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【Anatomie Complète】 Qu"est-ce qu"un ordinateur quantique ? 〜 Le principe de calcul ultime expliqué de zéro 〜

Sat, 05 Sep 2026 22:10:00 +0900

Introduction : Le « changement de paradigme de calcul » apporté par l’ordinateur quantique

Ces dernières années, il ne se passe pas un jour sans que nous voyions les mots « ordinateur quantique » dans les actualités ou les articles technologiques. Des histoires semblables à celles des films de science-fiction, telles que « Des calculs qui prendraient des milliers d’années aux superordinateurs actuels seront terminés en quelques minutes » ou « Toutes les technologies de cryptage actuelles pourraient être brisées », sont racontées avec conviction. Des géants de l’informatique comme Google, IBM et Microsoft aux universités et startups du monde entier, tous se font une concurrence acharnée pour mettre en pratique cette technologie de rêve.

Cependant, lorsqu’on demande « Qu’est-ce qu’un ordinateur quantique après tout ? », peu de personnes peuvent répondre avec précision. Beaucoup de gens ont une image vague d’une « boîte magique capable de calculer toutes les combinaisons en même temps », mais strictement parlant, ce n’est pas correct.

Dans cet article, nous expliquerons en profondeur depuis les bases, de manière experte mais facile à comprendre, en quoi un ordinateur quantique diffère fondamentalement d’un ordinateur classique (les PC et smartphones que nous utilisons habituellement), et comment il utilise des phénomènes étranges de la mécanique quantique tels que la « superposition » (Superposition), l’« intrication quantique » (Entanglement) et les « portes quantiques » (Quantum gates) pour les calculs. Au moment où vous aurez fini de lire cet article, vous devriez comprendre clairement la grandeur essentielle des ordinateurs quantiques et leurs défis actuels.

Chapitre 1 : La différence décisive entre les ordinateurs classiques et les ordinateurs quantiques

Afin de comprendre le fonctionnement des ordinateurs quantiques, nous devons d’abord revoir le fonctionnement des « ordinateurs classiques » que nous utilisons actuellement.

Tableau comparatif : Ordinateur classique vs Ordinateur quantique

Élément	Ordinateur classique	Ordinateur quantique
Unité de base	Bit (0 ou 1)	Qubit (superposition de 0 et 1)
Expression de l’état	Déterministe	Probabiliste (non déterminé jusqu’à l’observation)
Méthode de calcul	Traitement séquentiel (nécessite des cœurs physiques pour la parallélisation)	Parallélisme quantique (manipulation simultanée d’états exponentiels)
Calculs de prédilection	Opérations arithmétiques, traitement de données quotidien	Factorisation en nombres premiers, calculs de chimie quantique
Tolérance aux erreurs	Très forte	Très faible (nécessite des environnements cryogéniques et une correction d’erreurs)

Le monde des ordinateurs classiques : Le « Bit » qui vaut 0 ou 1

Les ordinateurs classiques représentent toutes les informations sous forme de « 0 » ou « 1 ». C’est ce qu’on appelle un bit (Bit). Physiquement, cela est représenté par la tension élevée (1) ou faible (0) des transistors sur une puce semi-conductrice. Les photos haute résolution de votre smartphone, le texte que vous lisez actuellement et vos vidéos YouTube préférées sont finalement réduits à un nombre massif de « séquences de 0 et de 1 ». Le calcul n’est rien d’autre que le processus d’application d’opérations à ces séquences de 0 et de 1 en combinant des circuits logiques de base tels que AND (et logique), OR (ou logique) et NOT (non logique). Il s’agit d’un monde très certain et déterministe. Si l’entrée est la même, la même sortie sera toujours obtenue.

Le monde des ordinateurs quantiques : Le « Qubit » qui est à la fois 0 et 1

D’autre part, l’unité d’information minimale d’un ordinateur quantique est appelée qubit (Qubit : Quantum bit). La plus grande caractéristique d’un qubit est que, contrairement à un bit classique qui est soit dans l’état « 0 » soit dans l’état « 1 », il peut prendre un état dans lequel « 0 et 1 sont mélangés avec une certaine probabilité ». C’est ce qu’on appelle la « Superposition » (Superposition).

Par exemple, si un bit classique est une pièce placée face « pile » ou face « face » vers le haut, un qubit est souvent comparé à une « pièce qui tourne continuellement dans les airs ». Une pièce en rotation ne peut être dite ni pile ni face, et les deux états se chevauchent. Ce n’est qu’au moment où la pièce tombe sur le sol et s’arrête (ce que la mécanique quantique appelle « l’observation ») qu’il est déterminé si c’est « pile » ou « face ».

Un ordinateur quantique intègre cette propriété spécifique au monde microscopique (la mécanique quantique), où « l’état n’est pas déterminé jusqu’à ce qu’il soit observé », directement dans le processus de traitement de l’information.

Chapitre 2 : Trois propriétés quantiques qui changent fondamentalement le calcul

La source de l’incroyable puissance de calcul d’un ordinateur quantique n’est pas simplement une fréquence d’horloge élevée ou de petits composants. Elle réside dans l’utilisation des lois de la physique elles-mêmes comme ressources de calcul. Les trois phénomènes quantiques suivants sont les principaux facteurs clés.

1. La superposition (Superposition) et la quantité d’informations exponentielle

Comme mentionné précédemment, un qubit peut conserver les deux états 0 et 1 en même temps. Un qubit est une « superposition de 0 et de 1 », mais que se passe-t-il si nous augmentons le nombre de qubits ?

1 qubit : Superposition de 2 états (0, 1)
2 qubits : Superposition de 4 états (00, 01, 10, 11)
3 qubits : Superposition de 8 états
N qubits : Superposition de $2^N$ motifs

Avec seulement 50 qubits, il est possible de conserver simultanément $2^{50}$ (environ 1 100 billions) d’états. Et avec seulement 300 qubits, on peut conserver $2^{300}$ motifs (plus que le nombre de tous les atomes de l’univers !) à la fois. Cette capacité exponentielle de rétention d’informations est le fondement du potentiel des ordinateurs quantiques. Il est physiquement impossible pour un ordinateur classique de stocker dans sa mémoire plus d’états qu’il n’y a d’atomes dans l’univers.

2. L’intrication quantique (Entanglement) : L’action fantôme à distance

L’intrication quantique est un phénomène tellement étrange et contraire à l’intuition humaine qu’Einstein l’a appelé « l’action fantôme à distance » (Spooky action at a distance) et a refusé de l’accepter toute sa vie.

Lorsque plusieurs qubits sont dans un état « d’intrication quantique », ils sont fortement liés les uns aux autres, créant une relation semblable à une communauté de destin : « Lorsque l’état de l’un est déterminé, quelle que soit la distance, l’état de l’autre est instantanément déterminé ».

Par exemple, supposons qu’il y ait deux qubits A et B dans un état intriqué (ils sont chacun dans une superposition de 0 et de 1). Si A est observé et vaut « 0 », dépassant la vitesse de la lumière qui est la limite de la vitesse de transmission de l’information, l’état de B est instantanément déterminé (par exemple, pour être toujours « 1 »). Dans un ordinateur quantique, cette intrication quantique est utilisée pour exprimer des corrélations complexes entre plusieurs qubits et effectuer un traitement de l’information massivement parallèle. Sans intrication, la puissance de calcul d’un ordinateur quantique ne serait pas très différente de celle d’un ordinateur classique.

3. L’interférence quantique (Quantum Interference) : La magie qui fait ressortir la bonne réponse

Vous pourriez penser : « Si vous pouvez conserver tous les motifs en même temps, pourquoi ne pas les calculer tous en parallèle et obtenir la réponse en un instant ? ». C’est le malentendu le plus courant à propos des ordinateurs quantiques. Même si vous effectuez des calculs dans un état superposé, vous devez finalement faire une « observation » pour connaître la réponse. Cependant, au moment où vous l’observez, l’état s’effondre de manière aléatoire en un seul des $2^N$ motifs. Avec cela, vous obtiendrez simplement une réponse aléatoire (au hasard).

C’est ici qu’intervient « l’interférence quantique » (Interference). Lorsque des ondes entrent en collision, le phénomène où elles se renforcent là où les longueurs d’onde correspondent et s’annulent là où elles sont décalées est utilisé (le principe est fondamentalement le même que celui des écouteurs à réduction de bruit).

Un excellent « algorithme quantique » manipule habilement l’état quantique pendant le processus de calcul afin que « les amplitudes de probabilité des états (ondes) menant à la bonne réponse se renforcent (amplification) » et « les amplitudes de probabilité des états menant à une mauvaise réponse s’annulent (annulation) ». Puis, lors de l’observation finale, il fait en sorte que la « bonne réponse » apparaisse avec une probabilité de presque 100 %. Concevoir habilement ce processus d’interférence est l’essence même de la programmation quantique.

Chapitre 3 : Comment calcule-t-on ? Les « portes quantiques » et les « circuits quantiques »

Tout comme les ordinateurs classiques utilisent des portes logiques (AND, OR, NOT, etc.) pour effectuer des calculs, les ordinateurs quantiques appliquent des opérations appelées « portes quantiques » (Quantum Gates) aux qubits pour effectuer des calculs. Une combinaison de plusieurs portes quantiques est appelée un circuit quantique (Quantum Circuit).

L’état d’un qubit est exprimé mathématiquement comme un point sur la surface d’une sphère tridimensionnelle appelée « sphère de Bloch » (Bloch sphere). Le pôle Nord est « 0 », le pôle Sud est « 1 » et l’équateur est un « état où 0 et 1 se superposent à moitié ». Une porte quantique n’est rien d’autre qu’une opération de rotation de l’état (vecteur) à la surface de cette sphère.

Voici quelques-unes des portes quantiques les plus représentatives.

1. La porte de Hadamard (Porte H)

Il s’agit de la porte la plus fondamentale spécifique aux ordinateurs quantiques, qui n’existe pas dans les ordinateurs classiques. Faire passer un qubit dans l’état parfait « 0 » à travers une porte H crée un « état de superposition parfaite » (un point sur l’équateur de la sphère de Bloch) où 0 et 1 sont observés avec exactement la moitié de la probabilité chacun. En tant qu’étape d’initialisation du calcul quantique, de nombreux algorithmes commencent par appliquer cette porte H à tous les qubits.

2. Les portes de Pauli (Portes X, Y, Z)

Ce sont des portes qui incluent des opérations équivalentes à la porte NOT d’un ordinateur classique (inversant 0 à 1 et 1 à 0). Sur la sphère de Bloch, cela correspond à une rotation de 180 degrés autour des axes X, Y et Z. En particulier, la porte X inverse le pôle Nord (0) vers le pôle Sud (1), elle a donc exactement la même fonction que la porte NOT classique. La porte Z a pour rôle d’inverser la « phase » (comme le timing de l’onde) de la superposition, ce qui est extrêmement important pour provoquer l’interférence quantique.

3. La porte CNOT (Porte NOT contrôlée)

C’est une porte super importante pour créer l’intrication quantique. Elle utilise 2 qubits (un bit de contrôle et un bit cible). Elle fonctionne ainsi : « Si le bit de contrôle est à 1, l’état du bit cible est inversé (porte X). Si le bit de contrôle est à 0, ne rien faire ». À première vue, cela ressemble à un simple branchement conditionnel IF, mais que se passe-t-il si le bit de contrôle est dans un « état de superposition de 0 et de 1 » ? Le bit cible devient un « état où ce qui est inversé et ce qui ne l’est pas se superposent », et les destins des 2 bits sont complètement liés. Les deux qubits sont magnifiquement « intriqués ».

En disposant et en appliquant ces portes dans l’ordre de gauche à droite, comme sur une partition de musique, des algorithmes complexes sont exécutés.

Chapitre 4 : Pour quoi les ordinateurs quantiques sont-ils doués et pour quoi ne le sont-ils pas ?

Je tiens à partager un fait important ici. Un ordinateur quantique n’est pas un dieu omnipotent. Pour les tâches quotidiennes telles que la navigation sur le Web, le rendu vidéo, le traitement de macros Excel ou l’exécution d’applications pour smartphone générales, il est probable que les ordinateurs quantiques ne surpasseront jamais les ordinateurs classiques. Pour ce traitement séquentiel, les ordinateurs classiques, qui sont déjà hautement optimisés et offrent une vitesse et un faible coût écrasants, sont mieux adaptés.

Les ordinateurs quantiques ne montrent leur véritable valeur que pour « les problèmes spécifiques où les combinaisons de calculs dans un ordinateur classique explosent de manière exponentielle, prenant un temps comparable à la durée de vie de l’univers ». C’est ce qu’on appelle la « suprématie quantique » (Quantum Supremacy) ou l’« avantage quantique » (Quantum Advantage).

Ce pour quoi les ordinateurs quantiques sont doués (Applications tueuses)

1. Factorisation en nombres premiers et cryptanalyse (Algorithme de Shor)

Actuellement, les communications sécurisées sur Internet (telles que les paiements par carte de crédit et la transmission d’informations personnelles) sont protégées par le « cryptage RSA », etc., qui repose sur l’hypothèse que « la factorisation en nombres premiers de très grands nombres est pratiquement impossible (prend énormément de temps) pour un ordinateur classique ». Cependant, en utilisant l’« algorithme de Shor » découvert par le mathématicien Peter Shor en 1994, les ordinateurs quantiques peuvent exploiter intelligemment les interférences pour le résoudre à une vitesse spectaculaire (temps polynomial). En conséquence, il existe un risque que le système cryptographique actuel s’effondre à l’avenir, et les banques centrales et les agences gouvernementales du monde entier se précipitent pour faire la transition vers la « cryptographie post-quantique » (Post-Quantum Cryptography).

2. Calculs de chimie quantique et développement de nouveaux matériaux et médicaments

Le comportement des molécules et des atomes dans le monde naturel obéit aux lois de la mécanique quantique en premier lieu. Tenter de simuler le comportement de molécules complexes avec un ordinateur classique entraîne une explosion des combinaisons d’interactions électroniques, atteignant la limite des ressources de calcul même pour des molécules relativement petites. Comme l’a dit le lauréat du prix Nobel de physique Richard Feynman : « Si vous voulez simuler la nature, vous feriez mieux de la rendre quantique », les ordinateurs quantiques démontrent une puissance native écrasante dans la simulation de matériaux. Des avancées permettant de résoudre les défis de l’humanité sont attendues, telles que la conception de nouveaux médicaments révolutionnaires, la découverte de matériaux supraconducteurs à température ambiante, le développement de batteries et de cellules solaires à haut rendement, et la synthèse d’engrais économes en énergie.

3. Problèmes d’optimisation combinatoire et recherche (Algorithme de Grover)

Les algorithmes quantiques sont également efficaces pour trouver la solution optimale parmi un très grand nombre d’options (itinéraires logistiques optimaux, optimisation de portefeuille financier, etc.). En utilisant « l’algorithme de Grover », vous pouvez trouver les données souhaitées en un nombre de fois égal à la racine carrée de l’itinéraire de l’ordinateur classique lors d’une recherche dans une base de données où les données ne sont pas triées. Par exemple, s’il y a 100 millions d’enregistrements de données, une recherche qui prendrait jusqu’à 100 millions de fois avec un ordinateur classique peut être effectuée en seulement 10 000 fois environ.

Chapitre 5 : Le mur matériel qui se dresse sur le chemin : « Décohérence » et « Correction d’erreurs quantiques »

En théorie, un ordinateur quantique est magiquement puissant, mais un mur physique extrêmement haut et escarpé se dresse sur le chemin de sa mise en œuvre pratique. Le plus grand ennemi est le « bruit ».

La « superposition » et l’« intrication quantique » des qubits sont des états extrêmement délicats et fragiles. Le simple fait de toucher une légère quantité de chaleur, une fluctuation d’onde électromagnétique ou un rayon cosmique environnant provoque l’effondrement instantané de l’état magique, le transformant en un simple bit classique. Ce phénomène est appelé « Décohérence » (effondrement quantique).

Une concurrence féroce dans les méthodes de réalisation physique

Actuellement, divers instituts à travers le monde mènent des recherches sur la façon de construire physiquement ces qubits délicats, et une lutte pour la suprématie est en cours.

Méthode supraconductrice (Superconducting) : Adoptée par Google, IBM, Amazon, etc. Elle utilise un circuit supraconducteur en forme de boucle et contrôle l’état quantique en le refroidissant avec un énorme réfrigérateur à une température extrêmement basse proche du zéro absolu (environ -273°C). C’est la méthode actuellement la plus avancée et avec laquelle il est le plus facile d’augmenter le nombre de qubits, mais l’équipement de refroidissement est énorme et coûteux.
Méthode du piège à ions (Trapped Ion) : Adoptée par IonQ, Quantinuum, etc. Elle piège les ions (atomes) dans le vide avec des champs électromagnétiques et les contrôle avec des lasers précis. Sa force est que tous les qubits sont uniformes et peuvent maintenir leur état pendant une longue période (long temps de cohérence), mais sa vitesse de fonctionnement est plus lente par rapport à la méthode supraconductrice.
Méthode photonique (Photonic) : PsiQuantum, etc., se concentrent dessus. Elle utilise des particules de lumière (photons). Elle présente l’avantage majeur qu’elle fonctionne en grande partie à température ambiante sans nécessiter un environnement cryogénique, et elle est très compatible avec les technologies de fabrication de puces en silicium et de communication par fibre optique existantes.
Méthode topologique (Topological) : Longtemps étudiée par Microsoft. Il s’agit d’une approche ambitieuse qui utilise les propriétés topologiques (géométrie topologique) de particules spéciales appelées anyons pour créer des qubits fondamentalement résistants au bruit environnemental (moins sujets aux erreurs). On dit qu’elle est la plus forte en théorie, mais qu’elle présente les obstacles à la réalisation physique les plus élevés.

Le chemin vers le but ultime, l’« ordinateur quantique tolérant aux pannes (FTQC) »

Des erreurs de calcul (telles que le basculement de bits dû aux rayons cosmiques) existent également dans le monde de l’informatique classique d’aujourd’hui, mais comme elles sont parfaitement corrigées par un « code de correction d’erreurs », nous pouvons utiliser nos smartphones sans jamais être conscients d’une erreur. Pour effectuer des calculs à grande échelle pratiques même avec un ordinateur quantique, une « Correction d’erreurs quantiques » (Quantum Error Correction: QEC) similaire est indispensable.

Cependant, comme l’état quantique a la propriété de se « briser lorsqu’on l’observe », il y a un dilemme fatal où l’on ne peut pas regarder (observer) directement le contenu pour vérifier les erreurs. Pour contourner cela, une théorie a été établie pour construire un « qubit logique » stable capable de détecter et de corriger les erreurs en combinant habilement de nombreux « qubits physiques » instables (tels que le code de surface). Cependant, on dit que 1 000 à 10 000 qubits physiques sont nécessaires pour fabriquer un seul qubit logique. Pour exécuter l’algorithme de Shor et d’autres à l’aide de milliers de qubits logiques, un système massif avec des millions à des dizaines de millions de qubits physiques au total est requis.

Actuellement, nous sommes dans ce qu’on appelle l’ère des appareils NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum : Quantique à échelle intermédiaire bruité). Ce sont des machines de transition qui fonctionnent avec des dizaines à des centaines de qubits sans correction d’erreurs. Les experts prédisent qu’il faudra encore des décennies de recherche et de développement à long terme pour atteindre le but ultime d’un « Ordinateur quantique tolérant aux pannes » (Fault-Tolerant Quantum Computer: FTQC) entièrement capable de corriger les erreurs.

Chapitre 6 : L’histoire des ordinateurs quantiques et perspectives d’avenir

Enfin, jetons un œil à la façon dont les ordinateurs quantiques sont nés et où ils se dirigent à l’avenir.

De la naissance de la théorie à la démonstration de la « suprématie quantique »

Les années 1980 : Les physiciens Paul Benioff et Richard Feynman ont proposé le concept d’un ordinateur qui utilise les principes de la mécanique quantique. La phrase « Si vous voulez simuler la nature, utilisez la mécanique quantique » en a été le point de départ.
1994 : Peter Shor annonce un algorithme quantique de factorisation en nombres premiers (l’algorithme de Shor). Cela a choqué le monde et a déclenché un afflux massif de fonds de recherche.
1996 : Lov Grover publie l’algorithme de Grover pour accélérer la recherche de données.
2019 : Une étape historique. Google a annoncé qu’il avait utilisé un processeur supraconducteur de 53 qubits appelé « Sycamore » pour effectuer un calcul de vérification de génération de nombres aléatoires, qui prendrait (soi-disant) 10 000 ans sur un superordinateur classique, en environ 200 secondes. Cela a fait grand bruit en tant que première déclaration de démonstration de la « Suprématie quantique » (Quantum Supremacy) au monde (plus tard, IBM et d’autres ont amélioré l’algorithme du côté du superordinateur classique et ont rétorqué qu’il pouvait être calculé en quelques jours, conduisant à des débats animés).
Après 2023 : IBM annonce le processeur « Condor » avec plus de 1 000 qubits. De plus, l’Université de Harvard et d’autres ont réussi à générer et à manipuler des « qubits logiques », et les premières démonstrations de technologie de correction d’erreurs commencent à être signalées les unes après les autres.

Vers la technologie de la prochaine génération

Un ordinateur quantique n’est pas simplement un « CPU de nouvelle génération avec une vitesse d’horloge plus rapide ». Il s’agit d’un véritable changement de paradigme en informatique, réécrivant le concept même de calcul à partir de zéro avec les règles de la mécanique quantique qui régissent le monde microscopique.

Il est peu probable que nous ayons un « smartphone quantique personnel » dans nos poches de notre vivant (ce n’est d’ailleurs pas nécessaire). Cependant, l’avenir dans lequel un puissant centre de données quantique de l’autre côté d’un réseau cloud tel qu’AWS ou Azure découvre soudainement un remède miracle contre une maladie incurable, ou produit un matériau d’énergie propre de rêve qui résout le réchauffement climatique (par exemple, un catalyseur qui synthétise l’ammoniac à partir de l’azote de l’air à température ambiante), approche à grands pas.

Actuellement, nous sommes encore aux premiers jours équivalents à l’ENIAC dans les années 1940, qui fonctionnait avec des cartes perforées alors que la pièce entière chauffait à cause de la chaleur d’énormes tubes à vide. Cependant, des chercheurs et ingénieurs de haut niveau du monde entier se creusent les méninges, et des percées technologiques sont signalées chaque jour. Nous qui pouvons assister en temps réel au processus d’évolution de cette nouvelle « aube du calcul » pouvons être considérés comme vivant dans une période très excitante de l’histoire.

La porte du monde quantique vient de s’ouvrir. Nous devons garder un œil sur les tendances futures.

Cet article vise à expliquer les concepts fondamentaux de l’informatique quantique d’une manière facile à comprendre pour les hommes d’affaires et le grand public intéressé par la technologie. Veuillez noter que des simplifications ont été apportées à partir des définitions mathématiques et physiques strictes (telles que la notation bra-ket et les détails de l’amplitude de probabilité complexe).

Les ordinateurs quantiques vont-ils vraiment détruire le cryptage RSA ? ~ L'algorithme de Shor et les avancées actuelles ~

Sat, 05 Sep 2026 22:09:21 +0900

Introduction : À la croisée de la cryptographie et de l’informatique quantique

Dans la société Internet moderne, la cryptographie à clé publique est la base de la protection du secret des communications. Le représentant le plus célèbre est le “cryptage RSA”, développé en 1977 par Ron Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman. Du paiement des achats en ligne que nous utilisons tous les jours, à la navigation sur des sites Web (HTTPS), en passant par l’envoi et la réception d’e-mails, le cryptage RSA fonctionne comme le cœur de l’infrastructure Internet.

Cependant, avec l’avènement de l’“ordinateur quantique”, il a été souligné que cette sécurité pourrait être fondamentalement bouleversée. Dans les médias, on voit parfois des gros titres sensationnels comme : “Une fois l’ordinateur quantique achevé, les mots de passe et les cryptages du monde entier seront décryptés en quelques secondes”. Est-ce vraiment le cas ?

Cet article se penche sur les mécanismes de la méthode classique de décryptage GNFS (Crible du corps de nombres généralisé) et sur l’algorithme définitif de décryptage utilisant des ordinateurs quantiques, l’“Algorithme de Shor” (Shor’s Algorithm). Nous expliquerons de manière simple des concepts avancés tels que la transformée de Fourier quantique et la recherche de période, et examinerons en détail l’état actuel du matériel quantique à l’ère NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) ainsi que les obstacles nécessaires pour briser réellement le RSA-2048.

Les fondements du cryptage RSA : La difficulté de la factorisation en nombres premiers

La sécurité du cryptage RSA repose sur une asymétrie mathématique extrêmement simple. Il s’agit du fait qu’ “il est facile de multiplier deux nombres premiers géants, mais il est extrêmement difficile de retrouver les deux nombres premiers originaux (factorisation) à partir du résultat de cette multiplication (nombre composé)”.

Par exemple, supposons qu’il y ait deux nombres premiers, $ p = 61 $ et $ q = 53 $. Le calcul de leur multiplication $ N = p \times q = 3233 $ est instantané. Cependant, si on ne vous donne que le nombre “3233” et qu’on vous demande “quelle est la multiplication de quels nombres premiers ?”, la complexité du calcul augmente de façon explosive à mesure que les nombres s’agrandissent.

Dans le RSA-2048, actuellement dominant, on utilise une longueur de clé de 2048 bits, c’est-à-dire un nombre composé géant $ N $ d’environ 617 chiffres en base 10. Si l’on parvient à factoriser ce $ N $, le cryptage sera considéré comme déchiffré.

Le défi des ordinateurs classiques : GNFS (Crible du corps de nombres généralisé)

Pour résoudre le problème de la factorisation, les mathématiciens et les cryptographes ont développé divers algorithmes au fil des ans. Parmi eux, le plus rapide actuellement sur les ordinateurs classiques est le ** Crible du corps de nombres généralisé (GNFS : General Number Field Sieve) **.

GNFS est une méthode qui étend les calculs dans l’anneau des entiers à un corps algébrique plus abstrait (Number Field) afin de factoriser un nombre géant $ N $. Le processus général est le suivant :

** Sélection de polynômes ** : Trouver un polynôme $ f(x) $ avec un degré et des coefficients appropriés qui a $ N $ comme racine.
** Collecte de données (criblage) ** : Rechercher un grand nombre de paires de nombres qui peuvent être décomposées en petits nombres premiers (nombres friables, Smooth numbers) sur le corps des rationnels et des corps algébriques. Ce processus est appelé “criblage” et est la partie la plus chronophage.
** Génération et réduction de matrices ** : Générer une matrice creuse géante (une matrice dont la plupart des éléments sont 0) sur la base des relations collectées, et trouver une solution à l’aide de méthodes d’algèbre linéaire (comme la méthode de Lanczos par blocs).
** Calcul des racines carrées ** : Enfin, calculer la racine carrée sur le corps algébrique pour dériver les facteurs (facteurs premiers) de $ N $.

La complexité de GNFS est évaluée de manière non asymptotique à $ O(\exp((\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)) (\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})) $. C’est ce qu’on appelle une complexité temporelle “sous-exponentielle” (Sub-exponential). Bien que plus rapide qu’un temps exponentiel, c’est une complexité beaucoup plus lente qu’un temps polynomial (Polynomial time).

En fait, en 2020, une équipe de recherche internationale a réussi à factoriser le RSA-250 (un nombre composé de 829 bits et 250 chiffres) en utilisant GNFS. Ce calcul a nécessité un temps de calcul énorme d’environ 2700 cœurs-années de CPU en rassemblant les ressources informatiques du monde entier. Cependant, lorsqu’il s’agit de 2048 bits, on dit que la complexité de calcul requise gonflerait jusqu’à des billions de fois l’âge de l’univers, et peu importe le nombre de superordinateurs actuels fonctionnant en parallèle, il est impossible de le décrypter dans un temps réaliste avec des méthodes classiques.

L’atout des ordinateurs quantiques : L’algorithme de Shor

C’est ici qu’intervient l’“Algorithme de Shor”, présenté par Peter Shor en 1994. Cet algorithme était révolutionnaire car il permettait de résoudre le problème de la factorisation sur un ordinateur quantique en ** temps polynomial ** ( $ O((\log N)^3) $ ). La différence entre le temps sous-exponentiel et le temps polynomial est décisive et signifie qu’en théorie, les ordinateurs quantiques détruiront complètement le cryptage RSA.

Flux global de l’algorithme de Shor

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graph TD
 A[Entrez le nombre N à factoriser] --> B[Sélectionnez un entier aléatoire a]
 B --> C{Le PGCD<br>de a et N}
 C -->|Supérieur à 1| D[Par chance, un facteur premier est trouvé !]
 C -->|1 Premiers entre eux| E[C'est au tour de l'ordinateur quantique]
 E --> F[Trouver la période r de la fonction f_x = a^x mod N<br>par transformée de Fourier quantique]
 F --> G{La période r est paire ET<br>a^r/2 ≢ -1 mod N}
 G -->|Oui| H[Calculer le PGCD gcd_a^r/2 ± 1, N]
 H --> I((Factorisation réussie !))
 G -->|Non| B

L’algorithme de Shor ne résout pas directement le problème de la factorisation, mais utilise des théorèmes de la théorie des nombres pour le convertir en un autre problème appelé “problème de recherche de période” (Period Finding Problem), puis utilise les caractéristiques des ordinateurs quantiques pour le résoudre rapidement.

Étape 1 : Réduction de la factorisation au problème de recherche de période (Traitement classique)

La première étape de l’algorithme est exécutée sur un ordinateur classique. Pour le nombre $ N $ à factoriser, choisissez un entier aléatoire $ a $ ($ 1 < a < N $) premier avec $ N $ (le plus grand commun diviseur est 1). Si, par hasard, le plus grand commun diviseur n’est pas 1, le diviseur commun trouvé à ce moment-là est un facteur premier de $ N $, et le décryptage est terminé, mais la probabilité est extrêmement faible.

Ensuite, considérez la suite d’équations modulo suivante : $ f(x) = a^x \pmod N $

En substituant $ x = 1, 2, 3, \dots $ dans cette fonction $ f(x) $, les valeurs semblent aléatoires, mais puisqu’elles sont calculées dans une plage finie, elles reviendront toujours à la valeur d’origine à un moment donné et répéteront la même suite de nombres. La période de cette répétition est appelée $ r $. En d’autres termes, $ a^r \equiv 1 \pmod N $ Le problème de trouver le plus petit entier positif $ r $ qui satisfait cette condition est le “problème de recherche de période”.

Si cette période $ r $ est trouvée et que $ r $ est pair, alors $ a^r - 1 \equiv 0 \pmod N $, et en utilisant la formule de factorisation, on peut la transformer en $ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $ À partir de là, en utilisant l’algorithme d’Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur de $ N $ et de $ a^{r/2} \pm 1 $, les facteurs premiers de $ N $ peuvent être obtenus avec une probabilité extrêmement élevée.

En fin de compte, pour trouver la période $ r $ avec un ordinateur classique, des étapes exponentielles sont nécessaires et ne peuvent pas être accélérées. Cependant, avec un ordinateur quantique, cette période $ r $ peut être trouvée instantanément (en temps polynomial).

Étape 2 : Préparation de l’état quantique et superposition

C’est ici qu’interviennent les ordinateurs quantiques. Les ordinateurs quantiques utilisent des “qubits” qui peuvent avoir simultanément les états “0” et “1”. L’algorithme de Shor prépare deux registres : un registre pour stocker les entrées (premier registre) et un registre pour stocker les résultats du calcul (deuxième registre).

Tout d’abord, une opération de porte quantique appelée porte de Hadamard est appliquée à tous les qubits du premier registre. En conséquence, le premier registre sera dans un ** état de superposition uniforme ** de toutes les valeurs possibles de $ x $ (de $ 0 $ à $ 2^n-1 $. $ n $ est un nombre de bits suffisamment grand).

En d’autres termes, un état est créé à l’intérieur de l’ordinateur quantique où un nombre infini de valeurs d’entrée, $ x = 0, 1, 2, 3, \dots $, existent simultanément et en parallèle.

Étape 3 : Exponentiation modulaire quantique (Quantum Modular Exponentiation)

Ensuite, en prenant l’état de superposition du premier registre comme entrée, calculez $ f(x) = a^x \pmod N $ et stockez le résultat dans le deuxième registre. Étant donné que ce calcul est exécuté sous forme de transformation unitaire sur un circuit quantique, le calcul de $ f(x) $ pour tout $ x $ est effectué “simultanément et en parallèle (parallélisme quantique)” tout en maintenant la superposition.

L’espace de l’ensemble du système quantique à ce stade est une vaste superposition d’états : $ |x, a^x \bmod N\rangle $

Cependant, si l’on se contente de mesurer (observer) le deuxième registre à ce stade, seule une valeur aléatoire de $ a^x \bmod N $ sera choisie de manière probabiliste, et en conjonction avec cela, le $ x $ du premier registre sera également fixé à une seule valeur. Cela équivaut à calculer une seule fois sur un ordinateur classique et ne permet pas de trouver la période $ r $.

Selon les règles de la mécanique quantique, vous ne pouvez pas regarder directement à l’intérieur d’un état superposé. Alors, comment extraire l’information globale de “période” de l’ensemble ?

Étape 4 : Transformée de Fourier quantique (QFT: Quantum Fourier Transform)

La véritable valeur de l’algorithme de Shor, qui permet de franchir ce mur, est l’application de la ** Transformée de Fourier Quantique (QFT) ** au premier registre.

Avant de mesurer, on analyse les propriétés ondulatoires de la fonction $ f(x) $. Supposons que nous observions le deuxième registre. Supposons qu’une valeur $ y $ soit obtenue. Ensuite, l’état du premier registre se réduit à la “superposition de tous les $ x $ tels que $ a^x \pmod N = y $”. Les valeurs de ce $ x $ seront un état discret (une sorte de distribution d’amplitude de probabilité en forme de peigne) espacé par des intervalles de période $ r $, tel que $ x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, x_0 + 3r, \dots $.

La transformée de Fourier quantique (QFT) est appliquée à cet état. Tout comme la transformée de Fourier discrète classique convertit un signal dans le domaine temporel en domaine fréquentiel, la QFT provoque des interférences dans l’amplitude de probabilité des états quantiques.

Lorsque la QFT est appliquée, en raison des effets d’interférence quantique, la probabilité de réponses incorrectes qui ne résonnent pas avec la période $ r $ (phases non alignées) s’annule mutuellement pour s’approcher de zéro (interférence destructive), et seule la probabilité de la réponse correcte contenant les informations de la période $ r $ est amplifiée (interférence constructive).

Étape 5 : Mesure et expansion en fraction continue (Post-traitement classique)

Lorsque le premier registre est mesuré après l’application de la QFT, un entier $ c $ proche de la forme $ c \approx \frac{j \cdot 2^n}{r} $ est obtenu avec une probabilité très élevée ($ j $ est un entier inconnu et $ 2^n $ est la taille du registre).

Ce résultat de mesure $ c $ est renvoyé à l’ordinateur classique pour créer la fraction $ \frac{c}{2^n} \approx \frac{j}{r} $. Ensuite, en calculant une valeur approximative à l’aide d’une méthode mathématique appelée “expansion en fraction continue” (Continued fraction expansion), on peut brillamment extraire le dénominateur, la période $ r $.

Une fois que l’on connaît $ r $, il suffit de calculer les facteurs premiers de $ N $ en utilisant la formule de l’étape 1, et le cryptage RSA est complètement déchiffré.

Capacités et défis actuels des ordinateurs quantiques (NISQ)

Bien que l’algorithme de Shor soit parfait en théorie, si l’on se demande “Le cryptage RSA sera-t-il brisé demain ?”, la réponse est clairement “Non”. La raison réside dans les limites de la technologie matérielle des ordinateurs quantiques actuels.

L’ère NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum)

L’ère dans laquelle nous nous trouvons actuellement est appelée l’ère “NISQ”. Les dispositifs NISQ possèdent de quelques dizaines à quelques centaines de qubits physiques, mais sont extrêmement vulnérables au bruit.

Les qubits sont sensibles aux environnements externes tels que la chaleur et les ondes électromagnétiques, entraînant de fréquentes “décohérences” (pertes d’intrication quantique) où l’état quantique se brise, et des “erreurs de porte” lors des opérations de porte. Lorsque vous essayez d’exécuter un circuit quantique très profond (avec un nombre énorme d’étapes de calcul) comme l’algorithme de Shor, des erreurs s’accumulent pendant le calcul et la sortie finale devient un bruit complet et dénué de sens.

Qubits physiques et Qubits logiques

La “correction d’erreurs quantiques” (Quantum Error Correction) est essentielle pour résoudre ce problème d’erreur. Des codes de correction d’erreurs sont également utilisés dans les ordinateurs classiques, mais comme il existe un “théorème de non-clonage quantique” qui interdit de copier les états quantiques, la correction d’erreurs quantiques est extrêmement complexe.

Dans la correction d’erreurs quantiques, en utilisant des technologies telles que le “code de surface” (Surface Code), on combine un grand nombre de “qubits physiques” bruyants pour créer un seul “qubit logique” idéal et sans erreur.

En supposant le taux d’erreur actuel, on estime qu’il faudrait entre 1 000 et 10 000 qubits physiques pour créer un seul qubit logique. On appelle cela la “surcharge de correction d’erreur”.

Quelles sont les ressources nécessaires pour briser le RSA-2048 ?

Alors, combien de ressources sont nécessaires pour exécuter l’algorithme de Shor afin de décrypter réellement le RSA-2048 ?

Selon une estimation révolutionnaire des ressources dans un article de 2021 de Craig Gidney (Google) et Martin Ekerå, si l’on utilise un algorithme de Shor optimisé et une correction d’erreur par code de surface, les ressources suivantes sont nécessaires :

** Nombre de qubits logiques ** : environ 4 096
** Nombre de qubits physiques ** : ** environ 20 millions ** (en supposant un taux d’erreur d’environ $10^{-3}$)
** Temps de calcul ** : environ 8 heures (des millions à des milliards d’opérations de portes physiques sont nécessaires)

Face à cela, où en est le matériel quantique actuel ? Le processeur quantique supraconducteur “Condor” annoncé par IBM fin 2023 compte 1 121 qubits. Par ailleurs, des recherches révolutionnaires sur la génération de qubits logiques ont émergé (telles que la génération de 48 qubits logiques à l’aide d’un ordinateur quantique à atomes neutres par l’Université de Harvard et QuEra, etc.), mais on n’en est pas encore au stade où des “calculs parfaits et sans bruit” peuvent être exécutés en continu pendant de longues périodes.

Il existe des obstacles d’ingénierie colossaux (problèmes de câblage, limites de la capacité de refroidissement, hypertrophie de l’électronique de contrôle) pour passer de quelques milliers de qubits physiques à un système avec ** 20 millions ** de qubits physiques pratiques (interconnectés, fonctionnant de manière stable à des températures cryogéniques et capables de traiter les signaux de contrôle à des vitesses ultra-rapides). De nombreux experts prédisent qu’il faudra au moins 10 à 30 ans, ou plus, avant qu’un “ordinateur quantique tolérant aux pannes (FTQC)” capable de décrypter le RSA-2048 ne devienne une réalité.

La menace imminente de “Store Now, Decrypt Later” et l’aube de la PQC

Il est prématuré de penser : “Nous sommes en sécurité car cela prendra encore plus de 10 ans”. À l’heure actuelle, il existe des données dont la confidentialité doit être garantie pendant des décennies, comme les secrets d’État, les données médicales et la conception d’infrastructures à long terme.

Ce que l’on craint ici, c’est une méthode d’attaque appelée ** “Store Now, Decrypt Later” (Stockez maintenant, décryptez plus tard) **. Des pays ou des organisations malveillants interceptent toutes les données de communication cryptées avec le RSA ou ECC (cryptographie sur les courbes elliptiques) actuels et les stockent. Puis, 10 ou 20 ans plus tard, au moment où un puissant ordinateur quantique est achevé, ils utilisent l’algorithme de Shor pour décrypter toutes les données passées et révéler des secrets.

Pour lutter contre cette menace de décalage temporel, le NIST (National Institute of Standards and Technology des États-Unis) a dirigé le processus de standardisation de la ** “Cryptographie post-quantique (PQC: Post-Quantum Cryptography)” ** à un rythme effréné.

La PQC est un nouvel algorithme cryptographique basé sur des problèmes mathématiques difficiles à décrypter même à l’aide d’ordinateurs quantiques (c’est-à-dire que l’algorithme de Shor ne peut pas être appliqué). Les principales approches incluent :

** Cryptographie basée sur les réseaux euclidiens (Lattice-based cryptography) ** : Basée sur des problèmes tels que LWE (Learning with Errors). Actuellement le courant dominant dans la standardisation du NIST (Kyber, Dilithium, etc.).
** Cryptographie basée sur les codes (Code-based cryptography) ** : Repose sur la difficulté de décodage des codes correcteurs d’erreurs.
** Cryptographie multivariée (Multivariate cryptography) ** : Repose sur la difficulté de résoudre un système d’équations quadratiques à plusieurs variables.
** Signatures basées sur le hachage (Hash-based signatures) ** : Signatures numériques qui reposent uniquement sur la sécurité des fonctions de hachage.

Les principaux logiciels et plateformes tels que Google Chrome et Apple iMessage ont déjà commencé les tests de déploiement de la PQC et des implémentations hybrides.

Conclusion

L’ordinateur quantique est passé d’un conte de fées de science-fiction à un véritable défi d’ingénierie. L’algorithme de Shor est une grande réalisation intellectuelle de l’humanité combinant les mathématiques et la mécanique quantique, mais en même temps, il cache un “pouvoir destructeur” qui ébranle les fondements de notre société numérique.

Le cryptage RSA ne deviendra pas inutilisable dès demain. Cependant, compte tenu de l’évolution de la technologie quantique et du risque du “Store Now, Decrypt Later”, une migration massive vers la PQC, qui restera dans l’histoire de la cryptographie, a déjà commencé. Nous sommes actuellement témoins d’un changement de paradigme en matière de sécurité de l’information.

La Véritable Structure Mathématique du Crible Général du Corps de Nombres (GNFS)

Sat, 05 Sep 2026 02:26:13 +0900

La Véritable Structure Mathématique du Crible Général du Corps de Nombres (GNFS)

L’objectif ultime du GNFS est de trouver $X, Y$ tels que $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$. Pour y parvenir, les mathématiciens ont construit un pont entre le “monde des entiers réels” et le “monde des corps algébriques” . Ce pont est l’“homomorphisme”.

Phase 1 : Relier les mondes avec l’“Homomorphisme”

1. Sélection du polynôme et définition des racines

Pour un nombre composé géant $N$, on choisit un entier $m$ et un polynôme $f(x)$ tels que $f(m) \equiv 0 \pmod N$. (Exemple : on développe $N$ en base $m$ et on crée $f(x)$ à partir de ses coefficients. On suppose ici que $f(x)$ est irréductible sur le corps des rationnels $\mathbb{Q}$ (ne peut pas être factorisé davantage)).

Ensuite, on définit l’une des “racines complexes” de l’équation $f(x) = 0$ comme étant $\alpha$. Naturellement, $f(\alpha) = 0$. $\alpha$ n’est pas un entier, mais un nombre complexe impliquant des racines et des nombres imaginaires (un nombre algébrique).

2. Construction d’Anneaux (Rings) et d’Homomorphismes

Ici, on prépare deux “anneaux” mathématiques (des mondes où l’addition et la multiplication sont définies).

Monde A : $\mathbb{Z}[\alpha]$ (L’anneau des entiers algébriques contenant $\alpha$) Un monde de nombres exprimés sous la forme $a + b\alpha + c\alpha^2 + \dots$.
Monde B : $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (L’anneau des restes modulo $N$) Un monde de congruences composé uniquement des entiers de $0$ à $N-1$.

Ici, on définit une application $\phi$ du Monde A vers le Monde B comme suit. $$\phi : \mathbb{Z}[\alpha] \to \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$$ $$\phi(\alpha) = m \pmod N$$

Cette application $\phi$ est une opération magique qui remplace exactement la variable $\alpha$ du Monde A par l’entier $m$ du Monde B. Ce $\phi$ possède une propriété extrêmement puissante appelée “Homomorphisme d’Anneau (Ring Homomorphism)” . L’homomorphisme est la propriété de “se téléporter dans un autre monde sans détruire la structure de l’addition et de la multiplication” . En d’autres termes, les équations suivantes sont vraies :

$\phi(X \times Y) = \phi(X) \times \phi(Y)$
$\phi(X^2) = \phi(X)^2$

Qu’est-ce que cela signifie ? Si nous pouvons créer le “carré ($\gamma^2$)” d’un élément complexe $\gamma$ dans le “Monde A (le monde de $\alpha$)”, et le téléporter dans le “Monde B (le monde des restes)” en utilisant $\phi$, la forme carrée $\phi(\gamma)^2$ est parfaitement préservée .

Phase 2 : L’Effondrement de la Factorisation Première et la Naissance des “Idéaux”

Dans le Monde A ($\mathbb{Z}[\alpha]$), on souhaite rassembler de nombreux éléments appropriés $(a - b\alpha)$ et les multiplier pour créer un “carré parfait (élément carré)”. Normalement, on procéderait à la “factorisation première” de chaque $(a - b\alpha)$ collecté et on les combinerait de manière à ce que les exposants des nombres premiers soient tous pairs (en résolvant avec des matrices) pour former un carré.

Cependant, ici, le mur désespérant de l’algèbre se dresse. Dans des mondes algébriques comme $\mathbb{Z}[\alpha]$, l’“unicité de la factorisation première (tout nombre peut être exprimé de manière unique comme un produit de nombres premiers)” enseignée au collège s’effondre .

(Exemple : Dans un certain monde algébrique, $6 = 2 \times 3$, mais en même temps $6 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5})$, et on ne sait plus quels sont les vrais nombres premiers)

Si la factorisation n’est pas unique, le puzzle consistant à “compter le nombre de nombres premiers pour les rendre pairs” (la méthode du crible) est, en principe, impossible à exécuter.

Le Sauvetage de Kummer et Dedekind : les “Idéaux”

Ce qui a sauvé cet effondrement, c’est le concept d’ “Idéal (Ideal : nombre idéal)” créé par les mathématiciens du 19ème siècle. En pensant non pas à l’élément lui-même, mais à “l’ensemble des multiples (idéal)” généré par cet élément, la factorisation première est redevenue possible.

Dans l’anneau des entiers d’un corps algébrique $\mathcal{O}_K$ (un anneau plus complet contenant $\mathbb{Z}[\alpha]$), il est prouvé que même si un élément ne peut pas être factorisé de manière unique, “un idéal peut toujours être factorisé de manière unique comme le produit d’‘Idéaux Premiers ($\mathfrak{p}$)’” .

Par conséquent, dans le GNFS, au lieu de factoriser l’élément $(a - b\alpha)$ lui-même, on factorise l’idéal principal $\langle a - b\alpha \rangle$ qu’il génère en idéaux premiers .

Phase 3 : La Norme (Norm) et les Deux Cribles (Sieves)

Alors, comment savoir en quels idéaux premiers l’idéal $\langle a - b\alpha \rangle$ se décompose ? Ici on utilise une fonction appelée “Norme (Norm)” . La Norme est une fonction qui convertit des éléments complexes de corps algébriques en “entiers réels normaux $\mathbb{Z}$”.

La norme de l’élément $(a - b\alpha)$ est trouvée par un simple calcul polynomial $b^d f(a/b)$ ($d$ est le degré de $f(x)$).

D’après un théorème algébrique, on sait que “si la norme d’un certain idéal peut être complètement factorisée en petits nombres premiers (est friable), alors l’idéal d’origine peut également être complètement factorisé en petits idéaux premiers” .

Ainsi, pour un grand nombre de paires d’entiers $(a, b)$, le GNFS calcule les deux valeurs suivantes simultanément et ne collecte que les paires où les deux deviennent des “nombres friables (smooth numbers)” :

Crible Rationnel (Rational Sieve) : $a - bm$ (la valeur dans le monde réel)
Crible Algébrique (Algebraic Sieve) : $b^d f(a/b)$ (la norme dans le monde algébrique)

En collectant des dizaines de millions de paires $(a, b)$ où les deux sont friables, on résout les données de factorisation des idéaux premiers (combien d’idéaux premiers sont inclus) sous la forme d’une matrice géante (algèbre linéaire sur GF(2)) pour trouver un ensemble $S$ de paires tel que “multipliés ensemble, les exposants de tous les idéaux premiers deviennent pairs”.

Phase 4 : Les Deux “Obstacles” et le Groupe des Classes d’Idéaux

À partir du calcul matriciel, on a découvert qu’en multipliant tous les idéaux de $(a - b\alpha)$ appartenant à l’ensemble $S$, on obtient le carré d’un certain idéal $I$.

$$\prod_{S} \langle a - b\alpha \rangle = I^2$$

Cependant, ce n’est pas encore terminé. Le mur mathématique le plus profond et le plus difficile du GNFS se trouve ici.

Ce que nous voulons à la fin, ce n’est pas “le carré d’un idéal”, mais le “carré d’un élément ($\gamma^2$)” à substituer dans l’application $\phi$. Ce n’est pas parce que c’est devenu le carré d’un idéal que l’élément lui-même est nécessairement un carré. Il y a ici deux puissants obstacles mathématiques (Obstructions) .

Obstacle ① : La Barrière du Groupe des Classes d’Idéaux (Ideal Class Group)

L’idéal $I$ n’est pas toujours un “idéal généré par un seul élément (idéal principal)”. Il est impossible d’extraire un élément spécifique $\gamma$ d’un idéal qui n’est pas principal.

C’est ici qu’intervient le concept de “Groupe des Classes d’Idéaux (Class Group, $Cl_K$)” . Le groupe des classes d’idéaux est un groupe qui mesure “combien d’idéaux existent dans ce corps algébrique qui ne sont pas principaux (à quel point l’unicité de la factorisation est brisée)”. Même si $\prod \langle a - b\alpha \rangle$ devient $I^2$, si $I$ n’est pas l’élément neutre (idéal principal) dans le groupe des classes d’idéaux, il ne peut pas être ramené au carré d’un élément.

Obstacle ② : La Barrière du Groupe des Unités (Unit Group)

Supposons que, par chance, $I$ soit l’idéal principal $\langle \gamma \rangle$. Alors, on a $\prod \langle a - b\alpha \rangle = \langle \gamma^2 \rangle$. Vous pourriez penser : “Super, l’élément est aussi un carré !”, mais c’est une grosse erreur.

Le fait que des idéaux (ensembles de multiples) soient égaux ne signifie pas que les éléments sont parfaitement égaux. Il y aura toujours un décalage par une “Unité (Unit : un nombre dont l’inverse est aussi un entier. Comme 1 ou -1)” . En d’autres termes, l’équation réelle des éléments devient la suivante :

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = u \cdot \gamma^2$$

($u$ est un élément du groupe des unités $U_K$)

À moins que cette unité $u$ ne soit elle-même le carré de quelque chose, le côté gauche ne pourra jamais devenir le “carré parfait d’un élément”.

Phase 5 : La Magie d’Adleman “Caractères Quadratiques” (Quadratic Characters)

L’obstacle du groupe des classes d’idéaux et l’obstacle du groupe des unités. Comment surmonter ces deux-là ? C’est ici qu’intervient la brillante méthode des “Caractères Quadratiques (Quadratic Characters)” , introduzido par le cryptographe Leonard Adleman (le “A” de RSA) et d’autres.

Pour déterminer “si un certain élément est un carré parfait dans le corps algébrique”, on utilise la version pour corps algébriques du Symbole de Legendre (résidu quadratique). Dans cette matrice géante d’avant (le puzzle pour rendre pairs les comptes d’idéaux premiers), on ajoute furtivement quelques dizaines de conditions supplémentaires (colonnes) disant que “les caractères quadratiques pour certains idéaux premiers spéciaux $\mathfrak{q}$ doivent également tous être $1$ (pairs)” .

Lorsqu’on trouve un ensemble $S$ qui satisfait même à ces conditions supplémentaires par le calcul matriciel, des théorèmes profonds de la théorie algébrique des nombres garantissent que “l’obstacle du groupe des classes d’idéaux et l’obstacle du groupe des unités disparaîtront naturellement avec une probabilité écrasante” .

Avec cela, nous obtenons enfin la véritable équation.

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = \gamma^2$$

Phase Finale : La Fusion des Mondes et l’Effondrement Cryptographique

Enfin, toutes les pièces du puzzle sont en place.

[Éléments dans le Monde Algébrique (Monde A)] $\gamma^2 = \prod (a - b\alpha)$ (On utilise un algorithme de racine carrée pour trouver $\gamma$)

[Éléments dans le Monde Réel (Monde des Nombres Rationnels)] $V^2 = \prod (a - bm)$ (Comme il s’agit d’une simple multiplication d’entiers, $V$ est trouvé normalement)

Maintenant, il est temps d’utiliser ce pont magique que nous avons construit au début, l’ homomorphisme $\phi$ . On téléporte l’élément $\gamma$ du Monde A vers le Monde B (le monde des restes de $N$) en utilisant $\phi$ (l’application où on remplace $\alpha$ par $m$).

$$Y = \phi(\gamma) \pmod N$$

D’autre part, on amène directement le $V$ construit dans le monde réel dans le monde des restes et on l’appelle $X$.

$$X = V \pmod N$$

Grâce à la propriété de “préservation de structure” de l’homomorphisme, la relation carrée qui tenait dans le Monde A est parfaitement préservée dans le Monde B (le monde modulo $N$). De plus, puisque les paires originales $(a, b)$ ont été créées en correspondance sous les formes $a - b\alpha$ et $a - bm$, ces $X$ et $Y$ entrent en collision dans le monde modulo $N$ et produisent l’équation absolue suivante :

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Il ne reste plus qu’à prier pour que ces $X$ et $Y$ ne soient pas des solutions triviales ($X \equiv \pm Y$), et à calculer $\gcd(X - Y, N)$ .

S’il s’agit d’une solution non triviale, l’algorithme d’Euclide s’exécutera en 0,001 seconde, et les nombres premiers secrets $p$ et $q$, qui sont le cœur de la cryptographie RSA, seront imprimés sur l’écran de sortie.

Ceci est l’image complète du “Crible Général du Corps de Nombres (GNFS)” , l’essence des mathématiques modernes.

Principe de Kerckhoffs

Wed, 16 Apr 2025 23:53:08 +0900

“Principe de Kerckhoffs”

Bonjour !

Aujourd’hui, j’aimerais parler de quelque chose d’un peu intéressant et, en fait, d’extrêmement important, appelé le “principe de Kerckhoffs”.

Ah, attendez, attendez.
Certains d’entre vous pourraient penser : “Je n’ai jamais entendu parler du ‘principe de Kerckhoffs’, et ça a l’air un peu technique…”. Ne vous inquiétez pas. Cet article est exactement ce que je veux que les personnes comme vous lisent.

Que signifie “cryptographie sûre” ?

Par exemple, supposons que quelqu’un dise : “Ce coffre-fort ne peut être ouvert que par quelqu’un qui connaît la méthode secrète pour l’ouvrir”.

À première vue, cela semble très sûr, n’est-ce pas ?
Mais, si vous y réfléchissez, n’est-ce pas un peu inquiétant ?

Du genre, “Si ce secret est découvert, c’est fini ?”.

En fait, c’est ce qui a déclenché l’apparition du principe de Kerckhoffs.

Qu’est-ce que le “principe de Kerckhoffs” au juste ?

Pour le dire très simplement, c’est l’idée que

“La cryptographie doit être sûre même si son fonctionnement est découvert.”

Pour être plus précis, “La sécurité ne doit reposer que sur la ‘clé secrète’, et la méthode de cryptographie elle-même peut être publique !”.

À l’inverse, “Un état dans lequel l’algorithme (le mécanisme) de chiffrement est gardé secret est considéré comme peu fiable”.

“Si le mécanisme est secret, c’est sûr” peut être un peu dangereux

C’est une façon de penser courante :

“Je n’ai montré l’intérieur de cette application à personne, donc la sécurité est bonne”

Je comprends le sentiment.
Mais cela revient à dire : “Personne ne regarde, donc aucun point faible ne sera trouvé, n’est-ce pas ?”.

En réalité, le fait même que “personne ne regarde” peut devenir un risque.

Mais pourquoi ce principe est-il important ?

Parce que, si quelqu’un met la main sur le mécanisme et peut facilement le déchiffrer, cette cryptographie est finie.

Pour utiliser une analogie, c’est comme si la serrure d’une porte avait un mécanisme très complexe, mais qu’elle pouvait en fait être ouverte avec une clé de rechange fabriquée dans un magasin à un dollar.

Ce n’est pas “La clé est secrète donc c’est bon”, mais “Même si vous montrez tout le mécanisme, il ne peut pas être ouvert sans la bonne clé” qui est important.

Le sentiment de “Mais n’est-ce pas un peu effrayant ?”

Ce que beaucoup de gens ressentent ici, c’est de l’anxiété :

“N’est-ce pas un peu effrayant d’exposer tout le mécanisme ?”

Je comprends.
Parce que vous vous dites : “Si je montre tout l’intérieur, ne sera-t-il pas imité ou utilisé à mauvais escient ?”.

Mais c’est exactement le cœur du principe de Kerckhoffs.
La “force qui ne s’effondre pas même quand on montre l’intérieur” est la véritable sécurité.

Cela dit, il faut un peu de courage au début

Du point de vue du développeur, il semble que “publier le mécanisme = exposer ses faiblesses”, donc c’est bien sûr angoissant.

Mais pensez-y.

Quelque chose que vous pouvez montrer correctement en disant : “N’importe qui peut vérifier”, finira par être plus fiable.

C’est semblable aux relations humaines.

“Une personne qui s’entend bien avec vous après avoir montré votre vrai moi” est finalement la plus rassurante.

En conclusion

Le principe de Kerckhoffs peut sembler un peu théorique, mais son essence est très simple.

Il s’agit simplement de “Créons un mécanisme qui ne se brisera pas, peu importe à qui vous le montrez.”

Une conception appropriée plutôt que des secrets superficiels.
Un code que vous n’avez pas honte de montrer, plutôt qu’un code que vous ne voulez montrer à personne.

Peut-être que ce type de “force” sera de plus en plus nécessaire dans l’ère à venir.

Merci beaucoup de m’avoir lu !

La sécurité est un sujet un peu difficile, mais certaines parties sont également liées aux “relations avec les personnes” et à la “tranquillité d’esprit quotidienne”.
Si vous apprenez petit à petit sans vous sentir accablé, je suis sûr que de bonnes choses arriveront.

Conjecture P≠NP

Wed, 11 Sep 2024 02:22:39 +0900

Aperçu

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La classe P est la classe des problèmes qui peuvent être décidés en temps polynomial par une machine de Turing déterministe, et la classe NP est la classe des problèmes pour lesquels, étant donné une preuve (appelée Témoin ou Witness) que la réponse est Oui, la validité du Témoin peut être jugée (cela s'appelle la vérification) en temps polynomial. Étant donné que les problèmes décidables en temps polynomial peuvent être vérifiés en temps polynomial, il est évident que P⊆NP, mais il n'est pas clair si P est un sous-ensemble propre de NP. Il n'y a pas encore de preuve, mais de nombreux chercheurs pensent que P≠NP. La conjecture selon laquelle la classe P et la classe NP ne sont pas égales est appelée la "Conjecture P≠NP".

Site de référence : https://daigakudenki.com/np-hard/

Citations d'Einstein

Sat, 24 Aug 2024 18:38:47 +0900

Bonjour !

Aujourd’hui, je voudrais parler des citations d’Einstein.

Le monde ne valorise-t-il pas vos bonnes actions ?

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Le monde n'évaluera jamais le million de bonnes choses que vous faites.
Mais ils critiqueront la seule mauvaise chose que vous faites...
Mais ne vous découragez pas.
"Élevez-vous toujours au-dessus de tous les rires et critiques. Restez fort."

- Albert Einstein

Ce sont des mots qui auraient été prononcés par Einstein. Ils soulignent avec acuité la dureté de la société que nous ressentons tous les jours et les préjugés dans les évaluations des gens.

Pourtant, continuez à vous lever

“Élevez-vous toujours au-dessus de tous les rires et critiques. Restez fort.”

Ces mots suivants peuvent être considérés comme la réponse d’Einstein à la dure réalité mentionnée ci-dessus. Ils nous enseignent l’importance de ne pas céder à la critique ou au ridicule, et de continuer à avancer avec foi en nous-mêmes.

Appliquer les enseignements d’Einstein à la vie quotidienne

Cette citation est profondément liée à notre vie quotidienne. Par exemple, il peut y avoir des moments où vos efforts au travail ne sont pas reconnus et où seules des erreurs insignifiantes ressortent. De plus, vos déclarations sur les réseaux sociaux peuvent être sorties de leur contexte et critiquées.

Dans ces moments-là, essayez de vous souvenir des mots d’Einstein. Il est important de maintenir ses propres croyances plutôt que d’être heureux ou triste à cause de l’évaluation des autres.

Conclusion

Cette citation d’Einstein nous enseigne l’importance de “vivre en croyant en soi sans être influencé par les évaluations des autres”. Ayons le courage de suivre le chemin auquel nous croyons, sans succomber à la critique ou au ridicule.

Enfin, les mots d’Einstein une fois de plus.

“Élevez-vous toujours au-dessus de tous les rires et critiques. Restez fort.”

J’espère que ces mots résonneront dans votre cœur et vous inspireront à faire un pas positif en avant.

Code C pour générer des nombres premiers

Sat, 24 Aug 2024 09:38:10 +0900

Voici un code C simple qui génère des nombres premiers dans une plage spécifiée. Dans cet exemple, nous énumérons les nombres premiers de 1 à n.

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#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool isPrime(int num) {
 if (num <= 1) return false;
 if (num <= 3) return true;
 if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return false;

 for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) {
 if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false;
 }
 return true;
}

void printPrimes(int n) {
 printf("2 ");
 for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
 if (isPrime(i)) {
 printf("%d ", i);
 }
 }
 printf("\n");
}

int main() {
 int n;
 printf("Veuillez entrer la valeur maximale de la plage pour générer des nombres premiers : ");
 scanf("%d", &n);
 printf("Les nombres premiers de 1 à %d sont les suivants :\n", n);
 printPrimes(n);
 return 0;
}

Ce code fonctionne de la manière suivante :

Fonction isPrime : Détermine si un nombre donné est premier. Par souci d’efficacité, on vérifie d’abord s’il est divisible par 2 et 3, puis on procède à la vérification par multiples de 6.
Fonction printPrimes : Produit les nombres premiers dans une plage spécifiée. Le 2 est affiché en premier, puis seuls les nombres impairs sont vérifiés.
Fonction main : Demande à l’utilisateur de saisir la valeur maximale de la plage et affiche les nombres premiers dans cette plage.

Si vous compilez et exécutez ce code, les nombres premiers dans la plage spécifiée seront affichés.

Le Problème de Monty Hall

Sun, 31 Mar 2024 23:41:51 +0900

Qu’est-ce que le problème de Monty Hall ?

Le problème de Monty Hall est l’un des jeux présentés dans l’émission de télévision américaine “Let’s Make a Deal”, et se présente comme suit :

Prérequis : Derrière l’une des 3 portes se trouve un prix, et les 2 autres sont perdantes.

Le participant choisit l’une des 3 portes.
Le présentateur ouvre une des 2 portes non choisies par le participant, révélant qu’elle est perdante.
On demande alors au participant s’il souhaite changer la porte qu’il a choisie.

Le problème est de déterminer s’il est préférable pour le participant de changer de porte ou non.

Solution

La solution au problème de Monty Hall est la suivante :

Si le participant ne change pas la porte initialement choisie
- Probabilité de gagner : 1/3
- Probabilité de perdre : 2/3
Après que le présentateur a ouvert une porte perdante
- S’il ne change pas, probabilité de gagner : 1/3 (la même qu’à l’étape 1)
- S’il change, probabilité de gagner : 2/3 (la probabilité restante de l’étape 1)

Par conséquent, la probabilité de gagner est plus élevée si le participant change de porte.

Référence

Wikipédia Monty Hall problem

Histoire des Mathématiques

Sat, 22 Jul 2023 15:25:10 +0900

Les trois problèmes classiques de l’Antiquité grecque

Étant donné un cercle, construire un carré de même aire (Quadrature du cercle)
Étant donné un angle arbitraire, le diviser en trois parties égales (Trisection de l’angle)
Étant donné un cube, construire un cube de volume double (Duplication du cube)

Spirale d’Archimède

Dans un plan, une demi-droite OB tourne autour d’un point fixe O à une vitesse uniforme. Si la position initiale est OA, et qu’en même temps un point P part de O et se déplace le long de OB à une vitesse constante, la courbe tracée par le point P est la spirale d’Archimède.

Théorème de Pappus

Cycloïde
Conchoïde de Nicomède
Cissoïde de Dioclès
Méthode des tangentes de Fermat
Méthode des normales de Descartes

Chronologie

Année	Événement
Vers 3400 av. J.-C.	Les Sumériens utilisent des jetons d’argile pour la comptabilité
Vers 3000 av. J.-C.	Apparition des mathématiques hiéroglyphiques en Égypte
Vers 2800 av. J.-C.	La civilisation de la vallée de l’Indus utilise des poids et mesures décimaux
Vers 2700 av. J.-C.	Les Égyptiens utilisent des cordes et des triplets pythagoriciens pour vérifier les angles
Vers 2500 av. J.-C.	L’abaque, un outil utilisé pour le calcul, est découvert
Vers 2500 av. J.-C.

Référence

Histoire des Mathématiques

【Compréhension complète avec formules】Pourquoi le « GNFS », le plus puissant des algorithmes classiques, est-il vaincu par l'algorithme quantique ? Le changement de paradigme de la factorisation en nombres premiers

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Dans la société Internet moderne, la sécurité des informations est protégée par des systèmes de cryptographie à clé publique tels que le chiffrement RSA. Le fondement de la sécurité du chiffrement RSA repose sur le fait suivant : « la factorisation de nombres composés géants est extrêmement difficile sur le plan de la complexité des calculs ».

Cet article décortique le mécanisme mathématique du « crible algébrique » (General Number Field Sieve, GNFS), l’algorithme de factorisation en nombres premiers le plus puissant sur les ordinateurs classiques, et explore en profondeur, à l’aide de formules et de schémas conceptuels, ce changement de paradigme et pourquoi il est complètement vaincu par « l’algorithme de Shor » découvert par Peter Shor.

1. L’approche de la factorisation en nombres premiers dans le calcul classique : Évolution à partir de la méthode de factorisation de Fermat

Le problème de la factorisation en nombres premiers consiste, pour un nombre composé $N$ donné, à trouver les nombres premiers $p, q$ tels que $N = p \times q$.

L’idée fondamentale se ramène à trouver des valeurs non triviales $x, y$ satisfaisant la congruence suivante.

$$ x^2 \equiv y^2 \pmod N $$

En réécrivant cela, on obtient :

$$ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod N $$ $$ (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod N $$

Ici, si $x \not\equiv \pm y \pmod N$, en calculant $\gcd(x-y, N)$ ou $\gcd(x+y, N)$, on peut obtenir un facteur non trivial de $N$. Ce fait constitue la base des algorithmes modernes de factorisation en nombres premiers tels que le GNFS.

2. Le plus puissant algorithme classique : Les profondeurs du « crible algébrique » (GNFS)

Le « GNFS » est l’algorithme de factorisation en nombres premiers pour ordinateurs classiques le plus rapide connu à ce jour. Sa complexité temporelle nécessite un temps sous-exponentiel (Sub-exponential).

La complexité du GNFS

Si l’on note $b = \log_2 N$ le nombre de chiffres du nombre $N$, la complexité du GNFS s’exprime comme suit :

$$ O\left( \exp \left( \left(\frac{64}{9} b\right)^{1/3} (\log b)^{2/3} \right) \right) $$

Comme le montre cette formule, la complexité n’est pas polynomiale, mais correspond à un « temps sous-exponentiel », légèrement plus lent qu’une fonction exponentielle. Néanmoins, lorsque le nombre de chiffres augmente, le temps de calcul croît de manière astronomique.

Le mécanisme mathématique du GNFS

Le GNFS se compose principalement de 4 étapes.

Sélection des polynômes (Polynomial Selection)
Criblage (Sieving)
Réduction matricielle (Matrix Reduction)
Calcul de la racine carrée (Square Root)

2.1. Sélection des polynômes et corps de nombres

Tout d’abord, on choisit des polynômes irréductibles $f(x)$ et $g(x)$ à coefficients entiers. Ceux-ci sont définis pour avoir une racine commune $m$ modulo $N$. C’est-à-dire :

$$ f(m) \equiv 0 \pmod N $$ $$ g(m) \equiv 0 \pmod N $$

Généralement, $g(x)$ est choisi comme un polynôme de degré un $g(x) = x - m$. Si l’on note $\alpha$ la racine de $f(x)$, un « corps de nombres » (Number Field) $\mathbb{Q}(\alpha)$ est construit. Les opérations dans l’anneau de $\mathbb{Q}(\alpha)$ et les opérations dans l’anneau usuel des entiers $\mathbb{Z}$ sont comparées via l’homomorphisme $\phi: \alpha \mapsto m$.

2.2. Criblage (Sieving)

Ensuite, on explore une grande quantité de paires d’entiers premiers entre eux $(a, b)$. L’objectif est de trouver des paires telles que les deux valeurs suivantes soient chacune « B-friables » (composées uniquement de facteurs premiers relativement petits).

$a - bm$ (valeur sur l’anneau des entiers)
$b^d f(a/b)$ (correspondant à la norme $N(a - b\alpha)$ sur le corps de nombres)

Ici, une méthode de recherche rapide appelée « crible » (Sieve) est utilisée. Cela permet d’extraire efficacement les paires $(a, b)$ remplissant les conditions parmi un très grand nombre de candidats.

2.3. Réduction matricielle (Linear Algebra over GF(2))

À partir des paires $(a, b)$ collectées, on construit des vecteurs d’exposants et on détermine le noyau à gauche d’une énorme matrice creuse sur $\mathbb{F}_2$ (le corps dont les éléments sont uniquement 0 et 1).

On trouve un vecteur $v$ comme solution de sorte que les relations $ \prod (a_i - b_i m) $ et $ \prod (a_i - b_i \alpha) $ deviennent chacune un élément carré. Cela revient ni plus ni moins à résoudre le système d’équations linéaires :

$$ M \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \pmod 2 $$

Ici, des algorithmes de calcul numérique avancés comme l’algorithme de Lanczos par blocs (Block Lanczos Algorithm) ou l’algorithme de Wiedemann par blocs (Block Wiedemann Algorithm) sont mis à profit.

2.4. Calcul de la racine carrée

Enfin, on extrait la racine carrée à la fois dans le corps de nombres et dans l’anneau des entiers, pour dériver la relation $x^2 \equiv y^2 \pmod N$. Ensuite, on calcule $\gcd(x-y, N)$ pour obtenir les facteurs.

3. La percée grâce au calcul quantique : « L’algorithme de Shor »

Alors que le GNFS nécessite un temps sous-exponentiel, « l’algorithme de Shor », publié en 1994 par Peter Shor, peut résoudre ce problème en un « temps polynomial » en utilisant un ordinateur quantique.

La complexité de l’algorithme de Shor

Si l’on suppose le nombre de qubits comme étant de $O(\log N)$, la complexité temporelle est la suivante :

$$ O((\log N)^3) $$

Cela signifie qu’elle ne provoque pas d’explosion exponentielle par rapport au nombre de bits. C’est un résultat stupéfiant : même pour un nombre composé géant où le « calcul classique » nécessiterait une durée de vie supérieure à celle de l’univers, le « calcul quantique » pourrait le décrypter en quelques heures ou quelques jours.

Vue d’ensemble de l’algorithme de Shor : Réduction au problème de recherche de période

L’algorithme de Shor ramène astucieusement le problème de la factorisation en nombres premiers au « problème de recherche de période ».

Choisir un entier aléatoire $a$ premier avec $N$ ($1 < a < N$).
Définir la fonction $f(x) = a^x \bmod N$.
Trouver la période $r$ de $f(x)$, c’est-à-dire le plus petit entier positif $r$ tel que $a^r \equiv 1 \pmod N$.
Si $r$ est pair, vérifier si $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$, puis calculer $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ pour obtenir les facteurs premiers.

C’est cette étape 3, la « découverte de la période $r$ », qui est le goulet d’étranglement nécessitant un temps exponentiel sur un ordinateur classique, mais que l’ordinateur quantique résout instantanément grâce à la « superposition quantique » et à la « transformée de Fourier quantique » (QFT).

4. Transformée de Fourier Quantique (QFT) et extraction de la période

Regardons de plus près avec des formules les opérations sur les états quantiques, qui constituent le cœur de l’algorithme de Shor.

4.1. Génération de la superposition quantique

Tout d’abord, on prépare deux registres quantiques. Le registre 1 conserve l’état superposé de l’entrée $x$, et le registre 2 conserve le résultat calculé de la fonction $f(x)$. On applique une transformée de Hadamard (Hadamard Transform) sur l’état initial $|0\rangle |0\rangle$ pour créer une superposition de tous les $x$ possibles.

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |0\rangle $$

(où $Q$ est une puissance de 2 satisfaisant $N^2 \le Q < 2N^2$)

Ensuite, à l’aide de l’oracle quantique $U_f$, on calcule $f(x) = a^x \bmod N$ et on le stocke dans le registre 2.

$$ |\psi_2\rangle = U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |a^x \bmod N\rangle $$

Supposons ici que l’on ait mesuré le registre 2 (en réalité, la structure mathématique est la même même sans mesure). Si une valeur $y = a^{x_0} \bmod N$ est observée, l’état du registre 1 s’effondre en une superposition de tous les $x$ tels que $f(x) = y$. Si la période est $r$, ces $x$ sont $x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, \dots$

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k=0}^{M-1} |x_0 + kr\rangle $$

(où $M \approx Q/r$ est le nombre de termes)

Cet état recèle les informations de la période $r$, mais une mesure directe donnerait seulement un $x_0 + kr$ aléatoire, sans que la période $r$ ne soit connue. C’est ici que la QFT entre en jeu.

4.2. Application de la transformée de Fourier quantique (Quantum Fourier Transform)

La QFT est une opération qui effectue une transformée de Fourier discrète sur les amplitudes des états quantiques. L’action de la QFT sur l’état $|x\rangle$ est définie comme suit.

$$ \text{QFT} |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} e^{2\pi i \frac{xy}{Q}} |y\rangle $$

En appliquant cela à $|\psi_3\rangle$, il se produit des interférences de phase (interférence quantique).

$$ |\psi_4\rangle = \text{QFT} |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{MQ}} \sum_{y=0}^{Q-1} \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{(x_0 + kr)y}{Q}} |y\rangle $$

En développant la somme de cette équation, on obtient la partie :

$$ \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{kry}{Q}} $$

La somme de cette suite géométrique se renforce (Constructive Interference) uniquement lorsque $ry/Q$ est proche d’un entier, et s’annule (Destructive Interference) le reste du temps.

Par conséquent, l’état mesuré $|y\rangle$ avec une forte probabilité correspondra à un entier $y$ satisfaisant la condition :

$$ \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

(où $c$ est un certain entier).

4.3. Détermination de la période par le développement en fractions continues

Après avoir obtenu $y$ par la mesure, on utilise un ordinateur classique pour effectuer le « développement en fractions continues » (Continued Fraction Expansion) de $y/Q$. Cela permet de calculer la fraction approximative $c/r$ de $y/Q$, et d’extraire de manière hautement efficace les candidats pour la période $r$ à partir du dénominateur.

5. Comparaison des modèles conceptuels et changement de paradigme

Pour comprendre intuitivement la différence entre le GNFS et l’algorithme de Shor, voici un schéma conceptuel utilisant la notation Mermaid.

Schéma conceptuel de l’algorithme de Shor par circuit quantique

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graph TD
 A[État initial: 0...0] --> B[Superposition de tous les états par transformée de Hadamard]
 B --> C[Exponentiation modulaire a^x mod N]
 C -->|Intrication quantique| D[Effondrement vers un état présentant une périodicité]
 D --> E[Transformée de Fourier quantique QFT]
 E -->|Amplification des probabilités par interférence| F[Mesure: obtenir y]
 F --> G[Traitement classique: Développement en fractions continues]
 G --> H[Découverte de la période r]
 H --> I[Calcul des facteurs premiers de N]

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 style I fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

L’essence du changement de paradigme

Le GNFS adopte l’approche d’« explorer des relations dans un espace mathématique (corps de nombres) ». Cependant, comme l’espace de recherche s’étend exponentiellement par rapport au nombre de chiffres, avec la puissance de calcul des ordinateurs classiques (même en incluant la parallélisation), le décryptage devient virtuellement impossible lorsque la longueur de la clé dépasse 2048 bits par exemple.

D’un autre côté, l’algorithme de Shor utilise la « nature ondulatoire due à l’interférence quantique ». Il évalue simultanément tous les chemins de calcul dans un état superposé, annule les mauvaises réponses par la QFT (interférence destructive), et amplifie uniquement l’amplitude de probabilité de la période correspondant à la bonne réponse (interférence constructive). De cette façon, il ne s’agit pas d’explorer l’espace, mais de « faire émerger la réponse exacte d’elle-même », réalisant ainsi une approche d’une dimension totalement différente.

6. Résumé

Cet article a profondément comparé les structures algorithmiques et le contexte mathématique du « GNFS », qui représente l’ultime limite classique, et de « l’algorithme de Shor », qui démontre la puissance du calcul quantique.

Alors que le GNFS, grâce à des astuces mathématiques telles que le choix des polynômes et le calcul de matrices géantes, est parvenu à abaisser sa complexité à un temps sous-exponentiel, l’algorithme de Shor fusionne les principes fondamentaux de la mécanique quantique (superposition et interférence) avec un outil mathématique (la QFT) pour accomplir une percée immédiate vers le temps polynomial.

Actuellement, il n’existe pas d’ordinateur quantique tolérant aux pannes (FTQC) capable d’exécuter l’algorithme de Shor à une échelle pratique (plusieurs milliers de qubits). Cependant, l’existence même de ce changement de paradigme mathématique et théorique est la principale raison pour laquelle la transition vers la cryptographie post-quantique (PQC : Post-Quantum Cryptography) est si urgente partout dans le monde aujourd’hui.