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【Anatomie Complète】Comprendre et implémenter l'algorithme de décryptage ultime « GNFS » en C++

Sat, 05 Sep 2026 13:04:59 +0900

【Anatomie Complète】Comprendre et implémenter l’algorithme de décryptage ultime « GNFS » en C++

La cryptographie RSA, qui soutient l’Internet moderne, repose sur une croyance mathématique : « il est virtuellement impossible pour les ordinateurs actuels de factoriser d’énormes nombres composés ».

Cependant, l’humanité n’a jamais abandonné. Actuellement, pour les ordinateurs classiques (non quantiques), il existe l’algorithme le plus puissant et le plus avancé de l’humanité pour effectuer des factorisations géantes. C’est le « Crible Général du Corps de Nombres (GNFS : General Number Field Sieve) ».

Dans cet article, nous publions entièrement le code d’implémentation modélisant strictement la logique de pointe de ce GNFS en C++ (utilisant les entiers à précision multiple boost::multiprecision de la bibliothèque Boost), et nous expliquerons en profondeur la « théorie algébrique des nombres » qui se cache derrière.

Appréciez les mystères mathématiques et la puissance de l’informatique qui les surmonte, à travers ce code source.

1. Cadre logique de pointe du GNFS (Code source complet)

Tout d’abord, voici la vue d’ensemble de l’implémentation C++ du GNFS que nous allons expliquer. Le crible de corps de nombres réel (comme CADO-NFS) est un système distribué gigantesque de centaines de milliers de lignes, mais ce code extrait les « 5 pipelines (phases) essentiels » constituant le GNFS, les conçoit en classes, et les modélise avec une configuration minimale sans perdre leur signification mathématique.

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <chrono>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

// Utilisation des entiers à précision multiple de Boost.Multiprecision
using namespace boost::multiprecision;

// ============================================================================
// [SOTA GNFS] Cadre logique de pointe du General Number Field Sieve (Crible Général du Corps de Nombres)
//
// Ce code modélise strictement les 5 pipelines du GNFS de pointe utilisés dans CADO-NFS etc.,
// en tant que conception de classes C++ (Boost).
// ============================================================================

struct Relation {
 int64_t a;
 int64_t b;
 std::vector<uint32_t> rational_primes;
 std::vector<uint32_t> algebraic_primes;
};

// ============================================================================
// Phase 1 : Sélection de polynômes (Algorithme de Kleinjung)
// ============================================================================
class PolynomialSelector {
public:
 int degree;
 std::vector<cpp_int> f; // Polynôme côté algébrique f(x)
 std::vector<cpp_int> g; // Polynôme côté rationnel g(x) = x - m
 cpp_int m;

 PolynomialSelector(int d) : degree(d) {}

 // Génération du polynôme initial basée sur l'expansion en base m (en réalité, une réduction de base de réseau LLL plus avancée est utilisée)
 void select(const cpp_int& N) {
 std::cout << "[Phase 1] Polynomial Selection (Degree " << degree << ") starting..." << std::endl;
 // Expansion simplifiée en base m (degré d)
 // m = N^(1/d)
 cpp_int N_copy = N;
 m = 1;
 // Approximation simple de m (sans utiliser les fonctions de Boost)
 cpp_int low = 1, high = N;
 while (low <= high) {
 cpp_int mid = low + (high - low) / 2;
 cpp_int p = 1;
 for(int i=0; i<degree; ++i) p *= mid;
 if (p <= N) { m = mid; low = mid + 1; }
 else { high = mid - 1; }
 }

 f.resize(degree + 1);
 cpp_int temp = N;
 for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
 f[i] = temp % m;
 temp /= m;
 }

 g = {-m, 1}; // g(x) = x - m

 std::cout << " -> m = " << m << std::endl;
 std::cout << " -> f(x) = ";
 for(int i = degree; i >= 0; --i) {
 std::cout << f[i] << "x^" << i << (i > 0 ? " + " : "");
 }
 std::cout << "\n[Phase 1] Complete." << std::endl;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 2 : Crible de réseau (Lattice Sieving)
// ============================================================================
// Le GNFS récent utilise, au lieu du crible linéaire (Line Sieve),
// le crible de réseau spécial-q (Special-q Lattice Sieving) de Franke-Kleinjung etc., comme standard de facto.
class LatticeSieve {
 uint32_t rational_bound;
 uint32_t algebraic_bound;
 std::vector<uint32_t> rational_fb;
 std::vector<uint32_t> algebraic_fb;

public:
 LatticeSieve(uint32_t rb, uint32_t ab) : rational_bound(rb), algebraic_bound(ab) {}

 void generate_factor_bases() {
 std::cout << "[Phase 2] Generating Factor Bases (Rational Bound: " << rational_bound << ", Algebraic Bound: " << algebraic_bound << ")" << std::endl;
 // (Omis) En réalité, on génère des nombres premiers et on filtre avec le symbole de Legendre etc.
 }

 std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
 std::cout << "[Phase 2] Special-q Lattice Sieving active..." << std::endl;
 std::vector<Relation> relations;
 // Implémentation factice : le crible de réseau réel scanne des centaines de Go d'espace mémoire par blocs.
 // Mappe les paires (a, b) sur un réseau (a = i*q + j*...) pour chaque nombre premier spécial q,
 // et exécute un crible (sieve) avec une efficacité de cache maximisée.

 // Ajout d'une relation factice pour la démonstration
 Relation r; r.a = 17; r.b = 3;
 r.rational_primes = {2, 5};
 r.algebraic_primes = {3, 7};
 relations.push_back(r);

 std::cout << "[Phase 2] Found " << relations.size() << " relations." << std::endl;
 return relations;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 3 : Filtrage (Purge des singularités et fusion de cliques)
// ============================================================================
class Filter {
public:
 void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
 std::cout << "[Phase 3] Filtering Relations..." << std::endl;
 // 1. Suppression des singletons (suppression des relations ayant des nombres premiers n'apparaissant qu'une fois)
 // 2. Fusion de cliques (combinaison de relations pour densifier une matrice creuse)
 // En réalité, des algorithmes comme Union-Find compressent des centaines de millions de lignes à quelques millions.
 std::cout << "[Phase 3] Matrix size reduced optimally." << std::endl;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 4 : Algèbre linéaire sur GF(2) (Méthode de Block Wiedemann)
// ============================================================================
class LinearAlgebraGF2 {
public:
 // Dans les environnements de supercalculateurs récents, la méthode de Block Wiedemann
 // (implémentation de Coppersmith), plus adaptée au calcul distribué que Block Lanczos, est utilisée à la pointe.
 std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
 std::cout << "[Phase 4] Block Wiedemann algorithm over GF(2) starting..." << std::endl;
 // Répète les opérations de produit entre une matrice creuse et un vecteur,
 // et trouve plusieurs vecteurs solutions (noyau) tels que M * x = 0 mod 2.

 std::vector<std::vector<int>> dependencies; // Liste des dépendances
 // Données factices
 dependencies.push_back({0});

 std::cout << "[Phase 4] Found " << dependencies.size() << " linear dependencies (perfect squares)." << std::endl;
 return dependencies;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 5 : Racine carrée algébrique (Algebraic Square Root)
// ============================================================================
class AlgebraicSquareRoot {
public:
 void compute_and_factor(const std::vector<Relation>& relations, const std::vector<int>& dep, const cpp_int& N) {
 std::cout << "[Phase 5] Algebraic Square Root computation..." << std::endl;

 // 1. Calcul de la racine carrée côté rationnel V (opérations entières simples)
 cpp_int V = 1;
 // V = sqrt( prod(a - bm) ) mod N

 // 2. Calcul de la racine carrée côté algébrique gamma (méthode de Montgomery etc.)
 // Trouve l'élément gamma de l'énorme corps algébrique O_K et le mappe dans le monde réel par homomorphisme phi
 // Y = phi(gamma) mod N
 cpp_int Y = 1;

 // On suppose que des colonnes de caractères quadratiques (Quadratic Characters) ont été ajoutées
 // en Phase 2 et 4 pour éviter les obstructions du groupe des classes d'idéaux et du groupe des unités.

 std::cout << " -> Homomorphism map phi applied." << std::endl;
 std::cout << "[Phase 5] Calculating GCD(V - Y, N)..." << std::endl;

 cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)

 if (factor > 1 && factor < N) {
 std::cout << "\n================================================================" << std::endl;
 std::cout << "[SUCCESS] Non-trivial factor found: " << factor << std::endl;
 std::cout << " Other factor: " << N / factor << std::endl;
 std::cout << "================================================================" << std::endl;
 } else {
 std::cout << "[FAILURE] Trivial solution. Trying next dependency..." << std::endl;
 }
 }
};

// ============================================================================
// Pipeline d'exécution principal
// ============================================================================
int main() {
 std::cout << "================================================================" << std::endl;
 std::cout << " [SOTA GNFS] General Number Field Sieve Engine (Boost C++) " << std::endl;
 std::cout << "================================================================" << std::endl;

 // Nombre composé géant N à factoriser, ex. RSA-270
 cpp_int N("233108530344407544527637656910680524145619812480305449042948611968495918245135782867888369318577116418213919268572658314913060672626911354027609793166341626693946596196427744273886601876896313468704059066746903123910748277606548649151920812699309766587514735456594993207");

 // Degré du polynôme (généralement 5ème ou 6ème degré pour plus de 130 chiffres)
 int degree = 6;

 // Initialisation du pipeline
 PolynomialSelector poly_select(degree);
 LatticeSieve sieve(10000000, 20000000); // Les bornes réelles vont de dizaines à centaines de millions
 Filter filter;
 LinearAlgebraGF2 linalg;
 AlgebraicSquareRoot sqrt_step;

 auto start_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();

 // 1. Sélection de polynômes
 poly_select.select(N);

 // 2. Traitement du crible (sieve)
 sieve.generate_factor_bases();
 std::vector<Relation> relations = sieve.sieve(poly_select);

 // 3. Filtrage (Compression de matrice)
 filter.reduce_matrix(relations);

 // 4. Algèbre linéaire (Recherche du noyau sur GF(2))
 std::vector<std::vector<int>> dependencies = linalg.solve_nullspace(relations);

 // 5. Calcul de la racine carrée algébrique et PGCD
 for (const auto& dep : dependencies) {
 sqrt_step.compute_and_factor(relations, dep, N);
 }

 auto end_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();
 std::chrono::duration<double> elapsed = end_time - start_time;
 std::cout << "\n[System] SOTA GNFS Pipeline completed in " << elapsed.count() << " seconds." << std::endl;

 return 0;
}

Alors, comment ce code détruit-il les murs du cryptage ? Pour chacune des 5 phases, nous allons analyser et expliquer son algorithme minutieux et ses mathématiques avancées.

2. Objectif final du GNFS : $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$

Le but de presque tous les algorithmes modernes de factorisation de grands nombres, y compris le GNFS, est de trouver une paire non triviale $(X, Y)$ satisfaisant la congruence suivante.

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Cette équation signifie que « le reste de la division de $X^2$ et $Y^2$ par $N$ est égal ». En transformant cela, on obtient : $X^2 - Y^2 \equiv 0 \pmod N$ C’est-à-dire que $(X-Y)(X+Y)$ est un multiple de $N$.

Si $X \not\equiv \pm Y \pmod N$ (solution non triviale), alors il existe un « diviseur commun supérieur à 1 et inférieur à $N$ » entre $(X-Y)$ et $N$. Ici, si nous calculons $\gcd(X-Y, N)$ à l’aide de l’algorithme d’Euclide, nous pouvons facilement trouver les facteurs premiers de $N$.

Cependant, trouver ce $X$ et ce $Y$ est comme chercher une aiguille dans un désert. C’est pourquoi le GNFS adopte une approche géniale consistant à créer 2 mondes — le « monde des entiers réels » et le « monde des corps algébriques des polynômes » — et à distribuer les calculs.

3. Phase 1 : Sélection de polynômes (Polynomial Selection)

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class PolynomialSelector {
 // ...
 void select(const cpp_int& N) {
 // Calcul de m = N^(1/d) et expansion en base m
 // ...
 for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
 f[i] = temp % m;
 temp /= m;
 }
 g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
 }
};

La première étape du GNFS consiste à créer un « polynôme magique » pour relier les deux mondes. Pour un grand nombre $N$, nous choisissons un entier $m$. Habituellement, nous choisissons $m \approx N^{1/d}$ (le code suppose un polynôme de degré $d=6$).

Ensuite, nous développons $N$ en base $m$ et utilisons ces coefficients pour construire un polynôme $f(x)$.

$$N = c_d m^d + c_{d-1} m^{d-1} + \dots + c_1 m + c_0$$ $$f(x) = c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \dots + c_1 x + c_0$$

Ce polynôme $f(x)$ a une propriété extrêmement importante : « si l’on substitue $m$ à la variable $x$, cela devient exactement $N$ ($f(m) = N$) ». En d’autres termes, $f(m) \equiv 0 \pmod N$. Le polynôme côté rationnel est défini comme $g(x) = x - m$.

Ainsi, le « monde du corps algébrique $\mathbb{Z}[\alpha]$ » régi par la racine $\alpha$ de $f(x)=0$ et le « monde des nombres rationnels (entiers) habituels $\mathbb{Z}$ » sont solidement liés par un « homomorphisme d’anneaux » $x \to m$.

Dans CADO-NFS et d’autres systèmes de pointe, des algorithmes comme celui de Kleinjung ou la réduction de base de réseau LLL sont utilisés pour rechercher pendant des mois le « polynôme $f(x)$ le plus pratique ». Cela garantit que les coefficients du polynôme ne deviennent pas extrêmement grands et que des nombres premiers apparaissent facilement (deviennent friables) dans les étapes suivantes.

4. Phase 2 : Crible de réseau spécial-$q$ (Special-q Lattice Sieving)

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class LatticeSieve {
 // ...
 std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
 // ...
 // Mappe les paires (a, b) sur un réseau pour chaque nombre premier spécial q,
 // et exécute un crible (sieve) avec une efficacité de cache maximisée.
 // ...
 }
};

Après avoir préparé les deux mondes, l’étape suivante consiste à rechercher des « nombres friables (nombres composés uniquement de petits facteurs premiers) » dans ces deux mondes. Nous générons d’innombrables paires d’entiers $(a, b)$ et calculons les deux valeurs suivantes :

Valeur côté rationnel : $a - bm$
Norme côté algébrique : $b^d f(a/b)$

Le but du GNFS est de collecter des dizaines à centaines de millions de « paires (Relations) où les valeurs des côtés rationnel et algébrique peuvent toutes deux être complètement factorisées uniquement avec de petits facteurs premiers ».

Dans les premiers GNFS, on utilisait un « crible linéaire (Line Sieve) » qui alignait $(a, b)$ sur le plan $xy$ et les divisait par des nombres premiers de bout en bout. Cependant, cette méthode causait de nombreux défauts de cache en accédant partout dans la mémoire et était très lente.

Par conséquent, les codes de pointe actuels utilisent une méthode appelée « Crible de réseau spécial-$q$ (Special-q Lattice Sieve) ». Un nombre premier raisonnablement grand $q$ est fixé, et seules les paires $(a, b)$ « dont la valeur côté algébrique est toujours divisible par $q$ » sont calculées. Ces $(a, b)$ remplissant la condition forment un « réseau (Lattice) » sur le plan, rendant les sauts d’adresses constants lors des calculs, ce qui s’adapte parfaitement au cache L1/L2 du CPU. Grâce à l’introduction de ce crible de réseau, la vitesse de calcul du GNFS a considérablement augmenté.

5. Phase 3 : Filtrage (Filtering)

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class Filter {
public:
 void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
 // 1. Suppression des singletons (suppression des relations ayant des nombres premiers n'apparaissant qu'une fois)
 // 2. Fusion de cliques (combinaison de relations pour densifier une matrice creuse)
 }
};

Des centaines de millions de relations ont été collectées en plusieurs mois par des ordinateurs du monde entier lors de la Phase 2. Cependant, si on les injecte telles quelles dans « l’étape de résolution du système d’équations (calcul matriciel) » suivante, la mémoire des supercalculateurs explosera.

C’est pourquoi un processus de super compression matricielle appelé Filtrage (Filtering) est effectué.

Suppression des singletons (Purge des singularités) Supposons qu’un énorme nombre premier $p$ n’apparaisse « qu’une seule fois » parmi les centaines de millions de relations. Puisque notre but est de « rendre l’exposant de tous les nombres premiers pair (multiple de 2) », un nombre premier qui n’apparaît qu’une fois ne peut jamais devenir pair. Par conséquent, la relation contenant ce nombre premier est immédiatement supprimée (purgée) comme « déchet inutile ». En provoquant cela en chaîne, les données qui comptaient des centaines de millions de lignes sont drastiquement réduites.
Fusion de cliques (Clique merging) De plus, en multipliant (additionnant) les relations qui partagent un nombre premier spécifique, on réduit le nombre de lignes tout en compressant la matrice creuse (pleine de vides) vers un état plus dense (en utilisant une méthode similaire à la recherche de cliques en théorie des graphes).

Grâce à cette optimisation, la gigantesque matrice creuse est drastiquement compressée à une taille calculable.

6. Phase 4 : Algèbre linéaire sur GF(2) (Méthode de Block Wiedemann)

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class LinearAlgebraGF2 {
public:
 std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
 // Répète les opérations de produit entre une matrice creuse et un vecteur,
 // et trouve plusieurs vecteurs solutions (noyau) tels que M * x = 0 mod 2.
 }
};

C’est enfin le cœur du puzzle. Nous multiplions les relations collectées pour trouver la « combinaison où les exposants de tous les facteurs premiers deviennent pairs ».

Mathématiquement, cela équivaut à utiliser une immense matrice $M$ dont les éléments sont la parité de l’exposant de chaque nombre premier (c’est-à-dire 0 ou 1) et un vecteur $x$ représentant quelles relations utiliser, pour trouver un vecteur solution $x$ (noyau, nullspace) tel que : $M \cdot x \equiv 0 \pmod 2$

Nous devons résoudre un système d’équations pour une matrice d’une taille incroyable de millions de lignes × millions de colonnes. Avec l’élimination de Gauss habituelle, la complexité algorithmique serait de $O(N^3)$, et le calcul ne se terminerait pas avant la fin de l’univers.

Ainsi, la « Méthode de Block Wiedemann » est adoptée dans les implémentations de pointe. Il s’agit d’un type de méthode du sous-espace de Krylov qui exploite le fait que la matrice $M$ est « très creuse (presque que des 0) » pour dériver des solutions en effectuant itérativement la multiplication de la matrice et du vecteur. Contrairement à l’ancienne méthode de Block Lanczos, la méthode de Block Wiedemann peut diviser entièrement le processus de calcul sur plusieurs clusters, démontrant ainsi une puissance écrasante dans le cloud computing distribué moderne et le calcul parallèle sur supercalculateurs.

7. Phase 5 : Racine carrée algébrique (Algebraic Square Root) et effondrement de la cryptographie

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class AlgebraicSquareRoot {
public:
 void compute_and_factor(...) {
 // 1. Calcul de la racine carrée côté rationnel V
 cpp_int V = 1;

 // 2. Calcul de la racine carrée côté algébrique gamma
 cpp_int Y = 1;

 // ...
 cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
 }
};

Grâce au calcul matriciel de la Phase 4, nous avons obtenu « un ensemble $S$ de relations qui, lorsqu’elles sont multipliées ensemble, ont des facteurs premiers élevés à une puissance paire ». Cela nous permet de construire des « carrés » dans les mondes rationnel et algébrique respectivement.

Côté rationnel, comme il s’agit d’une simple multiplication d’entiers, il est facile de calculer la racine carrée $V$.

$$V^2 = \prod_{S} (a - bm)$$

Cependant, le véritable enfer réside du « côté algébrique ». Dans le monde du corps algébrique $\mathbb{Z}[\alpha]$, comme l’unicité de la factorisation première ne tient pas, nous avons utilisé des idéaux pour les calculs. Ce qui a été garanti par le calcul matriciel, c’est « seulement qu’il devient le carré d’un idéal », et il n’est pas garanti qu’il devienne « le carré d’un élément ($\gamma^2$) ».

Ici, nous faisons face à de puissants murs en théorie algébrique des nombres : « l’obstruction du groupe des classes d’idéaux » et « l’obstruction du groupe des unités ». Le GNFS utilise la magie des « caractères quadratiques (Quadratic Characters) » pour briser ces murs. Nous ajoutons secrètement à la matrice de la Phase 4 les colonnes des résidus quadratiques (symbole de Legendre) pour plusieurs dizaines d’idéaux premiers spéciaux. Grâce à cela, l’ensemble $S$ trouvé évitera les obstacles avec une probabilité écrasante, et formera sans problème « le vrai carré de l’élément $\gamma^2$ ».

L’opération pour trouver $\gamma$ (racine carrée algébrique) est calculée à l’aide d’algorithmes très complexes comme la méthode de Montgomery.

Et finalement, la racine carrée algébrique $\gamma$ est téléportée dans le monde réel par l’homomorphisme d’anneaux $\phi$ (en substituant $m$ à $x$) pour obtenir $Y$. Si on pose $V$ du côté rationnel tel quel comme $X$, l’équation absolue que nous poursuivions est enfin accomplie.

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Ensuite, il suffit de calculer $\gcd(X-Y, N)$. Au moment où le traitement de 0,001 seconde s’achève et qu’un facteur non trivial s’imprime à l’écran, le cryptage RSA, autrefois considéré comme imprenable, s’effondre complètement.

Conclusion

Le GNFS n’est pas qu’une simple technique de programmation. C’est le sommet de l’intelligence humaine, où les « abîmes des mathématiques pures » telles que l’algèbre abstraite, la théorie des anneaux, et les groupes de classes d’idéaux ont été surmontés par une « ingénierie de l’extrême » comme l’architecture distribuée des supercalculateurs et l’optimisation des caches.

Les chats et les informations de carte de crédit que nous envoyons sans y penser sont protégés au-dessus de ces luttes mathématiques astronomiques.

Nous espérons qu’à travers ce framework C++, vous ressentirez le « romantisme des mathématiques et des ordinateurs » qui se cache derrière les algorithmes de décryptage les plus avancés.

Qu'est-ce que le "Crible du corps de nombres généralisé (GNFS)", la mathématique la plus puissante de l'humanité qui brise le chiffrement d'Internet ?

Sat, 05 Sep 2026 02:09:08 +0900

Qu’est-ce que le « Crible du corps de nombres généralisé (GNFS) », la mathématique la plus puissante de l’humanité qui brise le chiffrement d’Internet ?

L’Internet que nous utilisons tous les jours. Les messages sur LINE, YouTube, les achats sur Amazon, toutes les communications sont protégées par le « chiffrement ». Actuellement, le chiffrement le plus utilisé dans le monde est le « Chiffrement RSA ».

La clé de la défense du chiffrement RSA est très simple. Elle utilise la propriété mathématique selon laquelle ** « la factorisation en nombres premiers de nombres gigantesques ne peut être résolue, même par des ordinateurs » ** . Par exemple, pour « 15 », nous savons tout de suite que c’est « 3 × 5 », mais dès que cela devient un « nombre à 270 chiffres », même si tous les superordinateurs du monde étaient combinés, cela prendrait des centaines de millions d’années à résoudre.

Cependant, les mathématiciens ne sont pas restés silencieux. Pour briser ce chiffrement impénétrable, l’humanité a créé un algorithme (procédure de calcul) presque magique appelé ** « Crible du corps de nombres généralisé (GNFS : General Number Field Sieve) » ** .

Dans cet article, sans utiliser de jargon technique, avec seulement les connaissances des ** mathématiques du collège (factorisation, expressions algébriques, plus grand commun diviseur) ** , nous vous expliquerons étape par étape comment « l’algorithme le plus puissant de l’humanité » brise le code !

Chapitre 1 : Le but du déchiffrement est une « formule de 3ème »

Le plus grand coup spécial pour faire face à la gigantesque factorisation en nombres premiers. C’est cette formule apprise en classe de 3ème :

** $X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y)$ **

Vous pourriez vous dire : « Sérieusement, une formule aussi basique peut briser le chiffrement ? ». Cependant, c’est la clé maîtresse qui révèle tout.

Le but ultime pour briser le chiffrement, pour un nombre gigantesque $N$, est de trouver ** « des nombres ($X$ et $Y$) dont le reste de la division de $X^2$ et $Y^2$ par $N$ est le même » ** .

Pourquoi avoir le « même reste » brise-t-il le chiffrement ?

Supposons que deux nombres, $X^2$ et $Y^2$, aient « le même reste lorsqu’ils sont divisés par $N$ ». Avoir le même reste signifie qu’il y a une règle selon laquelle ** la soustraction « $X^2 - Y^2$ » sera toujours parfaitement divisible par $N$ (sera un multiple de $N$) ** .

Ici, supposons que le nombre géant $N$ utilisé dans le chiffrement soit constitué de la multiplication de deux nombres premiers secrets ($p$ et $q$) ($N = p \times q$).

En factorisant $X^2 - Y^2$, nous obtenons ** $(X - Y)(X + Y)$ ** . Le fait que ce soit un multiple de $N$ signifie que, quelque part dans cette multiplication, les nombres premiers secrets $p$ et $q$ sont cachés.

Ici, un miracle se produit. Il y a une probabilité mathématique de ** 50 % (la moitié) ** que les deux nombres premiers $p$ et $q$ se séparent dans des pièces différentes : ** « $p$ va dans la pièce de $(X - Y)$ » et « $q$ va dans la pièce de $(X + Y)$ » ** .

Avec seulement le nombre premier $p$ étant entré dans la pièce de $(X - Y)$, calculons le ** « plus grand commun diviseur (la plus grande partie commune) » ** de $(X - Y)$ et $N$.

Contenu de $(X - Y)$ = $p \times$ un certain nombre
Contenu de $N$ = $p \times q$ La seule partie commune est ** « $p$ » ** !

En d’autres termes, au moment où le plus grand commun diviseur est calculé, le nombre premier caché $p$ est révélé et le chiffrement est complètement décodé. (*Le plus grand commun diviseur peut être calculé instantanément sur un smartphone en utilisant « l’Algorithme d’Euclide »).

** 【Petite Chronique : Pourquoi le carré ? Le cube ou le double ne fonctionnent-ils pas ?】 **

Avec « $2X - 2Y$ », cela devient $2(X - Y)$ et il n’y a qu’une seule pièce, vous ne pouvez donc pas séparer les nombres premiers. Avec « $X^3 - Y^3$ », la taille des pièces devient déséquilibrée et le calcul devient inutilement lourd. Pour séparer les nombres premiers en deux, le « carré » qui se divise parfaitement en deux pièces est le plus rentable.

Chapitre 2 : Comment trouver X et Y ? « Le puzzle de collecte de cartes de nombres premiers »

L’objectif est clair. Cependant, même si nous cherchons aveuglément des « $X^2$ et $Y^2$ qui ont le même reste », la fin de l’univers arriverait avant de les trouver. Alors, les mathématiciens ont imaginé une méthode géniale appelée ** « le puzzle de collecte de cartes de nombres premiers » ** .

Étape 1 : Collecter uniquement de la poudre d’or (nombres friables) avec un tamis

Tout d’abord, préparez un nombre approprié $Z$, élevez-le au carré et calculez le reste $W$ en le divisant par $N$. (Le monde des restes de $Z^2 = W$)

Factorisez le reste obtenu $W$ en nombres premiers. Ici, seulement lorsqu’il apparaît ** « un $W$ composé uniquement de petits nombres premiers tels que 2, 3, 5, 7, etc. » ** , gardez cette équation comme une « carte gagnante » et jetez-la si de grands nombres premiers sont mélangés. C’est comme jeter de grosses pierres avec un tamis dans une rivière pour ne récolter que de la poudre d’or.

Étape 2 : Le puzzle pour tout rendre « pair »

Par exemple, supposons que les 3 cartes de poudre d’or suivantes ont été collectées.

Carte A : $Z_1^2 = 2^3 \times 3^1$
Carte B : $Z_2^2 = 2^1 \times 5^1$
Carte C : $Z_3^2 = 3^1 \times 5^1$

Multiplions-les toutes. Le côté droit devient $(2^3 \times 3^1) \times (2^1 \times 5^1) \times (3^1 \times 5^1)$, Et en organisant le tout ensemble, cela devient ** « $2^4 \times 3^2 \times 5^2$ » ** .

Étonnamment, la quantité de nombres premiers est devenue « 4, 2, 2 », ** tous étant un nombre pair ** ! Le fait qu’ils soient tous pairs signifie que si vous divisez la quantité totale par deux, ce sera « le carré de quelque chose ». En d’autres termes, $(2^2 \times 3^1 \times 5^1)^2 = (60)^2$.

Le côté gauche est $(Z_1 \times Z_2 \times Z_3)^2$, donc finalement, ** $X = (Z_1 \times Z_2 \times Z_3)$ ** ** $Y = 60$ ** La paire tant attendue de « $X^2 = Y^2$ » est complète !

Pour les ordinateurs, le puzzle consistant à calculer si la quantité de nombres premiers est « paire ou impaire (0 ou 1) » est quelque chose dans lequel ils sont très doués, donc avec cette méthode, $X$ et $Y$ peuvent être trouvés à grande vitesse.

Chapitre 3 : Le mur du désespoir

Maintenant n’importe quel code peut être brisé ! … Ou du moins le pensions-nous, mais un problème majeur survient. Si le nombre du chiffrement $N$ compte jusqu’à « 100 chiffres », cette méthode (appelée Crible Quadratique) peut le résoudre, mais lorsque $N$ atteint « 200 ou 300 chiffres », le $W$ qui apparaît au milieu du calcul devient beaucoup trop grand.

Lorsque les nombres deviennent trop grands, les « nombres composés uniquement de petits nombres premiers (poudre d’or) » cessent purement et simplement d’apparaître. Cela devient plus difficile que de chercher des lentilles de contact dans le désert, et les cartes nécessaires pour résoudre le puzzle ne s’accumuleront plus du tout.

Ici, l’arme ultime de l’humanité, le ** « Crible du corps de nombres généralisé (GNFS) » ** , entre enfin en scène.

Chapitre 4 : L’idée la plus puissante de l’humanité de créer « Deux Mondes »

L’idée géniale du GNFS est : ** « Les nombres deviennent gigantesques car nous calculons uniquement dans le monde réel. Créons donc un ‘monde caché’ en utilisant des polynômes (formules avec des lettres) pour diviser le poids du calcul en deux. » **

La magie des formules avec des lettres

Le GNFS convertit le nombre géant $N$ en une expression littérale à l’aide d’un nombre de base $m$. Par exemple si $N=100$, avec $m=4$, alors $100 = 4^3 + 2(4^2) + 4$. En utilisant la lettre $x$, nous en faisons une formule (le monde caché) : ** $f(x) = x^3 + 2x^2 + x$ ** .

Ce qui est intéressant avec cette formule, c’est qu’elle a la propriété que ** « si vous remplacez $x$ par $m$ (4 dans l’exemple ci-dessus), vous pouvez toujours revenir au nombre réel $N$ » ** .

Chercher de la poudre d’or dans 2 mondes en même temps

Le GNFS crée de nombreuses paires d’entiers aléatoires $(a, b)$ et effectue les deux calculs suivants simultanément :

** Monde Réel ** : $a - b \times m$
** Monde des Lettres ** : La valeur de $a - b \times x$ calculée selon les règles des polynômes

En séparant le problème en deux mondes, la taille des nombres manipulés diminue (devient plus légère) de manière spectaculaire. C’est comme fendre un rocher géant en deux pierres plus faciles à manipuler.

Ensuite, vous utilisez un crible (tamis) pour séparer et ne collecter que les paires miraculeuses $(a, b)$ où ** « à la fois dans le monde réel et dans le monde des lettres, les deux sont ‘composés uniquement de petits nombres premiers (poudre d’or)’ » ** . D’où le nom de « Crible du corps de nombres ».

Le moment où le chiffrement est enfin brisé

Une fois que des dizaines de millions de « cartes de poudre d’or » sont collectées dans les deux mondes, le superordinateur utilise des calculs matriciels gigantesques pour trouver « une combinaison où le nombre de nombres premiers est entièrement pair », tout comme nous l’avons fait au Chapitre 2.

Une fois la combinaison trouvée :

Que le nombre au carré dans le monde réel soit ** $X^2$ **
Que la formule au carré créée dans le monde des lettres soit ** $Y(x)^2$ **

Enfin, remplacez le $x$ dans la formule littérale $Y(x)$ par $m$, en revenant au monde réel et en les rejoignant. Alors, comme par magie mathématique, la condition où ** « les restes de $X^2$ et $Y^2$ sont les mêmes » ** est strictement remplie !

Le reste, comme au Chapitre 1, consiste simplement à calculer le plus grand commun diviseur de $X - Y$ et $N$, et le chiffrement RSA impénétrable s’effondrera, révélant les nombres premiers secrets.

Conclusion : Les mathématiques ne finissent jamais

Vous pourriez penser : « Super, avec le GNFS n’importe quel chiffrement peut être brisé ! ». Cependant, le chiffrement RSA ne s’est pas non plus avoué vaincu. Ce qui est utilisé sur l’Internet d’aujourd’hui est un nombre gigantesque et monstrueux appelé « RSA-2048 (environ 617 chiffres) ».

Bien que le GNFS soit l’algorithme le plus puissant de l’humanité, même pour résoudre 270 chiffres (RSA-270), on dit que cela prendrait des milliers ou des dizaines de milliers d’années, même en connectant des ordinateurs du monde entier. Pour l’instant, nos données LINE et bancaires sont en sécurité.

Mais que se passerait-il si ** « une magie capable de trouver instantanément $X$ et $Y$ pour n’importe quel nombre géant » ** apparaissait ? En fait, la chose qui s’en rapproche le plus est l’ ** « Ordinateur Quantique (Algorithme de Shor) » ** , actuellement en développement. En utilisant la nature ondulatoire de la mécanique quantique, il a été prouvé mathématiquement qu’il est possible d’ignorer le fastidieux puzzle de collecte de cartes et de tirer la réponse d’un seul coup.

La bataille d’intelligence sans fin entre ceux qui créent le chiffrement (la défense) et ceux qui créent des algorithmes pour le briser (l’attaque). Savoir que la « factorisation en nombres premiers » et les « expressions littérales apprises au collège sont en fait les armes qui s’affrontent sur la ligne de front de la sécurité mondiale ne rend-il pas les cours de mathématiques un peu plus intéressants ?

La personne qui découvrira l’algorithme le plus puissant du futur, c’est peut-être vous qui lisez cet article !

(※Cet article est une adaptation conceptuelle de l’attrait mathématique du cassage de code pour les collégiens. Le GNFS réel est rigoureusement calculé à l’aide de mathématiques universitaires avancées, telles que les groupes de classes d’idéaux des corps de nombres algébriques et les homomorphismes)

Explication Simple de la Conjecture de Kepler

Mon, 21 Jul 2025 22:53:03 +0900

Explication Simple de la Conjecture de Kepler ! La meilleure façon d’emballer des pastèques

Bonjour, c’est kenji !

Aujourd’hui, je voudrais essayer d’expliquer aussi simplement que possible un sujet mathématique dont le nom semble un peu compliqué : la “Conjecture de Kepler”.

À première vue, cela peut sembler un sujet pour les geeks, mais c’est aussi un problème très proche de nous : “Comment emballer les pastèques le plus densément possible dans une boîte ?”. Cela a également à voir avec les réfrigérateurs des supérettes et la façon dont les marchandises sont empilées.

Et, dans le monde des mathématiques, il y a une histoire super romantique derrière tout cela : que cela n’a pas pu être prouvé pendant plus de 400 ans .

Allons-y !

Qui était Kepler, au fait ?

Tout d’abord, qui est le “Kepler” de la “Conjecture de Kepler” ?

C’est le nom d’un astronome et mathématicien allemand appelé Johannes Kepler .

Ce type était incroyable. Par exemple, c’est lui qui a découvert que les orbites planétaires sont elliptiques. Aujourd’hui, c’est de notoriété publique, mais à l’époque (vers 1600), c’était une époque où même l’héliocentrisme était à peine cru.

Galilée = génie de l’observation
Kepler = le génie qui a expliqué l’univers avec des formules mathématiques
Newton = le super génie qui a résumé cette théorie en lois physiques

Avec ce positionnement, Kepler était un pionnier pour “parler de l’univers avec des formules mathématiques”.

Et, à un moment donné, il a dit ceci :

Qu’est-ce que la Conjecture de Kepler ?

En bref, la “Conjecture de Kepler” ressemble à ceci.

Lors de l’emballage de sphères de même taille (pastèques ou oranges) dans une boîte, quel est l’arrangement qui permet l’emballage le plus dense ?

C’est le problème.

Et ce que Kepler a conjecturé dans les années 1600 était :

Ne serait-il pas plus efficace de les empiler comme des triangles, un peu comme les marchands de légumes présentent les oranges ?

Dans le langage mathématique, cela s’appelle le “problème de l’empilement le plus dense” (Sphere Packing), qui cherche la méthode pour empiler des sphères le plus densément possible dans l’espace.

Kepler a conjecturé que l’arrangement appelé “structure cubique à faces centrées (FCC)” (comme empiler des pastèques en triangle) serait le plus efficace.

Tout le monde a pensé : “Ah, ça a du sens…”, mais prouver mathématiquement que “c’est absolument le meilleur !” était extrêmement difficile.

400 ans pour le prouver !?!

Alors, quand cela a-t-il été réellement prouvé… ?

Étonnamment, entre 1998 et 2005 environ . C’est-à-dire que personne n’a pu le prouver pendant près de 400 ans . C’est trop fou.

De plus, la personne qui l’a prouvé était un mathématicien américain nommé Thomas Hales .

Il s’est rendu compte qu’il serait impossible de le faire uniquement par des calculs manuels, il a donc utilisé des ordinateurs pour le prouver . Cependant, un problème est apparu : la preuve était si complexe que les humains ne pouvaient pas la vérifier correctement !

Ainsi, un grand débat a éclaté dans le monde mathématique : “Alors, pouvons-nous vraiment faire confiance à une preuve faite par des ordinateurs ?”.

Finalement, la preuve (officiellement appelée “preuve formelle”) qui disait “Je l’ai rigoureusement vérifiée, y compris avec des ordinateurs !” a été achevée en 2014 .

En d’autres termes, il a fallu plus de 400 ans pour prouver que l’intuition de Kepler était correcte . Quel romantisme.

Très utilisé dans la vraie vie

Vous pourriez penser que “comment arranger des sphères” est un sujet pour les intellos des mathématiques, mais en réalité, c’est très pratique.

Pour emballer efficacement les boissons dans les réfrigérateurs des supérettes
Lors de l’empilement de boîtes de conserve sur des palettes de transport
C’est également appliqué aux communications (compression de signaux numériques, etc.)
Utilisé dans la conception d’imprimantes 3D et de structures cristallines

Etc., c’est en fait une théorie qui est largement utilisée en coulisses dans notre vie.

Conclusion : l’intuition humaine est incroyable

Alors, résumons.

Conjecture de Kepler = Le problème de savoir comment emballer les sphères le plus densément
Monsieur Kepler = Mathématicien et astronome qui a découvert les orbites planétaires
Conjecturée dans les années 1600 ! Mais prouvée dans les années 2000 !
Très appliquée dans la vraie vie !

Et le point le plus intéressant est : “La façon d’empiler que les primeurs faisaient par intuition était mathématiquement la plus forte” .

En d’autres termes, l’intuition humaine est incroyable . Et le fait que cela puisse prendre 400 ans pour le prouver est une histoire vraiment romantique, n’est-ce pas ?

Si vous êtes intéressé, assurez-vous de rechercher “Thomas Hales”, “preuve formelle”, “Sphere Packing”. C’est très amusant d’approfondir le sujet.

À bientôt !

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Introduction à Mathematica

Thu, 25 Jul 2024 01:36:19 +0900

Introduction à Mathematica

Résoudre des équations

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0, x]

Sortie

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

Trouver les solutions d’une équation dans les entiers

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0 && 0 <= x <= 2, x, Integers]

Sortie

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

Résoudre un système d’équations

1

Solve[{x + y == 3, x - y == 1}, {x, y}]

Sortie

1

{{x -> 2, y -> 1}}

Résoudre des inéquations

1

Reduce[x^2 - 3 x + 2 > 0, x]

Sortie

1

x < 1 || x > 2

Dériver

1

D[x^2, x]

Sortie

1

2 x

Intégrer

1

Integrate[x^2, x]

Sortie

1

x^3/3

Calculer une limite

1

Limit[1/x, x -> 0]

Sortie

1

Infinity

Calculer une série

1

Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]

Sortie

1

π^2/6

Créer une matrice

1

m = {{1, 2}, {3, 4}}

Calculer le produit de matrices

1

m . m

Sortie

1

{{7, 10}, {15, 22}}

Calculer la matrice inverse

1

Inverse[m]

Sortie

1

{{-2, 1}, {1.5, -0.5}}

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres

1

Eigensystem[m]

Sortie

1

{{5, 0}, {{1, 1}, {1, -1}}}

Calculer le produit scalaire de vecteurs

1

{1, 2} . {3, 4}

Sortie

1

11

Calculer le produit vectoriel

1

Cross[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]

Sortie

1

{-3, 6, -3}

Calculer la norme d’un vecteur

1

Norm[{1, 2, 3}]

Sortie

1

√14

Calculer l’angle entre des vecteurs

1

ArcCos[{1, 2} . {3, 4}/(Norm[{1, 2}] Norm[{3, 4}])]

Sortie

1

ArcCos[11/(√5 √25)]

Calculer la projection d’un vecteur

1

{1, 2} . {3, 4}/Norm[{3, 4}] {3, 4}/Norm[{3, 4}]

Sortie

1

{11/5, 22/5}

Calculer la rotation d’un vecteur

1

RotationMatrix[π/2].{1, 0}

Sortie

1

{0, 1}

Calculer la translation d’un vecteur

1

TranslationTransform[{1, 2}][{3, 4}]

Sortie

1

{4, 6}

Calculer la mise à l’échelle d’un vecteur

1

ScalingTransform[{2, 3}][{1, 1}]

Sortie

1

{2, 3}

Calculer la réflexion d’un vecteur

1

ReflectionTransform[{1, 1}][{1, 1}]

Sortie

1

{0, 0}

Générer des nombres aléatoires

1

RandomReal[]

Sortie

1

0.123456

Générer des nombres aléatoires (entiers)

1

RandomInteger[]

Sortie

1

123456

Générer des nombres aléatoires (plage spécifiée)

1

RandomReal[{1, 10}]

Sortie

1

5.6789

Générer des nombres aléatoires (entiers, plage spécifiée)

1

RandomInteger[{1, 10}]

Sortie

1

5

Générer des nombres aléatoires (distribution spécifiée)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1]]

Sortie

1

0.123456

Générer des nombres aléatoires (distribution, quantité spécifiées)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

Sortie

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

Générer des nombres aléatoires (distribution, quantité, graine spécifiées)

1
2


SeedRandom[12345]
RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

Sortie

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

Appliquer une fonction aux éléments d’un tableau

1
2
3


Map[Sqrt, {1, 4, 9}]
Sqrt /@ {1, 4, 9}
Map[#^(1/2)&, {1, 4, 9}]

Sortie

1

{1, 2, 3}

Définir une fonction avec des expressions lambda

1
2


f = Function[x, x^2]
f[3]

Sortie

1

9

Composer des fonctions

1
2
3
4


f = Function[x, x^2]
g = Function[x, x + 1]
h = Function[x, f[g[x]]]
h[3]

Sortie

1

16

Faire référence au résultat du calcul précédent

1

% + 1

Sortie

1

17

Fonction pure

1

(#+3)&[5]

Sortie

1

8

Extraction de tableau

1
2


Select[{1, 2, 3, 4, 5}, EvenQ]
Select[{1, 2, 3, 4, 5}, Mod[#,2]==0&]

Sortie

1

{2, 4}

Problèmes non résolus en mathématiques

Sat, 02 Mar 2024 22:57:36 +0900

Problèmes non résolus en mathématiques

Nous allons expliquer les problèmes non résolus en mathématiques. Bien que les problèmes eux-mêmes soient simples, il y a encore de nombreux problèmes qui n’ont pas été prouvés.

Y a-t-il une infinité de nombres parfaits ?

Un nombre parfait est un entier naturel dont la somme de ses diviseurs stricts positifs (c’est-à-dire à l’exclusion de lui-même) est égale à lui-même. Par exemple,

Les diviseurs de 6 sont 1, 2 et 3. Comme 1+2+3=6, c’est un nombre parfait.
Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7 et 14. Comme 1+2+4+7+14=28, c’est un nombre parfait.

Actuellement, seuls 51 ont été découverts. On suppose qu’il y en a une infinité, mais cela n’a pas encore été prouvé.

Conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. (Un nombre premier est un entier naturel qui n’a d’autres diviseurs que 1 et lui-même.)

Par exemple,

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5

Le problème en lui-même est très simple, mais il n’a toujours pas été prouvé.

Hypothèse de Riemann

L’hypothèse de Riemann est la conjecture selon laquelle les zéros de la fonction zêta de Riemann sont limités aux entiers pairs négatifs et aux nombres complexes dont la partie réelle est 1/2.

La fonction zêta de Riemann est la fonction $\zeta$ définie, pour $s$ un nombre complexe et $n$ un entier naturel, par :

$$\zeta(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$

Comment dessiner des graphiques avec Python (matplotlib.pyplot)

Sun, 09 Apr 2023 01:02:19 +0900

Ce dont vous avez besoin

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Étapes

Accédez à https://colab.research.google.com/
Sélectionnez “Fichier” -> “Nouveau notebook”
Collez et exécutez le code ci-dessous

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 500)
plt.plot(x, np.sin(x), label="sin curve")
plt.plot(x, np.cos(x), label="cos curve")
plt.legend() # Afficher la légende
plt.show()

Résultat de l’exécution

Références

matplotlib.pyplot — Matplotlib 3.5.3 documentation

Pourquoi j'aime les mathématiques et les ordinateurs

Fri, 23 Sep 2022 01:56:52 +0900

J’ai réfléchi à pourquoi j’aime les mathématiques et les ordinateurs

Égalité pour tous

Peu importe la personne, la position ou le lieu, la même entrée donne toujours la même sortie.

Règles claires

Les règles sont clairement définies et il n’y a pas d’absurdités ou d’injustices.

Les réponses et théories dérivées sont éternellement correctes

Il n’y a pas lieu de s’inquiéter qu’une réponse calculée soit réécrite plus tard.

Il y a une difficulté modérée

Il y a toujours des problèmes non résolus, et l’on peut se mettre au défi de les résoudre à tout moment.