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Mathématiques & Société

Pourquoi une infime minorité peut détenir tout le pouvoir : les mathématiques du pouvoir de vote

Pourquoi la part des sièges au parlement ou des actions dans un conseil d'administration ne reflète-t-elle pas le pouvoir réel de décision ? Analyse mathématique des jeux de vote pondéré, des indices de Banzhaf et de Shapley-Shubik, des fonctions génératrices, du Conseil de sécurité de l'ONU et des paradoxes du pouvoir.

Dans les assemblées parlementaires, les conseils internationaux et les conseils d’administration d’entreprises, l’intuition commune repose sur une illusion arithmétique tenace : l’idée que la proportion de sièges d’un parti — ou la part du capital détenue par un actionnaire — est proportionnelle à son véritable pouvoir de décision (Voting Power).

Imaginons un parlement de 100 sièges où l’adoption d’une loi requiert une majorité absolue de $q = 51$ voix. Supposons que le parti A détienne 49 sièges, le parti B 49 sièges, et qu’un minuscule parti C ne dispose que de 2 sièges. En apparence, A et B sont deux géants contrôlant chacun $49\%$ de l’hémicycle, tandis que C semble marginal avec $2\%$. Pourtant, la théorie des jeux coopératifs (Cooperative Game Theory) démontre un résultat saisissant : les partis A, B et C détiennent exactement le même pouvoir de vote — un tiers ($33,33\%$) chacun.

Inversement, un État ou un parti peut disposer d’un nombre substantiel de voix tout en ayant un pouvoir de vote mathématiquement nul ($0\%$) — ce qu’on appelle un joueur factice (Dummy Player). Entre 1958 et 1973, le Conseil des ministres de la Communauté économique européenne (CEE) utilisait la règle de majorité qualifiée $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$. Bien que le Luxembourg disposât d’une voix ($5,88\%$ du total), tous les autres États avaient un nombre pair de voix ($4, 4, 4, 2, 2$) et le quota était pair ($12$). Il était donc mathématiquement impossible que la voix unique du Luxembourg fasse basculer une coalition perdante (au plus $10$ voix) au-dessus du seuil de $12$ : pendant 15 ans, son pouvoir réel fut de $0\%$.

Cet article expose la théorie mathématique des indices de pouvoir de vote : la formulation axiomatique des jeux simples pondérés, l’indice de Banzhaf, l’indice de Shapley-Shubik, le théorème probabiliste de Straffin, le calcul par fonctions génératrices, le droit de veto au Conseil de sécurité de l’ONU et les paradoxes de redistribution.

1. L’illusion de la part des sièges : trois expériences de pensée

Considérons trois parlements de $W = 100$ sièges avec un seuil de majorité $q = 51$ :

  1. Le faiseur de rois (Kingmaker) $[51;\, 49, 49, 2]$ : Aucun parti n’a la majorité seul. Les coalitions gagnantes sont $\{A, B\}(98)$, $\{A, C\}(51)$, $\{B, C\}(51)$ et $\{A, B, C\}(100)$. Toute coalition de deux partis l’emporte : ce jeu est isomorphe au vote majoritaire simple $[2;\, 1, 1, 1]$. Avec $2\%$ des sièges, le parti C détient $33,33\%$ du pouvoir, à égalité parfaite avec A et B.
  2. Le dictateur et l’opposition impuissante $[51;\, 52, 47, 1]$ : Avec $w_A = 52 \ge 51$, le parti A est un dictateur ($100\%$ du pouvoir). Bien que le parti B possède $47\%$ des sièges, même allié à C ($47 + 1 = 48 < 51$), il ne peut jamais modifier l’issue d’un scrutin : B et C sont des joueurs factices ($0\%$ de pouvoir).
  3. Le joueur factice invisible et l’affaire du comté de Nassau (1965) $[51;\, 35, 35, 25, 5]$ : Aucun parti n’a la majorité absolue. Pourtant, les sommes possibles des sous-ensembles de $\{A, B, C\}$ (poids $35, 35, 25$) sont uniquement $0, 25, 35, 60, 70, 95$. Aucune coalition ne tombe dans l’intervalle critique $[51 - 5,\, 50] = [46, 50]$ où les $5$ sièges du parti D feraient basculer le vote ! Le parti D a donc un pouvoir de $0\%$. C’est par cette démonstration que le juriste John F. Banzhaf III prouva en 1965 que trois municipalités du comté de Nassau (New York) avaient $0\%$ de pouvoir réel, entraînant l’invalidation constitutionnelle du système.

2. Formulation mathématique : indices de Banzhaf et de Shapley-Shubik

Jeux simples et jeux de vote pondéré

$$v(S) = \begin{cases} 1 & \text{si } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{coalition gagnante}) \\ 0 & \text{si } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{coalition perdante}) \end{cases}$$

Un joueur $i \in S$ est dit critique (Swing Voter) dans $S$ si $v(S) = 1$ et $v(S \setminus \{i\}) = 0$, soit $\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1$.

  flowchart TD
    A["Jeu de vote pondéré [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["Poids de la coalition w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
    B --> C{"w(S) ≥ q ?"}
    C -- "Oui: v(S) = 1" --> D["Coalition gagnante S ∈ W"]
    C -- "Non: v(S) = 0" --> E["Coalition perdante S ∉ W"]
    D --> F{"Sans le joueur i, a-t-on w(S \ {i}) < q ?"}
    F -- "Oui: v(S \ {i}) = 0" --> G["Le joueur i est critique (Swing Voter) dans S"]
    F -- "Non: v(S \ {i}) = 1" --> H["Le joueur i est excédentaire dans S"]
    G --> I["Indice de Banzhaf βᵢ : compte les swings ηᵢ sur les 2ⁿ⁻¹ sous-ensembles"]
    G --> J["Indice de Shapley-Shubik φᵢ : compte les pivots sur les n! permutations"]

1. L’indice de pouvoir de Banzhaf (Penrose 1946 / Banzhaf 1965)

$$\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}$$

2. L’indice de pouvoir de Shapley-Shubik (Shapley & Shubik 1954)

$$\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]$$

3. Calcul complet sur $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ et fonctions génératrices

Pour le jeu $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ ($w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1$, total $10$, quota $q=6$), le dénombrement des 7 coalitions gagnantes (sur 16) et des 24 permutations donne :

Coalition gagnante $S$Poids $w(S)$Poids après retrait $w(S \setminus \{i\})$Joueurs critiques (Swing)PartiPart de voixSwings $\eta_i$Banzhaf normalisé $\beta_i$Pivots ($/24$)Shapley-Shubik $\phi_i$
$\{A, B\}$$7$$-A:3,\ -B:4$A, BA ($w_A=4$)$40,0\%$$5$$5/12 \approx \mathbf{41,67\%}$$10$$10/24 \approx \mathbf{41,67\%}$
$\{A, C\}$$6$$-A:2,\ -C:4$A, CB ($w_B=3$)$30,0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25,00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25,00\%}$
$\{A, B, C\}$$9$$-A:5,\ -B:6,\ -C:7$AC ($w_C=2$)$20,0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25,00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25,00\%}$
$\{A, B, D\}$$8$$-A:4,\ -B:5,\ -D:7$A, BD ($w_D=1$)$10,0\%$$1$$1/12 \approx \mathbf{8,33\%}$$2$$2/24 \approx \mathbf{8,33\%}$
$\{A, C, D\}$$7$$-A:3,\ -C:5,\ -D:6$A, CTotal$100\%$$12$$100,00\%$$24$$100,00\%$
$\{B, C, D\}$$6$$-B:3,\ -C:4,\ -D:5$B, C, D
$\{A,B,C,D\}$$10$Tout retrait $\ge 6$Aucun

Bien que le parti B ($30\%$) ait $1,5$ fois plus de sièges que le parti C ($20\%$), tous deux ont exactement le même pouvoir ($25,00\%$) ! En revanche, dans $[5;\, 3, 2, 1, 1]$, les deux indices divergent : $\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)$ contre $\phi = (58,33\%, 25,00\%, 8,33\%, 8,33\%)$. D’après le théorème de Straffin (1977), l’indice de Banzhaf découle de l’hypothèse d’indépendance ($p_i = 1/2$ indépendants), tandis que celui de Shapley-Shubik découle de l’hypothèse d’homogénéité ($p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$).

$$P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}$$

4. Institutions internationales et paradoxes du pouvoir de vote

1. Le Conseil des ministres de la CEE (1958–1973) $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$

Pour le Luxembourg ($w_{\text{Lux}} = 1$, quota $q = 12$), la fonction génératrice $P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2$ ne contient que des puissances paires de $x$, donc le coefficient de $x^{11}$ est nul ($\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%$). Lors de l’élargissement de 1973 à 9 États ($[41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]$), bien que la part des voix du Luxembourg ait baissé de $5,88\%$ à $3,45\%$, son pouvoir de Banzhaf est passé de $0\%$ à $1,62\%$ (paradoxe des nouveaux membres, Brams & Affuso 1976).

2. Le Conseil de sécurité de l’ONU (droit de veto des P5)

Le Conseil de sécurité (5 membres permanents P5 avec droit de veto et 10 membres non permanents NP10, majorité de 9 voix incluant les 5 P5) équivaut au jeu pondéré $[39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$.

  • Indice de Banzhaf : $\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848$, $\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16,69\%}$ et $\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1,65\%}$.
  • Indice de Shapley-Shubik : Un membre non permanent n’est pivot qu’en $9^{\text{e}}$ position derrière les 5 P5 et exactement 3 des 9 autres NP : $$\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0,1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19,627\%}$$ Les cinq membres permanents concentrent $98,135\%$ du pouvoir de Shapley-Shubik (chacun ayant 105,25 fois le pouvoir d’un membre élu).
  flowchart TD
    P["Paradoxes non linéaires des jeux de vote pondéré"] --> P1["1. Paradoxe des nouveaux membres (Brams & Affuso 1976)"]
    P --> P2["2. Paradoxe de la scission (Large Size)"]
    P --> P3["3. Paradoxe de la redistribution (Fischer & Schotter 1978)"]
    P1 --> D1["L'entrée de nouveaux membres peut augmenter le pouvoir d'un membre existant malgré une baisse de sa part de voix (ex. Luxembourg en 1973 : 0% → 1,6%)"]
    P2 --> D2["Un grand parti qui se scinde en deux factions peut accroître son pouvoir de vote total"]
    P3 --> D3["Un parti qui perd la moitié de ses sièges lors d'une élection peut voir son pouvoir de vote doubler"]

3. Le paradoxe de la redistribution (Fischer & Schotter 1978)

Comparons un parlement de 14 sièges (quota $q = 9$) avant et après une élection :

  • Avant l’élection $[9;\, 6, 4, 2, 2]$ : Les seules coalitions gagnantes minimales sont $\{A, B\}(10)$ et $\{A, C, D\}(10)$ ; A détient un droit de veto. Le parti D ($2$ sièges) a $\beta_D = 10,00\%$ et $\phi_D = 8,33\%$.
  • Après l’élection $[9;\, 5, 5, 3, 1]$ : A cède 1 siège à B, et le parti D perd la moitié de ses sièges ($2 \to 1$) au profit de C. Or, la coalition $\{B, C, D\}$ atteint désormais $5+3+1=9$ sièges et devient gagnante ! Le monopole de veto de A est brisé et le parti D, avec un seul siège, devient le faiseur de rois indispensable à la fois pour $\{A, C, D\}$ et $\{B, C, D\}$ : son pouvoir bondit à $\beta_D = \mathbf{16,67\%}$ et $\phi_D = \mathbf{16,67\%}$ — deux fois moins de sièges, deux fois plus de pouvoir !

Enfin, dans un système fédéral à deux niveaux, la loi de la racine carrée de Penrose (1946) établit que pour garantir à chaque citoyen une influence indirecte égale quelle que soit la population $P_k$ de son État, l’indice de Banzhaf $\beta'_k$ de chaque État au conseil fédéral doit être proportionnel à $\sqrt{P_k}$.

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