« Répartissez équitablement les sièges entiers d’une assemblée législative entre les États (ou les partis politiques) proportionnellement à leur population. »
Face à cette consigne, presque tout le monde applique la règle de trois et l’arrondi appris à l’école primaire : on divise la population totale du pays par le nombre total de sièges pour obtenir le « diviseur standard » (la population par siège), puis on divise la population de chaque État par ce diviseur. Comme on obtient des nombres décimaux tels que $7,73$ ou $1,36$ sièges, on attribue d’abord à chaque État sa partie entière ($7$ et $1$), puis on distribue les sièges restants un par un aux États ayant les plus forts restes décimaux ($,73$, $,36$, etc.). Quoi de plus naturel et de plus incontestablement juste ?
Pourtant, en 1880, Charles W. Seaton, greffier en chef du Bureau du recensement des États-Unis, découvrit un cauchemar mathématique en appliquant cette méthode (la méthode de Hamilton ou méthode au plus fort reste / Hare-Niemeyer) à la Chambre des représentants : lorsque la taille totale de la Chambre fut augmentée d’un seul siège, passant de $299$ à $300$ sièges — sans qu’un seul habitant ait déménagé —, l’État de l’Alabama vit son nombre de sièges chuter de $8$ à $7$ sièges !
Agrandir le gâteau global tout en réduisant la part d’un convive : ce paradoxe de l’Alabama fut suivi par la découverte du paradoxe de la population (un État en forte croissance démographique perd un siège au profit d’un État à croissance lente) et du paradoxe des nouveaux États (l’admission d’un nouvel État avec le nombre exact de sièges correspondant à sa population fait basculer un siège entre deux États existants). En 1982, Michel Balinski et H. Peyton Young démontrèrent le célèbre théorème d’impossibilité de Balinski-Young : il est mathématiquement impossible qu’une méthode de répartition respecte simultanément la règle des quotas et la monotonie (l’absence de paradoxes).
1. La crise constitutionnelle de 1792 : Hamilton contre Jefferson et le premier veto présidentiel
L’article I, section 2 de la Constitution américaine de 1787 exigeait que les représentants soient répartis entre les États « selon leurs populations respectives », sans dépasser un représentant pour $30\,000$ habitants. Après le premier recensement de 1790 ($P = 3\,615\,920$ habitants dans $15$ États), le Congrès vota une loi fixant la Chambre à $H = 120$ sièges (diviseur standard $D = P/H = 30\,132,67$).
Le secrétaire au Trésor Alexander Hamilton proposa la méthode au plus fort reste (méthode de Hamilton) : attribuer d’abord $\lfloor p_i / D \rfloor$ sièges ($112$ au total), puis donner les $R = 8$ sièges restants aux $8$ États ayant les plus grandes parties fractionnaires. Le secrétaire d’État Thomas Jefferson et le président George Washington (tous deux de Virginie) s’y opposèrent farouchement : non seulement la Virginie perdait au jeu des restes, mais les petits États arrondis à l’unité supérieure — comme le Delaware ($55\,540$ habitants, $2$ sièges) — obtenaient un député pour $27\,770$ habitants, violant le plafond constitutionnel de $30\,000$ !
Jefferson proposa la méthode de Jefferson (connue en Europe sous le nom de méthode D’Hondt) : choisir un diviseur commun $x$ (par exemple $x = 33\,000$) et tronquer systématiquement à l’entier inférieur ($a_i = \lfloor p_i / x \rfloor$) de sorte que la somme vaille $H$. Le 5 avril 1792, George Washington opposa le tout premier veto présidentiel de l’histoire des États-Unis à la loi de Hamilton — un veto historique déclenché par un conflit d’algorithmes d’arrondi mathématique !
2. Formulation mathématique et la règle des quotas (Quota Rule)
Soient $s \ge 2$ États de populations $\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_s)$, de population totale $P = \sum_{i=1}^s p_i$, et une assemblée de $H \in \mathbb{Z}_{>0}$ sièges. Le diviseur standard $D$ et le quota exact $q_i$ de l’État $i$ sont définis par :
$$D = \frac{P}{H}, \qquad q_i = \frac{p_i}{D} = H \cdot \frac{p_i}{P}, \qquad \sum_{i=1}^s q_i = H$$Lorsqu’on arrondit le réel $q_i$ en un entier $a_i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ ($\sum_{i=1}^s a_i = H$), l’axiome minimal d’équité stipule que chaque État doit recevoir soit son quota inférieur $\lfloor q_i \rfloor$, soit son quota supérieur $\lceil q_i \rceil$. C’est la règle des quotas (Quota Rule) :
$$\lfloor q_i \rfloor \le a_i \le \lceil q_i \rceil \quad (\forall i \in \{1, 2, \dots, s\})$$La méthode de Hamilton (plus fort reste / Hare-Niemeyer) décompose $q_i = \lfloor q_i \rfloor + r_i$ avec $r_i \in [0, 1)$, attribue $\lfloor q_i \rfloor$ sièges, puis distribue les $R = H - \sum \lfloor q_i \rfloor = \sum r_i$ sièges restants aux $R$ États ayant les plus grands restes $r_i$ :
$$q_i = \lfloor q_i \rfloor + r_i \quad (0 \le r_i < 1), \qquad R = H - \sum_{i=1}^s \lfloor q_i \rfloor = \sum_{i=1}^s r_i \in \{0, 1, \dots, s-1\}$$$$a_i = \begin{cases} \lfloor q_i \rfloor + 1 & (\text{if } r_i \text{ is among the } R \text{ largest remainders}) \\ \lfloor q_i \rfloor & (\text{otherwise}) \end{cases}$$Par construction, la méthode de Hamilton satisfait la règle des quotas dans $100\%$ des cas.
3. Anatomie complète des trois grands paradoxes de répartition
Entre 1880 et 1907, les calculs officiels du recensement américain mirent au jour trois paradoxes dévastateurs :
flowchart TD
H["Méthode de Hamilton (Plus fort reste / Hare-Niemeyer)<br/>Garantit à 100% la règle des quotas ⌊q_i⌋ ≤ a_i ≤ ⌈q_i⌉"]
P1["1. Paradoxe de l'Alabama (1880)<br/>La taille totale H augmente, mais un État perd un siège<br/>(Violation de la monotonie de la Chambre)"]
P2["2. Paradoxe de la population (1900)<br/>Un État à forte croissance perd un siège au profit d'un État à faible croissance<br/>(Violation de la monotonie démographique)"]
P3["3. Paradoxe des nouveaux États (1907)<br/>L'ajout d'un nouvel État avec ses sièges légitimes inverse les sièges d'États existants<br/>(Violation de la cohérence / indépendance des alternatives non pertinentes)"]
CAUSE["Cause mathématique : Le quota q_i = H·(p_i/P) croît à une vitesse proportionnelle<br/>au poids p_i/P de l'État, permettant aux restes r_i des grands États de dépasser ceux des petits"]
H --> P1
H --> P2
H --> P3
P1 --> CAUSE
P2 --> CAUSE
P3 --> CAUSE
3.1 Le paradoxe de l’Alabama (1880) et sa preuve numérique à 3 États ($H = 10 \to 11$)
En 1880, en passant de $H = 299$ à $H = 300$, le quota de l’Alabama n’augmenta que de $+0,025$ ($7,646 \to 7,671$), tandis que ceux du Texas ($9,640 \to 9,672$, $+0,032$) et de l’Illinois ($18,640 \to 18,702$, $+0,062$) progressèrent plus vite et dépassèrent simultanément le reste de l’Alabama. Vérifions-le sur un modèle exact à $3$ États ($P = 1000$) :
| État | Population $p_i$ | Quota $q_i$ ($H=10$) | Partie entière & reste $r_i$ ($H=10$) | Sièges $a_i$ ($H=10$) | Quota $q_i'$ ($H=11$) | Partie entière & reste $r_i'$ ($H=11$) | Sièges $a_i'$ ($H=11$) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| État A | $433$ | $4,330$ | $4$ ($r_A = 0,330$ : 2e) | $4$ sièges | $4,763$ | $4$ ($r_A' = \mathbf{0,763}$ : 1er) | $5$ sièges ($+1$) |
| État B | $431$ | $4,310$ | $4$ ($r_B = 0,310$ : 3e) | $4$ sièges | $4,741$ | $4$ ($r_B' = \mathbf{0,741}$ : 2e) | $5$ sièges ($+1$) |
| État C | $136$ | $1,360$ | $1$ ($r_C = \mathbf{0,360}$ : 1er) | $2$ sièges | $1,496$ | $1$ ($r_C' = 0,496$ : 3e) | $1$ siège ($-1$) |
| Total | $1000$ | $10,000$ | Somme entiers $= 9$ ($R=1$) | $10$ sièges | $11,000$ | Somme entiers $= 9$ ($R'=2$) | $11$ sièges |
Lorsque $H$ passe de $10$ à $11$, les grands États A et B gagnent $+0,433$ et $+0,431$ de quota contre seulement $+0,136$ pour le petit État C : leurs restes ($0,763$ et $0,741$) doublent celui de C ($0,496$), qui rétrograde de $2$ sièges à $1$ siège (violation de la monotonie de la Chambre).
3.2 Le paradoxe de la population (1900) et le paradoxe des nouveaux États (1907)
- Paradoxe de la population : Entre 1890 et 1900, la Virginie crût de $+12,0\%$ contre $+5,0\%$ pour le Maine, mais perdit un siège au profit du Maine. Dans notre modèle à $3$ États ($H = 10, P = 1000$) : à l’instant 1, $p_A = 427, p_B = 435, p_C = 138 \implies$ sièges $(4, 4, 2)$ car $r_C = 0,380$ est en tête. À l’instant 2, l’État C croît de $+8,70\%$ ($138 \to 150$), l’État B de $+6,90\%$ ($435 \to 465$), et l’État A décline ($427 \to 385$). Bien que C ait un taux de croissance supérieur à B, le gain absolu de quota du grand État B ($+0,300 \implies r_B' = 0,650$) surpasse celui du petit État C ($+0,120 \implies r_C' = 0,500$), tandis que le quota de A franchit l’entier $4$ vers le bas ($q_A' = 3,850 \implies r_A' = 0,850$). Résultat : l’État C, pourtant le plus dynamique, perd un siège ($2 \to 1$) au profit de B ($4 \to 5$) !
- Paradoxe des nouveaux États : En 1907, l’admission de l’Oklahoma avec ses $5$ sièges ($H: 386 \to 391$) fit perdre un siège à New York au profit du Maine. Dans un modèle à $2$ États ($H = 10, P = 1000$ avec $p_A = 842, p_B = 158 \implies a_A = 8, a_B = 2$), l’entrée d’un nouvel État C ($p_C = 165$) avec ses $2$ sièges légitimes ($H' = 12, P' = 1165$) abaisse légèrement le diviseur standard de $100$ à $97,083$. Tous les quotas sont multipliés par $1,03004$ : le quota du grand État A grimpe de $+0,253$ ($8,673$, reste $0,673$) et dépasse le reste du petit État B ($1,627$, reste $0,627$), donnant $(9, 1, 2)$ !
4. Théorie unifiée des méthodes de diviseurs (plus fortes moyennes) et fonctions jalons $d(n)$
Les méthodes de diviseurs divisent chaque population $p_i$ par un diviseur modifiable $x > 0$ et arrondissent le quotient $q = p_i / x$ à l’aide d’une fonction jalon (Signpost Function) $d(n) \in [n, n+1]$ :
$$[q]_d = n \iff d(n-1) \le q \le d(n), \qquad a_i = \left[\frac{p_i}{x}\right]_d, \qquad \sum_{i=1}^s a_i = H$$L’encadrement $d(a_i - 1) \le p_i / x \le d(a_i)$ démontre l’équivalence totale avec les méthodes de la plus forte moyenne (valeurs de priorité) :
$$\frac{p_i}{d(a_i)} \le x \le \frac{p_i}{d(a_i - 1)} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Priority}(i, n) = \frac{p_i}{d(n)}$$Attribuer les $H$ sièges revient exactement à sélectionner les $H$ plus grandes valeurs de priorité $\text{Priority}(i, n) = \frac{p_i}{d(n)}$. Puisque le classement global ne change pas quand $H$ augmente et que le rapport de priorité entre deux États vérifie :
$$\frac{p_i'}{p_j'} \ge \frac{p_i}{p_j} \implies \frac{p_i' / d(n)}{p_j' / d(m)} = \frac{p_i'}{p_j'} \cdot \frac{d(m)}{d(n)} \ge \frac{p_i}{p_j} \cdot \frac{d(m)}{d(n)} = \frac{p_i / d(n)}{p_j / d(m)}$$toutes les méthodes de diviseurs sont totalement immunisées contre les trois paradoxes !
Comparaison des cinq méthodes de diviseurs historiques
| Nom de la méthode (Alias électoral) | Auteurs & Année | Jalon $d(n)$ | Suite des diviseurs $d(0), d(1), d(2), \dots$ | Sièges min. | Biais de taille & Critère d’optimisation | Risque de violation des quotas |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. Méthode de Jefferson (D’Hondt) | Jefferson (1792) D’Hondt (1878) | $n + 1$ (Partie entière) | $1, 2, 3, 4, \dots$ | $0$ siège | Favorise fortement les grands États / partis | Viole le quota supérieur ($a_i > \lceil q_i \rceil$) |
| 2. Méthode de Webster (Sainte-Laguë) | Webster (1832) Sainte-Laguë (1910) | $n + 0,5$ (Moy. arithmétique) | $0,5, \; 1,5, \; 2,5, \dots$ (ou $1, 3, 5, \dots$) | $0$ siège | Totalement neutre (sans biais de taille) | Peut violer (rarement) les quotas supérieur et inférieur |
| 3. Huntington-Hill (Proportions égales) | Hill (1911) Huntington (1921) | $\sqrt{n(n+1)}$ (Moy. géométrique) | $0, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{12}, \dots$ | $1$ siège | Minimise l’inégalité relative $T_{ij}$ ; Chambre des représentants US depuis 1941 | Peut violer les quotas supérieur et inférieur |
| 4. Méthode de Dean (Moy. harmonique) | J. Dean (1832) | $\frac{2n(n+1)}{2n+1}$ (Moy. harmonique) | $0, \frac{4}{3}, \frac{12}{5}, \frac{24}{7}, \dots$ | $1$ siège | Minimise l’écart absolu de taille des circonscriptions $p_i/a_i$ | Peut violer les quotas supérieur et inférieur |
| 5. Méthode d’Adams (Plus petits diviseurs) | J. Q. Adams (1832) | $n$ (Plafond $\lceil q \rceil$) | $0, 1, 2, 3, \dots$ | $1$ siège | Favorise fortement les petits États | Viole le quota inférieur ($a_i < \lfloor q_i \rfloor$) |
D’après l’inégalité classique des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique (AM-GM-HM) :
$$T_{ij} = \frac{a_i / p_i}{a_j / p_j} - 1, \qquad d(n) = \sqrt{n(n+1)}$$$$n < \underbrace{\frac{2n(n+1)}{2n+1}}_{\text{Dean (HM)}} < \underbrace{\sqrt{n(n+1)}}_{\text{Huntington-Hill (GM)}} < \underbrace{n + 0.5}_{\text{Webster (AM)}} < n + 1$$5. Le théorème d’impossibilité de Balinski-Young (1982)
Même la méthode de Webster / Sainte-Laguë ($d(n) = n + 0,5$, arrondi à l’entier le plus proche) viole à la fois le quota inférieur et le quota supérieur :
- Violation du quota inférieur ($H = 10, P = 1000$) : Soit un grand État A ($p_A = 832 \implies q_A = 8,320$, quota inférieur $8$ sièges) et trois petits États B, C, D ($p_i = 56 \implies q_i = 0,560$). Avec le diviseur $x = 111$, les trois petits États ont $56/111 \approx 0,5045 > 0,5$ et sont tous arrondis à $1$ siège ($3$ au total), tandis que le grand État A obtient $832/111 \approx 7,4955 < 7,5$, arrondi à $7$ sièges — violant son quota inférieur de $8$ sièges !
- Violation du quota supérieur ($H = 10, P = 1000$) : Soit un grand État A ($p_A = 795 \implies q_A = 7,950$, quota supérieur $8$ sièges) et cinq petits États B–F ($p_i = 41 \implies q_i = 0,410$). Avec $x = 83$, les cinq petits États ont $41/83 \approx 0,4940 < 0,5$ ($0$ siège chacun), tandis que l’État A obtient $795/83 \approx 9,5783 > 9,5$, raflant les $10$ sièges — soit $2$ sièges au-dessus de son quota supérieur !
En 1982, Balinski et Young ont établi leur théorème définitif :
- Théorème 1 (Caractérisation des méthodes de diviseurs) : Une méthode de répartition anonyme et homogène vérifie la monotonie démographique si et seulement si c’est une méthode de diviseurs.
- Théorème 2 (Théorème d’impossibilité de Balinski-Young, 1982) : Pour $s \ge 4$ États et $H \ge 7$ sièges, il n’existe aucune méthode de répartition qui satisfasse simultanément la monotonie démographique et la règle des quotas ($\lfloor q_i \rfloor \le a_i \le \lceil q_i \rceil$).
En effet, modifier le diviseur commun $x$ multiplie tous les quotas exacts par le même facteur $\lambda = D/x$ ($p_i/x = \lambda q_i$). Le décalage absolu $\Delta q_A = |1 - \lambda| q_A$ d’un grand État étant proportionnel à sa taille $q_A$, il franchit inévitablement des frontières entières lorsque plusieurs petits États basculent simultanément autour d’un jalon $d(k)$.