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Le paradoxe de Saint-Pétersbourg : Combien paieriez-vous pour un jeu dont l'espérance de gain est « infinie » ?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Le jeu de rêve à l’espérance « infinie »

Alors que vous vous promenez dans un casino, un croupier vous invite à participer à un nouveau jeu de pile ou face :

[Règles du jeu]

Vous payez des frais de participation pour commencer le jeu.
Vous lancez une pièce. Si elle tombe sur face, vos gains sont doublés et vous pouvez lancer la pièce à nouveau.
Si elle tombe sur pile, le jeu s’arrête. Vous remportez alors les gains accumulés jusqu’à ce moment-là.

La cagnotte de départ est de 2 dollars.

Si vous obtenez pile au 1er lancer, vous gagnez 2 dollars et le jeu se termine.
Si vous obtenez face au 1er lancer, puis pile au 2e, vous gagnez 4 dollars et le jeu se termine.
Si vous obtenez face au 1er, face au 2e, puis pile au 3e, vous gagnez 8 dollars et le jeu se termine.
…Et ainsi de suite. Tant que vous obtenez face, les gains doublent indéfiniment : 16 $, 32 $, 64 $…

graph TD Start["Début du jeu"] --> Toss1{"1er lancer de pièce"} Toss1 -->|Pile (1/2)| End1["Fin : Gain de 2 dollars"] Toss1 -->|Face (1/2)| Toss2{"2e lancer de pièce"} Toss2 -->|Pile (1/2)| End2["Fin : Gain de 4 dollars"] Toss2 -->|Face (1/2)| Toss3{"3e lancer de pièce"} Toss3 -->|Pile (1/2)| End3["Fin : Gain de 8 dollars"] Toss3 -->|Face (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Tant que c'est Face| Infinite["Les gains doublent à l'infini !"]

Maintenant, voici une question pour vous. Si les frais de participation à ce jeu s’élevaient à “10 000 dollars”, y participeriez-vous ?

La plupart des gens répondraient probablement “non”. En effet, il y a une chance sur deux que la pièce tombe sur pile dès le premier lancer, ce qui ne rapporterait que 2 dollars et entraînerait une perte énorme.

Cependant, si l’on s’en tient strictement à la théorie des probabilités (espérance mathématique), un fait étonnant apparaît : Mathématiquement, que l’entrée coûte 10 000 ou 100 millions de dollars, vous devriez emprunter toute votre fortune pour participer à ce jeu.

Pourquoi cela ?

2. Calculons l’espérance mathématique

Il existe un indicateur mathématique appelé “espérance” pour déterminer si un jeu de hasard est “rentable ou non”. L’espérance est une valeur qui représente “le gain moyen par partie si l’on répète le jeu de nombreuses fois”. La formule consiste à additionner tous les “(Gains potentiels) × (Probabilité associée)”.

Calculons l’espérance de notre jeu.

Probabilité d’obtenir pile au 1er lancer : $\frac{1}{2}$ Le gain est de $2$ dollars. Contribution à l’espérance = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dollar
Probabilité d’obtenir pile au 2e lancer : Obtenir face puis pile donne $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Le gain est de $4$ dollars. Contribution à l’espérance = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dollar
Probabilité d’obtenir pile au 3e lancer : Obtenir face, face, puis pile donne $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Le gain est de $8$ dollars. Contribution à l’espérance = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dollar
Probabilité d’obtenir pile au $n$-ième lancer : $(\frac{1}{2})^n$ Le gain est de $2^n$ dollars. Contribution à l’espérance = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dollar

En d’autres termes, peu importe au bout de combien de lancers le jeu se termine, l’espérance de ce scénario est toujours de “1 dollar”. Puisque le jeu peut continuer indéfiniment, l’addition de toutes ces espérances donne :

$$ \text{Espérance totale} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (Infini)} $$

La réponse fournie par les mathématiques est que “l’espérance de ce jeu est infinie”. Puisque l’espérance est infinie, quels que soient les frais de participation, il s’agit en théorie absolument d’un “pari gagnant”.

C’est ce que l’on appelle le “Paradoxe de Saint-Pétersbourg”, formulé en 1713 par Nicolas Bernoulli. Le résultat mathématique correct (d’une valeur infinie) entre en contradiction flagrante avec le sens commun humain (ne vouloir payer que quelques dollars).

3. La découverte de l’“utilité” pour réconcilier les mathématiques et la nature humaine

Celui qui a résolu ce paradoxe est le brillant mathématicien Daniel Bernoulli, le cousin de Nicolas. (Le paradoxe porte ce nom car il a présenté son article à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg).

Daniel s’est intéressé à la psychologie humaine. Il a estimé que “les humains ne jugent pas les choses en fonction du ‘montant absolu’ d’argent, mais selon la ‘satisfaction (l’utilité)’ que cet argent apporte”.

C’est ce qu’on appelle la “loi de l’utilité marginale décroissante”.

La valeur de l’argent diminue selon la quantité possédée

Par exemple, si vous avez extrêmement soif dans un désert, le premier verre d’eau a une valeur (satisfaction) telle que vous seriez prêt à payer “10 000 dollars” pour le boire. Cependant, à mesure que vous buvez le 2e puis le 3e verre, la valeur d’un verre d’eau diminue progressivement. Au 10e verre, vous diriez sûrement : “Je n’en veux plus, même gratuit”.

Il en va de même pour l’argent.

Pour quelqu’un qui n’a pas d’économies, recevoir “1 million de dollars” a une valeur immense, capable de sauver une vie.
En revanche, pour Elon Musk qui possède des milliards d’actifs, recevoir “1 million de dollars” n’a guère plus de valeur (satisfaction) qu’une petite pièce trouvée dans la rue.

En d’autres termes, même si la cagnotte augmente indéfiniment de 2 $ \rightarrow 4 $ \rightarrow 8 $ \rightarrow 16 $…, la “joie (l’utilité)” ressentie par l’humain n’augmente pas à l’infini proportionnellement au montant.

4. Recalcul de l’espérance en utilisant l’“utilité”

Daniel Bernoulli a fait l’hypothèse que “la valeur de l’argent (l’utilité) ressentie par un être humain est proportionnelle au logarithme ($\log$) du montant”.

Si le montant est $x$, représentons la valeur (l’utilité) $u(x)$ ressentie par une personne par une fonction logarithmique (considérons ici un modèle simple en base 2).

Utilité d’un gain de $2$ dollars : $\log_2(2) = 1$
Utilité d’un gain de $4$ dollars : $\log_2(4) = 2$
Utilité d’un gain de $8$ dollars : $\log_2(8) = 3$
Utilité d’un gain de $2^n$ dollars : $\log_2(2^n) = n$

Le montant double à chaque fois, mais la “joie” humaine n’augmente que petit à petit : 1, 2, 3… Utilisons cette “utilité” pour recalculer l’espérance (l’utilité espérée).

$$ \text{Utilité espérée} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Si l’on calcule la somme de cette série infinie, le résultat n’est pas “l’infini”, mais converge vers “2”. Si l’on calcule à rebours le montant correspondant à une utilité de “2”, on obtient $2^2 = 4$ dollars.

En somme, en recalculant avec la psychologie humaine (l’utilité), on parvient à la réponse extrêmement rationnelle et réaliste que “selon la perception humaine, la valeur de ce jeu est d’environ ‘4 dollars’”. C’est précisément pourquoi nous ne sommes pas disposés à payer 10 000 dollars pour jouer à ce jeu.

5. Conclusion : Un paradoxe qui a ouvert les portes de l’économie

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est un paradoxe révolutionnaire qui a mathématiquement prouvé l’incohérence entre un chiffre objectif comme le “montant” et une valeur subjective telle que la “satisfaction humaine”.

Le concept d’“Utilité” proposé par Daniel Bernoulli est devenu, 200 ans plus tard, l’un des fondements les plus importants de la microéconomie moderne et de l’ingénierie financière (comme la théorie du portefeuille). Nos comportements, tels que souscrire une assurance ou diversifier nos investissements, peuvent tous être expliqués par ce mécanisme psychologique d’“utilité marginale décroissante” (la souffrance d’une grosse perte est bien plus grande que la joie d’un gros gain).

Un simple problème de calcul sur un jeu de hasard a ainsi permis de déchiffrer l’esprit humain et de donner naissance à cette vaste discipline qu’est l’économie.

Le dilemme du prisonnier : pourquoi faisons-nous le choix où "tout le monde perd" ?

Thu, 10 Sep 2026 03:00:00 +0900

1. Le choix ultime : garder le silence ou trahir ?

Vous avez été arrêté par la police avec un ami, complice d’un crime présumé. Vous êtes placés dans des salles d’interrogatoire séparées, et il vous est absolument impossible de communiquer l’un avec l’autre.

Comme la police n’a pas de preuves solides, le procureur propose à vous et à votre ami l’accord de plaidoyer suivant :

Si tous les deux “gardent le silence (coopération)” : Faute de preuves, vous vous en sortirez tous les deux avec 1 an de prison.
Si vous “avouez (trahison)” et que votre ami “garde le silence” : Vous qui avez coopéré à l’enquête serez acquitté (libération immédiate), mais votre ami portera le chapeau pour tout et aura 10 ans de prison. (Et vice versa)
Si tous les deux “avouent (trahison)” : Puisque vous avez tous les deux reconnu les faits, vos peines seront légèrement réduites et vous écoperez tous les deux de 5 ans de prison.

Alors, que feriez-vous ? Allez-vous “garder le silence (coopérer avec votre complice)” ? Ou allez-vous “avouer (trahir votre complice)” ?

2. Analyse par la matrice des gains (payoff matrix)

Organisons cette situation dans une “matrice des gains” utilisée dans la théorie des jeux. Les nombres dans les cases représentent (vos années de prison, les années de prison de votre ami). Le signe moins signifie une perte (années de prison).

Vous \ Ami	Garder le silence (Coopération)	Avouer (Trahison)
Garder le silence (Coopération)	(-1, -1)	(-10, 0)
Avouer (Trahison)	(0, -10)	(-5, -5)

D’un point de vue objectif, la meilleure action à entreprendre pour vous deux est évidente. Si tous les deux “gardent le silence”, la peine totale ne sera que de 2 ans (-1 et -1). C’est l’état “Optimum de Pareto” qui maximise le bénéfice global.

Cependant, si vous êtes un “humain rationnel essayant de maximiser son propre profit”, une conclusion complètement différente en est tirée.

3. Pourquoi la “trahison” devient-elle un choix rationnel ?

Suivons le processus de réflexion où vous prédisez le comportement de votre “ami” dans l’autre pièce pour décider de votre propre action.

Cas 1 : Si vous prédisez que votre ami “gardera le silence”

Si je “garde le silence”, 1 an de prison.
Si j’“avoue”, acquittement (libération immédiate). $\rightarrow$ L’acquittement étant préférable, “avouer (trahir)” est optimal.

Cas 2 : Si vous prédisez que votre ami “avouera”

Si je “garde le silence”, 10 ans de prison.
Si j’“avoue”, 5 ans de prison. $\rightarrow$ 5 ans de prison étant moins pires, “avouer (trahir)” est toujours optimal.

L’avez-vous remarqué ? Peu importe l’action entreprise par l’autre, il est toujours plus avantageux pour vous d’“avouer (trahir)”. Dans la théorie des jeux, on appelle cela une “stratégie dominante”.

Votre ami étant placé exactement dans la même situation et pensant de la même manière rationnelle, “avouer” devient également sa stratégie dominante.

En conséquence, les deux individus rationnels choisiront toujours “d’avouer (se trahir)” mutuellement. Le résultat final est que tous les deux purgeront 5 ans de prison (-5, -5), ce qui est presque le pire résultat dans l’ensemble. Si vous aviez coopéré (gardé le silence), vous vous en seriez tirés avec un an de prison, mais en poursuivant la rationalité individuelle, vous finissez tous les deux par y perdre.

graph TD Start["Début du choix"] --> Logic_You["Votre réflexion rationnelle"] Start --> Logic_Friend["La réflexion rationnelle de l'ami"] Logic_You -->|Si l'autre se tait, avouer est profitable
Si l'autre avoue, avouer reste profitable| Betray_You["Vous choisissez d'avouer (trahir)"] Logic_Friend -->|Si l'autre se tait, avouer est profitable
Si l'autre avoue, avouer reste profitable| Betray_Friend["L'ami choisit d'avouer (trahir)"] Betray_You --> Result["Résultat : les deux avouent (-5, -5)"] Betray_Friend --> Result Ideal["Idéal : les deux se taisent (-1, -1)"] -.->|La rationalité individuelle s'y oppose
et empêche de l'atteindre| Result style Result fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Ideal fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px

Cet état où “après avoir prédit le comportement de l’autre, personne n’est incité à changer de stratégie (on ne peut rien faire de plus)” est appelé “Équilibre de Nash”, d’après le grand maître de la théorie des jeux, John Nash.

Le point le plus effrayant du dilemme du prisonnier réside dans le fait que “l’optimum de Pareto (le meilleur résultat pour l’ensemble)” et “l’équilibre de Nash (la destination ultime de la rationalité individuelle)” ne coïncident pas.

4. Le “dilemme du prisonnier” caché dans la société quotidienne

Le dilemme du prisonnier n’est pas qu’un simple quiz. De nombreux problèmes survenant dans notre société peuvent être expliqués par ce modèle mathématique.

1. La guerre des prix (concurrence sur les prix)

Deux entreprises rivales vendent des produits similaires pour 1000 yens. Si les deux maintiennent le prix de 1000 yens (coopération), elles obtiennent toutes deux des bénéfices élevés. Cependant, cédant à la tentation de “vendre un peu moins cher que le concurrent (trahison) pour monopoliser les clients”, les deux entreprises commencent une guerre des prix. En conséquence, le produit finit à 500 yens, et les deux entreprises souffrent sans faire de bénéfices (trahison mutuelle).

2. Les problèmes environnementaux et les gaz à effet de serre

Les pays du monde entier promettent de “réduire les émissions de CO2 (coopération)”. C’est la solution optimale pour la planète entière. Cependant, si un seul pays “ignore les limites d’émission et fait tourner ses usines (trahison)”, il peut faire croître rapidement sa propre économie. À l’inverse, si d’autres pays trahissent mais que votre pays est le seul à respecter les règles, votre pays subira d’énormes pertes économiques. En conséquence, craignant d’être devancé, chaque pays choisit la trahison, et l’environnement mondial est détruit.

3. Le problème du dopage dans le sport

L’idéal est qu’aucun athlète ne se dope (coopération). Cependant, la paranoïa que “les adversaires pourraient se doper” ou la tentation de penser que “si je suis le seul à me doper, je peux gagner”, conduit à choisir le dopage (trahison). En conséquence, on tombe dans la pire situation où tout le monde concourt dopé tout en ruinant sa santé.

5. Y a-t-il une solution ? La stratégie “donnant-donnant” (Tit for Tat)

Dans une transaction unique, la “trahison” sera toujours le choix rationnel. Mais lorsque cela devient “un jeu répété plusieurs fois avec le même adversaire (dilemme du prisonnier itéré)”, la situation change radicalement.

Dans les années 1980, le politologue Robert Axelrod a organisé un tournoi où des ordinateurs programmés avec diverses stratégies s’affrontaient. Parmi les stratégies complexes recueillies auprès de chercheurs du monde entier, telles que “toujours trahir”, “trahir de façon aléatoire”, ou “pardonner à l’adversaire”, c’est la stratégie la plus simple, “donnant-donnant (Tit for Tat)”, qui l’a emporté avec des résultats écrasants.

Les règles de la stratégie donnant-donnant se résument à ceci :

Toujours “coopérer” au début.
Ensuite, imiter simplement “l’action prise par l’adversaire” au tour précédent.
- Si l’adversaire a coopéré la dernière fois, on coopère cette fois.
- Si l’adversaire a trahi la dernière fois, on trahit et on riposte cette fois.

Cette stratégie est forte car elle combine quatre caractéristiques : “ne jamais être le premier à trahir (bonté)”, “punir immédiatement si on est trahi (sévérité)”, “pardonner immédiatement si l’adversaire change d’attitude (indulgence)”, et “une structure simple facile à comprendre pour l’adversaire (clarté)”.

graph LR Start["1ère fois : coopération inconditionnelle"] --> Round2 Round2["Observer l'action de l'adversaire"] -->|L'adversaire a coopéré| Act_Coop["Je coopère aussi"] Round2 -->|L'adversaire a trahi| Act_Betray["Je trahis aussi (représailles)"] Act_Coop --> Round2 Act_Betray -->|Si l'adversaire regrette
et revient à la coopération| Act_Coop

Dans les relations humaines ou la société internationale, tant qu’une relation à long terme est supposée, partager la règle de “coopérer à la base, mais pénaliser la trahison”, comme dans la stratégie donnant-donnant, permet de surmonter le dilemme du prisonnier et de construire des relations de coopération.

6. Conclusion : la valeur de la “confiance” enseignée par les mathématiques

Le dilemme du prisonnier a prouvé mathématiquement que la “rationalité égoïste humaine” peut parfois plonger la société tout entière dans l’abîme du malheur. La rationalité individuelle de vouloir “être le seul à en tirer profit” ou “ne pas se faire devancer” conduit finalement à un résultat où l’on se tire une balle dans le pied (équilibre de Nash).

Mais dans le même temps, la théorie des jeux nous enseigne aussi que, à condition que “la relation se poursuive sur le long terme”, “se faire mutuellement confiance et coopérer” est en fait la stratégie la plus rationnelle qui maximise aussi son propre profit.

La prochaine fois que vous hésiterez à “tricher un peu pour vous seul”, rappelez-vous de la matrice des gains de ce dilemme du prisonnier. Poursuivre le profit immédiat par une “trahison rationnelle” pourrait bien être le choix le plus irrationnel à long terme.