्रिप्टोग्राफी में, कुंजियों का आदान-प्रदान वर्तमान क्लासिकल क्रिप्टोग्राफी के लंबे ट्रैक रिकॉर्ड (उदा: X25519 जैसी एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी) और नए PQC (उदा: Kyber768) दोनों का एक साथ उपयोग करके किया जाता है। प्रत्येक एल्गोरिदम अलग-अलग साझा कुंजी घटकों को उत्पन्न करता है, और अंततः दोनों घटकों को मिश्रित करने और अंतिम मास्टर सीक्रेट उत्पन्न करने के लिए एक सुरक्षित की डेरिवेशन फ़ंक्शन (Key Derivation Function: KDF) का उपयोग किया जाता है।

graph TD A["क्लाइंट"] -->|① X25519 सार्वजनिक कुंजी + Kyber सार्वजनिक कुंजी भेजें| B["सर्वर"] B -->|② X25519 साझा कुंजी + Kyber एनकैप्सुलेटेड सिफरटेक्स्ट वापस भेजें| A A --> C{"मास्टर सीक्रेट व्युत्पत्ति (KDF)"} B --> C C -->|इनपुट: (X25519 साझा कुंजी) || (Kyber साझा कुंजी)| D["सुरक्षित संचार कुंजी (AES-256 / ChaCha20)"] D -->|"क्वांटम खतरों और क्लासिकल कमजोरियों दोनों के प्रति प्रतिरोधी"| E["सुरक्षित हाइब्रिड क्रिप्टोग्राफ़िक संचार (TLS 1.3)"]

यह एक मजबूत टू-टियर सुरक्षा सुनिश्चित करता है, जहाँ ‘यदि क्वांटम कंप्यूटर एक वास्तविकता बन जाते हैं और ECC टूट जाता है, तो Kyber संचार की रक्षा करेगा’, और इसके विपरीत, ‘यदि Kyber में कोई अज्ञात गणितीय दोष पाया जाता है, तो ECC संचार की रक्षा करेगा’। एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में, IETF द्वारा मानकीकृत किया जा रहा X25519MLKEM768 (पूर्व में X25519Kyber768) मसौदा है, और वर्तमान में वेब ब्राउज़र और अत्याधुनिक सर्वरों के बीच संचार इस हाइब्रिड पद्धति का उपयोग करके किया जाता है।

इसके अलावा, सिस्टम डिज़ाइन में, क्रिप्टो एजिलिटी (Crypto Agility) की अवधारणा, जिसका अर्थ है ‘विशिष्ट क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम पर अत्यधिक निर्भर न होना, और यदि कोई एल्गोरिदम विफल हो जाता है तो जल्दी से किसी अन्य एल्गोरिदम (उदा: Kyber से McEliece, Dilithium से SPHINCS+) में स्विच करने में सक्षम वास्तुकला बनाना’, भविष्य के सिस्टम विकास के लिए एक आवश्यक आवश्यकता बन जाएगी।

12. निष्कर्ष: क्रिप्टोग्राफ़िक तकनीक का एक नया क्षितिज

क्वांटम कंप्यूटर, मानवता की स्वप्निल तकनीक, विडंबना यह है कि उन ‘अभाज्य गुणनखंड’ और ‘असतत लघुगणक समस्या’ की गणितीय बाधाओं को तोड़ने का सबसे बड़ा खतरा बन गई है जिन पर हमने कई वर्षों से भरोसा किया था। हालाँकि, इसके आगे झुकने के बजाय, दुनिया भर के क्रिप्टोग्राफ़रों ने लैटिस थ्योरी (lattice theory), हैश फ़ंक्शन ट्री और एरर-करेक्शन कोड जैसे अधिक जटिल और गहन बहुआयामी गणितीय क्षेत्रों का बीड़ा उठाया है, और पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) नामक एक नई बाधा बनाई है।

NIST द्वारा FIPS 203 (ML-KEM), FIPS 204 (ML-DSA), और FIPS 205 (SLH-DSA) का मानकीकरण पूरा होना कोई लक्ष्य नहीं है। यह PQC माइग्रेशन नामक महाकाव्य यात्रा का पहला कदम है जो आने वाले दशकों तक जारी रहेगा। सॉफ्टवेयर इंजीनियरों और सिस्टम आर्किटेक्ट्स के लिए, नेटवर्क प्रोटोकॉल और सिस्टम के लिए इन नए एल्गोरिदम द्वारा लाए गए ‘कुंजी के आकार में वृद्धि’ और ‘कम्प्यूटेशनल लागत में परिवर्तन’ को कैसे अनुकूल रूप से ढालना है, यह आगे चलकर एक बड़ी तकनीकी चुनौती होगी।

क्वांटम कंप्यूटर और क्रिप्टोग्राफी के बीच की लड़ाई एक रोमांचक क्षेत्र है जहाँ मानव का गणितीय अन्वेषण और तकनीकी विकास सबसे अधिक तीव्रता से मिलते हैं। मुझे उम्मीद है कि इस लेख के माध्यम से, आपको PQC के पीछे के सुंदर गणितीय सिद्धांत और साइबर सुरक्षा के भविष्य को आकार देने वाले प्रत्येक एल्गोरिदम के अद्भुत तंत्र की गहरी समझ प्राप्त हुई है।

References:

NIST Post-Quantum Cryptography Standardization Program
FIPS 203: Module-Lattice-Based Key-Encapsulation Mechanism Standard
FIPS 204: Module-Lattice-Based Digital Signature Standard
FIPS 205: Stateless Hash-Based Digital Signature Standard

क्वांटम कंप्यूटर के व्यावहारिक उपयोग का दिन: 2026 में वर्तमान स्थिति

Fri, 11 Sep 2026 06:00:00 +0900

1. प्रस्तावना: 2026 में, क्वांटम कंप्यूटर कहाँ तक पहुँच चुका है?

वर्तमान 2026 में, क्वांटम कंप्यूटिंग ने अतीत के “सैद्धांतिक सपने” से “इंजीनियरिंग वास्तविकता” की ओर एक निर्णायक छलांग लगाई है। कुछ वर्षों पहले तक मुख्यधारा रहे NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) उपकरणों की सीमाएँ स्पष्ट होने के साथ, दुनिया भर के अनुसंधान संस्थानों और टेक दिग्गजों ने “फॉल्ट-टॉलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग (FTQC: Fault-Tolerant Quantum Computing)” को साकार करने की दिशा में कदम बढ़ाया है।

इस लेख में, 2026 की नवीनतम सफलताओं के साथ-साथ क्वांटम कंप्यूटर की वर्तमान स्थिति पर गहराई से चर्चा की जाएगी। विशेष रूप से, क्वांटम त्रुटि सुधार (सरफेस कोड), भौतिक क्वांटम बिट (क्यूबिट) और तार्किक क्वांटम बिट के बीच का अंतर, टोपोलॉजिकल क्वांटम गणना में प्रगति, और सुपरकंडक्टिंग व आयन ट्रैप पद्धतियों के सबसे उन्नत मोर्चों को विस्तार से समझाया जाएगा।

2. क्वांटम अवस्था की मूल बातें और फिडेलिटी (विश्वसनीयता)

क्वांटम कंप्यूटर की मूल इकाई क्वांटम बिट (Qubit), शास्त्रीय बिट (0 या 1) के विपरीत, 0 और 1 की सुपरपोजिशन (Superposition) अवस्था ले सकती है। एकल क्वांटम बिट की अवस्था को हिल्बर्ट स्पेस (Hilbert space) पर एक वेक्टर के रूप में इस प्रकार दर्शाया जाता है:

$$ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $$

यहाँ, $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र संभाव्यता आयाम (probability amplitudes) हैं, जो निम्नलिखित सामान्यीकरण शर्त को पूरा करते हैं:

$$ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $$

क्वांटम गणना के प्रदर्शन को मापने के लिए सबसे महत्वपूर्ण मीट्रिक फिडेलिटी (Fidelity) है। आदर्श क्वांटम अवस्था $|\psi\rangle$ और शोर (noise) के कारण विकृत होकर मिश्रित अवस्था में बदल चुके वास्तविक घनत्व मैट्रिक्स (density matrix) $\rho$ के बीच फिडेलिटी $F$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$ F(\rho, |\psi\rangle) = \langle \psi | \rho | \psi \rangle $$

वर्तमान 2026 में, 2-क्यूबिट गेट (जैसे: CNOT गेट या CZ गेट) की फिडेलिटी सुपरकंडक्टिंग पद्धति में 99.99% की बाधा (तथाकथित “4 नाइन”) को लगातार पार करने लगी है। यह सरफेस कोड द्वारा त्रुटि सुधार की सीमा (लगभग 99%) से काफी अधिक है, और यह व्यावहारिक उपयोग की दिशा में सबसे बड़ी सफलताओं में से एक है।

3. NISQ युग की सीमाएँ और FTQC की ओर प्रतिमान बदलाव (Paradigm Shift)

2010 के दशक के उत्तरार्ध से 2020 के दशक के पूर्वार्ध तक का समय बिना त्रुटि सुधार वाले दसियों से लेकर सैकड़ों क्वांटम बिट वाले उपकरणों, अर्थात NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) का युग था। हालाँकि, NISQ की स्पष्ट सीमाएँ थीं।

जैसे-जैसे सर्किट की गहराई (Depth) बढ़ती है, त्रुटियाँ घातांकीय रूप से (exponentially) जमा होती जाती हैं, जिससे सार्थक गणना परिणाम प्राप्त करना असंभव हो जाता है। सर्किट की गहराई $D$ पर समग्र सफलता की संभावना $P_{success}$, एकल गेट की फिडेलिटी $f$ और गेट्स की संख्या $N$ के सापेक्ष इस प्रकार घटती है:

$$ P_{success} \approx f^N $$

यदि $f = 0.99$ के साथ 1000 गेट्स लागू किए जाएं, तो परिणाम $0.99^{1000} \approx 4.3 \times 10^{-5}$ होगा, जो लगभग यादृच्छिक शोर (random noise) में दब जाता है। इस कारण से, 2026 में, NISQ एल्गोरिदम (जैसे VQE या QAOA) को सीधे स्केल अप करने के बजाय, तार्किक क्वांटम बिट (Logical Qubit) उत्पन्न करने पर संसाधनों को केंद्रित किया जा रहा है।

4. क्वांटम त्रुटि सुधार और तार्किक क्वांटम बिट: सरफेस कोड का उन्नत मोर्चा

क्वांटम त्रुटि सुधार (QEC: Quantum Error Correction) एक ऐसी तकनीक है जो कई “भौतिक क्वांटम बिट्स” को एन्कोड करके एक “तार्किक क्वांटम बिट” बनाती है और त्रुटियों का पता लगाकर उन्हें सुधारती है। वर्तमान में सबसे आशाजनक तरीका सरफेस कोड (Surface Code) माना जा रहा है।

4.1 सरफेस कोड (Surface Code) की संरचना

सरफेस कोड में, क्वांटम बिट्स को द्वि-आयामी (2D) ग्रिड में व्यवस्थित किया जाता है। डेटा क्वांटम बिट (जो वास्तविक जानकारी रखते हैं) और मापन क्वांटम बिट (सिंड्रोम मापन के लिए) चेकरबोर्ड पैटर्न (checkerboard pattern) में व्यवस्थित होते हैं।

graph TD A["डेटा क्यूबिट (D1)"] --- B["मापन क्यूबिट (M1)"] B --- C["डेटा क्यूबिट (D2)"] C --- D["मापन क्यूबिट (M2)"] D --- E["डेटा क्यूबिट (D3)"] B --- F["डेटा क्यूबिट (D4)"] D --- G["डेटा क्यूबिट (D5)"] style A fill:#e1f5fe,stroke:#039be5 style C fill:#e1f5fe,stroke:#039be5 style E fill:#e1f5fe,stroke:#039be5 style F fill:#e1f5fe,stroke:#039be5 style G fill:#e1f5fe,stroke:#039be5 style B fill:#fff3e0,stroke:#fb8c00 style D fill:#fff3e0,stroke:#fb8c00

स्टेबलाइजर ऑपरेटर $S_x$ और $S_z$ का उपयोग करके, बिट फ्लिप (X त्रुटि) और फेज फ्लिप (Z त्रुटि) की लगातार निगरानी की जाती है।

$$ S_x = \prod_{i \in \text{star}} X_i, \quad S_z = \prod_{j \in \text{plaquette}} Z_j $$

2026 की महत्वपूर्ण प्रगति यह है कि “ब्रेक-ईवन पॉइंट (Break-even point)” को पूरी तरह से पार कर लिया गया है। इसका मतलब है कि त्रुटि सुधार के लिए आवश्यक अतिरिक्त सर्किट द्वारा उत्पन्न शोर की तुलना में, त्रुटि सुधार द्वारा हटाए गए शोर की मात्रा अधिक हो गई है, और तार्किक क्वांटम बिट का जीवनकाल भौतिक क्वांटम बिट के जीवनकाल से कई गुना अधिक हो गया है।

4.2 क्वांटम त्रुटि सुधार चक्र

त्रुटि सुधार एक निरंतर फीडबैक लूप के रूप में कार्य करता है।

sequenceDiagram participant D as "डेटा क्यूबिट्स" participant M as "एंसिला/मापन क्यूबिट्स" participant C as "शास्त्रीय नियंत्रक" loop "सिंड्रोम निष्कर्षण चक्र (लगभग 1 माइक्रोसेकंड)" D->>M: "एंटैंगल (CNOT/CZ)" M->>C: "स्थिति मापन (सिंड्रोम)" C->>C: "सिंड्रोम डिकोड करें (जैसे: मिनिमम वेट परफेक्ट मैचिंग)" C-->>D: "पाउली सुधार लागू करें (यदि आवश्यक हो)" end

वर्तमान में, इस शास्त्रीय डिकोडिंग प्रक्रिया (सिंड्रोम विश्लेषण) को नैनोसेकंड स्केल पर निष्पादित करने के लिए FPGA और समर्पित ASIC तकनीकें स्थापित हो चुकी हैं, और वास्तविक समय (real-time) में त्रुटि सुधार व्यावहारिक चरण में प्रवेश कर चुका है।

5. हार्डवेयर आर्किटेक्चर का विकास (2026 संस्करण)

2026 में क्वांटम हार्डवेयर मुख्य रूप से तीन दिशाओं में विकसित हो रहा है: “सुपरकंडक्टिंग विधि,” “आयन ट्रैप विधि,” और “टोपोलॉजिकल विधि।”

5.1 सुपरकंडक्टिंग क्वांटम बिट का एकीकरण (Integration)

सुपरकंडक्टिंग विधि एक ऐसा क्षेत्र है जिसका नेतृत्व IBM और Google कर रहे हैं, और जोसेफसन जंक्शन (Josephson junction) का उपयोग करने वाले ट्रांसमोन (Transmon) क्वांटम बिट मुख्यधारा में हैं। 2026 में, एक ही चिप पर हजारों से लेकर दस हजार भौतिक क्वांटम बिट्स को एकीकृत करने वाले मेगाचिप साकार हो चुके हैं।

विशेष रूप से उल्लेखनीय मॉड्यूल के बीच क्वांटम संचार (Quantum Interconnects) की स्थापना है। माइक्रोवेव फोटॉन का उपयोग करते हुए चिप्स के बीच क्वांटम टेलीपोर्टेशन को व्यावसायिक स्तर पर लागू किया गया জ্ঞिा गया है, जिससे एकल डाइल्यूशन रेफ्रिजरेटर (dilution refrigerator) के आकार की सीमा से बचना संभव हो गया है।

5.2 आयन ट्रैप की 2D स्केलिंग और ऑप्टिकल इंटरकनेक्ट

आयन ट्रैप विधि (जिसका नेतृत्व Quantinuum और IonQ कर रहे हैं) में वैक्यूम में तैरते आयनों की आंतरिक ऊर्जा अवस्थाओं को क्वांटम बिट के रूप में उपयोग किया जाता है। सुपरकंडक्टिंग विधि की तुलना में, इसका T1/T2 कोहेरेंस (coherence) समय अत्यधिक लंबा होता है, और ऑल-टू-ऑल कनेक्टिविटी (All-to-All Connectivity) संभव है।

2026 की सफलता QCCD (क्वांटम चार्ज कपल्ड डिवाइस) आर्किटेक्चर का द्वि-आयामी (2D) निर्माण और फोटोनिक इंटरकनेक्ट का उपयोग करके मल्टी-ट्रैप्स के बीच उच्च गति वाले एंटैंगलमेंट का निर्माण है। इससे आयन ट्रैप की कमजोरियां “धीमी गेट गति” और “स्केलेबिलिटी (scalability)” में नाटकीय रूप से सुधार हुआ है।

5.3 टोपोलॉजिकल क्वांटम गणना: एनीऑन का नियंत्रण

टोपोलॉजिकल क्वांटम गणना, जिसे लंबे समय से केवल सैद्धांतिक माना जाता था, 2026 में अंततः प्रायोगिक प्रदर्शन के चरण में प्रवेश कर चुकी है। Microsoft और अन्य द्वारा संचालित यह विधि “मेजरना जीरो मोड्स (Majorana Zero Modes)” नामक गैर-अबेलियन एनीऑन्स (Non-Abelian Anyons) का उपयोग करती है।

एनीऑन कणों की स्थिति बदलने के लिए “ब्रेडिंग (Braiding)” नामक ऑपरेशन का उपयोग करके क्वांटम गेट्स निष्पादित किए जाते हैं।

$$ |\psi_{final}\rangle = B_{ij} |\psi_{initial}\rangle $$

यहाँ $B_{ij}$ ब्रेडिंग ऑपरेटर है। टोपोलॉजिकल विधि में, सूचना का संरक्षण कणों की स्थानीय अवस्था पर निर्भर नहीं करता, बल्कि पूरी “गांठ” की टोपोलॉजी पर निर्भर करता है, इसलिए यह पर्यावरणीय शोर के प्रति स्वाभाविक रूप से प्रतिरोधी (हार्डवेयर-स्तर की त्रुटि सहनशीलता) है। 2026 में, दुनिया में पहली बार उच्च-फिडेलिटी वाले टोपोलॉजिकल तार्किक क्वांटम बिट के निर्माण की पुष्टि की गई थी, और यह FTQC के लिए एक शक्तिशाली शॉर्टकट के रूप में ध्यान आकर्षित कर रहा है।

6. व्यावहारिक उपयोग की दिशा में रोडमैप और भविष्य की संभावनाएं

ताकि क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में क्वांटम सर्वोच्चता (Quantum Advantage) प्रदर्शित कर सके, जो “रासायनिक गणना,” “पदार्थ विज्ञान,” और “वित्तीय मॉडलिंग” जैसे क्षेत्रों में शास्त्रीय कंप्यूटर (सुपरकंप्यूटर) को मात दे, इसके लिए हजारों तार्किक क्वांटम बिट्स की आवश्यकता है।

gantt title "क्वांटम कंप्यूटिंग रोडमैप (संशोधित 2026)" dateFormat YYYY axisFormat %Y section "NISQ युग" "शोर वाले क्यूबिट्स (<1000)" :done, 2018, 2024 section "प्रारंभिक FTQC" "ब्रेक-ईवन पॉइंट प्रदर्शन" :done, 2024, 2026 "सैकड़ों तार्किक क्यूबिट्स" :active, 2026, 2028 section "पूर्ण-पैमाने पर FTQC" "1000+ तार्किक क्यूबिट्स (व्यावसायिक ऐप)" : 2028, 2030 "यूनिवर्सल फॉल्ट-टॉलरेंट क्वांटम कंप्यूटर" : 2030, 2035

6.1 वर्तमान में सामना की जा रही चुनौतियां और भविष्य

2026 तक की सबसे बड़ी चुनौती क्रायोस्टेट (डाइल्यूशन रेफ्रिजरेटर) की शीतलन क्षमता है, जो अत्यंत कम तापमान बनाए रखने के लिए आवश्यक है, और कमरे के तापमान नियंत्रण उपकरण को क्रायोजेनिक क्वांटम चिप से जोड़ने वाली वायरिंग (I/O बॉटलनेक) है। इसके जवाब में, क्रायोजेनिक वातावरण में काम करने में सक्षम CMOS (Cryo-CMOS) कंट्रोलर चिप्स का विकास तेजी से आगे बढ़ रहा है।

निष्कर्ष

2026 को क्वांटम कंप्यूटर के इतिहास में “तार्किक क्वांटम बिट स्केल-अप के प्रथम वर्ष” के रूप में दर्ज किया जाएगा। त्रुटि सुधार एल्गोरिदम के प्रदर्शन, हार्डवेयर के मॉडर्नाइजेशन और टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण में तेजी से प्रगति के साथ, “व्यावहारिक उपयोग का दिन” अब दूर के भविष्य की बात नहीं है, बल्कि एक विशिष्ट मील का पत्थर है जिसे अगले कुछ वर्षों में देखा जा सकता है। क्वांटम एल्गोरिदम के डेवलपर्स और कंपनियों के लिए, यह क्वांटम-नेटिव समस्या-समाधान में गंभीरता से निवेश करने का सही समय है।

यह लेख 2026 के नवीनतम क्वांटम कंप्यूटिंग शोध पत्रों और उद्योग के रुझानों के आधार पर लिखा गया है।