Introduction : Pourquoi quelques coups de chance au départ figent-ils des écarts irréversibles ?
Deux vidéos ou standards de qualité comparable sont lancés au même instant : grâce à une infime avance initiale, l’un s’emballe par rétroaction positive jusqu’au monopole (effet Matthieu), tandis que l’autre tombe dans l’oubli. Pourtant, la loi forte des grands nombres (SLLN) enseigne l’inverse : pour des lancers de pièce indépendants (i.i.d.), l’aléa initial s’efface lorsque $n \to \infty$ et la fréquence converge presque sûrement vers la constante $p$.
Le monde réel suit souvent des processus aléatoires renforcés où chaque succès augmente la probabilité d’un succès futur. En 1923, George Pólya et Florian Eggenberger ont introduit le modèle de l’urne de Pólya, révélant deux paradoxes :
- Premier paradoxe (Échangeabilité) : Bien que la composition de l’urne change à chaque tirage, $\mathbb{P}(I_n = 1) = \frac{r}{r+b}$ reste constante pour tout $n$, et la probabilité d’une séquence ne dépend que des effectifs totaux de rouges et de bleues, indépendamment de l’ordre (échangeabilité).
- Second paradoxe (Limite aléatoire) : Lorsque $n \to \infty$, la proportion rouge $X_n$ converge presque sûrement vers une variable aléatoire $X_\infty \sim \mathrm{Beta}(r, b)$. Pour $r=1, b=1$, la limite suit la loi uniforme $\mathrm{Uniform}(0, 1)$ sur $[0, 1]$ !
Chapitre 1 : Trois univers d’urnes — Épuisement, absence de mémoire et renforcement de Pólya
À $n = 0$, une urne contient $R_0 = r$ boules rouges et $B_0 = b$ bleues ($N_0 = r + b$). À chaque étape, on tire une boule et on la remet avec $c$ boules de même couleur : 1. Sans remise ($c = -1$) (rétroaction négative, hypergéométrique), 2. Avec remise ($c = 0$) (sans mémoire i.i.d. $\mathrm{Binomial}(n, \frac{r}{r+b})$), 3. Urne de Pólya ($c = +1$) (rétroaction positive : boule tirée plus $1$ boule de même couleur).
flowchart TD
Start["Départ (n = 0) : Rouge r, Bleu b, X₀ = r/(r+b)"]
Draw["Étape n+1 : Tirer 1 boule, P(Iₙ₊₁ = 1 | Fₙ) = Xₙ"]
BranchW["1. Sans remise (c = -1)"]
BranchB["2. Avec remise (c = 0)"]
BranchP["3. Urne de Polya (c = +1)"]
LimW["Arrêt à n = r+b sur r/(r+b)"]
LimB["SLLN : Xₙ → r/(r+b) p.s."]
LimP["Doob : Xₙ → X_∞ ~ Beta(r, b) p.s."]
Start --> Draw
Draw --> BranchW --> LimW
Draw --> BranchB --> LimB
Draw --> BranchP --> LimP
Avec $I_n \in \{0, 1\}$ et $S_n = \sum_{k=1}^n I_k$, on a $R_n = r + S_n$ et $N_n = r + b + n$ :
$$X_n := \frac{R_n}{N_n} = \frac{r + S_n}{r + b + n}, \qquad \mathbb{P}(I_{n+1} = 1 \mid \mathcal{F}_n) = X_n, \qquad |X_{n+1} - X_n| \le \frac{1}{r + b + n + 1}$$| Caractéristique | 1. Sans remise ($c = -1$) | 2. Avec remise ($c = 0$) | 3. Urne de Pólya ($c = +1$) |
|---|---|---|---|
| Rétroaction | Négative (épuisement) | Nulle (sans mémoire) | Positive (auto-renforcement) |
| Dépendance | Corrélation négative | Indépendance (i.i.d.) | Infiniment échangeable |
| Loi de $S_n$ | $\mathrm{Hypergeom}(N_0, r, n)$ | $\mathrm{Binomial}(n, \frac{r}{r+b})$ | $\mathrm{BetaBinom}(n, r, b)$ |
| Limite $X_\infty$ | Constante $\frac{r}{r+b}$ | Constante $\frac{r}{r+b}$ p.s. | Variable $X_\infty \sim \mathrm{Beta}(r, b)$ p.s. |
Chapitre 2 : Échangeabilité et loi bêta-binomiale
Pour toute suite $(i_1, \dots, i_n) \in \{0, 1\}^n$ ayant $k = \sum_{j=1}^n i_j$ rouges, le produit des dénominateurs vaut $(r+b)^{(n)}$ et celui des numérateurs vaut commutativement $r^{(k)} b^{(n-k)}$ :
$$\mathbb{P}(I_1 = i_1, \dots, I_n = i_n) = \frac{r^{(k)} \, b^{(n-k)}}{(r+b)^{(n)}}, \qquad \mathbb{P}(S_n = k) = \binom{n}{k} \frac{\mathrm{B}(r+k, \, b+n-k)}{\mathrm{B}(r, \, b)}$$Pour $r = 1, b = 1$, les factorielles se simplifient en la loi uniforme discrète $\mathbb{P}(S_n = k) = \frac{1}{n + 1}$ ($k = 0, 1, \dots, n$).
Chapitre 3 : Théorème des martingales de Doob et limite $\mathrm{Beta}(r,b)$
Comme $\mathbb{E}[R_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = R_n + X_n = (N_n + 1)X_n$, la proportion $X_n$ est une martingale bornée dans $[0, 1]$ :
$$\mathbb{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = \frac{R_n + \mathbb{E}[I_{n+1} \mid \mathcal{F}_n]}{N_n + 1} = \frac{(N_n + 1) X_n}{N_n + 1} = X_n$$Par le théorème de convergence des martingales de Doob, $X_n \xrightarrow{\text{p.s.}} X_\infty$. L’asymptotique $\frac{\Gamma(z+\alpha)}{\Gamma(z+\beta)} \sim z^{\alpha-\beta}$ pour $k = \lfloor np \rfloor$ donne la densité Bêta $\mathrm{Beta}(r, b)$ :
$$\boxed{f_{X_\infty}(p) = \frac{\Gamma(r+b)}{\Gamma(r)\Gamma(b)} \, p^{r-1} (1-p)^{b-1} \quad (0 < p < 1), \qquad \mathbb{E}[X_\infty] = \frac{r}{r+b}, \qquad \mathrm{Var}(X_\infty) = \frac{rb}{(r+b)^2(r+b+1)} > 0}$$Chapitre 4 : Théorème de de Finetti, transitions non linéaires et applications
- Théorème de représentation de de Finetti (1931) : Toute suite infiniment échangeable est un mélange d’essais de Bernoulli i.i.d. selon la loi a priori $\mathrm{Beta}(r,b)$ : $$\mathbb{P}(I_1 = i_1, \dots, I_n = i_n) = \int_0^1 p^k (1-p)^{n-k} \, \frac{\Gamma(r+b)}{\Gamma(r)\Gamma(b)} p^{r-1}(1-p)^{b-1} \, dp$$
- Urnes non linéaires ($f(x) = \frac{x^\gamma}{x^\gamma + (1-x)^\gamma}$) : $X_{n+1} - X_n = \frac{1}{N_n+1}[(f(X_n)-X_n) + \xi_{n+1}]$ donne trois régimes :
flowchart TD
Root["Urne non linéaire : f(x) = x^γ / (x^γ + (1-x)^γ)"]
Sub["1. Sous-linéaire (0 < γ < 1)"]
Lin["2. Linéaire (γ = 1) : g(x) ≡ 0"]
Sup["3. Super-linéaire (γ > 1)"]
ResSub["Coexistence : Xₙ → 1/2 p.s."]
ResLin["Dépendance au sentier : Xₙ → Beta(r, b) p.s."]
ResSup["Winner-Take-All : P(X_∞ ∈ {0, 1}) = 1"]
Root --> Sub --> ResSub
Root --> Lin --> ResLin
Root --> Sup --> ResSup
- Applications & limites : W. Brian Arthur (1989) explique le lock-in ($\gamma > 1$, QWERTY, VHS) ; l’attachement préférentiel (Yule–Simon / Barabási–Albert) donne $P(k) \sim k^{-(2 + \frac{1}{1-\alpha})}$ ; tirer de nouvelles couleurs ($\theta > 0$, $H_0$) converge vers le processus de Dirichlet $\mathrm{DP}(\theta, H_0)$ (CRP) ; MusicLab (Salganik et al. 2006) valide ces effets sous quatre limites : qualité $\eta_i$, saturation, oubli et réseau.