Introduction
Lors de l’apprentissage de l’algèbre linéaire, l’un des obstacles majeurs est la diagonalisation et la réduite de Jordan. Les matrices sont de puissants outils pour décrire les déformations spatiales (transformations linéaires), mais leurs propriétés sont souvent difficiles à lire. Cet article explique en détail la diagonalisation pour simplifier à l’extrême les matrices, ainsi que la forme de Jordan qui sauve celles qui ne peuvent pas être diagonalisées, de la compréhension intuitive aux applications en physique.
Qu’est-ce qu’une matrice : perspective de transformation
Une matrice carrée $A$ de $n \times n$ représente une transformation linéaire. Cette transformation dépend de la “base” adoptée. En changeant de base, la représentation matricielle peut devenir radicalement plus simple. C’est la motivation des “transformations de similitude”.
graph TD
A["Matrice $A$ dans la base d'origine"] -->|"Matrice de passage $P$"| B["Matrice $B = P^{-1}AP$ dans la nouvelle base"]
B -->|"Exécution du calcul"| C["Résultat dans la nouvelle base"]
C -->|"Transformation inverse $P$"| D["Résultat dans la base d'origine"]
Concepts de base de la diagonalisation
Compréhension intuitive
Une matrice $A$ est diagonalisable si, d’un point de vue approprié (nouvelle base), la transformation est simplement “un étirement et un rétrécissement le long de chaque axe”. Les glissements (cisaillements) disparaissent.
Définition mathématique
Une matrice $A$ est diagonalisable s’il existe une matrice inversible $P$ telle qu’une matrice diagonale $D$ satisfasse :
$$ P^{-1} A P = D $$Les éléments diagonaux de $D$ sont les valeurs propres $\lambda_i$, et les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres $\mathbf{v}_i$.
Exemple de calcul concret
Exemple de matrice 3x3
Diagonalisons :
$$ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 6 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix} $$Étape 1 : Valeurs propres L’équation caractéristique $\det(A - \lambda I) = 0$ donne : $\lambda = 2$ (multiplicité 2) et $\lambda = 9$.
$$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$$$ \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$Étape 3 : Diagonalisation Avec $P = (\mathbf{v}_1 \ \mathbf{v}_2 \ \mathbf{v}_3)$, on a :
$$ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} $$Pourquoi certaines matrices ne sont-elles pas diagonalisables ?
La condition est d’avoir $n$ vecteurs propres linéairement indépendants. Nous avons la multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique.
$$ 1 \leq \text{Multiplicité géométrique} \leq \text{Multiplicité algébrique} $$Si la multiplicité géométrique est strictement inférieure à la multiplicité algébrique, la matrice ne peut pas être diagonalisée. C’est une matrice défective.
Exemple non diagonalisable
$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$La valeur propre est $\lambda = 1$ (multiplicité algébrique 2), mais l’espace propre est engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc la multiplicité géométrique est 1.
La forme de Jordan
La réduite de Jordan transforme les matrices non diagonalisables en une forme très simple.
Blocs de Jordan
Elle est composée de blocs de Jordan :
$$ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} $$Vecteurs propres généralisés
$$ (A - \lambda I)^k \mathbf{v} = \mathbf{0} \quad \text{et} \quad (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $$Applications : Équations différentielles et exponentielle de matrice
L’exponentielle $e^{At}$
$$ e^{At} = P e^{Dt} P^{-1} $$$$ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & t \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$Cela explique les termes résonants $te^{\lambda t}$ en physique.
Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme minimal
Toute matrice $A$ annule son polynôme caractéristique $p(A) = 0$ (Théorème de Cayley-Hamilton). Le polynôme minimal $m(\lambda)$ est celui de plus bas degré tel que $m(A) = 0$. Si ses racines sont simples, la matrice est diagonalisable.
Différence avec la décomposition en valeurs singulières (SVD)
La SVD s’applique à toute matrice $m \times n$ : $A = U \Sigma V^*$ (avec matrices orthogonales). La diagonalisation est réservée aux matrices carrées pour les itérations.
graph LR
A["Matrice quelconque $A$"] -->|"SVD"| B["$U \Sigma V^*$"]
B -->|"Toujours décomposable (orthogonale)"| C["Compression de données"]
D["Matrice carrée $A$"] -->|"Diagonalisation"| E["$P D P^{-1}$"]
E -->|"Idéal pour l'itération"| F["Systèmes dynamiques"]
Mécanique quantique et théorie du contrôle
En mécanique quantique, diagonaliser le Hamiltonien donne les états propres d’énergie. En théorie du contrôle, cela permet de découpler les modes pour analyser la contrôlabilité et l’observabilité.
Programmation
Exemple en Python :
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Conclusion
La diagonalisation et la forme de Jordan sont des piliers des mathématiques modernes, de la mécanique quantique au machine learning.