1. Le choix ultime : échanger ou ne pas échanger ?
Vous êtes à l’étape finale d’un jeu télévisé. Sur la table devant vous se trouvent deux enveloppes (A et B) d’apparence identique. Le présentateur vous dit :
« L’une des enveloppes contient le double de l’argent de l’autre. Veuillez en choisir une. »
Après avoir hésité, vous avez choisi l’enveloppe A. Au moment où vous vous apprêtez à regarder à l’intérieur, le présentateur vous murmure une tentation diabolique :
« Maintenant, si vous le souhaitez, vous pouvez échanger cette enveloppe A avec l’enveloppe B restante. Voulez-vous échanger ? »
Alors, devriez-vous échanger les enveloppes ?
2. La « boucle infinie » déduite par le calcul de l’espérance
Ici, exerçons un peu de réflexion mathématique. Supposons que le montant contenu dans l’enveloppe A que vous possédez est de $X$ yens. Le montant contenu dans l’enveloppe B est, selon les règles, soit « la moitié de $X$ yens ($\frac{X}{2}$) », soit « le double de $X$ yens ($2X$) ». La probabilité est de $\frac{1}{2}$ (50 %) pour chacun.
Calculons maintenant l’espérance (le montant moyen attendu) si vous échangez les enveloppes.
$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$Un résultat surprenant est apparu. Rien qu’en échangeant les enveloppes, l’espérance bondit à $1.25$ fois (une augmentation de 25 %) le montant initial $X$. La conclusion est : « Mathématiquement parlant, il est absolument avantageux d’échanger ! »
Cependant, c’est ici que se produit l’effondrement logique. Supposons que vous ayez échangé pour l’enveloppe B. Que se passerait-il si, juste après, le présentateur vous demandait à nouveau : « Voulez-vous finalement revenir à A ? » La formule de calcul exacte s’applique de la même manière, et cette fois, la conclusion serait « l’espérance sera multipliée par 1.25 si vous passez de B à A ».
En d’autres termes, rien qu’en continuant à échanger de « A vers B » puis de « B vers A », l’espérance théorique continuerait d’augmenter indéfiniment. Cela contredit clairement la réalité (le contenu des enveloppes est déterminé dès le départ et n’augmente pas parce que vous les avez échangées).
Pourquoi un calcul d’espérance en apparence parfait a-t-il produit un paradoxe aussi étrange ?
3. Explication de l’astuce mathématique : la substitution de variables
Le piège de ce paradoxe réside dans « l’utilisation de la variable aléatoire $X$ ».
Dans la formule précédente, nous avons traité le montant $X$ de l’enveloppe A comme une constante fixe, et avons supposé que l’enveloppe B était « $\frac{X}{2}$ ou $2X$ ». Cependant, ce qui est véritablement fixe est la « somme des montants dans les deux enveloppes », ou encore le « montant le plus faible ».
Soit $S$ le montant dans l’enveloppe contenant le moins d’argent. Alors, l’enveloppe contenant le plus d’argent contient un montant de $2S$. Il n’y a que les 2 scénarios suivants pour l’ensemble du jeu (avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ chacun).
- Scénario 1 : L’enveloppe A que vous avez choisie contient le plus faible montant ($S$), et l’enveloppe B contient le montant le plus élevé ($2S$)
- Scénario 2 : L’enveloppe A que vous avez choisie contient le montant le plus élevé ($2S$), et l’enveloppe B contient le plus faible montant ($S$)
Maintenant, calculons correctement l’espérance pour les cas « si vous n’échangez pas » et « si vous échangez ».
Espérance si vous n’échangez pas $E_{stay}$ :
$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$Espérance si vous échangez $E_{switch}$ : Dans le scénario 1, vous obtenez $2S$, et dans le scénario 2, vous obtenez $S$.
$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$L’espérance concorde parfaitement ! Dans le premier calcul erroné, nous avons traité $X$ du scénario 1 (qui est en réalité $S$) et $X$ du scénario 2 (qui est en réalité $2S$) comme s’il s’agissait de la même variable $X$, alors qu’ils ont des valeurs différentes, ce qui a créé l’illusion que « l’espérance augmente si l’on échange ».
4. Que se passe-t-il si vous ouvrez l’enveloppe ?
Le paradoxe semble résolu. Cependant, un problème plus profond vous attend.
Que se passerait-il si, avant d’échanger les enveloppes, vous regardiez à l’intérieur de votre enveloppe A ? En ouvrant l’enveloppe A, vous découvrez qu’elle contient « 10 000 yens ».
À cet instant, la valeur devient une certitude : $X = 10000$. L’enveloppe B contient alors soit « 5 000 yens », soit « 20 000 yens ». Que se passe-t-il si l’on applique la première formule de calcul ici ?
$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$L’espérance est de 12 500 yens. Elle est incontestablement supérieure aux 10 000 yens actuels. De plus, cette fois-ci, $X$ étant une « constante spécifique » de 10 000 yens, la contre-argumentation de la « substitution de variables » ne tient plus. Dans ce cas, est-il absolument avantageux d’échanger ?
Réfutation par l’inférence bayésienne : l’absence de « distribution a priori »
Face à cela, les mathématiciens ont introduit le concept de « distribution a priori des montants (probabilité a priori) ». Il s’agit de se demander : peut-on vraiment dire que 5 000 yens et 20 000 yens ont chacun une probabilité de $\frac{1}{2}$ de s’y trouver ?
Par exemple, supposons que le budget maximum du jeu soit de 100 millions de yens. Si vous ouvrez l’enveloppe A et y trouvez « 60 millions de yens », la probabilité que l’enveloppe B contienne « 120 millions de yens » est de zéro (car cela dépasse le budget). En d’autres termes, plus le montant de l’enveloppe A est élevé, plus la probabilité que l’enveloppe B contienne « le double » devrait diminuer, et la probabilité qu’elle contienne « la moitié » devrait augmenter.
En supposant une distribution a priori arbitraire $P(x)$, et en calculant l’espérance à l’aide du théorème de Bayes, il a été mathématiquement prouvé que pour toute distribution de probabilité réaliste (dont la somme est égale à 1), il n’existe aucune distribution magique pour laquelle il est “plus avantageux d’échanger” pour tous les montants $X$.
5. Le piège de l’infini : lien avec le paradoxe de Saint-Pétersbourg
Il n’existe qu’un seul cas où « il est avantageux d’échanger pour tous les $X$ ». C’est uniquement lorsqu’on suppose une « distribution de probabilité impropre (une distribution dont la somme est infinie) » où le budget du jeu est infini et où tous les montants (1 yen, 2 yens, 4 yens, 8 yens… à l’infini) apparaissent de manière équiprobable.
Cependant, il n’existe aucune chaîne de télévision dotée d’actifs infinis dans le monde réel. Ce bug provoqué par cette « espérance mathématique infinie » trouve ses racines profondément liées au paradoxe de Saint-Pétersbourg (le problème de savoir combien une personne serait prête à payer pour un pari ayant une espérance mathématique infinie).
6. Conclusion : la terreur des probabilités et de l’espérance
Bien que le « paradoxe des deux enveloppes » ne repose que sur de simples multiplications et additions, il nous livre les leçons suivantes :
- Les erreurs causées par l’ambiguïté des définitions : Si l’on ne précise pas clairement ce que représente une variable (si $X$ indique toujours le même montant), la logique s’effondre facilement.
- L’illusion que “pas d’information = probabilité de 50%” : L’hypothèse selon laquelle « puisque je ne sais pas, ce doit être du cinquante-cinquante » (le principe de raison insuffisante) conduit parfois à des erreurs de calcul fatales.
- La difficulté de manipuler l’infini : Introduire dans une formule mathématique le concept d’« infini » qui ne peut être appliqué au monde réel produit des résultats contraires au bon sens.
La prochaine fois que vous penserez dans votre vie que « l’herbe est plus verte ailleurs, et qu’il est plus avantageux d’échanger », souvenez-vous de ce paradoxe. Il se peut que, dans votre équation, les variables aient simplement été substituées.