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Le paradoxe de Richard : la contradiction provoquée par les nombres décimaux infinis et l'"argument de la diagonale"

Thu, 10 Sep 2026 12:00:00 +0900

1. La liste des nombres définissables par des mots

Le “paradoxe de Richard”, présenté en 1905 par le mathématicien français Jules Richard, est en quelque sorte le parent du “paradoxe de Berry” que nous avons vu précédemment. Cependant, celui-ci est plus mathématique et contient une contradiction profonde qui semble scruter l’infini.

Tout d’abord, imaginez que nous rassemblons “tous les nombres réels (décimaux) compris entre 0 et 1 qui peuvent être parfaitement définis par une phrase en français”.

Par exemple, des nombres comme ceux-ci :

“Zéro virgule cinq” $\rightarrow$ $0.5$
“Un tiers” $\rightarrow$ $0.333333...$
“Le nombre formé par les décimales de pi” $\rightarrow$ $0.14159265...$

Puisque les combinaisons de phrases pouvant être exprimées en français ne sont que des réarrangements de lettres trouvées dans le dictionnaire, il est possible de leur donner un “ordre”. (Par exemple, en les triant par ordre croissant du nombre de lettres, et à nombre de lettres égal, par ordre alphabétique.)

Ainsi, nous avons pu créer une liste numérotée à l’infini (1er, 2e, 3e…) de “tous les nombres réels définissables en français”.

$$ \begin{align*} r_1 &= 0.\mathbf{3}333... \\ r_2 &= 0.5\mathbf{0}00... \\ r_3 &= 0.14\mathbf{1}5... \\ r_4 &= 0.777\mathbf{7}... \\ &\vdots \end{align*} $$

Dans cette liste, “absolument tous les nombres réels définissables en français” devraient être parfaitement répertoriés, sans aucune exception.

2. La technique diabolique : l’“argument de la diagonale”

C’est ici que Richard effectue une opération terrifiante. Il crée artificiellement un “nouveau nombre $X$ complètement inédit”, de telle sorte qu’il évite tous les nombres de la liste.

La méthode de fabrication est simple.

Regardez la 1ère décimale du 1er nombre de la liste (dans l’exemple ci-dessus, $3$). Ajoutez $1$ à ce chiffre, et cela devient la 1ère décimale de $X$ ($3+1=4$).
Regardez la 2e décimale du 2e nombre de la liste (dans l’exemple ci-dessus, $0$). Ajoutez $1$ à ce chiffre, et cela devient la 2e décimale de $X$ ($0+1=1$).
Regardez la 3e décimale du 3e nombre de la liste (dans l’exemple ci-dessus, $1$). Ajoutez $1$ à ce chiffre, et cela devient la 3e décimale de $X$ ($1+1=2$).

※ Si le chiffre d’origine est $9$, on suppose qu’il revient à $0$.

graph TD subgraph "Les nombres réels listés" R1["r1 = 0.[3]33..."] R2["r2 = 0.5[0]0..."] R3["r3 = 0.14[1]..."] R4["r4 = 0.777[7]..."] end subgraph "Le nouveau nombre créé X" X["X = 0.4128..."] end R1 -->|Ajouter 1 à la 1ère décimale| X R2 -->|Ajouter 1 à la 2e décimale| X R3 -->|Ajouter 1 à la 3e décimale| X R4 -->|Ajouter 1 à la 4e décimale| X style X fill:#aaffaa,stroke:#333,stroke-width:2px

Le nouveau nombre $X$ créé de cette manière (dans l’exemple ci-dessus, $X = 0.4128...$) ne correspondra absolument jamais à aucun nombre de la liste. Pourquoi ? Parce que la “$n$-ième décimale” est intentionnellement décalée par rapport au $n$-ième nombre de la liste. (Cette technique, inventée par le génial mathématicien Cantor pour prouver la grandeur infinie des nombres réels, est appelée l’“argument de la diagonale”.)

3. L’achèvement du paradoxe de Richard

Maintenant, voici le paradoxe.

Nous venons tout juste de créer un nouveau nombre $X$. Et la “règle” pour créer ce $X$ est parfaitement expliquée (définie) par la phrase en français que je viens d’écrire ci-dessus.

En d’autres termes, $X$ est un “nombre réel définissable en français”.

Cependant, souvenez-vous de la prémisse initiale. “Les nombres réels définissables en français” devaient être tous répertoriés dans la première liste ($r_1, r_2, r_3...$). Pourtant, $X$ a été conçu de manière à ne correspondre à aucun nombre de la liste.

$X$ doit exister dans la liste (car il a été défini en français).
$X$ ne doit pas exister dans la liste (car il a été conçu par l’argument de la diagonale pour être différent de tous les nombres de la liste).

C’est une contradiction parfaite ! C’est le paradoxe de Richard.

4. Pourquoi la logique s’est-elle effondrée ? (Le piège du métalangage)

La cause de ce paradoxe, tout comme le paradoxe de Berry, réside dans la confusion des “niveaux de langage”.

Pour faire des mathématiques de manière rigoureuse, il faut séparer clairement la “liste des nombres cibles (le langage objet)” et les “règles qui parlent de l’extérieur des propriétés de cette liste (le métalangage)”.

La liste de Richard est un rassemblement de “définitions de nombres calculables”. Cependant, la règle pour créer le nouveau nombre $X$, “regarder la $n$-ième décimale du $n$-ième nombre de la liste”, est une opération du “métalangage” qui ne peut être exécutée qu’en observant la liste elle-même de l’extérieur.

Le paradoxe de Richard a explosé en une contradiction interne parce qu’il a tenté de glisser secrètement ce “nombre métalinguistique $X$ créé en manipulant la liste de l’extérieur” à l’intérieur de la “liste interne”.

5. Le passage de témoin à Gödel

Le paradoxe de Richard a provoqué une grande onde de choc dans le monde mathématique de l’époque. “Le langage humain (et les systèmes logiques), si l’on n’y prend pas garde, peuvent rapidement générer des contradictions internes. Que doit-on faire pour rendre les mathématiques parfaites et exemptes de contradictions ?”

En 1931, c’est Kurt Gödel, un jeune mathématicien de génie de 25 ans, qui a apporté une conclusion définitive à ce problème. Gödel a parfaitement traduit et reproduit la structure de ce paradoxe, que Richard avait provoqué en utilisant “l’ambiguïté du langage humain”, à l’aide de “formules mathématiques rigoureuses (nombres de Gödel)”.

Le résultat qui en a découlé est le célèbre “théorème d’incomplétude de Gödel”. C’était une découverte majeure démontrant les limites du savoir humain : “Aussi rigoureusement que vous définissiez les règles mathématiques, il y aura toujours dans ces règles des ‘vérités qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées’ (les mathématiques sont incomplètes).”

Le paradoxe de Richard a commencé comme un simple jeu de mots contradictoire, pour évoluer ensuite en l’arme ultime permettant de briser “l’absoluité” de la discipline mathématique elle-même.

L'Hôtel Infini de Hilbert : comment loger une infinité de nouveaux clients dans un hôtel complet

Thu, 10 Sep 2026 06:00:00 +0900

1. Bienvenue dans l’hôtel ultime

Le grand mathématicien allemand David Hilbert a conçu l’expérience de pensée amusante suivante pour expliquer à quel point le concept d’« infini » est éloigné de l’intuition humaine.

Imaginez. Quelque part dans l’univers, il y a un hôtel appelé « L’Hôtel Infini de Hilbert ». Cet hôtel possède un nombre infini de chambres numérotées : chambre 1, chambre 2, chambre 3…

Un jour, un grand événement a eu lieu dans l’univers, et cet hôtel infini s’est retrouvé « complet », toutes les chambres étant occupées. Un voyageur épuisé est alors arrivé et a demandé à la réception : « Pourriez-vous me libérer une chambre ? »

Un hôtel ordinaire n’aurait d’autre choix que de refuser en disant : « Nous sommes désolés, l’hôtel est complet. » Cependant, il s’agit d’un hôtel infini. Le directeur a souri et a dit : « Certainement. Nous allons vous préparer une chambre immédiatement. » Comment peut-on loger un nouveau client alors que l’hôtel est complet ?

2. Cas 1 : Comment loger 1 nouveau client

Le directeur a fait une annonce à tous les clients déjà séjournant dans l’hôtel :

« Chers clients, veuillez vous déplacer vers la chambre dont le numéro correspond à votre numéro de chambre actuel “plus 1”. »

Que se passe-t-il alors ?

Le client de la chambre 1 se déplace vers la chambre 2.
Le client de la chambre 2 se déplace vers la chambre 3.
Le client de la chambre 3 se déplace vers la chambre 4.
Le client de la chambre $n$ se déplace vers la chambre $n+1$.

graph LR subgraph "Avant le déplacement (Complet)" R1["Chambre 1
(Client A)"] R2["Chambre 2
(Client B)"] R3["Chambre 3
(Client C)"] R4["..."] end subgraph "Après le déplacement" NewR1["Chambre 1
(Vide !)"] NewR2["Chambre 2
(Client A)"] NewR3["Chambre 3
(Client B)"] NewR4["Chambre 4
(Client C)"] end R1 -->|Déplacement| NewR2 R2 -->|Déplacement| NewR3 R3 -->|Déplacement| NewR4 NewGuest["Nouveau client"] -->|Enregistrement| NewR1 style NewR1 fill:#aaffaa,stroke:#333,stroke-width:2px style NewGuest fill:#ffaaaa,stroke:#333,stroke-width:2px

Comme il y a une infinité de chambres, il n’arrivera jamais que « le client de la toute dernière chambre soit expulsé ». Tout le monde peut déménager sans problème dans la chambre d’à côté. Et voilà, la chambre 1 est devenue vide. Le nouveau voyageur a pu séjourner sans problème dans la chambre 1.

Dans le monde de l’infini, $\infty + 1 = \infty$ est vrai. Même si l’on retire « 1 » du « tout (l’infini) », la taille globale ne change pas.

3. Cas 2 : Comment loger une infinité de nouveaux clients

Le lendemain, l’hôtel est redevenu complet. C’est alors qu’arrive, à la surprise générale, un bus infini transportant une « infinité de passagers ». Les passagers qui descendent du bus exigent à la réception : « Préparez-nous des chambres pour tout le monde ! »

Si l’on demande un déplacement « plus 1 » comme la veille, cela prendra une éternité. Cependant, le directeur ne panique pas. Il fait à nouveau une annonce dans l’hôtel.

« Chers clients, veuillez vous déplacer vers la chambre dont le numéro correspond au “double” de votre numéro de chambre actuel. »

Que se passe-t-il alors ?

Le client de la chambre 1 se déplace vers la chambre 2.
Le client de la chambre 2 se déplace vers la chambre 4.
Le client de la chambre 3 se déplace vers la chambre 6.
Le client de la chambre $n$ se déplace vers la chambre $2n$.

Grâce à ce déplacement, l’infinité de clients déjà présents s’est parfaitement installée dans « toutes les chambres à numéro pair ». Et miraculeusement, « toutes les chambres à numéro impair (chambre 1, chambre 3, chambre 5…) » se sont retrouvées complètement vides !

Comme il existe également une infinité de nombres impairs, le directeur peut loger tout le monde en guidant les passagers du bus infini dans l’ordre, à partir du premier, vers la chambre 1, la chambre 3, la chambre 5…

Dans le monde de l’infini, $\infty + \infty = \infty$ est vrai. Même si l’on ajoute l’infini à l’infini, la taille reste la même, c’est-à-dire l’« infini ».

4. Cas 3 : Et si une infinité de bus infinis arrivaient ?

Le surlendemain, l’hôtel est encore complet. C’est alors qu’arrive, incroyablement, « une infinité de bus infinis transportant chacun une infinité de passagers », l’un après l’autre.

Une infinité de personnes dans le bus 1, une infinité de personnes dans le bus 2, une infinité de personnes dans le bus 3… et cela continue indéfiniment. Même ce directeur aurait pu paniquer, mais il était un génie des mathématiques. Il a eu l’idée d’utiliser les « nombres premiers ».

Le directeur a donné les instructions suivantes :

Déplacement des clients séjournant déjà à l’hôtel Si le numéro de la chambre actuelle est $n$, on leur demande de se déplacer vers la chambre « $2^n$ ». (Chambre 1 $\rightarrow$ Chambre 2, Chambre 2 $\rightarrow$ Chambre 4, Chambre 3 $\rightarrow$ Chambre 8…) Ainsi, tous les clients actuels sont logés.
Placement des clients du bus 1 (une infinité) Si le numéro de siège du client est $n$, il est dirigé vers la chambre « $3^n$ ». (Chambre 3, Chambre 9, Chambre 27…)
Placement des clients du bus 2 (une infinité) En utilisant le nombre premier suivant, 5, ils sont dirigés vers la chambre « $5^n$ ». (Chambre 5, Chambre 25, Chambre 125…)
Placement des clients du bus $k$ (une infinité) En utilisant le $k+1$-ème nombre premier $P$, ils sont dirigés vers la chambre « $P^n$ ».

Grâce au puissant théorème mathématique de l’« unicité de la décomposition en facteurs premiers » (n’importe quel nombre a une seule combinaison possible de multiplication de nombres premiers), il est absolument impossible que les numéros de chambre $2^n, 3^n, 5^n, 7^n \dots$ se chevauchent avec ceux de quelqu’un d’autre.

C’est ainsi que le directeur a réussi à loger de manière spectaculaire un nombre astronomique de « l’infini $\times$ l’infini » clients dans un seul hôtel infini !

5. L’infini a des différences de « taille » (Le théorème de Cantor)

Ce que l’Hôtel Infini de Hilbert nous apprend, c’est le fait que l’« infini dénombrable » (l’infini que l’on peut compter en attribuant des numéros 1, 2, 3…), peu importe combien on l’additionne ou le multiplie, finit toujours par tenir dans le cadre d’un « infini dénombrable » de la même taille.

Cependant, le mathématicien Georg Cantor a découvert un fait encore plus terrifiant. Les « entiers naturels » et les « fractions » peuvent tous être logés dans cet hôtel infini. Mais, si les clients des « nombres réels » (tous les nombres décimaux, y compris les nombres irrationnels) arrivaient, il serait absolument impossible de tous les loger, même en utilisant cet hôtel infini.

Il a été prouvé que la quantité de nombres réels est un « infini (de niveau supérieur) fondamentalement plus grand » que le nombre de chambres de l’Hôtel Infini (infini dénombrable). On a tendance à tout regrouper sous le mot « infini », mais en réalité, il existe une structure hiérarchique (cardinalité) au sein de l’infini, avec un « petit infini » et un « grand infini que l’on ne peut absolument pas atteindre ».

6. Conclusion : L’« infini » qui détruit l’intuition humaine

L’Hôtel Infini de Hilbert illustre de manière éclatante à quel point le « bon sens du fini » cultivé dans notre vie quotidienne ne s’applique pas au « monde de l’infini ».

« Le tout est plus grand que la partie » « Personne ne peut entrer dans un hôtel complet » « Si l’on ajoute l’infini à l’infini, cela devient encore plus grand »

Toutes ces intuitions évidentes sont brillamment contredites. Le monde de l’infini est un trésor de paradoxes (des vérités contraires à l’intuition). Les mathématiciens n’ont pas craint ces paradoxes ; ils les ont maîtrisés par la force de la logique, les ont classés et ont créé le magnifique système de la théorie des ensembles moderne.

La prochaine fois que l’on vous refusera une chambre en disant « L’hôtel est complet », essayez d’imaginer : « Si seulement cet hôtel était l’Hôtel Infini de Hilbert… »

Le paradoxe de Banach-Tarski : couper une sphère en morceaux et obtenir deux sphères de la même taille ?

Thu, 10 Sep 2026 02:00:00 +0900

1. Un théorème magique : 1 = 1 + 1 ?

Imaginez que vous avez devant vous une sphère d’or pur. Vous coupez cette sphère en plusieurs morceaux avec un couteau. Ensuite, vous assemblez ces pièces comme un puzzle. Vous ne les étirez pas, ne les pliez pas et n’ajoutez pas d’or supplémentaire. Vous vous contentez de les déplacer et de les coller ensemble.

Cependant, lorsque vous regardez le puzzle terminé, vous obtenez “deux sphères d’or pur exactement de la même taille que la sphère d’origine”.

Vous vous dites sûrement : “C’est absurde ! Cela contredit la loi de conservation de la masse, c’est un délire d’alchimiste !”. C’est absolument impossible dans le monde physique réel. Cependant, dans le monde des mathématiques pures (géométrie et théorie des ensembles), cela est prouvé comme un théorème logiquement correct à 100 %.

Il s’agit du “paradoxe de Banach-Tarski”, prouvé par deux mathématiciens, Stefan Banach et Alfred Tarski, en 1924.

2. Comprendre précisément l’énoncé du paradoxe

Si l’on exprime le théorème prouvé par Banach et Tarski en termes mathématiques précis, cela donne ce qui suit :

Le théorème de Banach-Tarski Toute boule $S$ dans l’espace à trois dimensions peut être divisée en un nombre fini de sous-ensembles. Ces sous-ensembles peuvent ensuite être réassemblés (uniquement par rotation et translation) de manière à former deux boules identiques à la boule d’origine $S$.

Encore plus surprenant, en appliquant ce théorème, on peut également affirmer ce qui suit :

En divisant un petit pois en un nombre fini de morceaux et en les réassemblant, on peut créer une boule exactement de la même taille que le Soleil. (Aussi connu sous le nom de paradoxe du petit pois et du Soleil)

Pourquoi une telle magie est-elle permise mathématiquement ? Le secret réside dans deux mots-clés : “l’infini” et “l’axiome du choix”.

3. Les propriétés étranges de “l’infini”

La première étape pour comprendre ce paradoxe est de connaître les propriétés étranges des “ensembles infinis”.

Dans le monde du “fini” que nous manipulons habituellement, le tout est toujours plus grand que la partie. Par exemple, si vous prenez les nombres pairs (5 nombres) parmi les nombres de 1 à 10 (10 nombres), la quantité diminue de moitié.

Cependant, ce sens commun ne s’applique pas dans le monde de “l’infini”. Entre tous les “nombres entiers naturels” (1, 2, 3, 4, …) et tous les “nombres pairs” (2, 4, 6, 8, …), lesquels sont les plus nombreux ? Intuitivement, on pourrait penser qu’il y a plus de nombres entiers naturels, car les nombres pairs ne représentent que la moitié des entiers. Cependant, essayez de faire des paires comme suit :

1 $\rightarrow$ 2
2 $\rightarrow$ 4
3 $\rightarrow$ 6
$n \rightarrow 2n$

Ainsi, pour chaque entier naturel, vous pouvez toujours l’associer à exactement un nombre pair qui en est le double (correspondance biunivoque). Il ne reste aucun nombre. En d’autres termes, mathématiquement, “le nombre d’entiers naturels (infini)” et “le nombre de nombres pairs (infini)” ont exactement la même taille !

Bien que l’on ait retiré la moitié (les nombres pairs) du tout (les nombres entiers naturels), la taille reste inchangée. Dans les ensembles infinis, il peut arriver que “la partie soit égale au tout”. Le théorème de Banach-Tarski est l’expression ultime de cette “magie de l’infini” appliquée aux ensembles de “points” dans un espace tridimensionnel.

4. Les points de l’espace sont découpés de manière “non mesurable”

Lorsqu’on coupe un objet réel (comme de l’or ou une pomme) avec un couteau, les morceaux ont toujours un “volume”. Cependant, une boule en mathématiques est une “collection infinie de points” qui n’a pas de volume en soi.

Banach et Tarski ont divisé ces points infinis en groupes d’une manière très spéciale et complexe. La méthode de division est tellement complexe et dispersée que l’état résultant devient “impossible à mesurer en termes de volume (ensemble non mesurable)”.

graph TD S["Sphère d'origine S (Volume V)"] -->|Division spéciale| P1["Fragment 1 (Volume non mesurable)"] S --> P2["Fragment 2 (Volume non mesurable)"] S --> P3["Fragment 3 (Volume non mesurable)"] S --> P4["Fragment 4 (Volume non mesurable)"] S --> P5["Fragment 5 (Volume non mesurable)"] P1 -->|Rotation / Translation| S1["Nouvelle sphère 1 (Volume V)"] P2 -->|Rotation / Translation| S1 P3 -->|Rotation / Translation| S1 P4 -->|Rotation / Translation| S2["Nouvelle sphère 2 (Volume V)"] P5 -->|Rotation / Translation| S2 style S fill:#ffddaa,stroke:#333,stroke-width:2px style S1 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px style S2 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px

Si chaque pièce devient un nuage flou de points qui “n’a pas de volume (ne peut pas être mesuré)”, il est possible de s’affranchir de la contrainte physique (additivité de la mesure) stipulant que “la somme des volumes des pièces doit être égale au volume d’origine”.

Et lorsque ces pièces de nuages flous sont pivotées et combinées habilement, la “magie de l’infini” permet d’obtenir deux boules remplies des mêmes points que la boule d’origine. En réalité, il est prouvé que cette opération consistant à “créer deux boules à partir d’une seule” est possible en divisant la boule d’origine en seulement 5 morceaux.

5. Le responsable de tout ça : qu’est-ce que “l’axiome du choix” ?

Alors, pourquoi une “division si complexe que son volume ne peut être mesuré” est-elle mathématiquement possible ? C’est parce que nous acceptons la règle appelée “l’axiome du choix (Axiom of Choice)”, qui est le fondement des mathématiques modernes.

Pour résumer, l’axiome du choix est la règle suivante :

L’idée de l’axiome du choix Lorsqu’il y a des objets dans de nombreuses boîtes, on a la règle de “pouvoir choisir exactement un objet dans chaque boîte pour créer un nouvel ensemble”.

Si le nombre de boîtes est fini, tout le monde peut le faire normalement. Cependant, si le nombre de boîtes est “infini”, il est impossible pour un être humain de terminer l’opération de “choisir un par un” une infinité de fois. Néanmoins, l’axiome du choix admet qu’il est permis de considérer que “l’ensemble créé par ces choix existe”.

Cet axiome était extrêmement pratique et indispensable pour construire les mathématiques modernes. La plupart des mathématiciens ont accepté cette règle en se disant : “Eh bien, c’est évident”.

Cependant, accepter cet axiome du choix implique d’accepter l’existence d’ensembles de points si éparpillés qu’il est impossible d’en mesurer le volume (ensembles non mesurables). Et en conséquence, le théorème de Banach-Tarski, affirmant qu’une boule se dédouble, en découle comme une nécessité logique.

6. Conclusion : le “monde au-delà de l’intuition” décrit par les mathématiques

Le paradoxe de Banach-Tarski n’est pas un paradoxe au sens d’“incohérence logique”. C’est un paradoxe dans le sens où la logique est correcte à 100 %, mais la conclusion à laquelle elle aboutit contredit violemment l’intuition humaine et les lois de la physique.

Lorsque ce théorème a été publié, certains mathématiciens ont soutenu que “si une conclusion aussi insensée en ressort, l’axiome du choix doit être erroné !”. Cependant, aujourd’hui, la plupart des mathématiciens acceptent l’axiome du choix, et le théorème de Banach-Tarski est également accepté comme “une propriété étrange mais belle de l’espace tridimensionnel et des ensembles infinis”.

Puisque le monde physique dans lequel nous vivons est constitué de “particules ayant une taille (finies)” appelées atomes, il est impossible de donner à un petit pois la taille du Soleil. Cependant, sur la toile des “mathématiques” créée par le cerveau humain, la taille d’un point est nulle, et des opérations infinies sont permises.

Le paradoxe de Banach-Tarski nous enseigne à quel point le concept de “l’infini” surpasse allègrement notre simple intuition humaine, et on peut dire que c’est l’un des plus grands chefs-d’œuvre des mathématiques modernes.