Conjecture P≠NP

Wed, 11 Sep 2024 02:22:39 +0900

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La classe P est la classe des problèmes qui peuvent être décidés en temps polynomial par une machine de Turing déterministe, et la classe NP est la classe des problèmes pour lesquels, étant donné une preuve (appelée Témoin ou Witness) que la réponse est Oui, la validité du Témoin peut être jugée (cela s'appelle la vérification) en temps polynomial. Étant donné que les problèmes décidables en temps polynomial peuvent être vérifiés en temps polynomial, il est évident que P⊆NP, mais il n'est pas clair si P est un sous-ensemble propre de NP. Il n'y a pas encore de preuve, mais de nombreux chercheurs pensent que P≠NP. La conjecture selon laquelle la classe P et la classe NP ne sont pas égales est appelée la "Conjecture P≠NP".

Site de référence : https://daigakudenki.com/np-hard/

Problèmes non résolus en mathématiques

Sat, 02 Mar 2024 22:57:36 +0900

Problèmes non résolus en mathématiques

Nous allons expliquer les problèmes non résolus en mathématiques. Bien que les problèmes eux-mêmes soient simples, il y a encore de nombreux problèmes qui n’ont pas été prouvés.

Y a-t-il une infinité de nombres parfaits ?

Un nombre parfait est un entier naturel dont la somme de ses diviseurs stricts positifs (c’est-à-dire à l’exclusion de lui-même) est égale à lui-même. Par exemple,

Les diviseurs de 6 sont 1, 2 et 3. Comme 1+2+3=6, c’est un nombre parfait.
Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7 et 14. Comme 1+2+4+7+14=28, c’est un nombre parfait.

Actuellement, seuls 51 ont été découverts. On suppose qu’il y en a une infinité, mais cela n’a pas encore été prouvé.

Conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. (Un nombre premier est un entier naturel qui n’a d’autres diviseurs que 1 et lui-même.)

Par exemple,

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5

Le problème en lui-même est très simple, mais il n’a toujours pas été prouvé.

Hypothèse de Riemann

L’hypothèse de Riemann est la conjecture selon laquelle les zéros de la fonction zêta de Riemann sont limités aux entiers pairs négatifs et aux nombres complexes dont la partie réelle est 1/2.

La fonction zêta de Riemann est la fonction $\zeta$ définie, pour $s$ un nombre complexe et $n$ un entier naturel, par :

$$\zeta(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$

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