1. Introduction : L’effondrement de l’intuition du « hasard uniforme » en 1889
Dans les espaces finis discrets, l’expression « choisir au hasard » semble dépourvue de toute ambiguïté : lancer un dé équilibré attribue la probabilité $1/6$ à chacune des six faces. Mais dès que l’on franchit le seuil du continu géométrique, cette intuition s’effondre. En 1889, dans son célèbre traité Calcul des probabilités, le mathématicien français Joseph Bertrand (1822–1900) formula un problème élémentaire devenu légendaire sous le nom de paradoxe de Bertrand.
Considérons un cercle unité $S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$ de rayon $R = 1$ et un triangle équilatéral inscrit $\triangle ABC$. Le côté du triangle vaut $L = 2R\sin(\pi/3) = \sqrt{3} \approx 1.732$, et le rayon de son cercle inscrit (la distance du centre $O$ à chaque côté) vaut $r_{\text{in}} = R\cos(\pi/3) = 1/2$.
[Problème de Bertrand (1889)] On choisit « au hasard » une corde $c$ du cercle unité. Quelle est la probabilité $P(c > \sqrt{3})$ que la longueur de cette corde dépasse le côté $L = \sqrt{3}$ du triangle équilatéral inscrit ?
Bertrand proposa trois méthodes géométriques parfaitement naturelles et symétriques, aboutissant pourtant à trois probabilités exactes mutuellement incompatibles : $P_1 = 1/3$, $P_2 = 1/2$ et $P_3 = 1/4$.
flowchart TD
Q["Question de Bertrand (1889)<br/>Une corde du cercle unité est tirée au hasard :<br/>quelle est la probabilité P(c > √3) ?"]
Q --> M1["Méthode 1 : Extrémités aléatoires sur S¹<br/>Angle au centre θ ~ Uniform(0, π)"]
Q --> M2["Méthode 2 : Distance radiale aléatoire<br/>Distance au centre r ~ Uniform(0, 1)"]
Q --> M3["Méthode 3 : Milieu aléatoire dans le disque D²<br/>Coordonnées (x, y) ~ Uniform(D²)"]
M1 --> D1["Densité radiale<br/>f₁(r) = 2 / (π√(1 - r²))"]
M2 --> D2["Densité radiale<br/>f₂(r) = 1"]
M3 --> D3["Densité radiale<br/>f₃(r) = 2r"]
D1 --> P1["Probabilité P₁ = 1/3 ≈ 0.3333"]
D2 --> P2["Probabilité P₂ = 1/2 = 0.5000"]
D3 --> P3["Probabilité P₃ = 1/4 = 0.2500"]
2. Dérivation rigoureuse des trois solutions classiques et de leurs densités
Soit $\theta \in [0, \pi]$ l’angle au centre sous-tendu par la corde, $r \in [0, 1]$ la distance perpendiculaire du centre $O$ au milieu $M(x,y) = (r\cos\phi, r\sin\phi)$ de la corde, et $c$ sa longueur. Le théorème de Pythagore donne la relation fondamentale :
$$c = 2\sqrt{1 - r^2} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad r = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{1 - \frac{c^2}{4}}$$L’événement $E = \{c > \sqrt{3}\}$ s’écrit de manière équivalente dans les trois systèmes de coordonnées :
$$c > \sqrt{3} \iff 2\sqrt{1 - r^2} > \sqrt{3} \iff 0 \le r < \frac{1}{2} \iff \theta \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right)$$2.1 Méthode 1 : Extrémités choisies uniformément sur la circonférence ($P_1 = 1/3$)
Par symétrie de rotation $SO(2)$, fixons la première extrémité $A$ en $\theta = 0$ (un sommet du triangle) et choisissons la seconde extrémité $B$ selon $\theta \sim \text{Uniform}(0, 2\pi)$. La corde vérifie $c(\theta) > \sqrt{3}$ si et seulement si $B$ appartient à l’arc opposé $\theta \in (2\pi/3, 4\pi/3)$, de longueur $2\pi/3$ sur $2\pi$ :
$$P_1(c > \sqrt{3}) = \frac{4\pi/3 - 2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}$$Avec le changement de variable $r = \cos(\theta/2)$ ($\theta \in [0, \pi]$, $f_\Theta(\theta) = 1/\pi$) et le jacobien $\left|\frac{d\theta}{dr}\right| = \frac{2}{\sqrt{1 - r^2}}$, on obtient :
$$f_{R,1}(r) = \frac{2}{\pi\sqrt{1 - r^2}}, \qquad f_{C,1}(c) = \frac{2}{\pi\sqrt{4 - c^2}}, \qquad \mathbb{E}_1[c] = \frac{4}{\pi} \approx 1.2732$$2.2 Méthode 2 : Distance radiale choisie uniformément sur un rayon fixe ($P_2 = 1/2$)
On choisit une direction radiale $\phi \sim \text{Uniform}(0, 2\pi)$ puis la distance $r \sim \text{Uniform}(0, 1)$ du milieu de la corde au centre $O$. Comme le côté du triangle équilatéral est à la distance $r_{\text{in}} = 1/2$ du centre, on a $c > \sqrt{3} \iff 0 \le r < 1/2$ :
$$P_2(c > \sqrt{3}) = \int_0^{1/2} 1\,dr = \frac{1}{2}, \qquad f_{R,2}(r) = 1, \qquad f_{C,2}(c) = \frac{c}{2\sqrt{4 - c^2}}, \qquad \mathbb{E}_2[c] = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$$2.3 Méthode 3 : Milieu choisi uniformément en aire dans le disque ($P_3 = 1/4$)
Toute corde ($r > 0$) est déterminée de façon unique par son milieu $M(x, y) \in D^2$. Si $M$ est choisi uniformément par rapport à la mesure d’aire de Lebesgue $dx\,dy$ sur le disque unité $D^2$ ($f_{X,Y}(x,y) = 1/\pi$), alors $c > \sqrt{3}$ si et seulement si $M$ tombe dans le disque inscrit concentrique $D_{1/2}$ de rayon $1/2$ :
$$P_3(c > \sqrt{3}) = \frac{\text{Aire}(D_{1/2})}{\text{Aire}(D_1)} = \frac{\pi (1/2)^2}{\pi (1)^2} = \frac{1}{4}$$Pourquoi les méthodes 2 et 3 diffèrent-elles ? Parce que le passage en coordonnées polaires fait apparaître le jacobien $J = r$, soit $dx\,dy = r\,dr\,d\phi$. En intégrant sur $\phi \in [0, 2\pi)$, la densité marginale de $r$ devient linéaire :
$$f_{R,3}(r) = \int_0^{2\pi} \frac{1}{\pi} r\,d\phi = 2r, \qquad f_{C,3}(c) = \frac{c}{2}, \qquad \mathbb{E}_3[c] = \frac{4}{3} \approx 1.3333$$| Critère | Méthode 1 : Extrémités aléatoires | Méthode 2 : Rayon aléatoire | Méthode 3 : Milieu aléatoire |
|---|---|---|---|
| Paramètre uniforme | Angle $\theta \sim U(0, \pi)$ | Distance $r \sim U(0, 1)$ | Aire $(x,y) \sim U(D^2)$ ($r^2 \sim U(0,1)$) |
| Élément de probabilité $d\mathbb{P}(r,\phi)$ | $\dfrac{1}{\pi^2\sqrt{1 - r^2}}\,dr\,d\phi$ | $\dfrac{1}{2\pi}\,dr\,d\phi$ | $\dfrac{r}{\pi}\,dr\,d\phi = \dfrac{1}{\pi}\,dx\,dy$ |
| Densité radiale $f_R(r)$ | $\dfrac{2}{\pi\sqrt{1 - r^2}}$ | $1$ | $2r$ |
| Densité de longueur $f_C(c)$ | $\dfrac{2}{\pi\sqrt{4 - c^2}}$ | $\dfrac{c}{2\sqrt{4 - c^2}}$ | $\dfrac{c}{2}$ |
| Probabilité $P(c > \sqrt{3})$ | $1/3 \approx 0.3333$ | $1/2 = 0.5000$ | $1/4 = 0.2500$ |
| Espérance $\mathbb{E}[c]$ | $4/\pi \approx 1.2732$ | $\pi/2 \approx 1.5708$ | $4/3 \approx 1.3333$ |
3. La crise du principe d’indifférence de Laplace et le paradoxe du vin et de l’eau de Keynes (1921)
La théorie classique de Pierre-Simon Laplace reposait sur le principe de raison insuffisante, rebaptisé principe d’indifférence (Principle of Indifference) par John Maynard Keynes (1921) dans A Treatise on Probability. Or, sur un espace continu, attribuer une densité uniforme $f_X(x) = \frac{1}{b-a}$ à un paramètre $x \in [a, b]$ détruit l’uniformité sous toute reparamétrisation non linéaire $y = g(x)$ à cause du jacobien $\left|\frac{dx}{dy}\right|$ :
$$f_Y(y) = f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{dx}{dy}\right|$$Le paradoxe du vin et de l’eau de Keynes (1921) l’illustre de façon éclatante :
- Un verre contient un mélange d’eau et de vin tel que le rapport $x = W_{\text{vin}}/W_{\text{eau}}$ est compris entre $1/3$ et $3$. Si $x \sim \text{Uniform}(1/3, 3)$, la médiane est $x_{\text{med}} = 5/3$ et $P_X(x \le 2) = \frac{2 - 1/3}{3 - 1/3} = \frac{5}{8} = 0.625$.
- Mais la même hypothèse signifie que le rapport inverse $y = 1/x = W_{\text{eau}}/W_{\text{vin}}$ appartient lui aussi à $[1/3, 3]$. Si $y \sim \text{Uniform}(1/3, 3)$, la médiane est $y_{\text{med}} = 5/3$ (ce qui contredit $x \cdot y = 1$ !) et le même événement $x \le 2 \iff y \ge 1/2$ a pour probabilité $P_Y(y \ge 1/2) = \frac{3 - 1/2}{3 - 1/3} = \frac{15}{16} = 0.9375 \neq \frac{5}{8}$ !
4. Les trois résolutions mathématiques et physiques modernes
flowchart TD
Crisis["Crise du principe d'indifférence de Laplace<br/>Une reparamétrisation y = g(x) introduit le jacobien |dx/dy|"]
Crisis --> R1["Résolution 1 : Kolmogorov (1933)<br/>Axiomatisation mesurable (Ω, F, P)"]
Crisis --> R2["Résolution 2 : Jaynes (1973) & Géométrie intégrale<br/>Mesure cinématique E(2)-invariante"]
Crisis --> R3["Résolution 3 : Jeffreys (1946) & Géométrie de l'information<br/>Élément de volume de Fisher"]
R1 --> R1D["Sans spécifier explicitement la mesure P, le problème est mal posé ;<br/>chaque protocole physique réalise un espace probabilisé distinct."]
R2 --> R2D["L'invariance sous le groupe euclidien E(2) sélectionne de manière unique<br/>la mesure cinématique dμ = dp dφ (Méthode 2, P = 1/2, formule de Cauchy-Crofton)."]
R3 --> R3D["La loi a priori de Jeffreys p(θ) ∝ √det I(θ) ou la mesure de Haar dx/x<br/>garantit l'invariance exacte par changement de paramétrisation."]
4.1 L’axiomatique en théorie de la mesure de Kolmogorov $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ (1933)
En 1933, Andreï Kolmogorov établit qu’un problème probabiliste n’est bien défini que si l’on fixe explicitement le triplet $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Sans la donnée de la mesure de probabilité $\mathbb{P}$, l’expression « choisir une corde au hasard » est mathématiquement incomplète.
4.2 L’invariance par groupe de transformations d’E. T. Jaynes (1973) et la mesure cinématique
Dans son article fondateur “The Well-Posed Problem” (1973), le physicien Edwin T. Jaynes montra que lorsqu’on lance de longues pailles vers un cercle tracé au sol, la mesure $h(p, \phi)\,dp\,d\phi$ sur l’espace des droites $x\cos\phi + y\sin\phi = p$ doit être invariante par :
- Rotations $SO(2)$ : $h(p, \phi) = g(p)/(2\pi)$ ;
- Changements d’échelle (restriction à un sous-cercle concentrique de rayon $a < 1$) ;
- Translations $\mathbb{R}^2$ (groupe euclidien des déplacements rigides $E(2) = \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)$) : une translation d’origine $(x_0, y_0)$ transforme $(p, \phi)$ en $p' = p - x_0\cos\phi - y_0\sin\phi$ et $\phi' = \phi$, dont le déterminant jacobien vaut identiquement $1$ : $$J = \det\frac{\partial(p', \phi')}{\partial(p, \phi)} = \det\begin{pmatrix} 1 & x_0\sin\phi - y_0\cos\phi \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$$ L’invariance $g(p') = g(p)$ pour toute translation impose de manière unique $g(p) = \text{const.}$ !
On retrouve ainsi l’unique mesure cinématique de Poincaré–Santaló en géométrie intégrale :
$$d\mu(L) = dp\,d\phi$$D’après la formule de Cauchy–Crofton (qui gouverne aussi l’aiguille de Buffon), la mesure des droites coupant un convexe $K \subset \mathbb{R}^2$ est égale à son périmètre $\text{Perimeter}(\partial K)$. Le rapport des périmètres du cercle inscrit ($\pi$) et du cercle unité ($2\pi$) donne immédiatement la Méthode 2 ($P = 1/2$).
4.3 La loi a priori de Jeffreys (1946)
En statistique bayésienne, Harold Jeffreys (1946) résolut le problème de reparamétrisation en définissant la densité a priori via la racine carrée du déterminant de la matrice d’information de Fisher $I_{ij}(\theta) = -\mathbb{E}\left[\frac{\partial^2 \ln p(X\mid\theta)}{\partial\theta_i\partial\theta_j}\right]$ :
$$p_J(\theta) \propto \sqrt{\det I(\theta)}$$Pour le paradoxe du vin et de l’eau, la mesure de Haar du groupe multiplicatif $(\mathbb{R}_{>0}, \times)$, $d\mu(x) = \frac{dx}{x}$ de densité $f(x) = \frac{1}{2\ln 3 \cdot x}$ sur $[1/3, 3]$, est strictement invariante sous $y = 1/x$, donnant une médiane cohérente $x_{\text{med}} = y_{\text{med}} = 1$.
5. Simulation Monte-Carlo en Python
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