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Le paradoxe de Saint-Pétersbourg : Combien paieriez-vous pour un jeu dont l'espérance de gain est « infinie » ?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Le jeu de rêve à l’espérance « infinie »

Alors que vous vous promenez dans un casino, un croupier vous invite à participer à un nouveau jeu de pile ou face :

[Règles du jeu]

Vous payez des frais de participation pour commencer le jeu.
Vous lancez une pièce. Si elle tombe sur face, vos gains sont doublés et vous pouvez lancer la pièce à nouveau.
Si elle tombe sur pile, le jeu s’arrête. Vous remportez alors les gains accumulés jusqu’à ce moment-là.

La cagnotte de départ est de 2 dollars.

Si vous obtenez pile au 1er lancer, vous gagnez 2 dollars et le jeu se termine.
Si vous obtenez face au 1er lancer, puis pile au 2e, vous gagnez 4 dollars et le jeu se termine.
Si vous obtenez face au 1er, face au 2e, puis pile au 3e, vous gagnez 8 dollars et le jeu se termine.
…Et ainsi de suite. Tant que vous obtenez face, les gains doublent indéfiniment : 16 $, 32 $, 64 $…

graph TD Start["Début du jeu"] --> Toss1{"1er lancer de pièce"} Toss1 -->|Pile (1/2)| End1["Fin : Gain de 2 dollars"] Toss1 -->|Face (1/2)| Toss2{"2e lancer de pièce"} Toss2 -->|Pile (1/2)| End2["Fin : Gain de 4 dollars"] Toss2 -->|Face (1/2)| Toss3{"3e lancer de pièce"} Toss3 -->|Pile (1/2)| End3["Fin : Gain de 8 dollars"] Toss3 -->|Face (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Tant que c'est Face| Infinite["Les gains doublent à l'infini !"]

Maintenant, voici une question pour vous. Si les frais de participation à ce jeu s’élevaient à “10 000 dollars”, y participeriez-vous ?

La plupart des gens répondraient probablement “non”. En effet, il y a une chance sur deux que la pièce tombe sur pile dès le premier lancer, ce qui ne rapporterait que 2 dollars et entraînerait une perte énorme.

Cependant, si l’on s’en tient strictement à la théorie des probabilités (espérance mathématique), un fait étonnant apparaît : Mathématiquement, que l’entrée coûte 10 000 ou 100 millions de dollars, vous devriez emprunter toute votre fortune pour participer à ce jeu.

Pourquoi cela ?

2. Calculons l’espérance mathématique

Il existe un indicateur mathématique appelé “espérance” pour déterminer si un jeu de hasard est “rentable ou non”. L’espérance est une valeur qui représente “le gain moyen par partie si l’on répète le jeu de nombreuses fois”. La formule consiste à additionner tous les “(Gains potentiels) × (Probabilité associée)”.

Calculons l’espérance de notre jeu.

Probabilité d’obtenir pile au 1er lancer : $\frac{1}{2}$ Le gain est de $2$ dollars. Contribution à l’espérance = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dollar
Probabilité d’obtenir pile au 2e lancer : Obtenir face puis pile donne $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Le gain est de $4$ dollars. Contribution à l’espérance = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dollar
Probabilité d’obtenir pile au 3e lancer : Obtenir face, face, puis pile donne $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Le gain est de $8$ dollars. Contribution à l’espérance = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dollar
Probabilité d’obtenir pile au $n$-ième lancer : $(\frac{1}{2})^n$ Le gain est de $2^n$ dollars. Contribution à l’espérance = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dollar

En d’autres termes, peu importe au bout de combien de lancers le jeu se termine, l’espérance de ce scénario est toujours de “1 dollar”. Puisque le jeu peut continuer indéfiniment, l’addition de toutes ces espérances donne :

$$ \text{Espérance totale} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (Infini)} $$

La réponse fournie par les mathématiques est que “l’espérance de ce jeu est infinie”. Puisque l’espérance est infinie, quels que soient les frais de participation, il s’agit en théorie absolument d’un “pari gagnant”.

C’est ce que l’on appelle le “Paradoxe de Saint-Pétersbourg”, formulé en 1713 par Nicolas Bernoulli. Le résultat mathématique correct (d’une valeur infinie) entre en contradiction flagrante avec le sens commun humain (ne vouloir payer que quelques dollars).

3. La découverte de l’“utilité” pour réconcilier les mathématiques et la nature humaine

Celui qui a résolu ce paradoxe est le brillant mathématicien Daniel Bernoulli, le cousin de Nicolas. (Le paradoxe porte ce nom car il a présenté son article à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg).

Daniel s’est intéressé à la psychologie humaine. Il a estimé que “les humains ne jugent pas les choses en fonction du ‘montant absolu’ d’argent, mais selon la ‘satisfaction (l’utilité)’ que cet argent apporte”.

C’est ce qu’on appelle la “loi de l’utilité marginale décroissante”.

La valeur de l’argent diminue selon la quantité possédée

Par exemple, si vous avez extrêmement soif dans un désert, le premier verre d’eau a une valeur (satisfaction) telle que vous seriez prêt à payer “10 000 dollars” pour le boire. Cependant, à mesure que vous buvez le 2e puis le 3e verre, la valeur d’un verre d’eau diminue progressivement. Au 10e verre, vous diriez sûrement : “Je n’en veux plus, même gratuit”.

Il en va de même pour l’argent.

Pour quelqu’un qui n’a pas d’économies, recevoir “1 million de dollars” a une valeur immense, capable de sauver une vie.
En revanche, pour Elon Musk qui possède des milliards d’actifs, recevoir “1 million de dollars” n’a guère plus de valeur (satisfaction) qu’une petite pièce trouvée dans la rue.

En d’autres termes, même si la cagnotte augmente indéfiniment de 2 $ \rightarrow 4 $ \rightarrow 8 $ \rightarrow 16 $…, la “joie (l’utilité)” ressentie par l’humain n’augmente pas à l’infini proportionnellement au montant.

4. Recalcul de l’espérance en utilisant l’“utilité”

Daniel Bernoulli a fait l’hypothèse que “la valeur de l’argent (l’utilité) ressentie par un être humain est proportionnelle au logarithme ($\log$) du montant”.

Si le montant est $x$, représentons la valeur (l’utilité) $u(x)$ ressentie par une personne par une fonction logarithmique (considérons ici un modèle simple en base 2).

Utilité d’un gain de $2$ dollars : $\log_2(2) = 1$
Utilité d’un gain de $4$ dollars : $\log_2(4) = 2$
Utilité d’un gain de $8$ dollars : $\log_2(8) = 3$
Utilité d’un gain de $2^n$ dollars : $\log_2(2^n) = n$

Le montant double à chaque fois, mais la “joie” humaine n’augmente que petit à petit : 1, 2, 3… Utilisons cette “utilité” pour recalculer l’espérance (l’utilité espérée).

$$ \text{Utilité espérée} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Si l’on calcule la somme de cette série infinie, le résultat n’est pas “l’infini”, mais converge vers “2”. Si l’on calcule à rebours le montant correspondant à une utilité de “2”, on obtient $2^2 = 4$ dollars.

En somme, en recalculant avec la psychologie humaine (l’utilité), on parvient à la réponse extrêmement rationnelle et réaliste que “selon la perception humaine, la valeur de ce jeu est d’environ ‘4 dollars’”. C’est précisément pourquoi nous ne sommes pas disposés à payer 10 000 dollars pour jouer à ce jeu.

5. Conclusion : Un paradoxe qui a ouvert les portes de l’économie

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est un paradoxe révolutionnaire qui a mathématiquement prouvé l’incohérence entre un chiffre objectif comme le “montant” et une valeur subjective telle que la “satisfaction humaine”.

Le concept d’“Utilité” proposé par Daniel Bernoulli est devenu, 200 ans plus tard, l’un des fondements les plus importants de la microéconomie moderne et de l’ingénierie financière (comme la théorie du portefeuille). Nos comportements, tels que souscrire une assurance ou diversifier nos investissements, peuvent tous être expliqués par ce mécanisme psychologique d’“utilité marginale décroissante” (la souffrance d’une grosse perte est bien plus grande que la joie d’un gros gain).

Un simple problème de calcul sur un jeu de hasard a ainsi permis de déchiffrer l’esprit humain et de donner naissance à cette vaste discipline qu’est l’économie.

Le paradoxe des deux enveloppes : l’effondrement logique et le piège décisionnel causés par une espérance mathématique infinie

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. Le choix ultime : échanger ou ne pas échanger ?

Vous êtes à l’étape finale d’un jeu télévisé. Sur la table devant vous se trouvent deux enveloppes (A et B) d’apparence identique. Le présentateur vous dit :

« L’une des enveloppes contient le double de l’argent de l’autre. Veuillez en choisir une. »

Après avoir hésité, vous avez choisi l’enveloppe A. Au moment où vous vous apprêtez à regarder à l’intérieur, le présentateur vous murmure une tentation diabolique :

« Maintenant, si vous le souhaitez, vous pouvez échanger cette enveloppe A avec l’enveloppe B restante. Voulez-vous échanger ? »

Alors, devriez-vous échanger les enveloppes ?

2. La « boucle infinie » déduite par le calcul de l’espérance

Ici, exerçons un peu de réflexion mathématique. Supposons que le montant contenu dans l’enveloppe A que vous possédez est de $X$ yens. Le montant contenu dans l’enveloppe B est, selon les règles, soit « la moitié de $X$ yens ($\frac{X}{2}$) », soit « le double de $X$ yens ($2X$) ». La probabilité est de $\frac{1}{2}$ (50 %) pour chacun.

Calculons maintenant l’espérance (le montant moyen attendu) si vous échangez les enveloppes.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

Un résultat surprenant est apparu. Rien qu’en échangeant les enveloppes, l’espérance bondit à $1.25$ fois (une augmentation de 25 %) le montant initial $X$. La conclusion est : « Mathématiquement parlant, il est absolument avantageux d’échanger ! »

Cependant, c’est ici que se produit l’effondrement logique. Supposons que vous ayez échangé pour l’enveloppe B. Que se passerait-il si, juste après, le présentateur vous demandait à nouveau : « Voulez-vous finalement revenir à A ? » La formule de calcul exacte s’applique de la même manière, et cette fois, la conclusion serait « l’espérance sera multipliée par 1.25 si vous passez de B à A ».

En d’autres termes, rien qu’en continuant à échanger de « A vers B » puis de « B vers A », l’espérance théorique continuerait d’augmenter indéfiniment. Cela contredit clairement la réalité (le contenu des enveloppes est déterminé dès le départ et n’augmente pas parce que vous les avez échangées).

graph TD Start["Vous choisissez l'enveloppe A (Contient X yens)"] --> Think["Calculer s'il est avantageux d'échanger"] Think --> Case1["Enveloppe B est la moitié (X/2 yens) : probabilité 50%"] Think --> Case2["Enveloppe B est le double (2X yens) : probabilité 50%"] Case1 --> Calc["Espérance = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["Échanger pour l'enveloppe B ! (Contient Y yens)"] SwitchToB --> ThinkAgain["Calculer à nouveau"] ThinkAgain --> Case3["Enveloppe A est la moitié (Y/2 yens) : probabilité 50%"] ThinkAgain --> Case4["Enveloppe A est le double (2Y yens) : probabilité 50%"] Case3 --> Calc2["Espérance = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["Échanger à nouveau pour l'enveloppe A !"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

Pourquoi un calcul d’espérance en apparence parfait a-t-il produit un paradoxe aussi étrange ?

3. Explication de l’astuce mathématique : la substitution de variables

Le piège de ce paradoxe réside dans « l’utilisation de la variable aléatoire $X$ ».

Dans la formule précédente, nous avons traité le montant $X$ de l’enveloppe A comme une constante fixe, et avons supposé que l’enveloppe B était « $\frac{X}{2}$ ou $2X$ ». Cependant, ce qui est véritablement fixe est la « somme des montants dans les deux enveloppes », ou encore le « montant le plus faible ».

Soit $S$ le montant dans l’enveloppe contenant le moins d’argent. Alors, l’enveloppe contenant le plus d’argent contient un montant de $2S$. Il n’y a que les 2 scénarios suivants pour l’ensemble du jeu (avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ chacun).

Scénario 1 : L’enveloppe A que vous avez choisie contient le plus faible montant ($S$), et l’enveloppe B contient le montant le plus élevé ($2S$)
Scénario 2 : L’enveloppe A que vous avez choisie contient le montant le plus élevé ($2S$), et l’enveloppe B contient le plus faible montant ($S$)

Maintenant, calculons correctement l’espérance pour les cas « si vous n’échangez pas » et « si vous échangez ».

Espérance si vous n’échangez pas $E_{stay}$ :

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

Espérance si vous échangez $E_{switch}$ : Dans le scénario 1, vous obtenez $2S$, et dans le scénario 2, vous obtenez $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

L’espérance concorde parfaitement ! Dans le premier calcul erroné, nous avons traité $X$ du scénario 1 (qui est en réalité $S$) et $X$ du scénario 2 (qui est en réalité $2S$) comme s’il s’agissait de la même variable $X$, alors qu’ils ont des valeurs différentes, ce qui a créé l’illusion que « l’espérance augmente si l’on échange ».

pie title "La vérité sur l'espérance (si le montant le plus faible est S)" "Espérance sans échanger (1.5S)" : 50 "Espérance avec échange (1.5S)" : 50

4. Que se passe-t-il si vous ouvrez l’enveloppe ?

Le paradoxe semble résolu. Cependant, un problème plus profond vous attend.

Que se passerait-il si, avant d’échanger les enveloppes, vous regardiez à l’intérieur de votre enveloppe A ? En ouvrant l’enveloppe A, vous découvrez qu’elle contient « 10 000 yens ».

À cet instant, la valeur devient une certitude : $X = 10000$. L’enveloppe B contient alors soit « 5 000 yens », soit « 20 000 yens ». Que se passe-t-il si l’on applique la première formule de calcul ici ?

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

L’espérance est de 12 500 yens. Elle est incontestablement supérieure aux 10 000 yens actuels. De plus, cette fois-ci, $X$ étant une « constante spécifique » de 10 000 yens, la contre-argumentation de la « substitution de variables » ne tient plus. Dans ce cas, est-il absolument avantageux d’échanger ?

Réfutation par l’inférence bayésienne : l’absence de « distribution a priori »

Face à cela, les mathématiciens ont introduit le concept de « distribution a priori des montants (probabilité a priori) ». Il s’agit de se demander : peut-on vraiment dire que 5 000 yens et 20 000 yens ont chacun une probabilité de $\frac{1}{2}$ de s’y trouver ?

Par exemple, supposons que le budget maximum du jeu soit de 100 millions de yens. Si vous ouvrez l’enveloppe A et y trouvez « 60 millions de yens », la probabilité que l’enveloppe B contienne « 120 millions de yens » est de zéro (car cela dépasse le budget). En d’autres termes, plus le montant de l’enveloppe A est élevé, plus la probabilité que l’enveloppe B contienne « le double » devrait diminuer, et la probabilité qu’elle contienne « la moitié » devrait augmenter.

En supposant une distribution a priori arbitraire $P(x)$, et en calculant l’espérance à l’aide du théorème de Bayes, il a été mathématiquement prouvé que pour toute distribution de probabilité réaliste (dont la somme est égale à 1), il n’existe aucune distribution magique pour laquelle il est “plus avantageux d’échanger” pour tous les montants $X$.

5. Le piège de l’infini : lien avec le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Il n’existe qu’un seul cas où « il est avantageux d’échanger pour tous les $X$ ». C’est uniquement lorsqu’on suppose une « distribution de probabilité impropre (une distribution dont la somme est infinie) » où le budget du jeu est infini et où tous les montants (1 yen, 2 yens, 4 yens, 8 yens… à l’infini) apparaissent de manière équiprobable.

Cependant, il n’existe aucune chaîne de télévision dotée d’actifs infinis dans le monde réel. Ce bug provoqué par cette « espérance mathématique infinie » trouve ses racines profondément liées au paradoxe de Saint-Pétersbourg (le problème de savoir combien une personne serait prête à payer pour un pari ayant une espérance mathématique infinie).

6. Conclusion : la terreur des probabilités et de l’espérance

Bien que le « paradoxe des deux enveloppes » ne repose que sur de simples multiplications et additions, il nous livre les leçons suivantes :

Les erreurs causées par l’ambiguïté des définitions : Si l’on ne précise pas clairement ce que représente une variable (si $X$ indique toujours le même montant), la logique s’effondre facilement.
L’illusion que “pas d’information = probabilité de 50%” : L’hypothèse selon laquelle « puisque je ne sais pas, ce doit être du cinquante-cinquante » (le principe de raison insuffisante) conduit parfois à des erreurs de calcul fatales.
La difficulté de manipuler l’infini : Introduire dans une formule mathématique le concept d’« infini » qui ne peut être appliqué au monde réel produit des résultats contraires au bon sens.

La prochaine fois que vous penserez dans votre vie que « l’herbe est plus verte ailleurs, et qu’il est plus avantageux d’échanger », souvenez-vous de ce paradoxe. Il se peut que, dans votre équation, les variables aient simplement été substituées.