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La paradoja de San Petersburgo: ¿Cuánto pagarías por un juego con un valor esperado "infinito"?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. El juego de los sueños con un valor esperado “infinito”

Mientras caminas por un casino, un crupier te invita a jugar a un nuevo juego de lanzamiento de moneda.

[Reglas del juego]

Pagas una cuota de entrada para empezar a jugar.
Lanzas una moneda. Si sale cara, el premio se duplica y puedes volver a lanzar.
Si sale cruz, el juego termina. Recibirás el dinero acumulado hasta ese momento.

El premio inicial comienza en 2 dólares.

Si sale cruz en el primer lanzamiento, recibes 2 dólares y termina.
Si sale cara en el primero y cruz en el segundo, recibes 4 dólares y termina.
Si sale cara en el primero, cara en el segundo y cruz en el tercero, recibes 8 dólares y termina.
…Y así sucesivamente, mientras siga saliendo cara, el premio se duplica: 16 dólares, 32 dólares, 64 dólares…

graph TD Start["Inicio del juego"] --> Toss1{"1er lanzamiento de moneda"} Toss1 -->|Cruz (1/2)| End1["Fin: Ganas 2 dólares"] Toss1 -->|Cara (1/2)| Toss2{"2do lanzamiento de moneda"} Toss2 -->|Cruz (1/2)| End2["Fin: Ganas 4 dólares"] Toss2 -->|Cara (1/2)| Toss3{"3er lanzamiento de moneda"} Toss3 -->|Cruz (1/2)| End3["Fin: Ganas 8 dólares"] Toss3 -->|Cara (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Mientras más consecutivas sean| Infinite["¡El premio se duplica infinitamente!"]

Ahora, te hago una pregunta. Si la entrada para este juego costara “10.000 dólares”, ¿participarías?

Probablemente, la mayoría de la gente respondería “No”. Porque hay un 50% de probabilidades de que salga cruz en el primer lanzamiento y ganar solo 2 dólares, perdiendo así mucho dinero.

Sin embargo, si hacemos los cálculos fielmente a la teoría de probabilidades matemáticas (valor esperado), descubrimos un hecho sorprendente. Matemáticamente hablando, deberías participar en este juego incluso si la entrada costara 10.000 dólares o 1 millón de dólares, incluso si tuvieras que pedir prestado todo el dinero que tienes.

¿Por qué ocurre esto?

2. Calculemos el valor esperado

Para determinar matemáticamente si un juego es “rentable o perjudicial”, utilizamos un indicador llamado “valor esperado”. El valor esperado es un número que representa “cuánto dinero ganarías en promedio por vez si jugaras a ese juego repetidamente”. La fórmula se calcula sumando todos los resultados de “(premio recibido) × (su probabilidad)”.

Calculemos el valor esperado de este juego.

Probabilidad de que salga cruz en el 1er lanzamiento: $\frac{1}{2}$ El premio es de $2$ dólares. Contribución al valor esperado = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el 2do lanzamiento: Sale cara y luego cruz, por lo tanto $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ El premio es de $4$ dólares. Contribución al valor esperado = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el 3er lanzamiento: Sale cara, cara, y cruz, por lo tanto $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ El premio es de $8$ dólares. Contribución al valor esperado = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el enésimo ($n$) lanzamiento: $(\frac{1}{2})^n$ El premio es de $2^n$ dólares. Contribución al valor esperado = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dólar

Es decir, no importa en qué lanzamiento termine el juego, el valor esperado de ese escenario es siempre “1 dólar”. Como el juego puede continuar infinitamente, si sumamos todos estos valores esperados obtenemos lo siguiente:

$$ \text{Valor esperado total} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (infinito)} $$

La respuesta obtenida por las matemáticas fue: “El valor esperado de este juego es infinito”. Dado que el valor esperado es infinito, no importa cuán alta sea la cuota de entrada, teóricamente es un “juego rentable” sin lugar a dudas.

Esta es la “Paradoja de San Petersburgo”, planteada por Nicolaus Bernoulli en 1713. El resultado matemático correcto (que tiene un valor infinito) y el sentido común humano realista (que solo querría pagar unos pocos dólares) están en una fuerte contradicción.

3. El descubrimiento de la “utilidad” que resuelve la discrepancia entre las matemáticas y los seres humanos

Quien resolvió esta paradoja fue el genial matemático Daniel Bernoulli, primo de Nicolaus. (Recibe este nombre porque presentó su artículo en la Academia de Ciencias de San Petersburgo).

Daniel profundizó en la psicología humana. Él pensó que “los seres humanos no juzgan las cosas por la ‘cantidad absoluta’ de dinero, sino por la ‘satisfacción (utilidad)’ que el dinero les proporciona”.

A esto se le llama la “ley de la utilidad marginal decreciente”.

El valor del dinero disminuye según la cantidad que poseas

Por ejemplo, si estás muriendo de sed en un desierto, el primer vaso de agua tiene un valor (satisfacción) por el que “pagarías hasta 10.000 dólares”. Sin embargo, a medida que bebes el segundo y tercer vaso, el valor de un vaso de agua disminuye gradualmente. Al llegar al décimo vaso, probablemente dirías “ya no lo quiero ni aunque sea gratis”.

Lo mismo ocurre con el dinero.

“10.000 dólares” para alguien con cero ahorros tienen un valor inmenso que puede salvarle la vida.
Sin embargo, “10.000 dólares” para Elon Musk, con un patrimonio de miles de millones, solo tienen el mismo valor (satisfacción) que una moneda tirada en la calle.

En otras palabras, aunque el premio aumente infinitamente de 2 dólares $\rightarrow$ 4 dólares $\rightarrow$ 8 dólares $\rightarrow$ 16 dólares…, la “alegría (utilidad)” que siente un ser humano no aumenta infinitamente en proporción a la cantidad.

4. Recalcular el valor esperado usando la “utilidad”

Daniel Bernoulli asumió que “el valor (utilidad) del dinero que siente un ser humano es proporcional al logaritmo ($\log$) de la cantidad”.

Si llamamos $x$ a la cantidad de dinero, expresemos el valor (utilidad) humano $u(x)$ mediante una función logarítmica (aquí consideraremos un modelo simple con base 2).

Utilidad de un premio de $2$ dólares: $\log_2(2) = 1$
Utilidad de un premio de $4$ dólares: $\log_2(4) = 2$
Utilidad de un premio de $8$ dólares: $\log_2(8) = 3$
Utilidad de un premio de $2^n$ dólares: $\log_2(2^n) = n$

La cantidad de dinero se duplica, pero la “alegría” humana solo aumenta poco a poco: 1, 2, 3… Usemos esta “utilidad” para calcular de nuevo el valor esperado (utilidad esperada).

$$ \text{Utilidad esperada} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Si calculamos la suma de esta serie infinita, el resultado no es “infinito”, sino que converge a “2”. Si calculamos a la inversa la cantidad de dinero que corresponde a una utilidad de “2”, obtenemos $2^2 = 4$ dólares.

Es decir, al recalcular incorporando la psicología humana (utilidad), obtenemos una respuesta extremadamente sensata y realista: “El valor de este juego, según la percepción humana, es de aproximadamente ‘4 dólares’”. Es por eso que no nos sentimos inclinados a pagar 10.000 dólares por jugar.

5. Resumen: La paradoja que abrió las puertas de la economía

La paradoja de San Petersburgo fue una paradoja revolucionaria que demostró matemáticamente que el número objetivo llamado “cantidad de dinero” y el valor subjetivo llamado “satisfacción humana” no concuerdan.

El concepto de “utilidad (Utility)” propuesto por Daniel Bernoulli se convirtió, tras 200 años, en la base más importante de la microeconomía moderna y la ingeniería financiera (como la teoría de carteras). Nuestro comportamiento de adquirir seguros o diversificar inversiones también se puede explicar completamente mediante este mecanismo psicológico humano de la “utilidad marginal decreciente (el dolor de una gran pérdida es mucho mayor que la alegría de una gran ganancia)”.

Un simple problema matemático sobre un juego de azar sirvió como catalizador para desentrañar la mente humana y dar origen a la vasta disciplina de la economía.

La paradoja de los dos sobres: el colapso lógico y la trampa de las decisiones provocados por el valor esperado infinito

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. La decisión definitiva: ¿Cambiar o no cambiar?

Estás en la etapa final de un programa de juegos. En la mesa frente a ti hay dos sobres (A y B) que se ven exactamente iguales. El presentador te dice:

“Un sobre contiene el doble de dinero que el otro. Por favor, elige uno.”

Después de dudar, eliges el sobre A. Justo cuando estás a punto de ver lo que hay dentro, el presentador te susurra como un demonio.

“Ahora mismo, puedes cambiar ese sobre A por el sobre B restante si quieres. ¿Lo cambias?”

Entonces, ¿deberías cambiar los sobres?

2. El “bucle infinito” que se deduce del cálculo del valor esperado

Aquí, pongamos en práctica un poco de pensamiento matemático. Supongamos que la cantidad de dinero en tu sobre A es de $X$ yenes. La cantidad en el sobre B, según las reglas, es “la mitad de $X$ yenes ($\frac{X}{2}$)” o “el doble de $X$ yenes ($2X$)”. La probabilidad de cada uno es $\frac{1}{2}$ (50%).

Entonces, calculemos el valor esperado (la cantidad promedio esperada) si cambias el sobre.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

El resultado es sorprendente. Con solo cambiar el sobre, el valor esperado salta de los $X$ yenes originales a $1.25$ veces (un aumento del 25%). La conclusión es: “¡Pensando matemáticamente, definitivamente es más rentable cambiar!”.

Sin embargo, aquí ocurre un colapso lógico. Supongamos que lo cambiaste por el sobre B. ¿Qué pasaría si, inmediatamente después, el presentador volviera a preguntar: “¿Quieres volver al A después de todo?”? Se aplicará exactamente la misma fórmula, y esta vez será “cambiar de B a A aumentará el valor esperado 1,25 veces”.

Es decir, el valor esperado teórico seguirá aumentando infinitamente con solo seguir cambiando “de A a B” y “de B a A”. Esto es claramente contradictorio con la realidad (el contenido del sobre está determinado desde el principio, y no aumentará solo porque lo cambies).

graph TD Start["Eliges el sobre A (El contenido es X yenes)"] --> Think["Calculas si es mejor cambiar"] Think --> Case1["El sobre B tiene la mitad (X/2 yenes) : Probabilidad 50%"] Think --> Case2["El sobre B tiene el doble (2X yenes) : Probabilidad 50%"] Case1 --> Calc["Valor esperado = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["¡Cambias al sobre B! (El contenido es Y yenes)"] SwitchToB --> ThinkAgain["Calculas de nuevo"] ThinkAgain --> Case3["El sobre A tiene la mitad (Y/2 yenes) : Probabilidad 50%"] ThinkAgain --> Case4["El sobre A tiene el doble (2Y yenes) : Probabilidad 50%"] Case3 --> Calc2["Valor esperado = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["¡Vuelves a cambiar al sobre A!"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

¿Por qué un cálculo del valor esperado que parece perfecto a primera vista crea una paradoja tan extraña?

3. Aclarando el truco matemático: el intercambio de variables

La trampa de esta paradoja reside en el “uso de la variable aleatoria $X$”.

En la fórmula anterior, tratamos la cantidad $X$ del sobre A como una constante fija y supusimos que el sobre B era “$\frac{X}{2}$ o $2X$”. Sin embargo, lo que originalmente está fijo es “la suma de las cantidades en los dos sobres”, o “la cantidad menor”.

Sea $S$ la cantidad en el sobre con menos dinero. Entonces, el sobre con más dinero contiene la cantidad de $2S$. Hay solo dos patrones para todos los escenarios del juego (cada uno con una probabilidad de $\frac{1}{2}$).

Patrón 1: El sobre A que elegiste es el que tiene menos ($S$) y el sobre B es el que tiene más ($2S$)
Patrón 2: El sobre A que elegiste es el que tiene más ($2S$) y el sobre B es el que tiene menos ($S$)

Aquí calcularemos correctamente el valor esperado para “cuando no cambias” y “cuando cambias” el sobre.

Valor esperado cuando no cambias $E_{stay}$:

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

Valor esperado cuando cambias $E_{switch}$: En el patrón 1 obtienes $2S$, y en el patrón 2 obtienes $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

¡El valor esperado coincide perfectamente! En el primer cálculo incorrecto, la ilusión de que “el valor esperado aumenta si cambias” fue creada por tratar diferentes valores, el $X$ en el patrón 1 (en realidad $S$) y el $X$ en el patrón 2 (en realidad $2S$), como la misma variable $X$.

pie title "La verdad del valor esperado (asumiendo S como la cantidad menor)" "Valor esperado si no cambias (1.5S)" : 50 "Valor esperado si cambias (1.5S)" : 50

4. ¿Qué pasa si ya has abierto el sobre?

La paradoja parece estar resuelta con esto. Sin embargo, nos espera un problema más profundo.

¿Qué pasaría si, antes de cambiar de sobre, vieras lo que hay dentro de tu sobre A? Abres el sobre A y resulta que contiene “10,000 yenes”.

En este momento, se convierte en un valor confirmado de $X = 10000$. El sobre B contiene “5,000 yenes” o “20,000 yenes”. ¿Qué sucede si aplicamos la primera fórmula aquí?

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

El valor esperado es de 12,500 yenes. Es indudablemente más alto que los 10,000 yenes actuales. Además, esta vez $X$ es una “constante específica” de 10,000 yenes, por lo que el contraargumento de “intercambio de variables” de antes no es aplicable. Siendo este el caso, ¿es absolutamente más rentable cambiar?

Refutación por inferencia bayesiana: Falta de “distribución a priori”

Frente a esto, los matemáticos introdujeron el concepto de “distribución a priori (probabilidad a priori) de la cantidad de dinero”. La pregunta es si realmente podemos decir que los 5,000 yenes y los 20,000 yenes tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de estar dentro.

Por ejemplo, digamos que el presupuesto máximo del programa es de 100 millones de yenes. Si abres el sobre A y tiene “60 millones de yenes”, la probabilidad de que el sobre B tenga “120 millones de yenes” es cero (porque supera el presupuesto). En otras palabras, cuanto mayor sea la cantidad en el sobre A, menor debería ser la probabilidad de que el sobre B tenga “el doble”, y mayor debería ser la probabilidad de que tenga “la mitad”.

Si calculamos el valor esperado usando el Teorema de Bayes asumiendo una distribución a priori arbitraria $P(x)$, se ha demostrado matemáticamente que para cualquier distribución de probabilidad realista (cuya suma es 1), no existe una distribución mágica en la que “sea más rentable cambiar” para todas las cantidades $X$.

5. La trampa del infinito: la conexión con la paradoja de San Petersburgo

Existe un único caso en el que “es más rentable cambiar para todas las cantidades $X$”. Eso es solo cuando el presupuesto del programa es infinito y asumimos una “distribución de probabilidad impropia (una distribución cuya suma es infinita)” en la que todas las cantidades (1 yen, 2 yenes, 4 yenes, 8 yenes… infinito) aparecen de manera uniforme.

Sin embargo, en el mundo real no existe una cadena de televisión con activos infinitos. El error causado por este “valor esperado infinito” está profundamente arraigado en la Paradoja de San Petersburgo (el problema de cuánto estaría dispuesta a pagar una persona por una apuesta con un valor esperado infinito).

6. Resumen: Los peligros de la probabilidad y el valor esperado

“La paradoja de los dos sobres”, a pesar de consistir únicamente en multiplicaciones y sumas simples, nos enseña las siguientes lecciones.

Errores nacidos de definiciones ambiguas: si no dejas claro a qué se refiere una variable (¿$X$ siempre se refiere a la misma cantidad?), la lógica colapsa fácilmente.
La ilusión de que “sin información = probabilidad del 50%”: la suposición de “no sé, así que será mitad y mitad” (el principio de razón insuficiente) a veces provoca errores de cálculo fatales.
La dificultad de tratar con el infinito: introducir el concepto de “infinito”, que no se puede aplicar al mundo real, en fórmulas de cálculo produce resultados que van en contra del sentido común.

La próxima vez en la vida que pienses que “el césped del vecino se ve más verde y es mejor cambiar”, recuerda esta paradoja. Es posible que solo se hayan intercambiado las variables en tu fórmula de cálculo.