Chapitre 1 : Les trous noirs classiques et le « théorème de la calvitie »

Derrière les innombrables étoiles qui brillent dans le ciel nocturne se cachent des objets célestes si sombres que même la lumière ne peut s’en échapper : les trous noirs. La théorie de la relativité générale, publiée par Albert Einstein en 1915, a apporté l’un des plus beaux changements de paradigme de l’histoire de la physique en décrivant la gravité comme une “déformation de l’espace-temps”. Peu après, en 1916, Karl Schwarzschild a découvert une solution exacte (la métrique de Schwarzschild) montrant comment une distribution de masse à symétrie sphérique déforme l’espace-temps environnant. Ce fut l’aube mathématique du concept de trou noir.

Dans le cadre de la relativité générale classique, un trou noir est une entité étonnamment “simple”. Le processus par lequel une étoile arrive en fin de vie et s’effondre sous sa propre gravité est extrêmement complexe, et l’étoile d’origine possède une quantité massive d’informations (degrés de liberté) telles que sa composition chimique, la structure de son champ magnétique et l’asymétrie de sa forme. Cependant, une fois que l’horizon des événements (Event Horizon) est formé, toutes ces informations complexes sont soit cachées à l’intérieur de l’horizon, soit rayonnées vers l’extérieur sous forme d’ondes gravitationnelles.

Cette propriété étonnante est exprimée par la célèbre phrase formulée par John Archibald Wheeler, “les trous noirs n’ont pas de cheveux” (Black holes have no hair), c’est-à-dire le “théorème de la calvitie” (No-Hair Theorem). Selon ce théorème, un trou noir stabilisé dans un état stationnaire est entièrement décrit par seulement trois grandeurs physiques :

1. Masse (Mass, $M$)
2. Charge électrique (Electric Charge, $Q$)
3. Moment cinétique (Angular Momentum, $J$)

La solution de Schwarzschild représente le trou noir le plus simple ne possédant qu’une masse, la solution de Kerr décrit un trou noir en rotation avec une masse et un moment cinétique, la solution de Reissner-Nordström correspond à un trou noir avec une masse et une charge électrique, et la solution de Kerr-Newman est la solution la plus générale combinant les trois. Peu importe la complexité de la matière (qu’il s’agisse d’un bloc de fer, d’antimatière ou d’une montagne d’encyclopédies) qui a formé le trou noir, seuls ces trois paramètres restent observables depuis l’extérieur.

Cependant, cette extrême simplicité a provoqué une contradiction profonde avec un autre pilier majeur de la physique : la “thermodynamique” (Thermodynamics), et en particulier le “second principe de la thermodynamique”. Ce principe stipule que “l’entropie d’un système isolé ne diminue jamais”. L’entropie est une mesure du nombre d’états microscopiques d’un système, c’est-à-dire une mesure du “désordre de l’information”.

Si un trou noir est une entité “sans cheveux” complètement spécifiée par seulement les trois paramètres ci-dessus, son nombre d’états microscopiques est exactement un (son entropie est nulle). C’est un problème majeur. Supposons que nous jetions dans un trou noir un gaz chaud rempli d’entropie ou de la matière avec une structure complexe. Une fois que le trou noir l’a avalée, l’entropie de cette matière disparaît complètement de l’univers extérieur. Si l’entropie du trou noir lui-même est nulle, l’entropie totale de l’univers a diminué, ce qui entraîne la rupture du second principe de la thermodynamique.

“Un trou noir n’est pas la poubelle de l’univers”. Pour sauver la physique de cette crise, il a fallu s’aventurer dans un domaine inexploré : la fusion de la théorie de la gravité, de la thermodynamique et de la mécanique quantique. Le mur absolu de l’horizon des événements réduit-il vraiment tout à néant ? Ou existe-t-il une “entropie cachée” dans les trous noirs que nous ignorons encore ? Dans le chapitre suivant, nous examinerons l’idée révolutionnaire d’un jeune physicien qui s’est attaqué à ce mystère.

Chapitre 2 : La formule de Bekenstein-Hawking

Face au profond paradoxe d’un trou noir violant le second principe de la thermodynamique, en 1972, Jacob Bekenstein, alors étudiant diplômé à l’Université de Princeton, a formulé une hypothèse audacieuse et intuitive. Il s’est concentré sur le “théorème de l’aire d’un trou noir” prouvé par Stephen Hawking (l’aire de l’horizon des événements d’un trou noir ne diminue jamais).

L’entropie ne diminue jamais. L’aire d’un trou noir ne diminue jamais. Cette similitude est-elle une simple coïncidence ? Bekenstein a affirmé que “l’aire de l’horizon des événements d’un trou noir est précisément l’entropie du trou noir”. Lorsque de la matière tombe dans un trou noir, la masse du trou noir augmente, et par conséquent l’aire de son horizon des événements s’étend. L’entropie que possédait la matière n’est pas perdue, mais conservée sous la forme d’une augmentation de l’aire du trou noir, et le second principe généralisé de la thermodynamique (la somme de l’entropie de l’univers et de l’entropie du trou noir ne diminue pas) reste valide.

Cette idée révolutionnaire a ensuite été étayée par l’analyse quantique de Hawking et s’est concrétisée sous la forme de la “formule d’entropie de Bekenstein-Hawking”.

Où $S_{BH}$ est l’entropie du trou noir et $A$ est la surface de l’horizon des événements. Les constantes de proportionnalité rassemblent toutes les constantes fondamentales de la physique : la constante de Boltzmann $k_B$, la vitesse de la lumière $c$, la constante gravitationnelle de Newton $G$ et la constante de Dirac (constante de Planck divisée par $2\pi$) $\hbar$. Cela prouve éloquemment que cette formule est le couronnement de la “théorie de la gravité quantique”, où se croisent la thermodynamique ($k_B$), la relativité ($c, G$) et la mécanique quantique ($\hbar$).

La signification de cette formule est extrêmement profonde. L’entropie est équivalente à une quantité d’information. Habituellement, l’entropie de la matière augmente proportionnellement à son volume (espace tridimensionnel) (par exemple, le nombre de molécules composant un gaz). Cependant, l’entropie d’un trou noir est proportionnelle non pas à son volume mais à son “aire” (bidimensionnelle). En réécrivant la formule à l’aide de la longueur de Planck $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$, on obtient :

Cela signifie que si l’on pave l’horizon des événements avec de minuscules tuiles carrées dont le côté est la longueur de Planck (environ $1.6 \times 10^{-35}$ mètres), un bit d’information (entropie) est stocké pour quatre tuiles (4 aires de Planck). L’information tridimensionnelle de la matière tombée dans le trou noir est entièrement enregistrée comme un “hologramme” sur l’horizon des événements bidimensionnel. Ce fait stupéfiant deviendra l’indice le plus important menant au futur “principe holographique”.

Cependant, l’existence d’une entropie implique inévitablement, selon les relations fondamentales de la thermodynamique, que le trou noir a une “température”. En substituant l’énergie de masse du trou noir $E = Mc^2$ et l’entropie de Bekenstein dans la première loi de la thermodynamique $dE = T dS$, on déduit que la température $T$ du trou noir est proportionnelle à sa “gravité de surface” (surface gravity) $\kappa$.

Au départ, de nombreux physiciens, y compris Hawking lui-même, étaient sceptiques quant à l’hypothèse de Bekenstein, pensant que “puisqu’un trou noir ne fait qu’aspirer tout et ne rejette rien, sa température devrait être le zéro absolu”. Un objet ayant une température doit émettre un rayonnement thermique (rayonnement du corps noir). Est-il possible qu’un trou noir émette de la lumière ?

Pour prouver que Bekenstein avait tort, Hawking s’est plongé dans des calculs appliquant la théorie quantique des champs dans un espace-temps courbe aux trous noirs. Cependant, ce à quoi il a abouti est l’une des plus belles découvertes de l’histoire de la physique, renversant fondamentalement ses propres attentes. Les trous noirs brillaient bel et bien à cause d’effets quantiques.

Chapitre 3 : La découverte du rayonnement de Hawking

En 1974, Stephen Hawking publie un article retentissant intitulé “Les trous noirs ne sont pas noirs”. Il a dérivé théoriquement le phénomène par lequel des particules sont émises de l’horizon des événements (d’où rien ne devrait classiquement s’échapper) grâce à l’effet tunnel de la mécanique quantique, c’est-à-dire le “rayonnement de Hawking” (Hawking Radiation).

Pour comprendre ce phénomène, il faut un changement de perspective de la mécanique quantique sur le “vide”. Selon la théorie quantique des champs, le vide n’est pas un “espace vide”, mais une mer de “fluctuations quantiques” où des paires de particules et d’antiparticules (particules virtuelles) sont constamment créées et s’annihilent. Normalement, ces paires de particules virtuelles disparaissent en un instant et ne peuvent être observées directement.

Cependant, si cette création de paires se produit très près d’un trou noir, juste à l’extérieur de l’horizon des événements, une situation dramatique se produit. Les forces de marée intenses (gradient gravitationnel) près de l’horizon des événements séparent la paire de particules créée. Il est probabilistement possible qu’une particule traverse l’horizon des événements et tombe à l’intérieur du trou noir, tandis que l’autre particule s’échappe dans l’univers extérieur.

Pour un observateur extérieur, il semble qu’une particule ait jailli du trou noir. C’est le rayonnement de Hawking. Qu’en est-il de la loi de conservation de l’énergie ? La particule qui s’est échappée possède une énergie positive et devient une particule réelle. Pour conserver l’énergie, la particule tombée dans le trou noir doit avoir une “énergie négative”. En absorbant de l’énergie négative, le trou noir perd de la masse (c’est-à-dire de l’énergie). En d’autres termes, le trou noir s’évapore (evaporate) progressivement en émettant un rayonnement.

Hawking a utilisé une technique mathématique avancée (la transformation de Bogoliubov) combinant la géométrie de l’espace-temps et la théorie quantique des champs pour calculer rigoureusement le spectre de ce rayonnement. Il a défini l’état du vide à l’infini passé ($\mathscr{I}^-$) de l’espace-temps plat, puis a analysé comment il serait observé comme un état de particules à l’infini futur ($\mathscr{I}^+$) après s’être propagé dans l’espace-temps du trou noir formé par l’effondrement de l’étoile.

Le développement de l’état du vide passé $|0\rangle_{in}$ à l’aide des opérateurs de création et d’annihilation de particules futurs est décrit à l’aide des coefficients de Bogoliubov $\alpha, \beta$. Le cœur du calcul de Hawking réside dans le fait de montrer que la phase de la lumière traversant la surface de l’étoile en effondrement et atteignant l’infini futur subit un retard logarithmique (décalage vers le rouge) en raison de la formation de l’horizon des événements. Ce décalage vers le rouge géométrique rend le coefficient de Bogoliubov $\beta$ (le coefficient responsable de la création de particules) non nul, ce qui est le facteur décisif produisant un spectre thermique.

Le rayonnement résultant correspondait de manière surprenante au spectre de Planck d’un rayonnement de corps noir parfait. Sa température (température de Hawking $T_H$) est donnée par la formule suivante :

Ce qu’il faut noter ici, c’est que la température de Hawking est “inversement proportionnelle” à la masse $M$ du trou noir. Cela signifie que plus un trou noir perd de la masse et devient petit, plus sa température augmente, et plus il rayonne violemment (sa chaleur massique est négative).

Dans le cas d’un trou noir de masse solaire, la température de Hawking est extrêmement basse, environ $6 \times 10^{-8}$ Kelvin, ce qui est bien inférieur au rayonnement de fond cosmologique actuel (environ 2.7 Kelvin), rendant l’observation de ce rayonnement virtuellement impossible. Cependant, à mesure que la masse diminue, la température augmente rapidement. La durée de vie d’un trou noir avant qu’il ne s’évapore complètement (temps d’évaporation) est proportionnelle au cube de sa masse, $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$. Il faudrait un temps ahurissant de $10^{67}$ années pour qu’un trou noir de masse solaire s’évapore, mais un trou noir microscopique finirait par libérer une énergie colossale et disparaîtrait dans une explosion.

La découverte du rayonnement de Hawking a achevé la thermodynamique des trous noirs et est devenue une réalisation majeure de la physique théorique. Mais en même temps, elle a ouvert la boîte de Pandore du paradoxe le plus profond et le plus difficile, ébranlant les fondements de la physique. C’est le “paradoxe de la perte d’information des trous noirs”.

Chapitre 4 : L’éruption du paradoxe de la perte d’information

Le rayonnement de Hawking a prédit que les trous noirs finiraient par s’évaporer et disparaître. De là découle l’un des plus grands mystères de la physique moderne : le “paradoxe de l’information” (Information Paradox).

L’un des principes les plus fondamentaux et sacrés de la mécanique quantique est l’“unitarité” (Unitarity). C’est le principe selon lequel, lorsque l’état d’un système évolue dans le temps, la somme des probabilités est toujours maintenue à 1, et l’information est conservée de manière déterministe du passé vers le futur et du futur vers le passé. En d’autres termes, si vous connaissez l’information complète (l’état pur) d’un système à un instant donné, vous pouvez prédire et restaurer complètement l’état à n’importe quel instant passé ou futur en résolvant l’équation de Schrödinger (ou ses extensions), garantissant ainsi la réversibilité des lois physiques.

Appliquons maintenant ce principe au processus de formation et d’évaporation d’un trou noir. Supposons qu’une matière dans un état pur (par exemple, un groupe de particules précisément préparées dans un état quantique spécifique, ou une encyclopédie) subisse un effondrement gravitationnel et forme un trou noir. À ce stade, toutes les informations se trouvent à l’intérieur du trou noir.

Ensuite, le rayonnement de Hawking commence. Selon les calculs de Hawking, le rayonnement émis à l’horizon des événements est un “rayonnement thermique parfait”. Le spectre du rayonnement thermique est déterminé uniquement par la température (la masse, la charge électrique et le moment cinétique du trou noir), il n’y a aucune corrélation quantique (intrication) entre les particules rayonnées, et il ne contient aucune “information” sur ce qu’était la matière d’origine tombée dans le trou noir. Si vous brûlez une encyclopédie pour en faire des cendres et de la fumée, en principe, vous pouvez restaurer le texte d’origine si vous mesurez tous les mouvements des cendres et de la fumée, mais Hawking a soutenu que le rayonnement de Hawking est “véritablement aléatoire”.

Et finalement, le trou noir s’évapore complètement et disparaît. Tout ce qui reste est un rayonnement thermique sans information (un état mixte). L’univers, qui aurait dû être dans un état pur, est passé à un état mixte sans information. L’énorme quantité d’information que possédait la matière d’origine a complètement disparu de l’univers avec le trou noir.

Cela signifie l’effondrement de l’unitarité de la mécanique quantique. Face à ce paradoxe où la mécanique quantique et la relativité générale s’affrontent, les physiciens se sont divisés en camps et se sont livrés à un débat féroce. C’est ce qu’on a appelé la “guerre des trous noirs”.

Le porte-étendard de l’un des camps était Stephen Hawking lui-même. Il affirmait que “dans les trous noirs, les règles de la mécanique quantique sont violées, et l’information est vraiment perdue”. Avec Kip Thorne, il a fait un pari avec John Preskill en soutenant que “l’information est perdue”.

À cela se sont fermement opposés des physiciens des particules tels que Leonard Susskind et Gerard ’t Hooft. “Si l’information est perdue, alors même la loi de conservation de l’énergie s’effondrera, et les fondations mêmes de la physique moderne s’écrouleront”. Ils étaient convaincus que lorsqu’un trou noir s’évapore, l’information doit d’une manière ou d’une autre être cryptée dans le rayonnement de Hawking et transportée vers l’extérieur par un mécanisme inconnu.

Cependant, les calculs de Hawking semblaient solides. Une fois qu’une information franchit l’horizon des événements, elle ne peut pas en sortir à moins de dépasser la vitesse de la lumière. L’intérieur et l’extérieur de l’horizon des événements sont causalement déconnectés, et la relativité générale (la localité) ne permet pas à l’information de s’échapper. Si l’on essaie de préserver la conservation de l’information (la mécanique quantique), la causalité (la relativité) est violée, et si l’on essaie de préserver la causalité, l’information est perdue. Pour résoudre ce dilemme, il a fallu renverser fondamentalement le concept même d’espace-temps.

Susskind et ses collègues, armés de l’intrication quantique et de la théorie des cordes (String Theory), se sont attaqués à ce paradoxe imprenable. Dans le chapitre suivant, nous approfondirons le “principe de complémentarité des trous noirs”, un saut théorique spectaculaire pour préserver l’information, et la nouvelle étincelle qui en est issue : le “problème du pare-feu”.

Chapitre 5 : Complémentarité des trous noirs et problème du pare-feu

Susskind et ses collègues, convaincus de la conservation de l’information, ont proposé en 1993 un concept révolutionnaire inspiré du principe de complémentarité de Niels Bohr, la “complémentarité des trous noirs” (Black Hole Complementarity), pour résoudre la contradiction de l’horizon des événements.

La cause fondamentale du paradoxe résidait dans le fait que si “l’information tombant à l’intérieur du trou noir” et “l’information s’échappant sous forme de rayonnement de Hawking vers l’extérieur” se produisent simultanément, l’information serait “copiée” (violation du théorème de non-clonage quantique).

La complémentarité des trous noirs affirme ce qui suit : Du point de vue d’un observateur restant à l’extérieur (Alice), la matière tombant sur la membrane brûlante (l’horizon étiré) près de l’horizon des événements est incinérée, et cette information est ramenée vers l’extérieur au fil du temps par le rayonnement de Hawking. D’autre part, pour un observateur en chute libre dans le trou noir (Bob), l’horizon des événements n’est qu’un point de passage dans l’espace, ordinaire et sans particularité, et il tombe intact à l’intérieur avec son information.

À première vue, l’information semble s’être divisée en deux, mais Susskind a fait valoir qu’aucune contradiction ne surgit car “il est en principe impossible pour Alice et Bob de communiquer et de comparer leurs résultats”. Deux descriptions différentes mais complémentaires du même phénomène physique existent, et il n’y a pas de point de vue absolu (l’œil de Dieu) décrivant l’ensemble. Cela signifiait que dans le domaine extrême où la gravité et la mécanique quantique se croisent, le sens commun de la “localité” de l’espace-temps s’effondre.

Le paradoxe semblait avoir été résolu par la complémentarité des trous noirs. Cependant, en 2012, un article publié par quatre physiciens de l’Université de Californie à Santa Barbara (Almheiri, Marolf, Polchinski, Sully : connus sous le nom d’AMPS) a envoyé une nouvelle onde de choc à travers la communauté des physiciens. C’était l’apparition du “paradoxe du pare-feu AMPS”.

AMPS s’est concentré sur la relation de distribution complexe de l’intrication quantique qui se produit après que le trou noir a dépassé la moitié de sa durée de vie (le temps de Page), en supposant que le rayonnement de Hawking transporte l’information (l’unitarité est préservée).

Pour transporter l’information vers l’extérieur, la particule de Hawking nouvellement rayonnée (B) doit être fortement intriquée (état d’intrication quantique) avec l’ensemble de toutes les particules de Hawking rayonnées dans le passé (A). D’autre part, pour traverser l’horizon des événements indemne (pour préserver le principe d’équivalence), il doit également exister une forte intrication entre la particule s’échappant vers l’extérieur (B) et la particule tombant vers l’intérieur (C), qui forment une paire de particules créées à partir des fluctuations du vide.

Cependant, la mécanique quantique a une règle stricte : la “monogamie de l’intrication” (Entanglement Monogamy). Il est impossible pour un système quantique (B) d’être intriqué au maximum avec deux autres systèmes indépendants (A et C) en même temps.

Pour résoudre ce dilemme, quelque chose doit être sacrifié. AMPS a conclu que si l’on voulait maintenir la complémentarité des trous noirs, il n’y avait pas d’autre choix que de rompre l’intrication entre B et C. Cependant, rompre l’intrication entre B et C signifie l’apparition d’un mur de particules extrêmement énergétiques à l’horizon des événements, un “pare-feu” (Firewall).

Si un tel pare-feu existe, Bob essayant de franchir l’horizon des événements, loin de passer indemne, s’écraserait contre ce mur de haute énergie et serait instantanément incinéré. Cela signifie l’effondrement complet du “principe d’équivalence” (un observateur en chute libre ne ressent pas la gravité, c’est-à-dire que rien de spécial ne se produit à l’horizon des événements), qui est la pierre angulaire de la théorie de la relativité générale d’Einstein.

Si l’on essaie de protéger l’information, l’horizon des événements devient un mur de feu (effondrement du principe d’équivalence). Si l’on essaie de protéger le principe d’équivalence, l’information est perdue, ou le fondement de la mécanique quantique s’effondre. Les physiciens ont été confrontés à un paradoxe plus profond et plus aigu que jamais. La clé pour sauver de cette crise désespérée était cachée dans le “principe holographique”, qui transcende les barrières dimensionnelles, et dans la théorie de la gravité quantique la plus récente.

Chapitre 6 : Le principe holographique, la correspondance AdS/CFT et la formule des îles

Le changement de paradigme décisif qui a sauvé la physique de la crise du paradoxe du pare-feu a été apporté par le “principe holographique” (Holographic Principle) et sa mathématisation rigoureuse, la “correspondance AdS/CFT” (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence).

Le principe holographique a été proposé par Gerard ’t Hooft en 1993 et incorporé dans le cadre de la théorie des cordes par Leonard Susskind en 1995. Comme le suggère la formule de Bekenstein-Hawking vue au chapitre 2 (l’entropie est proportionnelle à l’aire et non au volume), ce principe affirme que “tous les phénomènes physiques (y compris la gravité) se produisant dans une région tridimensionnelle de l’espace peuvent être complètement décrits par des lois physiques sans gravité sur la surface frontière bidimensionnelle entourant cette région”. Notre univers tridimensionnel pourrait n’être que l’illusion d’un “hologramme” projeté sur un écran bidimensionnel lointain.

En 1997, Juan Maldacena a utilisé la théorie des supercordes pour présenter pour la première fois un modèle concret dans lequel ce principe holographique est rigoureusement valide. C’est la “correspondance AdS/CFT”. Maldacena a prouvé que la théorie de la gravité quantique (théorie des supercordes) dans l’espace anti-de Sitter avec une constante cosmologique négative (espace AdS) est mathématiquement complètement équivalente (duale) à la théorie des champs conformes sans gravité (Conformal Field Theory, CFT) définie sur la frontière à l’infini de cet espace.

Ce fut une découverte miraculeuse en physique. La physique de l’intérieur (bulk) incluant la gravité, et la physique de la frontière (CFT) sans gravité, deux théories ayant des dimensions et des lois complètement différentes, n’étaient en fait que deux traductions différentes du même phénomène physique. En utilisant ce dictionnaire de dualité (dictionnaire holographique), il devient possible de transformer le problème désespérément difficile du calcul de la gravité quantique en un problème plus facile à calculer de la théorie quantique des champs à la frontière.

Dans le contexte du paradoxe de la perte d’information, la correspondance AdS/CFT a fourni une réponse cruciale. Puisque la CFT à la frontière obéit à la mécanique quantique habituelle, l’unitarité est pleinement garantie (l’information n’est absolument jamais perdue). Si la correspondance AdS/CFT est correcte, le processus de formation et d’évaporation d’un trou noir dans l’espace AdS dual doit également être globalement unitaire, et l’information doit assurément y être conservée.

Cependant, même s’il était prouvé que “l’information est conservée”, la question de savoir “comment concrètement l’information est transférée de l’intérieur du trou noir vers le rayonnement de Hawking externe” restait un mystère. La percée finale répondant à cette question a été apportée par la découverte de la “formule des îles” (Island Formula) publiée en 2019.

Le point de départ fut le concept de “courbe de Page” (Page Curve) présenté par Don Page en 1993. Page a prédit comment l’entropie d’intrication du rayonnement de Hawking devrait évoluer dans le temps si l’information était conservée (l’unitarité maintenue). Dans la phase initiale du rayonnement, les particules rayonnées sont intriquées avec les particules à l’intérieur du trou noir, de sorte que l’entropie d’intrication du rayonnement global augmente de façon monotone avec le temps. Cependant, lorsque le trou noir atteint la moitié de sa durée de vie (le temps de Page), la situation s’inverse de manière spectaculaire. Les particules nouvellement rayonnées commencent à s’intriquer avec les particules rayonnées dans le passé, et l’entropie d’intrication globale du rayonnement commence à diminuer. Finalement, lorsque le trou noir disparaît, tout le rayonnement retourne à un état pur, et l’entropie devrait à nouveau tomber à zéro. Cette courbe en forme de cloche est la courbe de Page.

D’autre part, dans le calcul classique de Hawking (où l’information est perdue), l’entropie continue d’augmenter pour toujours et ne diminue jamais (courbe de Hawking).

En 2019, Geoff Penington, Almheiri, Mahajan, Maldacena, Zhao et d’autres ont recalculé l’entropie du rayonnement de Hawking à l’aide d’une méthode de calcul de l’entropie d’intrication holographique dérivée de la théorie des cordes (la formule des surfaces quantiques extrémales, une généralisation de la formule de Ryu-Takayanagi). En conséquence, ils ont découvert qu’à partir d’un certain point (le temps de Page), la région géométrique pour calculer l’entropie d’intrication change de manière discontinue.

La formule qu’ils ont dérivée montrait que lors du calcul de l’entropie du rayonnement de Hawking, il faut ajouter non seulement le rayonnement à l’extérieur du trou noir, mais aussi la contribution d’une région spécifique “à l’intérieur” de l’horizon des événements (appelée “île” ou Island).

De manière étonnante, lorsque le calcul est effectué à l’aide de cette formule des îles, la contribution de l’île devient dominante après le temps de Page, et le résultat du calcul reproduit magnifiquement la courbe de Page de Don. En d’autres termes, ce qui manquait au calcul de Hawking était l’effet quantique non perturbatif de la gravité (le changement de topologie de l’espace-temps appelé trou de ver réplique), et son inclusion a prouvé que l’information est effectivement encodée dans le rayonnement de Hawking et s’en échappe.

Ce qui est encore plus choquant, c’est le fait que l’information de “l’île” est entièrement contenue dans le rayonnement de Hawking, même si l’île se trouve à l’intérieur de l’horizon des événements. Cela signifie qu’une partie de l’intérieur du trou noir est en réalité projetée holographiquement vers l’extérieur à travers le rayonnement de Hawking. Comme le suggère l’hypothèse ER=EPR (l’hypothèse selon laquelle les ponts d’Einstein-Rosen = trous de ver et l’intrication d’Einstein-Podolsky-Rosen sont fondamentalement identiques), l’intrication quantique formait un pont dans l’espace-temps (trou de ver) reliant l’intérieur du trou noir et le rayonnement de Hawking extérieur.

Annexe A : La transformation de Bogoliubov du rayonnement de Hawking et la dérivation rigoureuse du spectre thermique

Pour vraiment comprendre la nature profonde du rayonnement de Hawking, on ne peut éviter les détails de la dérivation de la structure mathématique de la théorie quantique des champs dans un espace-temps courbe, et en particulier de la “transformation de Bogoliubov” (Bogoliubov Transformation). Dans cette annexe, nous suivrons le plus rigoureusement et en détail possible le cœur des calculs développés par Stephen Hawking dans son article historique de 1974.

1. La différence de définition du “vide” dans l’espace-temps plat et courbe

Dans la théorie quantique des champs, un champ scalaire $\phi(x)$ est développé en modes à l’aide de l’opérateur de création $\hat{a}^\dagger$ et de l’opérateur d’annihilation $\hat{a}$. Dans l’espace-temps plat de Minkowski, les solutions de l’équation du champ (l’équation de Klein-Gordon) $(\square + m^2)\phi = 0$ sont développées avec des ondes planes $e^{ikx}$ comme base. À l’aide des modes de fréquence positive $f_k(x)$ et des modes de fréquence négative $f_k^*(x)$, le champ s’écrit de la manière suivante :

Cependant, lorsque l’espace-temps est courbe (en présence d’un champ gravitationnel), la symétrie globale de Poincaré est perdue, de sorte qu’il n’y a plus de coordonnée temporelle universelle qui définit de manière unique les “modes de fréquence positive”. Selon l’état de mouvement de l’observateur et sa position (la géométrie de l’espace-temps), ce qui est considéré comme un mode “positif” devient relatif.

2. Le développement modal à l’infini passé ($\mathscr{I}^-$) et à l’infini futur ($\mathscr{I}^+$)

Hawking a considéré un espace-temps dynamique où une étoile s’effondre sous l’effet de sa propre gravité pour former un trou noir. Dans cet espace-temps, il existe une région asymptotique plate avant le début de l’effondrement, appelée “l’infini nul passé” (Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$), et une région asymptotique plate après la formation du trou noir, appelée “l’infini nul futur” (Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$).

Soient les fonctions de mode à l’infini passé $\mathscr{I}^-$ notées $f_k$, les opérateurs correspondants $\hat{a}_k, \hat{a}_k^\dagger$, et le vide défini par un observateur dans le passé noté $|0_{in}\rangle$. Soient les fonctions de mode à l’infini futur $\mathscr{I}^+$ notées $p_j$, les opérateurs correspondants $\hat{b}_j, \hat{b}_j^\dagger$, et le vide défini par un observateur dans le futur noté $|0_{out}\rangle$.

Puisque le champ $\hat{\phi}$ peut être développé en utilisant n’importe laquelle de ces bases, l’égalité suivante est vérifiée :

3. La transformation de Bogoliubov et la création de particules

Puisque les deux ensembles différents de fonctions de mode $f_k$ et $p_j$ forment un système complet, l’un peut être exprimé comme une combinaison linéaire de l’autre.

Cette transformation linéaire est la transformation de Bogoliubov, et les coefficients de développement $\alpha_{jk}$ et $\beta_{jk}$ sont appelés les coefficients de Bogoliubov. En utilisant cela pour exprimer l’opérateur d’annihilation futur $\hat{b}_j$ en termes des opérateurs passés :

C’est ici qu’un fait crucial est déduit. Supposons que l’état initial était le vide passé $|0_{in}\rangle$ (c’est-à-dire qu’au début il n’y avait absolument aucune particule). Dans cet état, calculons la valeur attendue des particules avec le nombre d’onde $j$ observée par l’observateur futur (la valeur attendue de l’opérateur nombre de particules $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$).

Si $\beta_{jk} \neq 0$, alors même si l’état initial était un vide, l’observateur futur verra qu’il y a “des particules présentes” ! La fluctuation de la courbure de l’espace-temps (l’effondrement de l’étoile) a rendu $\beta_{jk}$ non nul, et a “créé” des particules à partir du vide.

4. Retard de phase logarithmique (décalage vers le rouge) dû à l’horizon des événements

Le plus grand exploit de Hawking réside dans le fait d’avoir calculé spécifiquement ce $\beta_{jk}$ par le suivi géométrique des rayons lumineux (ray tracing) dans l’espace-temps de la formation du trou noir.

Considérons le processus par lequel un paquet d’ondes partant de l’infini passé $\mathscr{I}^-$ traverse l’étoile en effondrement pour atteindre l’infini futur $\mathscr{I}^+$. Un rayon lumineux (mode) qui traverse l’étoile juste avant la formation de l’horizon des événements subit un décalage vers le rouge extrême afin de s’extraire de l’intense champ gravitationnel.

Selon les calculs géométriques, il est montré que la phase de l’onde au temps $u$ atteignant l’infini futur subit un retard logarithmique à mesure que l’on se rapproche du temps de formation de l’horizon des événements. Plus précisément, entre le temps $v$ à l’infini passé et le temps $u$ à l’infini futur, la relation logarithmique suivante (conséquence de l’équation de Raychaudhuri) est établie au voisinage de l’horizon des événements :

Ici, $v_0$ est le temps de départ du rayon lumineux formant l’horizon des événements, et $\kappa$ est la gravité de surface (surface gravity) du trou noir. Ce retard de phase logarithmique $e^{-\kappa u}$ détermine de manière décisive la forme fonctionnelle de $\beta_{jk}$ via la transformation de Fourier.

5. La dérivation du spectre de Planck et la température de Hawking

Les coefficients de Bogoliubov $\alpha_{jk}$ et $\beta_{jk}$ sont calculés à l’aide du produit scalaire (le produit scalaire de Klein-Gordon). Lorsque l’on effectue la transformée de Fourier de l’onde présentant le retard de phase logarithmique ci-dessus (en utilisant des fonctions gamma et des intégrations complexes), la relation analytique étonnante suivante est déduite entre les valeurs absolues de $\alpha_{jk}$ et $\beta_{jk}$ :

Ici, $\omega$ est l’énergie (fréquence angulaire) des particules rayonnées. De plus, d’après la condition de normalisation de la transformation de Bogoliubov (préservation des relations de commutation), $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$ est vérifiée. En résolvant ces deux équations simultanément pour $|\beta_{jk}|^2$, on obtient :

Ce résultat est prodigieux. Le côté gauche représente le nombre de particules (valeur attendue) créées à partir du vide, mais le côté droit prend exactement la forme de la distribution thermique des bosons (distribution de Planck) émise par un corps noir à la température $T$ !

La forme standard de la distribution de Planck est $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$. En la comparant avec cela, la température du trou noir (température de Hawking $T_H$) en est immédiatement dérivée.

Dans le cas d’un trou noir de Schwarzschild, la gravité de surface est donnée par $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$, donc en la substituant :

Et ainsi, la formule de la température de Hawking a été magnifiquement dérivée. Le décalage vers le rouge géométrique extrême (retard de phase logarithmique) causé par l’horizon des événements d’un trou noir produit un état mixte thermique parfait (distribution de Planck) à partir d’un état initial quantique pur. Voilà la vue d’ensemble de la perspicacité mathématique redoutable de Hawking. Ce calcul stupéfiant, qui intègre la relativité ($\kappa$), la mécanique quantique ($\hbar$) et la thermodynamique ($k_B$) en une seule formule mathématique, peut être considéré comme l’un des sommets de l’intellect humain.

Annexe B : La formule de Ryu-Takayanagi et les profondeurs de l’entropie d’intrication holographique

Dans la résolution du paradoxe de la perte d’information, à la base de la “formule des îles” qui a permis la reproduction de la courbe de Page, se trouve la “formule de Ryu-Takayanagi” (Ryu-Takayanagi Formula) issue de la théorie des supercordes et de la correspondance AdS/CFT. Cette formule est l’une des équations les plus importantes de la physique moderne, reliant directement l’intrication de l’information quantique et la géométrie de l’espace-temps (gravité). Ici, nous expliquerons en détail son concept et son contexte mathématique.

1. La géométrisation de l’entropie d’intrication

Dans la théorie quantique des champs, la quantité mesurant le degré d’intrication quantique entre une région spatiale $A$ et sa région extérieure $B$ est “l’entropie d’intrication” (ou entropie de von Neumann) $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$. Ici, $\rho_A$ est la matrice densité réduite de la région $A$. Cependant, dans la théorie quantique des champs continue et interactive, calculer directement l’entropie d’intrication est extrêmement difficile, et on fait souvent face à des difficultés de divergence ultraviolette (infinité).

En 2006, Shinsei Ryu et Tadashi Takayanagi ont proposé une conjecture (formule) révolutionnaire selon laquelle, en utilisant le cadre de la correspondance AdS/CFT, l’entropie d’intrication de la CFT sur la frontière peut être calculée géométriquement comme “l’aire d’une surface minimale” dans le bulk (l’espace AdS intérieur).

Où :

• $S_A$ est l’entropie d’intrication de la région $A$ dans la CFT à la frontière.
• $\gamma_A$ est une surface minimale de dimension $(d-1)$ qui s’étend dans l’espace bulk (comme une bulle de savon). La frontière de cette surface doit coïncider avec la frontière $\partial A$ de la région $A$ sur la CFT ($\partial \gamma_A = \partial A$).
• $G_N^{(d+1)}$ est la constante de Newton de dimension $(d+1)$ dans l’espace bulk.

En voyant la forme de cette formule, de nombreux lecteurs ne pourront cacher leur surprise. Cette équation a exactement la même structure que la formule d’entropie de Bekenstein-Hawking $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$ expliquée au chapitre 2 ! L’entropie thermodynamique que possède l’horizon des événements d’un trou noir et l’entropie d’intrication que possède le champ quantique de l’état du vide ont été complètement intégrées en tant qu’entité géométrique qu’est “l’aire” en passant par une perspective holographique.

2. Surfaces minimales et “Trous de ver répliques”

La formule de Ryu-Takayanagi était initialement une “conjecture” basée sur l’intuition et diverses preuves circonstancielles, mais elle a ensuite été mathématiquement prouvée par Aron Wall, Alexander Maloney, Juan Maldacena et d’autres grâce à une version gravitationnelle de “l’astuce des répliques” (Replica Trick) (trous de ver répliques) utilisant la représentation en intégrale de chemin de la gravité quantique.

L’astuce des répliques est une méthode pour éviter de calculer directement $\log \rho_A$, en calculant la trace de $\rho_A$ à la puissance $n$, soit $\text{Tr}(\rho_A^n)$, et en prenant enfin la limite $n \to 1$.

Calculer $\text{Tr}(\rho_A^n)$ dans une CFT correspond à découper l’espace-temps d’origine au niveau de la région $A$, préparer $n$ copies (répliques) et calculer la fonction de partition sur une surface de Riemann multiple complexe cousue ensemble. Selon la correspondance AdS/CFT, cette fonction de partition sur la frontière devrait être égale à la fonction de partition de la théorie de la gravité dans le bulk qui satisfait aux conditions aux limites (évaluation du point selle de l’action).

Maldacena et ses collègues ont montré que dans l’intégrale de chemin gravitationnelle du bulk, lorsque la frontière est un espace-temps répliqué $n$ fois, les solutions de “trous de ver” (trous de ver répliques) où les $n$ espace-temps se connectent les uns aux autres à l’intérieur du bulk deviennent dominantes. Et en prenant la limite $n \to 1$, ils ont rigoureusement prouvé que la réaction géométrique de ce trou de ver se manifeste précisément comme la “surface minimale $\gamma_A$” de la formule de Ryu-Takayanagi.

3. Surface extrémale quantique (QES) et l’émergence de l’île

La formule de Ryu-Takayanagi était une formule valable lorsque la gravité dans l’espace bulk était classique (les effets quantiques pouvant être ignorés). Pour traiter des phénomènes où les effets quantiques jouent un rôle essentiel, comme l’évaporation d’un trou noir (rayonnement de Hawking), une extension incorporant les effets de la théorie quantique des champs dans le bulk dans cette formule était nécessaire. C’est la prescription des “Surfaces extrémales quantiques” (Quantum Extremal Surface, QES) proposée par Engelhardt et Wall en 2014.

Dans la formule QES, l’objet à minimiser est remplacé non pas seulement par “l’aire”, mais par “l’entropie généralisée” (Generalized Entropy) $S_{gen}$, qui est la somme de “l’aire + l’entropie d’intrication quantique à l’intérieur du bulk”.

Ici, $X$ est une surface dans le bulk, et $\Sigma_X$ est la région de l’espace bulk délimitée par $X$ et la région frontalière $A$. On rend cette entropie généralisée extrémale (stationnaire), on trouve la surface $X$ qui la minimise (c’est la QES), et la valeur de $S_{gen}$ à ce moment-là devient l’entropie $S_A$ de la CFT frontalière.

Lors du calcul de l’entropie du rayonnement de Hawking, soit $A$ la région externe collectant le rayonnement. Au stade initial, la QES est une surface triviale (aire nulle), et l’entropie augmente de manière monotone (courbe de Hawking). Cependant, passé le temps de Page, une QES non triviale apparaît soudainement “à l’intérieur” de l’horizon des événements, provoquant une transition de phase spectaculaire où la valeur de $S_{gen}$ de cette dernière devient plus petite (devient dominante).

Cette région à l’intérieur de l’horizon, entourée par cette nouvelle QES, est précisément “l’île” (Island). Lorsque l’île apparaît, dans le calcul du terme d’entropie du bulk $S_{bulk}$, puisque les particules à l’intérieur de l’île (les particules tombées dans le trou noir) et le rayonnement de Hawking (les particules échappées à l’extérieur) sont fortement intriqués, la somme de leurs entropies s’annule considérablement et commence à diminuer.

Grâce à cela, la courbe de Page prédite par Don Page a été parfaitement dérivée des calculs de la théorie de la gravité. La résolution du paradoxe de la perte d’information est allée au-delà des simples arguments conceptuels et a été prouvée sous forme d’une équation mathématique stricte en tenant compte du changement de topologie non perturbatif de la gravité quantique appelé “trou de ver réplique”. L’espace-temps émerge de l’intrication quantique, et les informations abyssales du trou noir sont en effet transmises jusqu’aux confins de l’univers via les fils invisibles des trous de ver.