“Est-il vrai que n’importe quel nombre finit par devenir 1 ?” ── Jouer avec la Conjecture de Collatz

Bonjour ! C’est kenji.

Soudain, si vous entendez “une règle où n’importe quel nombre devient finalement 1”, cela ne semble-t-il pas un peu étrange ?

Par exemple, 19, 87 ou même 1000000. Si vous manipulez les nombres selon une règle simple, pour une raison quelconque, cela converge vers “1” à la fin.

Cette histoire de rêve est la ** Conjecture de Collatz (Collatz Conjecture) **.

Après tout, qu’est-ce que la Conjecture de Collatz ?

Tout d’abord, je vais présenter les règles.

• Début : Choisissez n’importe quel ** entier positif **.

• Opération :

  • Si c’est pair → divisez par deux (n → n / 2)
  • Si c’est impair → multipliez par 3 et ajoutez 1 (n → 3n + 1)

En répétant cela encore et encore, c’est une conjecture selon laquelle ** n’importe quel nombre finira par atteindre 1 **.

Par exemple, en commençant par 6 :

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Il est devenu “1” proprement. Bon retour !

Faisons-le avec du code : Collatz en Python

Eh bien, dans ces moments-là, il est plus rapide de tester avec du code ! Imprimons la “Séquence de Collatz” en Python.

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def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# Exemple : commencer par 19
print(collatz(19))

Lors de l’exécution :

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Il atteint 1 brillamment. Même s’il fait beaucoup de détours, il atteint finalement son but !

Au fait, si vous commencez avec 29, vous atteindrez également 1 de la même manière.

1

print(collatz(29))

Lors de l’exécution

1
2
3
4
5
6
7
8

[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Waouh, ça prend 111 étapes !

Et aussi, il y a des scènes où ça gonfle à plus de 9000 en cours de route. C’est un modèle où l’on fait un détour fou avant d’atteindre le but.

Et donc, qu’est-ce qui est si incroyable à ce sujet ?

Ce qui est incroyable avec cette conjecture, c’est que,

** Bien que cela n’ait pas été prouvé, il semble que n’importe quel nombre que vous essayez deviendra 1 **

C’est ça.

Hein ? Et qu’en est-il de 1 billion, ou 10 billiards… ?

Pour ceux qui pensaient cela, très perspicace. En fait, à l’aide d’ordinateurs, cela a été confirmé jusqu’à environ “2 à la puissance 68”, et ** tous ont atteint 1 **. Incroyable…

Mais, ** il n’a pas été théoriquement prouvé que “tous seront comme ça” **. C’est ce qu’on appelle un “problème non résolu” dans le monde des mathématiques.

Qui est M. Collatz ?

Donc, en lisant jusqu’ici, vous vous demandez probablement “Qui est Collatz, après tout ?”. Je vais vous le présenter correctement !

• Nom : ** Lothar Collatz (Lothar Collatz) **
• Nationalité : Allemagne
• Année de naissance : 1910 à 1990
• Titre : Mathématicien (actif dans les domaines de l’analyse fonctionnelle et de la théorie des nombres)

Il a proposé cette conjecture en 1937, et depuis lors, pendant plus de 80 ans, ** personne n’a été capable de la prouver ou de la réfuter **.

Au fait, ce problème est si simple mais si profond que même Paul Erdős (mathématicien super célèbre) a dit quelque chose comme ça.

“Les mathématiques sont encore trop immatures pour traiter la conjecture de Collatz”

En d’autres termes, la théorie selon laquelle les mathématiques de l’humanité n’ont pas encore rattrapé ce mystère…

“Des formules mathématiques difficiles” ne sont pas nécessaires

La bonne chose à propos de la Conjecture de Collatz est que ** tout le monde peut jouer **.

Vous pouvez le faire avec du papier et un stylo. Si vous écrivez le code en Python, vous pouvez le tester automatiquement. Et pourtant, ** les meilleurs mathématiciens s’y attaquent sérieusement **.

D’une manière ou d’une autre, n’est-ce pas excitant ?

Bonus : Code pour tout tester à la fois

Je vais également publier un code pour tester plusieurs nombres en même temps.

1
2
3

for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n} : {steps} (Étapes : {len(steps)-1})")

Cela nous donnera les séquences de Collatz de “1 à 20” d’un seul coup.

Conclusion : Ce monde est, après tout, mystérieux

Donc, c’est la Conjecture de Collatz.

• Même si c’est super simple
• Personne ne peut la prouver
• Un gros problème dans le monde des mathématiques

C’était une existence comme une masse de mystères.

Même les débutants en programmation peuvent l’essayer, alors n’hésitez pas à jouer avec !

Liens recommandés (pour ceux qui sont intéressés)

• Wikipedia : Conjecture de Collatz
• Article de Terence Tao (Anglais)
• C’est aussi amusant de créer une version visualisée en Python ! (J’en ferai une s’il y a de la demande)

Si vous voulez en savoir plus sur ce genre de matériel “Mathématiques mystérieuses x Programmation”, n’hésitez pas à demander et à dire “Apprenez-m’en plus”. Finalement, j’introduirai diverses choses comme l’Hypothèse de Riemann et les nombres premiers !

📮Fin !