1. Prélude historique et intuition physique : pourquoi la courbe bat-elle la ligne droite ?

Imaginons deux points $A(0,0)$ et $B(x_1, y_1)$ fixés à des hauteurs différentes dans un plan vertical. Quelle forme doit épouser un rail sans frottement reliant $A$ à $B$ pour qu’une bille lâchée sans vitesse initiale en $A$ sous l’action de la pesanteur $g$ atteigne $B$ dans le temps le plus court possible ? Notre intuition géométrique répond spontanément : « Une ligne droite, puisque la droite est le plus court chemin entre deux points ! » Or l’expérience et les mathématiques démontrent tout l’inverse : sur une courbe plongeante, la bille l’emporte largement — et si $B$ est suffisamment éloigné horizontalement, la courbe la plus rapide plonge même plus bas que l’altitude de $B$ avant de remonter vers l’arrivée !

Ce problème célèbre est celui de la courbe brachistochrone (du grec brakhistos, « le plus court », et khronos, « temps »). Pourquoi le chemin le plus court n’est-il pas le plus rapide ? Parce que la vitesse initiale en $A$ est nulle ($v_0 = 0$). Sur un plan incliné rectiligne de faible pente, l’accélération tangentielle $a = g\sin\alpha$ est modeste et la bille perd un temps considérable au départ à très basse vitesse. En revanche, une trajectoire qui plonge verticalement dès l’origine convertit immédiatement l’énergie potentielle $mgy$ en une grande vitesse $v = \sqrt{2gy}$. En 1638, Galilée avait prouvé dans ses Discorsi qu’un arc de cercle est plus rapide que sa corde, croyant à tort que le cercle était l’optimum absolu. En juin 1696, Jean Bernoulli lança ce défi aux mathématiciens d’Europe ; le soir du 29 janvier 1697, rentrant de la Monnaie royale de Londres, Isaac Newton résolut le problème en quelques heures avant de se coucher et publia sa solution anonymement, arrachant à Bernoulli le célèbre : « Tanquam ex ungue leonem (On reconnaît le lion à sa griffe) ! »

2. La fonctionnelle du temps de descente et l’analogie optique de Jean Bernoulli (loi de Snell)

En plaçant l’origine en $A(0,0)$ avec l’axe $x$ horizontal et l’axe $y$ dirigé verticalement vers le bas, la conservation de l’énergie mécanique $\frac{1}{2}mv^2 = mgy$ donne la vitesse $v(y) = \sqrt{2gy}$. Avec l’élément d’arc $ds = \sqrt{1 + (y'(x))^2}\,dx$, le temps total de descente $T[y]$ s’écrit comme une fonctionnelle (une fonction prenant pour argument toute une courbe $y(x)$) :

3. Naissance du calcul des variations : équation d’Euler-Lagrange, identité de Beltrami et cycloïde

Jean Bernoulli découvrit en 1696 un raccourci éblouissant grâce au principe de Fermat du moindre temps : une bille évoluant à la vitesse $v(y) = \sqrt{2gy}$ suit exactement la même trajectoire qu’un rayon lumineux traversant un milieu stratifié d’indice de réfraction $n(y) = c/v(y) \propto y^{-1/2}$ ! D’après la loi de la réfraction de Snell-Descartes, l’angle $\alpha$ avec la verticale vérifie $\frac{\sin\alpha}{\sqrt{2gy}} = \text{const}$. En substituant $\sin\alpha = \frac{dx}{ds} = \frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}$, on obtient immédiatement l’équation différentielle $y(1 + (y')^2) = 2R$.

Pour minimiser systématiquement une fonctionnelle générale $J[y] = \int L(x,y,y')\,dx$, Leonhard Euler (1744) et Joseph-Louis Lagrange (1755) fondèrent le calcul des variations. En annulant la première variation $\delta J[y;\eta] = 0$ pour toute perturbation $\eta(x)$ nulle aux bornes, une intégration par parties conduit à l’équation d’Euler-Lagrange. Comme $L(y,y') = \sqrt{\frac{1+(y')^2}{y}}$ ne dépend pas explicitement de $x$, l’identité de Beltrami $L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = C$ redonne directement $y(1 + (y')^2) = 2R$. Le changement de variable paramétrique $y = 2R\sin^2(\theta/2) = R(1 - \cos\theta)$ démontre que l’unique courbe brachistochrone est une cycloïde :

  flowchart TD
    A["1696: Brachistochrone Problem (Minimize T[y] = ∫ √(1+y'^2)/√(2gy) dx)"] --> B["Snell's Law Optical Analogy (sin α / √y = const)"]
    A --> C["First Variation δT[y] = 0 → Euler-Lagrange Equation & Beltrami Identity"]
    B --> D["ODE: y (1 + y'^2) = 2R"]
    C --> D
    D --> E["Parametric Cycloid: x = R(θ - sin θ), y = R(1 - cos θ)"]
    E --> F["Huygens Tautochrone Property (T = π√(R/g) Independent of Starting Height)"]
    C --> G["Hamilton's Principle of Least Action δS = 0 (Modern Physics & Optimal Control)"]

4. Comparaison numérique, tautochrone de Huygens et héritage du principe de moindre action

Entre $A(0,0)$ et $B(\pi, 2)$, bien que la cycloïde ($S = 4{,}000\,\text{m}$) soit $7{,}4\%$ plus longue que la ligne droite ($3{,}724\,\text{m}$), la bille y arrive $18{,}5\%$ plus vite ! De plus, Christiaan Huygens avait démontré dès 1659 que cette même cycloïde est aussi la courbe tautochrone (isochrone) : quel que soit le point de départ sur la cycloïde, le temps mis pour atteindre le point le plus bas vaut toujours exactement $T = \pi\sqrt{R/g}$, indépendamment de l’amplitude initiale ! Du calcul des variations né avec la brachistochrone découlent le principe de moindre action de Hamilton ($\delta S = 0$), le théorème de Noether, les géodésiques de la relativité générale d’Einstein, l’intégrale de chemin de Feynman et la théorie moderne du contrôle optimal.