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Le maître et l'élève, un procès paradoxal quel que soit le gagnant : le paradoxe de Protagoras

Thu, 10 Sep 2026 21:00:00 +0900

Dans la Grèce antique, un jeune homme nommé Éuathlos est devenu le disciple de Protagoras, le plus grand des sophistes (professeur de rhétorique). Un contrat concernant le paiement des frais de scolarité a été conclu entre les deux :

Conditions du contrat : Après avoir terminé l’intégralité du cursus de rhétorique, Éuathlos paiera le solde de ses frais de scolarité à Protagoras dès qu’il aura gagné son premier procès.

Éuathlos était un excellent élève et a brillamment achevé l’ensemble du cursus de rhétorique. Cependant, après avoir terminé, il a refusé d’accepter le moindre procès pour une raison ou une autre. S’il ne va pas au tribunal, la condition de “gagner son premier procès” ne sera jamais remplie, et il n’aura donc pas à payer ses frais de scolarité.

Exaspéré, Protagoras a poursuivi Éuathlos en justice. En exigeant : “Paie tes frais de scolarité”.

Et c’est ici que commence le labyrinthe de la logique.

La logique du maître Protagoras

Au tribunal, Protagoras a argumenté ainsi :

“Juges, quoi qu’il arrive, je gagne.

Si je gagne ce procès, selon la décision du tribunal, Éuathlos devra me payer les frais de scolarité.
Si je perds ce procès, cela signifiera pour Éuathlos qu’il aura ‘gagné son premier procès’. Ainsi, la condition du contrat est remplie et, selon le contrat, il devra payer les frais de scolarité.

Dans les deux cas, il a l’obligation de payer les frais de scolarité.”

La logique de l’élève Éuathlos

Face à cela, Éuathlos ne se laissa pas faire.

“Juges, quoi qu’il arrive, je gagne.

Si je gagne ce procès, selon la décision du tribunal, je n’ai pas à payer de frais de scolarité.
Si je perds ce procès, je n’aurai pas encore ‘gagné mon premier procès’. Ainsi, la condition du contrat n’est pas remplie, et selon le contrat, je n’ai aucune obligation de payer les frais de scolarité.

Dans les deux cas, je n’ai pas à payer de frais de scolarité.”

graph TD A["Résultat du procès"] --> B["Protagoras gagne"] A --> C["Éuathlos gagne"] B --> B1["Jugement : Éuathlos paie"] B --> B2["Contrat : Éuathlos n'a pas gagné → il ne doit pas payer"] C --> C1["Jugement : Éuathlos ne doit pas payer"] C --> C2["Contrat : Première victoire d'Éuathlos → il doit payer"] B1 --> D{"Paradoxe ! Jugement vs Contrat"} B2 --> D C1 --> E{"Paradoxe ! Jugement vs Contrat"} C2 --> E style A fill:#ECEFF1,stroke:#333,stroke-width:2px style B fill:#4CAF50,color:#fff style C fill:#2196F3,color:#fff style D fill:#F44336,color:#fff,stroke-width:3px style E fill:#F44336,color:#fff,stroke-width:3px

Pourquoi y a-t-il une contradiction ?

La cause fondamentale de ce paradoxe est que deux systèmes de règles différents (la loi et le contrat) aboutissent à des décisions contradictoires.

Règle de la loi : Obéir au jugement du tribunal.
Règle du contrat : Obéir à la condition “payer en cas de victoire au premier procès”.

Normalement, la loi et le contrat fonctionnent comme des domaines indépendants, mais du fait que Protagoras a fait du “paiement des frais de scolarité” l’objet du litige, le résultat du procès lui-même a influencé les conditions du contrat, enfermant les deux systèmes dans une boucle auto-référentielle.

La réponse des juristes

Le juriste romain antique Aulu-Gelle a proposé la solution suivante à ce problème :

“Le tribunal devrait rendre un jugement favorable à Éuathlos (aucun paiement requis). En effet, il est vrai que les conditions du contrat ne sont pas encore remplies. Cependant, après ce jugement, Protagoras peut poursuivre Éuathlos une seconde fois. Car, la victoire d’Éuathlos lors du premier procès a rempli la condition du contrat. Lors du second procès, Protagoras gagnera.”

En d’autres termes, la réponse est que tenter de résoudre le paradoxe “en un seul procès simultanément” crée une contradiction, mais que la contradiction peut être résolue si l’affaire est traitée “en deux temps”.

Lien avec les paradoxes de l’auto-référence

Le paradoxe de Protagoras possède la même structure d’auto-référence que le “paradoxe du menteur (‘Cette phrase est fausse’)” ou le “paradoxe de Russell”. Une proposition (la conclusion du procès) influence les conditions mêmes (la réalisation du contrat) qui déterminent sa propre vérité ou fausseté.

Ce type de paradoxe est profondément lié aux problèmes montrant les limites fondamentales de la logique et du calcul, tels que le “problème de l’arrêt (il est impossible de créer un programme capable de déterminer si un autre programme s’arrêtera)” en informatique moderne, ou le théorème d’incomplétude de Gödel.

Le paradoxe de Protagoras est un avertissement vieux de 2400 ans qui nous enseigne que les systèmes de règles créés par l’homme (comme les lois ou les contrats) peuvent s’effondrer de l’intérieur à cause d’une auto-référence astucieuse.

Quand les mots se décrivent eux-mêmes : Le paradoxe de Grelling-Nelson

Thu, 10 Sep 2026 21:00:00 +0900

Les mots sont des outils pour décrire le monde, mais lorsque nous essayons de décrire les mots eux-mêmes, la logique peut tomber dans des pièges inattendus.

Conçu par Kurt Grelling et Leonard Nelson en 1908, le “Paradoxe de Grelling-Nelson (Grelling-Nelson Paradox)” est un célèbre paradoxe sémantique qui met en évidence les limites de cette “définition des mots par les mots”.

Classer les mots en deux catégories

Grelling et Nelson ont considéré que tous les adjectifs (ou mots) pouvaient être classés dans les deux groupes suivants :

Autologique (Autological) : Un mot qui possède lui-même la propriété qu’il décrit.
Hétérologique (Heterological) : Un mot qui ne possède pas lui-même la propriété qu’il décrit.

Regardons quelques exemples

Exemples de mots autologiques :

“Court” (short) : Ce mot lui-même est court.
“Français” (French) : Ce mot lui-même est français.
“Nom” (noun) : Ce mot est un nom.
“Pentasyllabique” (pentasyllabic) : En français, “pen-ta-syl-la-bique” a cinq syllabes.

Exemples de mots hétérologiques :

“Long” (long) : Ce mot lui-même est court, pas long.
“Allemand” (German) : Ce mot est en français (ou en anglais), et n’est pas en allemand.
“Invisible” (invisible) : Ce mot est parfaitement visible en ce moment sur l’écran ou le papier.

Jusqu’ici, cela ressemble à un simple jeu de mots. Chaque mot devrait nécessairement pouvoir être classé soit comme incarnant sa propre signification, soit comme ne l’incarnant pas.

La question fatale : l’émergence du paradoxe

C’est ici que commence le paradoxe. Considérons le mot suivant.

Le mot “Hétérologique” (Heterological) lui-même est-il autologique ou hétérologique ?

Face à cette question, nous sommes confrontés à une contradiction, quelle que soit la réponse choisie.

Cas 1 : Supposons que “Hétérologique” soit “Autologique”

Si le mot “Hétérologique” (Heterological) est “autologique”, alors par définition, il “possède la propriété que le mot lui-même signifie”. Cependant, la signification de ce mot est d’être “hétérologique”. En d’autres termes, avoir la propriété d’être “hétérologique” signifie qu’il est “hétérologique”. Nous avons supposé qu’il était autologique, mais le résultat est qu’il est devenu hétérologique. (Contradiction)

Cas 2 : Supposons que “Hétérologique” soit “Hétérologique”

Si le mot “Hétérologique” (Heterological) est “hétérologique”, alors par définition, il “ne possède pas la propriété que le mot lui-même signifie”. Comme la signification de ce mot est “hétérologique”, ne pas posséder cette propriété signifie qu’il est “autologique”. Nous avons supposé qu’il était hétérologique, mais le résultat est qu’il est devenu autologique. (Contradiction)

La logique s’effondre dans les deux cas.

graph TD A["Mot 'Hétérologique' (Heterological)"] --> B{"Dans quelle catégorie le classer ?"} B -->|Il est autologique| C["Définition : Il possède sa propre signification"] C --> D["Sa propre signification est 'hétérologique'"] D --> E["Résultat : Il est hétérologique !"] E -->|Contradiction| B B -->|Il est hétérologique| F["Définition : Il ne possède pas sa propre signification"] F --> G["Sa propre signification est 'hétérologique'"] G --> H["Résultat : Il est autologique !"] H -->|Contradiction| B style A fill:#4CAF50,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff style B fill:#FF9800,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff style E fill:#F44336,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff style H fill:#F44336,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff

Lien avec les mathématiques et la logique : un parent du paradoxe de Russell

Ce paradoxe n’est pas une simple erreur de calcul ou une illusion comme l’“énigme du dollar manquant”. Il a fondamentalement la même structure que le paradoxe de Russell (“L’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes se contient-il lui-même ?”), qui a ébranlé les fondements des mathématiques.

Le paradoxe de Grelling-Nelson peut être vu comme la version sémantique (la signification des mots) du paradoxe de Russell.

Le paradoxe de Russell dans la théorie des ensembles : Lorsqu’on définit l’ensemble

$$ R = \{ x \mid x \notin x \} $$

demander si $R \in R$ ou $R \notin R$ conduit à une contradiction.

Le paradoxe de Grelling-Nelson en sémantique : Si l’on définit $Het(x)$ comme “le mot $x$ n’a pas la propriété $x$ (est hétérologique)”, on tombe dans la contradiction logique :

$$ Het(\text{"Het"}) \iff \neg Het(\text{"Het"}) $$

Pourquoi ce paradoxe est-il important ?

Lorsqu’un mot fait référence à lui-même (auto-référence), il y a toujours un risque d’erreurs s’apparentant à une boucle infinie.

Ce n’est pas seulement un problème de philosophie ou de linguistique. En informatique et en intelligence artificielle, lorsque des programmes tentent d’évaluer ou de modifier leur propre code, ou lorsque les modèles de traitement du langage naturel interprètent des contradictions sémantiques, ils se heurtent à des barrières logiques similaires.

Le paradoxe de Grelling-Nelson est une expérience de pensée qui visualise brillamment les bugs (limites) inhérents au système qu’est le “langage”.

Le paradoxe de Berry : la contradiction de vouloir définir des « nombres » avec des « mots »

Thu, 10 Sep 2026 11:00:00 +0900

1. Exprimer des nombres avec des mots

Nous utilisons couramment non seulement des « chiffres arabes (1, 2, 3…) », mais aussi des « mots (en japonais, en français ou autre) » pour exprimer des nombres.

Par exemple, le nombre « $10$ » peut être exprimé de différentes manières avec des mots en japonais :

« じゅう » (dix, 3 caractères)
« ごの2ばい » (le double de 5, 5 caractères)
« ひゃくの10ぶんの1 » (le dixième de 100, 9 caractères)

Ainsi, considérons le fait d’expliquer un certain nombre en utilisant les « caractères de la langue japonaise ». Nous imposerons une limite au nombre de caractères utilisables. Ici, nous considérerons les nombres pouvant être exprimés avec « 19 caractères ou moins » en japonais.

Naturellement, il y a une limite aux nombres qui peuvent être exprimés en 19 caractères ou moins. En effet, le nombre de types de caractères japonais (hiragana, katakana, kanji, etc.) est fini, et les combinaisons possibles en les alignant sur 19 caractères ou moins sont également finies (ce sera un nombre astronomique, mais pas infini).

En d’autres termes, il existe nécessairement « un entier gigantesque qui ne peut absolument pas être exprimé en 19 caractères japonais ou moins ».

2. La naissance du paradoxe

Maintenant, voici le vif du sujet. Il existe une infinité d’« entiers qui ne peuvent pas être exprimés en 19 caractères japonais ou moins ». Parmi cette infinité de nombres inexprimables, supposons que nous trouvions « le plus petit (le plus petit entier) ».

Appelons ce nombre $X$. Puisque $X$ est par définition le plus petit parmi les « nombres qui ne peuvent pas être exprimés en 19 caractères japonais ou moins », nous pouvons l’appeler ainsi en japonais :

« じゅうきゅうもじいないであらわせないさいしょうのせいすう » (le plus petit entier qui ne peut pas être exprimé en dix-neuf caractères ou moins)

Comptons le nombre de caractères (hiragana) : « じゅ・う・きゅ・う・も・じ・い・な・い・で・あ・ら・わ・せ・な・い・さ・い・しょ・う・の・せ・い・す・う » …Tiens ? Même en ignorant la ponctuation, il y a 25 caractères. Cela dépasse les « 19 caractères ».

Essayons donc de raccourcir l’expression en utilisant des kanjis (idéogrammes).

« 十九文字以内で表せない最小の整数 »

Maintenant, comptez le nombre de caractères de cette phrase japonaise :

Incroyable, il n’y a que « 16 caractères ».

Quelque chose d’étrange vient de se produire. Nous venons tout juste d’exprimer le nombre $X$ en utilisant la phrase « 十九文字以内で表せない最小の整数 », qui est « un texte japonais de 16 caractères » !

graph TD Define["Définition :
X = Le plus petit entier ne pouvant être exprimé en 19 caractères ou moins"] --> CheckLength{"Combien de caractères comporte la phrase
『十九文字以内で表せない最小の整数』 ?"} CheckLength -->|Elle fait 16 caractères| Contradiction["Contradiction !
X a pu être exprimé en 『16 caractères』 !"] Contradiction --> Paradox["X 『ne peut pas être exprimé en 19 caractères ou moins』, mais pourtant
『il peut être exprimé en 19 caractères ou moins (16 caractères)』"] style Contradiction fill:#ff9999,stroke:#333 style Paradox fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px

Alors que $X$ est censé être un nombre qui « ne peut pas être exprimé en 19 caractères ou moins », les mots mêmes de sa définition expriment parfaitement $X$ en « 16 caractères (ce qui est inférieur ou égal à 19) ». C’est ce qu’on appelle le « Paradoxe de Berry (Berry Paradox) ».

3. Qui a créé ce paradoxe ?

Ce paradoxe a été imaginé en 1904 par G. G. Berry, un bibliothécaire de l’Université d’Oxford. Il est devenu mondialement célèbre lorsque Bertrand Russell, mathématicien et philosophe de génie du 20e siècle, l’a présenté dans l’un de ses articles.

(* Dans l’article original en anglais, l’expression utilisée est “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” (le plus petit entier qui ne peut pas être nommé en moins de dix-neuf syllabes), et le paradoxe est conçu pour fonctionner avec le nombre de syllabes en anglais.)

4. Pourquoi cette contradiction se produit-elle ?

La cause fondamentale de ce paradoxe réside dans l’ambiguïté et l’auto-référence du « langage naturel (japonais, anglais, français, etc.) » que nous utilisons quotidiennement.

Le langage naturel ne peut pas supporter la rigueur des mathématiques

Dans le monde des mathématiques, « définir un nombre » est une tâche extrêmement rigoureuse (on utilise des équations et des symboles). Cependant, dans le paradoxe de Berry, on a tenté de définir un objet mathématique (un entier) en utilisant le langage quotidien humain avec des notions telles que « pouvoir exprimer » et « ne pas pouvoir exprimer ».

Le langage courant est extrêmement puissant et flexible, mais cette flexibilité permet de faire des choses acrobatiques, comme « faire référence au nombre de ses propres caractères ». En conséquence, cela a provoqué une auto-contradiction (un paradoxe d’auto-référence) où « la définition elle-même enfreint les règles de la définition ».

Que signifie « nommer » ou « exprimer » ?

De plus, la définition de « peut être exprimé en 16 caractères » est ambiguë. L’expression « le plus petit entier qui ne peut pas être exprimé en 19 caractères ou moins » ne pointe pas directement vers un nombre spécifique concret (par exemple, un nombre comme $987654321...$). Elle ne fait que décrire indirectement le fait qu’« il doit y avoir un nombre qui remplit cette condition ».

Mathématiquement, « exprimer de manière directement calculable » et « énoncer une condition indirecte avec des mots » doivent être clairement distingués. C’est en confondant ces deux choses pour affirmer « on a pu l’exprimer en 16 caractères ! » que se cache le tour de passe-passe logique.

5. Conclusion et influence moderne

À première vue, le paradoxe de Berry peut sembler n’être qu’un « jeu de mots » ou une « devinette ». Cependant, ce problème a été pour les mathématiciens du 20e siècle l’occasion de prendre profondément conscience du « danger d’utiliser le langage naturel pour jeter les bases des mathématiques ».

« Il ne faut pas définir des nombres avec des mots. Les mathématiques doivent être construites uniquement avec des symboles rigoureux et totalement indépendants. »

Ce paradoxe a servi de jalon important, ouvrant la voie à des disciplines de pointe qui allaient changer l’histoire des mathématiques, comme le « Théorème d’incomplétude de Gödel (il existe en mathématiques des vérités qui ne peuvent absolument pas être prouvées) » et la « Complexité de Kolmogorov en informatique (une théorie sur la façon dont l’information peut être compressée) ».

Le fait que seulement 16 caractères japonais aient pu exposer les limites des mathématiques : telle est la beauté du paradoxe de Berry.