Si vous avez déjà ouvert la petite boîte ronde du célèbre jeu de société Dobble (vendu en Amérique du Nord sous le nom de Spot It!), vous connaissez sa règle d’une simplicité désarmante : chaque carte ronde comporte huit symboles différents. Dès que l’on retourne deux cartes sur la table, les joueurs s’affrontent pour nommer en premier le symbole identique.

Quiconque y joue quelques minutes est frappé par une propriété mathématique fascinante : quelles que soient les deux cartes choisies dans le paquet, elles possèdent toujours un symbole en commun — et jamais plus d’un seul !

Derrière ce jeu familial se cache l’un des joyaux des mathématiques pures modernes : la rencontre entre la géométrie projective finie, les corps finis de Galois ($\mathbb{F}_q$) et la théorie des plans d’expériences (designs combinatoires). Mieux encore : dès que l’on demande ce qui se passe si l’on place $k$ symboles par carte au lieu de $8$, on est propulsé vers le problème des 36 officiers de Leonhard Euler (1782), le théorème de Bruck-Ryser-Chowla (1949), une preuve assistée par supercalculateur Cray-1 ayant nécessité 2 000 heures de calcul en 1989 pour $k = 11$, et l’une des grandes énigmes ouvertes des mathématiques contemporaines : existe-t-il un plan projectif fini d’ordre $12$ ($13$ symboles par carte, $157$ cartes) ?

Chapitre 1 : Trois mystères mathématiques dans la boîte de Dobble

Une boîte commerciale de Dobble contient 55 cartes portant chacune 8 symboles pris parmi un répertoire de $57$ symboles. Essayer de construire un tel jeu par tâtonnements se heurte immédiatement à l’explosion combinatoire du nombre de cartes candidates :

Chercher à la main une famille de plus de cinquante cartes mutuellement compatibles parmi 1,65 milliard de combinaisons est sans espoir. Cela soulève trois mystères :

1. La taille maximale et les 2 cartes manquantes : Avec $k = 8$ symboles par carte, le plafond théorique absolu est de 57 cartes (et 57 symboles). Pourquoi la boîte commerciale n’en contient-elle que 55 ?
2. L’algorithme algébrique : Comment générer d’un seul coup les 57 cartes sans aucun essai-erreur ?
3. Les paquets interdits : Pourquoi peut-on fabriquer un Dobble parfait avec $k = 3$ (7 cartes), $k = 4$ (13 cartes), $k = 5$ (21 cartes), $k = 6$ (31 cartes) ou $k = 8$ (57 cartes), alors qu’il est mathématiquement impossible à tout être humain ou supercalculateur de construire un paquet complet avec $k = 7$ symboles (43 cartes) ou $k = 11$ symboles (111 cartes) ?

Chapitre 2 : De la géométrie euclidienne à la géométrie projective — Points à l’infini et dualité

Dans le plan euclidien classique ($\mathbb{R}^2$), deux points distincts déterminent une unique droite, mais deux droites distinctes se coupent en un unique point — sauf si elles sont parallèles. Aux XVIIe et XIXe siècles, les mathématiciens français Girard Desargues (1639) et Jean-Victor Poncelet (1822) ont éliminé cette exception en formalisant le point de fuite des peintres de la Renaissance :

1. À chaque faisceau de droites parallèles de pente $m$, on adjoint un point à l’infini $P_\infty(m)$ par lequel passent toutes les droites de pente $m$.
2. Tous les points à l’infini $\{P_\infty(m)\}$ sont réunis sur une unique droite nouvelle, la droite à l’infini $\ell_\infty$ (l’horizon).

On obtient ainsi un plan projectif $(\mathcal{P}, \mathcal{L}, \mathcal{I})$ régi par trois axiomes :

• Axiome P1 : Par deux points distincts $P \neq Q$ passe une unique droite $\ell$.
• Axiome P2 : Deux droites distinctes $\ell_1 \neq \ell_2$ se coupent en un unique point $P$.
• Axiome P3 (Non-dégénérescence) : Il existe au moins quatre points en position générale (aucun triplet n’étant aligné).

L’échange des mots « Point » et « Droite » laisse le système d’axiomes invariant : c’est le principe de dualité, qui fournit le dictionnaire exact du jeu Dobble :

  flowchart TD
    subgraph Affine["1. Plan euclidien / affin classique"]
        A1["2 points distincts déterminent 1 unique droite"]
        A2["Les droites parallèles ne se coupent jamais (Exception)"]
    end
    subgraph Completion["2. Complétion projective (Desargues 1639 & Poncelet 1822)"]
        B1["Ajouter un point à l'infini P_inf(m) pour chaque pente m"]
        B2["Relier tous les points à l'infini en une droite à l'infini l_inf"]
    end
    subgraph Projective["3. Axiomes du plan projectif (P, L, I)"]
        C1["Axiome P1 : 2 points distincts appartiennent à 1 unique droite"]
        C2["Axiome P2 : 2 droites distinctes se coupent en 1 unique point"]
        C3["Axiome P3 : Il existe 4 points dont jamais 3 ne sont alignés"]
    end
    subgraph Dobble["4. Traduction duale vers le jeu Dobble (Spot It!)"]
        D1["Point P  <--->  Symbole"]
        D2["Droite l  <--->  Carte (sous-ensemble de symboles)"]
        D3["Toute paire de cartes se coupe en un unique symbole commun !"]
    end
    Affine --> Completion --> Projective --> Dobble

Chapitre 3 : Le théorème de comptage d’ordre $n$ et le plan de Fano $PG(2, 2)$

$$|\mathcal{P}| = |\mathcal{L}| = N = n^2 + n + 1$$

Démonstration : En fixant un point de référence $P_0$, tout autre point $Q \neq P_0$ appartient (par P1 et P2) à l’une et une seule des $n + 1$ droites passant par $P_0$. Comme chacune de ces $n + 1$ droites porte $n$ points distincts de $P_0$, on compte $|\mathcal{P}| = 1 + (n + 1)n = n^2 + n + 1$. Pour Dobble ($k = 8 \implies n = 7$), le maximum théorique est donc $N = 7^2 + 7 + 1 = 57$ cartes et 57 symboles.

La plus petite géométrie finie : le plan de Fano $PG(2, 2)$ ($n = 2$)

Pour $n = 2$ ($k = 3$ symboles par carte, $N = 7$ cartes), le géomètre italien Gino Fano (1892) découvrit le plan de Fano $PG(2, 2)$. Ses 7 points correspondent aux 7 vecteurs binaires non nuls de $\mathbb{F}_2^3 \setminus \{\mathbf{0}\}$ (trois points formant une droite si et seulement si leur somme XOR vaut $u \oplus v \oplus w = \mathbf{0}$), ou aux translatés cycliques de l’ensemble à différences parfaites $\{1, 2, 4\} \pmod 7$ :

Chapitre 4 : Coordonnées homogènes sur les corps de Galois $\mathbb{F}_q$ et anatomie du Dobble ($n = 7$)

Un corps fini (corps de Galois) $\mathbb{F}_q$ à $q$ éléments existe si et seulement si $q = p^r$ est une puissance d’un nombre premier $p$. Dans l’espace vectoriel $\mathbb{F}_q^3 \setminus \{\mathbf{0}\}$, les classes de proportionnalité $[x : y : z] \sim [\lambda x : \lambda y : \lambda z]$ ($\lambda \in \mathbb{F}_q^\times$) forment $\frac{q^3-1}{q-1} = q^2 + q + 1$ points projectifs, et les plans vectoriels d’équation $ax + by + cz = 0$ définissent les $q^2 + q + 1$ droites du plan arguésien $PG(2, q)$.

Pour Dobble ($q = 7$, arithmétique modulo $7$ dans $\mathbb{F}_7 = \{0,\dots,6\}$), les 57 symboles se divisent en 49 points affines $P_{x,y} = [x : y : 1]$ et 8 points à l’infini $I_m = [1 : m : 0]$ ainsi que $I_\infty = [0 : 1 : 0]$. Les 57 cartes se répartissent en :

1. 49 cartes de droites affines $L_{m,b}$ : les 7 points $\{(x, mx+b \bmod 7)\}$ complétés par le point à l’infini $I_m$.
2. 7 cartes verticales $V_c$ : les 7 points $\{(c, y)\}$ complétés par le point à l’infini vertical $I_\infty$.
3. 1 carte d’horizon $L_\infty$ : les 8 points à l’infini $\{I_0, \dots, I_6, I_\infty\}$.

Par ailleurs, le théorème de Singer (1938) permet d’engendrer les 57 cartes par simple décalage cyclique $D + i \pmod{57}$ de l’ensemble à différences $D = \{0, 1, 3, 13, 32, 36, 43, 52\} \pmod{57}$. Si l’éditeur a retiré 2 cartes dans la boîte commerciale (55 au lieu de 57), c’est uniquement pour optimiser les planches de découpe industrielle ($55 = 5 \times 11$) sans jamais altérer la propriété d’intersection unique entre les cartes restantes.

Chapitre 5 : Les 36 officiers d’Euler, Bruck-Ryser-Chowla et les frontières $n = 10$ et $n = 12$

Un plan projectif d’ordre $n$ est un plan en blocs symétrique $(n^2+n+1, n+1, 1)$-BIBD (atteignant l’égalité $b = v$ de l’inégalité de Fisher) et, d’après le théorème de R. C. Bose (1938), il existe si et seulement s’il existe $n - 1$ carrés latins mutuellement orthogonaux (MOLS) d’ordre $n$.

• Ordre $n = 6$ ($7$ symboles, $43$ cartes) : Exigerait $5$ MOLS d’ordre $6$. Or, dès 1900, le mathématicien français Gaston Tarry résolut par la négative le problème des 36 officiers d’Euler (1782) en prouvant qu’il n’existe même pas $2$ carrés latins orthogonaux d’ordre $6$ — le Dobble à 43 cartes est donc impossible !
• Théorème de Bruck-Ryser-Chowla (1949) : Si un plan projectif fini d’ordre $n$ existe avec $n \equiv 1 \text{ ou } 2 \pmod 4$, alors $n$ doit être la somme de deux carrés d’entiers : $$n = a^2 + b^2 \quad (a, b \in \mathbb{Z})$$ Ce théorème foudroie instantanément $n = 6, 14, 21, 22, 30, \dots$ !
• Ordre $n = 10$ ($11$ symboles, $111$ cartes) et le supercalculateur Cray-1 (1989) : Comme $10 = 1^2 + 3^2$, le théorème de Bruck-Ryser-Chowla n’élimine pas $n = 10$. Ce n’est qu’en 1989 que Clement W. H. Lam, Larry Thiel et Stanley Swiercz, en étudiant le code correcteur binaire engendré par la matrice d’incidence $111 \times 111$ et après 2 000 heures de calcul sur un supercalculateur Cray-1A, démontrèrent qu’aucun plan projectif d’ordre $10$ n’existe.
• Ordre $n = 12$ ($13$ symboles, $157$ cartes) : Comme $12 \equiv 0 \pmod 4$, Bruck-Ryser-Chowla ne s’applique pas, et l’espace de recherche dépasse les capacités de tous les supercalculateurs actuels. Savoir s’il existe un plan projectif d’ordre $12$ (conjecture de la puissance première / PPC) demeure l’un des plus célèbres problèmes ouverts des mathématiques !

  flowchart TD
    Start["Objectif : Peut-on construire un paquet de Dobble optimal d'ordre n ?<br/>(k = n + 1 symboles par carte, N = n^2 + n + 1 cartes et symboles)"]
    CheckPP{"L'ordre n est-il une puissance d'un nombre premier ?<br/>n = p^r (p premier, r >= 1)"}
    ConstructGF["[EXISTE — OUI]<br/>Construire PG(2, q) par coordonnées homogènes sur le corps de Galois F_q !<br/>Exemples : n=2 (7 cartes), n=3 (13), n=4 (21), n=5 (31),<br/>n=7 (Dobble : 57 cartes), n=8 (73), n=9 (91)"]
    CheckBRC{"A-t-on n ≡ 1 ou 2 (mod 4) ?"}
    CheckSumSq{"n est-il somme de deux carrés ?<br/>n = a^2 + b^2"}
    RejectBRC["[N'EXISTE PAS — NON]<br/>Éliminé par le théorème de Bruck-Ryser-Chowla (1949) !<br/>Exemples : n=6 (7 symboles, 43 cartes / Tarry 1900),<br/>n=14 (15 symboles, 211 cartes), n=21, 22, 30..."]
    Case10{"A-t-on n = 10 ?<br/>(10 = 1^2 + 3^2)"}
    Reject10["[N'EXISTE PAS — NON]<br/>Éliminé par la théorie des codes + 2 000 h sur Cray-1A !<br/>(Lam, Thiel & Swiercz, 1989 : 11 symboles, 111 cartes impossible)"]
    OpenProblem["[PROBLÈME OUVERT NON RÉSOLU]<br/>Frontière de la conjecture de la puissance première (PPC) !<br/>Plus petit ordre ouvert : n = 12 (13 symboles, 157 cartes),<br/>suivi de n = 15, 18, 20, 24, 26..."]

    Start --> CheckPP
    CheckPP -- "Oui" --> ConstructGF
    CheckPP -- "Non (n = 6, 10, 12, 14...)" --> CheckBRC
    CheckBRC -- "Oui" --> CheckSumSq
    CheckSumSq -- "Non" --> RejectBRC
    CheckSumSq -- "Oui (n = 10, 18, 26...)" --> Case10
    Case10 -- "Oui" --> Reject10
    Case10 -- "Non" --> OpenProblem
    CheckBRC -- "Non (n ≡ 0, 3 mod 4)" --> OpenProblem