Dans le monde des mathématiques, il existe des problèmes non résolus qui semblent simples à première vue. Le problème du “pavage” (tessellation) en fait partie et a un impact profond bien au-delà de la géométrie pure, touchant la physique et la science des matériaux.

Bases du pavage

Couvrir un plan avec des formes géométriques sans espaces ni chevauchements est appelé “pavage”. Les exemples les plus simples sont les pavages “périodiques”.

  graph TD
    A["Pavage"] -- "Correspond par translation" --> B["Pavage périodique"]
    A -- "Ne correspond pas par translation" --> C["Pavage apériodique"]
    B -- "Polygones réguliers" --> D["Carrés, hexagones, etc."]
    C -- "Plusieurs types de tuiles" --> E["Tuiles de Penrose"]
    C -- "Un seul type de tuile" --> F["Tuile d'Einstein"]

Pavage Apériodique et Quasi-cristaux

Dans les années 1970, Roger Penrose a découvert les tuiles apériodiques. En 1982, Dan Shechtman a découvert les quasi-cristaux (Prix Nobel 2011).

Le problème d’Einstein (2023)

En 2023, l’équipe de David Smith a découvert “The Hat” (Le Chapeau), résolvant le problème d’Einstein : une seule tuile pavant le plan de façon apériodique.